Sectionum conicarum elementa methodo facilllima [sic] demonstrata [electronic resource]. ... Authore L. Trevigar, ..

161쪽

D TRIBUS SECTIONIBUS CONICIS. 13

vicem parallelae, quarum altera H Sectionem in puncto contingat, altera vero MN ad Parabolam terminetur; ducatur autem per duo quaevis Sectionis puncta duae diametri AF, O, ipsis MN, CH, in punctis , O,

in currentes' liquet, si in consectatio quinto, numeris Art. 1 f. Immodo, Ponamus rectam L super tangentem Hcadere, esse 1m. FN CO AF BO. ado. Producta A, usque dum tangenti H in puncto Q occurrat esse etiam MF- FN CQU AF Ain 13mo Sint rectae MN, T, sibi invicem parallelae Fig. quarum una, Hyperbolam in contingens, Atymptoto C occurrat in puncto S altera vero MN ad Hyperbolarum oppositarum alterutram terminata idem Asymptoto in punctos occurrat agantur autem per duo quaevis Sectionis puncta A, B, rectae AP, T,-mptoto I parallelae, ipsis N, T in punctis PQ currentes liquet, si ponamus in tribus numeris Corollarii decimi, secantem GH super tangentem TCadere, esse, amo. P, PN KI: AP Ρὰ B QTS. ado Produm Α, usque dum i 1 T in pineto occurrat, isses in PN KR: APLAR tio. AET: ΚR::BTκTS: ARκRS. 1 mo. Si in Hyperbolis oppositis duae contingentes ΚR, F, sibi mutuo parallelae, Asymptoto C in pnnctis Sis V occurrant agantur autem per duo qua Vis Sectionis puncta A, B, recta AR, F, Ajmptoto Sparallelae, contingentibus etiam in punctis occurrentes , dico esse, mo KR LF: AM, RS BI FV

162쪽

mus secantes M, GH, super rectas contingentes R, 'LF, cadere.

PROPOSITIO X.

Ideoque

165쪽

n TRIBU SECTIONIBUS CONICI s. xs

166쪽

COROLLARIUM I. a 8. HINC AB: BF:: DB: GR Hyp. Nam QA: CB: CB: CF, unde AB: CB: BR: CF. ideoque AB BF : CB: CF: DB GF. COROLLARIUM M. Pig. 8a. 79. HINC etiam, si recta A major sit quam BR .ectio erit Ellipsis, ex eo uod axis primus in hoc casse major sit quam distantia locorum sin autem A minor sit quam F, ac proinde axis primus BD Fig. s. minor quam distantia socorum , G, sectio erit Hyper-

Fig. bola; quod si AB aequalis fieri ipsi BL Sectio tum

Art. r. 'erit Parabola.

18o. RECTA indefinita AP vocatur DIRECTRIX non ad arabolam tantum, di ad Ellipsin vel Hyperbolas oppositas. COROLLARIUM III. Fig. 81, 6, i81. I in Sectione Conica duo quaevis puncti MQN recta MN Directrici in puncto C occurrente 4nganitia a foco autem Pagantur rectae M,IN, FG dico rectam C bisecare angulum FH complementum sci

Fig. s. in primo casti angulus DF vel ob parallelas CFH, e-F. 86. quatur angulo CF ; in secundo FDN, vel ei alternus CFM, aequatur angulo CFN LIBAE R

167쪽

IN TERAE MUTUO COMPARAΤIS.

LEMMA L hsi UANTITATES, ut amitati- rati es, quae ad aquaistatem more - citus finito e tanter tendunt, Ἀπυ-- aes oris illius propius ad imucem accedint, quampno data -mis differentia suae ultimo quases. Si negas; fiant ultimo inaequales, sit earum ulcima differentiam, ergo nequeunt propius ad aequalit tem accedere, quam pro data disserentia o contra in pothesin. LEMMA II. 183, I incus Nominae cujusvis ABG portio imBE fuit parva, hoc est, minor quawis Lia: Dis per temmimos 4 ad axem et diametrum AC Ordinatim

applicentur ari Q agantur autem R, S, UAQ aradleus dico parassilogramma PQRM me PQNS haberi posse pro spatio QNM sub Ordinatis PM, in recta PQ Ur arcum comprehenso.

Omnia Curvae cujulvis puncta ab ejus Diametro vel continu recedunt, vel ad eam continuo accedunt; et denique Curva omnis ex pluribus constat portiunculis, quarum:

168쪽

quarum aliae a Diametro magis magisque recedunt, aliae ad eam magis marique accedunt 4eri enim non potest, ut Curvae pars ulla a Diametro quidistet. His praemissis, sit imo arcus N portio Curvae AMBab ejus Diametro magis magisque recedentis 3 sumatur ex

parte punctim arcus Moinitae magnituanis ductaque ordinatam ipsi parallela, agantur rectae OD, ME Diametro A parallelae; erit spatium curvilineum PFOM majus parallelogrammo inscripto FEM, ei cumscripto autem PFOD minus Jam si punctum O stipercurvam versiis moveri fingarur liquet parallelograminum differentiam scilicet parallelogramorum in arcu M inseriptorum imumscriptorum continuo diminui, adeo ut puncto O in M pervent prorsus evanestat MEOD; unde sequitur, si distantia inter pumeta infinite diminuatur, Iarallelogrammum MEOD, jam in factum minus fore quocunque Arti i8α. dato ac proinde parallelogramma PQRM, P s, erunt di sibi invicem, spatio curvilineo PQMN aequalia, ideoque pro sibi invicem usurpari possunt.

et . Sit arcus N portio Curvae AMB ad Diam trum ejus magis magisque accedentis liquet demonstrationem eandem esse ac in primo casu, excepto quod pet rallelogrammum QNS jam inscriptum evadat. 3tis. Detur Curva Am ex pluribus constans portionibus, quarum aliae, sicut AB a Diametro AG continuo recedant, aliae vero, sicut G ad eam Uis magisque accedant. Dico fieri non posse, ut puncta, sicut B, nasporiones separantia, super arcus, cadant; si enini cadere possent, punctum B ad punctum M propius accederet, quam ipsam N contra Hypothesin Liquet ergo hunc casum in prioribus necessirio comprehendi Co R-

169쪽

COROLLARIUM I. 18 HINC, si ordinatim applicetur recta C ipsi PM parallela, si fingamus Curvae portionem AB in arcus infinite parvos alvidi, ad instar arcus N; si attam ACB sub rectis AB, AC, AEurvae portione AB comprehensima, aequabitur summae parallelogrammorum omnium ipsi PQRM vel QNS aequalium. Atque ita de omnibus Curvae BG partibus dicendum. COROLLARIUM II. 18 . si CMDOC figura quaecunque inter paralle-Fig. 3-las CE, F comprehensa: inter has parallelas agantur duae rectae MO, L ipsis CE, F, parallelae, quarum distantia infinite parva sit dico spatium OMNL, in figura MDOC sit rectis MO N contentum, quari rectangulo O, M vel OS. Ducta enim recta ΑΒ parallelis CE, DF perpendicul, H, ipsis O N etiam parallelis in punctis P, Q occurrente liquet spatium PMNQ aequari rectangulo PMRQ, ita is spatium OLin rectangulo OSin unde erit spatium MN aequale rectangulo OMRS vel OM,

COROLLARIUM III. I 86. CONSTAT ex consectario praecedenti, si duae

quaevis figurae MDOC, EG FH inter parallelas CE, DF comprehenis ejusnodi fuerint, ut ducta alicubi radium ipsis CE, F, parallela, partes O, GH, istiuste rectae in siguris MDOC, EG FHE, contentae semper sint in ratione datae constat, inquam, binas has figuras

170쪽

figuras spatia scilicet sub iis comprelienti esse etiam ad imVicem in ratione hin; acta erum rem, ipsi Hparallati, ita ut distantia ejus ab H infinite parva sis. Hi a xjam AB ipsis CE, F, perpendiculari, parallelis autem H. Κ, in puncti P m occurrente ' Arx- 8s liquet, spatium MN aequari rectangulo leo κpQ ita spatium GHia aequari rectatas lo GH, PQ. Haec igitur spatia erunt ad invicem ut, νιGH; cum hoc verum sit, irachmve in hum xx El. rae parte ducatur recta AE sequitur silmmam spatiolorum omnium MNLo, hoc est, spatium CL DOCesse ad simmam spatiolorum omnium HKI, hoc est,

ad spatiun IGFH p in ratione data ipsius o ad GFL

nem aliquam MDO esse ad figura: EFGH pta timentismilem. FH in eadem rutione data assu ira dela tibus residuis MO; EGH dacendum. Manifestum est, si data ratio fuerit ratio aequalitatis, hoc est si partes o GH ipsius rectae. MH sempera quelm inr, spatiae MDe , GFHE, ita partes MDO, GFH. de Min GH semper sere aequalia LEMM III.

Fig. s. I 87. II super Curetam quametis sumatur arcus M is 'it parvus es per illius terminos aga tur tangemusMT, T, sibi mutuo correnter in puncto T, ducaturque soktens. MN, rectat NS i ., Tu ductae πη -- malis ; ico subtensam MN, vel sum--t gentium ΜT,1NT, vel denique rectam S pr arcu MN usurpari , es. Necesse est omnis Curva vel tota. concava sit meis i