Guidi Vbaldi e Marchionibus Montis De colchea

171쪽

i Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

p ROPOSITIO VIII.

Quomodo autem linea quadrans ellipsim in duobus tantum punctis secare potest, o

stendere. '

In cylindro sit similiter ellipsis ABC quam

contingat linea in cylindro quadrans FB si, que ACQ maior semicirculo AC. Deinde inter C uinatur ubicunq; punctum D, fiatq; A E aequalis ACD, quae quidem A E minor erit AF, & lecundum longitudinem A E lianea in cylindro quadrans describatur EGD. Diaco E GD ellipsim secare in duobus punctis,tu

ta GH, ut ex constructione patet, etenim cum

sit ellipsis ABC intra terminos AP CK, & FB L, linea vero EG Di incipit a punisto E, quod est in latere AF, &secat latus CK, siquidem peruenit in Dinecessari 3 linea EHGD ellipsim in duobus punetis diuidete, cuisse linea FG D tanquam aequi distans ipsi FB si, ut manifestum appareret , si describerentur in plano duo quadrantes circa idem centiviniqui resbonderent ipsis FBQ EG D. similiter facta A E semicirculo A C aequa li, lineaque in cylindro quadrans describatur EHGC, ut in secunda figura linea E GC ellipsim in duobus punctis secabit HG; nam quam uis haec non secat latus CK, est tamen ipsius lineae EG C portio G DC inter ellipsim GC,& latus CK, quia inter GDC latusque C Κnon potest duci planum; quod tamen inter ellipsim GC, & idem latus CK fieri potest, aliae quidem duci possitnt ellipses, secat igitur EG Cob eandem causam ellipsim ABC in duobus 'punctis HG, quod ostendere oportebat. cois

172쪽

De Cochlea Lib. t V. I s

COROLLARIUM. Ex hoc patet facta A Ρ ellipsis quarta

pum hum C esse in quarta ΡC est enim in ter BC, & B est in quarta P C.

Quomodo autem linea quadrans ellipsim in tribus secare potest punctis, ostendere.

Secet similiter t proxime dustsi iri H estὶ linea in cylindro quadrans E GC ellipsim ABC in duobus punctis H G, quae quidem pertingat in C. Deinde in portione GDC quodvis sumatur punctum D, describatusq; helix A D; quae,cum sit GDC inter ellipsim GC, &latus CK ut . ostensum est in ipsam secabit ellipsis portionem GC, secet igitur in F, λ& inter FD in helice ubicunq; si matur punctum I, perquod deser, 'batur linea in cylindro quadrans LMIO, cuius centrum sit A. Dico hanc lineam LMIO in tribus punctis secare helicem AB C. Primum quidem constat portionem LN MI ellipsim secare in duobus punctis e N M, siquidempuncta LI sunt extra ellipsim, &quoniam A E AD AC sunt preluales interse,itidemque AL ΑΟ aequales,&est A L minor R E, erit igitur ΑΟ minor A Ci cum itaq; sit punctum I extra ellipsim, linea LIO ex I antequam pςrueniat in D, ellipsim secabix, ut in S, e go linea LIO ellipsim secat in tribus punctis NM S, quod ostende

173쪽

i Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

COROLLARIUM

Ex hoc manifestum est puncta Ms sis.cta A P ellipsis quarta) in quarta P C existere. Quoniam punctum G est in quarta ΡC. & M S sunt inter CC, ergo puncta

Si linea in cylindro quadrans ellipsim intus

contigerit, eam in quarta,ubi non est centrum

continget.

174쪽

De Cochlea Lib. t V.

ΡROPOSITIO XI.

Qusmodo autem linea quadrans ellipsim

contingere,& secare potest, ostendere.

Duobus modis hoc contingere potest. Primumq; intelligatur,ut in praecedenti lineam quadrantem LMIO in tribus secare punctis ellipsim ABC Deinde ducatur linea quadrans per puncti m C, sitque D EC, quae quidem , cum sit AC maior A Ο, vel ellipsim quoque secabit , vel contingeti vel ipsi amplius Iaon occurret.

quod si DEC ellipsi onoccurrit,

sit utera linea in cylindro quadrans FB G H. quae ellipsim contingatin B Quonia enim F B H ininor eu D E maior verὁ LMO, erit AH minor AC, sed maior Ao, &quoniam lineae in cylindro quadrantes scum circa idem sint centrumὶ sibi ipsis occurrere non possunt,linea quadrans F b G antequam perueniat

in H ellipsim secabit, ut in K. Q od si DEC ellipsin secuerit in B E, ut in altera figura sumatur in cylindro punctum G, quod sit quidem in spacto , ellipsis portionibus N B EM, quadrantibusq; lineis B ENM comerehensis, &per G puncta AC sanum ducatur, quod faciat ellipsim AGC nimirum linea in cylindro quadrans LMO ellipsim A G C in tribus punctis dispescet, ut perspicuu est,quare cum DBC pertingat in C, ellipsisque A GC non

occurra eadem prorsus modo osten

detui, ineam in cylindro quadrantem F GH cllipsim contingere ponsian G, eamque secare in K. Patriique ratione idem quoque ostende iur,si DBC ellipsim ABC contingcret; ex quibus patet lineam quadrantem ellipsim extra contingere posse,& adhuc secare.

175쪽

i. 8 Guidi Vbaldi e Marchionibus

Praeterea quando linea quadrans ellipsini intus contingit, tunc ipsam quoq; semper secabit; etenim contingat linea in cylindro quadrans ellipsim ABC intus in M, quod quidem punctum ςst in quarta PC, quoniam linea O ML pertingitvsque adi tus cylindri AL; necesse est,tineam LMoellipsim secare inter M L, ut in G, linea igitur in cylindro quadrans LMQ ellipsim contingit in M, secat vero in G, quod oste erpoportebat.

Si in cochlea inclinata duae sint helices idem initium habentes, contingere potest, ut sursum attolli possit aqua helice basi proximiori,

altera Vero minime. .

In cochlea inclinata A B , duae sint helices ADE, AC B; Dico comtingere posse , ut aqua sursum attollatur helice ADE basi proximiori existente . helice vero ACB nequaquam. Sint A D A C helicium quartae, & per DC cylindrus duobus secetur planis orizonti aequi distatibus,quq

sntellipses FGD HKC, secet vero ellipsis FGDhelicem AD E in L M, ellipsis verὁ ΗΚ C helicem ACB amplius non dispescat nisi in C. perspicuum est helice ADG sursum attolli posse aquam tuerὁhelice ACB non posse,quod demonstrare oportebat.

176쪽

COROLLARIUM.

Ex hoc pluribus alijs helicibus h c eadem ontingere posse manifestum est.

Si cochlea duas habens helices, ita sit ad ori

zontem inclinata , ut ellipses per quartas heli- Cium transeuntes, &orizonti quidistates, helices secent in primis, dc secundis quartiS; ma. iqr aquq copia attolletur helice, quq minorem efficit angulum cum basi,quam altera helice

sit cochlei'. inclinata , quae duas habeat helices A C st A DE. quaruqua sint AC AD, mi- ηῖ moremque cum basi effesat angulum helix A DE, quam helix A C B, ellipsis

Vero per C D tran 'a seutes helices secet, 'ut dichim est. Dico maidrem aquae eo- piam attolli helice A D E, quam hel . ACB. Describatur iper C helix FCG aequi distans ipsi A DE. Ducaturq; per C elli- .pss HCΚ orizonti aequidistans, quae secet helices in punctis I L in bu M. helicium secundis quartis CB CG existentibus, turius per C basi aequi distans ducatur circus is C M, lateraque cylindri ducantur L NIO. Primumquidem constat angulum M CG Nualem esse angulo, que facit helix λ DE cum basi,siquidem circuli,&helices sunt aequidi-v stan- Dissilirso by Corale

178쪽

De Cochlea Lib. lV.

Si cochlea plures habens helices ita silerit inclinata, ut ellipses orizonti aequi distates per quartas helicium traseuntes ipsas quidem helices secuς int,ellipsium vero vertices a Circulis per dictas quartas traseuntibus non distent

magis, quam circulorum quartae, maior aquae copia attolletur helice,quae minorem cum basi angulum ossiciet,quam eam, quq maiorem

Conueniant, ut an

tea, helicium quartae in Α, sintque helices AEL AFB AC Κ. quae, adimidia ellipsi ABG

orizonti aequiditates Centur, sitq; vertex elli

psis punctum P, sece tur, deinde cylindrus plano aequidi UACG, distantia Wro iGD nofisit maior AG qua ei li i mio' o unvero cum A GCang tum efficiat helix AEL, ill OD TU qum AFB, & AFB minorem, quam AC X. Dico primum m iorem aquae copiam attolli posse helice AEL, quam ΑFR &mai rem AFB, quam ACK. Secetur ΑEL bifariam in I. Fiatque A inaequalia AL Quoniamigirur planum per I ductum ipsi ADC,&orizontainluidistans helicem contingeret in I erit sane punctum Iinfimum; unde punebim L supremum existit; & quoniam QA AIIL sunt aequales,erit AIL aequalis quae inlusis est dimidiae helicis portioni,quae impletur aqua,ut rursum attolli possit. Ocirca se dem enim modo ostendeturὶ AFB ACK sunt quoq; dimidiae portionum,quibus attolli potest aqua At vero quoniam helix AE L maior est AFB; de AFB maior ACK; maior aquaecopia attolletur hel V a ce

179쪽

. , ,

is 4 Guidi V b aldi e Marchionibus M

helix AP, porto iria,' i in '

pses per haru ellipsium squartas transeuntes ori- ὶ ZOntique aequi distante. O

lice H M, quam HN, S: HN, qu M P, esseitque HM rem basii minorem angulum, quam H N. & HN minorem. quis Idri& c.quod demonstrare oportebat.

bi vero itidem p Olltis, i ruerit melinata cochlea ut linea in cylindro quadratis cuius centrum lit in helicium Quartis ellipliari pluribus punctis occurrerit, plures quoque erunt heli

ces, quibus aequalis aquae copia attolli potent

180쪽

Seeet elliis psis ABCois rizonti Uuis listivis heliaces, quarum suartae simialiter traiiseat per A, linea vero in cylindro quadias DBE, cuius Centrum Aellipsi occurrat in puctis,

nifestum est helie s in BF pertingentes, ut AGB AHF interse , quales esse,&quoniam hae sunt dimidiae porriones helicium, quibus a- Cor. ιδε qua iuram attolli potest, si fuerit lix F qiue cum basi angulumessiciat,vteficit AHF cum circulo ACE, samaaquaecopia attolletur hince KL, quanta lice KAM, hoc Ruteni adem modo contingit, siue linea D BF E ellipsim in duobus punctissecet, siue ipsam coiitingat, & iecee . Similiter, si lineain cylingroitu divisita pluribus punctis illim o uererit, ut tribus ostendetur plures quoque, ac toti- Exia mdem dati pota helices, quibus aequalis aquae eopia possit attolli, quod

PROPOSITIO XVI.

Iisdem positis si linea ih cylindro quadrans

ellipsim in duobus tantum punctis secuerit, felix quidem assumi, ita possibile est, ut aliae diri ' oossint helices quae maiorem angulum eum ias: essiciant ,maioremque aqUq Copiam attollant,quarn assumpta helix,itidemq; aliae

reperiri pol sint,quae minorem Cum basi angulum sotistituant, minorem quoque aquae CO-piam attollant, quam helix assumpta.

Isdem