장음표시 사용
161쪽
i3 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Ex hisperspicuum est, quo cochlea magis fuerit inc 'ax' , N 'u' URbit a centro
quantitatem 'attolli posse, quam si fuerit c' chlea minus inci inaxa,Pistentiaque centropro pinquioruemaius vero temporequiri
162쪽
Liber Quartus. Ost haec, nonnulla relint untur consideranda, quomodo scilicet se habeant plures helices in eodem cylindro descriptas,diuersasq; cum basi habentes inclinationes, quae quidem no erunc iniucunda, Ocno sermo prolixior euadat) breuiter perstringemus. Γ imumque in cylindro lineam quandam a nobis inuentam squod ipse viderim) describemus hoc modo.
In cylindri superficie lineam describere, ad quam omnes helices a dato puncto secundum datam longitudinem sint aequales.
163쪽
13 7 Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.
In cylindro AB datum sit punctum At dataque sit longitudo C doportet lineam in cylin dro describere, ad quam omnes helices a puncto A prodeuntes sint qua-Ies ipsi CB. Describatur interuallo C B circuli quadrans LB, ponaturqi punctum C in Α, lineaque C E collocetur in latere Ari linea vero CB applicetur circunferentiae AG, & secundum circunserentiam EB in cylindro linea describatur FHG, pluresq; "cunque ex A describantur belices ΑΚ ΑΗ Α L. Ex hac itaque constructione perspicuum est helices A Κ AH AL esse interse aequales. Nam si fiat EP aequalis FL, & PN ipsi L H, & N Q ipsi HK mqualis, iunganturque CP CN Crusi rursus coaptetur quadrans in cylindro,ut dictum est,tineae lane CP CN C ielices AL ΑΗ ΑΚ in cylindro describent, sunt verὁ CP CN C aequales ; ergo& ALAH AK no solum intersese,verum etiam datae Iobgitudini CB aequales existunt, smili modo ostendetur omnes alias helices ex ri usque ad FH G terminum babentes interse aequales esse. Inuent; igitur est linea FHG, ut dictum est,quod fecisse Oportebat. I . ἰ -
Liceat nobis huiusmodi lineam FHG, lineam in cylindr quadran-
Dato puncto in helice per ipsum lineari in
cylindro quadrantem describere , cuiuS centrum sit helicis initium.
164쪽
, In Q lindro sit hel x A H, oportet per punctiam H lineam in cylindro quadrantein describere, cuius centrum sit A. Diicatur cylindri latus HM, seorsumo: triangulum exponatur rectangulum N OC, quod respondeat ipsi HM A. Fiat deinde OCE angulus rectus,¢ro C, interualloque CN circuli quaarans describatur EN B, &in cylindro quadrans describatur linea FH G secundum lineam EN B ex antecedenti, erit utique ipsius lineae FH G centrum A, quare factum est, quod proponebatur. '
. Ex hoc; perspicuum est si datum punctum fuerit in latere Cylindri, exempli gratia, ut in F, lineam in cylindro quadrantem per F describere facillimum esse. Eodem enim modo
ista 'CE quali A F, descuptaque circuli
quarta EB, secundum quam describatur in
Si linea in cylindro quadrans latus Contigerit,inter ambo planum per contactum non
165쪽
linea A B contingat starus A D. Dico per i A inter A C B, &latus AD pon posse cylii driun pisso secare. Si enim neri potest secetur cylindrus plano A E, quod sit inter A C B, & AD ri i , .
que inter Α E, de AD duci potest helix, ut AF, quaecum ellipsi AE non conueniat, nisi in A, erit ergo helix inter ellipsim A E, dcή - AP, cumque sit AE inter rectam AD, & ACB, erit κAF inter AB, & ACB, quod fieri non Drest. Nam facti in plano circuli quarta G Κ, ductaque contingente KL, ita vi GK consti tuat lineam in cylindro quadrantem BCA, recta utique KL cum latere AD cungruet,&quoniam helix' AF fit a recta linea, veluti ι .tera, ΚM, necesse est,utlinea Κ. M si inter ΚG, & KL, quod fierinstrui modo potest i non igitu potest duci planum inter AB, & AR quod demonstrare opol at
Dimidia sit ellipsis ABC, duaeq; sint helices AB DBE, quae inuicem sint tap quam ad rectos angulos, quod est quidem intelligendum si in plano fuerint lineit LM KMNinuicem per e .diculares quae in cyliddro ap
plicate linea quidem LM describata Elici HAB. & Κ MN describat DBE sedet autem DE ellipsim in B, Hier B ducatur linea in cylindro quadrans GBH, cuius Centrum A. Dico GBH ellipsim in B secare.
166쪽
Describatur circulusFM O, cuius centrum L,
quod quidem, si ponarur LM in AB, linea GBHdescribet , & quoniam F M diuidit re tam angulum LM Κ, linea quoque B H angulum helicibus constiturum ABDdispescet, siquidem omnia sibi congruere possuri quare erit B H inter helicem BA, & B Di. ac propterea B H in cylindro ut ita dicam) in spacio ellipsi ABC compraehenso existet. Deinde a puncto B altera sit helix BP, quae concipiatur ellipsim in B contingere, ducarurq; M QEquae sposita LM in AB describat in cylindro helicem BP, &quoniam inter MN MO recta linea non cadit,erit Mo inter M & MN, unde erit BG inter BP BE, cum mnia sibi congruere possint,quare erit BG inter ellipsim,&helicem BE, ac propterea erit extra spacium ellipsi contentum, ex quibus peti picuum est lineam in cylindro quadrantem GBH ellipsim in B secare,siquidem partim intravi DH &parti extra, existit, ut BG,
Sit in-A C, sitque A aequalis DC. cylindrique sit latus DB, quod sit. aequi ex inq; DA DC, sit
ellipsis A S O C, cuius vertex non 'CXCedat punctum B, lineaque sit in cylindro. quadrans EC, cuius centru A. Dico omnes lineas in cylindro quadrantes ipsa EC minoreS, Cuius centrum A, ellipsim A SOCin uno tantum puntio secare. .
167쪽
Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Traseat enim primum ellipsis per B, expon turque linea GF aequali, AD C. semicirculusq; describatur GH F duς-que sint circuli quartae
G H H F, positaq; G Fin AC, secundum cir- θ' - cunferentiam GH F li- neain cylindro describ 'tur ABC, qu transbit per B, siquide sunt A U DB DC aequales,erunt 'is
cantur Delices AB BC, ' - , quae quidem erunt inter- κ . , se tanquam ad rectos an
gulos,ut ductis sineis GH ii H F pcis'cuum est, sponatur semicirculus Z Z-,
tem GH H F in serm- - -- circulo , unde angulus
GH F rectus iistit; ergo & helices AB CB interse erunt tanquam ad angulos rectos. Itaqne dueaturlinea uadianspe B, cuiuscentrum A, vr IBK, &quoniam perducta FH circunferetiam secari linea quo , Ex ara que ΚΒ perducia ellipsim lecabit in B, quare IBK quadrantes lia. neas AB BC secabit in B. At vero quoniam helix CB est inquam' contingens IBK; ut patet conis' G, circuloq; descripto HL, qui, applica figura GH F in cysindr lineam describet IBK, helix vero BC ih C perti git,punctum igitur. Κ, erit inter puncta AC. quare helix BC inret cilii sim BO. & ΘΚ existetinam si intellia gatur B ellipsiis initium,&piu B cylind i basis descripta; quopiam BC est qualia ellipsis;etit ex quaitasecundi huius ellipsis BC basi propinquior, quam helax BC, virde patet helicem BC esse inter ellis psin BC &BK. Ex quibus colligitur, IBΚ ellipsim in uno tantum puncto B secare, squidem helix C B producta ellipsim in B secat, ut patet inlinea FH, quae producta citcunferentiam GH, F dispescit, Duiligod by Corale
168쪽
cuod quidem ex praecedenti viam perspicuum est. Deinde intor E I, utcunque sumatur punctium Ms lineaque tu cylindro quadrans ducatur M ON, quae est M ellipsi primum occurrat in O, helixq; ducatur ΑΟ, quae quadrantem lineam BC secet in P, erit sane AP maior, quam AO; nam cum interquadrantem lineam PC, &cum non possit duci planum,quod amen fieri potestinxerellipsim OC,&CV inter sat quas aliae possunt ductellipies, erit lineae quadratis pars PC inter OCC V, &propterea maior est A P, quam Α O, quare abera ducatur he-' .lta CP, quae erit tanquam ad rectos angulos ipsi A O P, cum sint. ΑΡPC tanquam lineat in semicirculo,&ex Ο helix dusatur OR, quaesi- , militer sit ad rectos angulos ipsi AO, quae quidem erit tanquam aequi- distans helici CP, erit utique punctum innter C A, & quoniam ΑΟΟ unt tanquam ad rectos angulos, &per o transit Mori cuius Centrum A, erit O QIanquam contingens MON, quare punctum N inter QA existet,quae quide omnia in figura GH F apparent etiam manifesta;ex quibus patet lineam MON in uno tantum puncto nempe oellipsim secare eademque prorsus ratione sumpto puncto R in- ter AI, lineaque in cylindro quadrante ducta R S T, ostendetur R S Tellipsim in S tantum secare, &ita in omnibus alijs eodem modo idem contingere ostendetur; veluti etiam si ellipsis usqι ad B non pertingat, quod demonstiare oportebat,
Ex hoc perspicuum est in ellipsi ABC he
licem,quae ex A basi propinquior existit, remotiore longiorem eue. Vt patet de A OA B, est enim propter quadrantes line s B ΚON ellipsim in uno tantum puncto secantes, maior AO, quam AB, ita in alijs.
169쪽
i r Guidi Vbaldi e Marchionibus M.
Sint basis quartae AD DC. quibus sita: - , quale Cylindri latus DB, sitque ellipsis AEC,
Cuius vertex E sit extri DB. Ducaturq; helix AE, cui ad angulos re istos altera ducatur
helix EF. Dico EF ellipsimi care inter
Ducantur helices AB BC E C. Quoniam enim helices AB BC suus F, ὰe. inuicem tanquam ad rectos angulos, eruiit helices A E EC ad augulum acutum. Intelligantur enim AB CA E C duo tri.uagula helicibus , & ADC contenta omnia enim ad re- Etas lineas in plano reduci possunt) in triangulis hoc modo constitutis interior angulus ABC maior est angulo AEC, unde angulus ΑEC recto AEF minor existit. Deinde non potest helix EF ellipsim contingere in F, propterea quod, id quod ellipsim in E contingit, est circulus ut EG basi aequidistans,qui est ad angulos rectos lateri ED, quod cum sit angulus A EF helicibus contentus aequatis angulo DEG cvterq; enim pro recto sumitur maior verbest AEF angulo AEC, erit heliae EF inter helicem EC, &circulum FG. Quare sit circusidiAetet EΗ; ergo duci potest ellipsis, ut EΚH, quae helici EF amplitis non currat,quam in L & quoniam ellipsis ΕΚΗ ellipsim AEC secat, humi. multo magis helix EF ellipsim AE FC secabit, quod ciun s E Finterhelicem EC & ΕΚ, ellipsim secabit inter E C, ut in F, quod
170쪽
Si linea quadrans DBE, cuiui Centrum
A, ellipsim AF C extra contingat in B,
sint vero ellipsis quartae A F FC. Uicopum istum B esse in quarta FC.
Non perti Nat punctium E ad basim, &sit E extra spatium ellipsi ABC contentum scum enim DBE ellipsim eo tingat;fieri quidem potest. inde ducantur helices AB AGE; erit sane A Bmaior alijsquibuscunque helicibus ex Avsque ad ellipsim ABG pertinentibus. Nam cum sint AB AE aequales, erit AB maior AG; similiter ad alteram partem,ducta ubicunq; helice AH, qvso curiat ellipsi inter AB in D cum sit AB aequalis AH, erit ΑΒ maior AK; iergo alijs maior est in B. Itaq; ducatur Aelix AF, cui ad angulos rectos altera ducatur helix FL; sit vero AM quarta circuli, sitque MN aequa lis A M. moniam igitur linea quadrans DBE ellipsim contingit, erit MF maior MN; si enim ellipsis vertex non excederet punctum N, linea quadrans ellipsim secaret.Itaq; quoniam MF maior est j.--.helix FL ellipsim inter FC dispescet; ducta igitur helice Aia erit haec maior, quam helix AF. In triangulo enim AFL, cita sit angulus AF L tanquam rectus i erit helix AL maior AF; veluti in rectilianeis triangulis contingit; similiter ubicunque intex FL ducatur helix AO, quae usq; ad helicem FL pertingat,exit sane Ao proptereandem cautam maior helice AF, quare si A Q pertingeretusque ad ellipsim ,haec multo maior esset,quam A F. Ex quibus perspicuum est,ex A longiorem helicem in ellipsi ABG, inter FC reperiri; ergo linea quadrans DBE ellipsm continget inter FQ utio 3; eritq; ARaliis quibuscunq; inter ABG existentibus longior. Punctum igitur Bin quarta FC reperitur,quod demonstrare oportebat.