장음표시 사용
151쪽
Embado m eir ICUS. datae circumferentiae multiplicetur per zi, α summa dividatur per 892; procreatuS in Quotiente numerus dabit aream circuli vera ma)orem. Si vero fiat, ut 88 ad 7, ita quadratum datae circumferentiae ad aliud ; hoc est, si datae circumferentiae quadratum multiplicetur per T,& summa di vi datur per 88;procreatus in Quotiente numerus dabit aream Circuli vera minorem. Elige igiturinediam inter utramque, &. habebis proxime veram circu
ALii inmensurandis superficiebus circularibus utuntur hae ReguωMultiplicetur quadratum circumferentiae dati circuliper T ,'' Iim, prodibitquein produciZoipsa areas His circuli Exgr. Sit exploranda area infima turris rotundae, cum ambitus habeati Q decempedab; hujus quadratu aciet 22y, quodmultiplicatumser 7 , I ', dabitIroductumar ', 8 , o '. ' FI pro area tiau turris.
Data circuli a ea, invenire diametrum.
AReam circuli datam multiplica per i , productum divise
perii, ex Quoto in Vento e trahe radicem quadratam; eritque haec circuli diameter vera minor. Iterum multiplica eandem aream per28 , productum divide per 223, ex Quoto invento extrahe radicem Quadratam; eritque haec circuli diameter Vera major. Mediam igitur inter u tramque eligito,dc habebis diametrum proxime Veram. Sequitur ex dictis Probi. X. Exemplum. Sit axea proposita 616; multiplica haec per i , proveniunt 862 ; quae divide per Π, provenient 78 ; extrahe ex his radicem quadratam, invenies 28 pro diametro minore justo. Eodem modo procede ad in veniendam majorem justo.
Data circuli area, inverire Circumferentiam.
Λ Ream circuli datam multiplica per 88, productum divide per , ex Quoto invento extrahe radicem quadratam; eritque haec circuli peripheria vera major. Iterum multiplica eano dem
152쪽
dem aream par 89a, productum divide per Ti, ex quoto invent
extrahe radicem quadratam; eritque haec circuli peripheria ver&minor. Mediam igitur inter utramque elige,&habebis circumferentiam proxime veram. Sequitur ex dictis Probi. XI. Exemplum. Sit area proposita i386; multiplicetur per 28, provenient iri 968 ; divide hanc summam per T, eritque quotus λ7 2 extrahe ex hoc numero radicem quadratam , & proveniciat pro circumferentia I 32.
Iuvenire aream circuli, quando nec diameter, nec circumferentia e i nota.
nix 'It circularis basis alicujus turris ACBK, cujus & diameter douo.. vii I. circumferentia sit ignota; sitque una tantummodo pars ipsius accessibilis, v. g. A C B D; sic invenies diametrum dc circumferentiam, &ex utraque aream circuli.
Metire chordam A B, eamque divide bifariam in D,& duoerectam DC; metire item sinum versium D C; multiplica dimidiuchordae, nempe A D, per seipsum, &summam divide per sinum versum, prodibitque portio D Κ totius diametri; cui si addas sinu versum DC, habebis totam diametrum. Exempli gratia : sic chorda AB r4, dimidium vero A Dia, at Sinus versus D C, sit f. multiplica ergo in periz,&summam productam 14 divide pers, prodibit 2 ; cui si addas 6, habebis 3 o pro tota diametro C K. Habita vero diametro, habebiScircumferentiam,d aream qua sitam, per dicta. R D, est media proportionalis inter CD, o D M per 8 Sexthse Schol TX i 3 ejusdem, ut patet ,si ducantur occultae AC, AU, quae constituentiriangulum rectangulum ad A per 3l Tertui ergo quadratum A D aequaerit rectanguis ex C D ct D X, per i 7 Sexti, ac protode divisum qua ratum A Dper latui C D, dabit latus D K.
153쪽
sim an idum issi mensurari non possit chorda, shinus versi s.
ΕΩrurris columnaris, ad quam non patet ingressu nec tota ambiri po- Vi pies e Flumpotes menserari arcuου AC Bfuniculo circumducZo. D mide totum arcum AC B bifariam in C, se ex puncto Cristribe arcum EFG, eumque divide bifariam in F, ducta recta F G; quae erit emidiameter circuli E F G, continuata cum diametro C K circuli A C BK. Per nosum deinde C ducasum recta H I, ad rectam F C perpendicularis. Eris haec tangens circulum AC BU in punecto C, per i6 Tertii ue se parasiela chordae AB si ea intestigatur ducta j ut mox demonstrabo. Hufactis, iunctis AsB demitte ad tangentem HI perpendiculares AH, B L. Erit HI aequatis chordae AB, o AH, seu BI, aequalis ui verso DC. ut mox demonstrabo. Metire quar A tres HI, s operare, uti ante.
HI eii parasiela ipse AB; es AH, FI, paratulae ipse D C. Ducantu
enim vetrectae AL, BL, velreditae A MB M erunt tam anguli ALD, BL D, quam anguis A UD, B UD, aequales, per a γ Ter. & bcholium 29 Ter tu, cum arcus AC, B C sint aequales ex hypothesi Euoniam ergo duo latera A L,L D seu A K, KD trianguli A L D, equali unt duobus lateribus B L,LD seu A K, KD trianguli B L D, utrumque utrique, ut conseat; suntque anguli ad L aequales,utprobatum eis, erunt per Primi, anguli AD L , BD L deinceps aequales, ac proinde uterque rectin, per i O. Definit. Primi: ideoque anguli AD C , B D C, erunt recti, periS. Primi , utpote prioribuου duobus ad verticem: sunt autem O- anguli BCD, IC D, rediti, eo quod HI perpendicularissiit durita ad C D. Ereto per ΣῖPrimi, refctu Hlparallela est rectae AB. Eis autem , AH paruileia tami BL quam ipset D C, per eandem 28 Primi, clim omnes Miperpendi- ulares ad H I. Parasielogrammum ergo eis A HIB, ac proinde per 3 .
Primi HIes aequalis ipsi A AHi D C;quoderat demonstrandum.
E Odem modo procedes, si notin esse sinus V D, ct chorda dimidia A D: ducas ins emichordam A D ummamque productam dividisper Κ D, quotoque o a' addin i m TD, habebis totam Κ C.
154쪽
Sectiorum circuli arieas invenire.
OUa ratione inVeniatur area semicirculi, quadrantis, semi- quadrantis,&similium proportionalium partium, patet ex dictis Probi. I nunc quomodo aliarum partium areas invenire possimus,dicendum restat, & primo agendum de Sectore. . LX. Si igitur portio circuli sit Sector, qualis est figura A BCD, *Quis, i . comprehensa duabus semidiametris A B, A D, S arcu BCD; ejus
area invenitur, si nota sit in certa mensura, V. g. in palmis, tam semidiameter, quam arcus totus: si enim semidiameter ducatur in semissem arcus, erit productum area tectoris in mensuris quadratis. Sit semidiameter A B sex palmorum,arcus B C D ir, de semissis arcus, nempe B C 6: multiplica 6 per 6, erit productum 36 area, ipsius Sectoris. Demonstrationem infra apponam. Quod si neque semidiameter, neque arcus sectoris sint noti, mensiuranda est semidiameter mensura aliqua nota, dc secundum eandem mensuram indaganda est circumferentia totius Circuli; per R egulas positas supra Problem, '. Mensuranda praeterea est chorda B D. Ex semidiametro enim dc chorda notis, inveniri po-eest arcus B C D primo in gradibuo,& deinde in mensuris, quibus
mensurata est semidiameter, tandemque ex semidiametro desemiarcu indaganda arza.
Sic autem eX semidiametro A B, & chorda B D, notis in certa mensura, V. gr in palmis, in venies arcum B C D, in gradibus, si dicas: ut semidiameter A B sex palmorum ad chordam B D iopalmorum v. g. ita sinus totus iOO OOo partium ad aliud; numerus enim procreatus dabit rectam BD cognitam in partibus sinus totius ; medietas aute rectae B D cognitae in partibus sinus totius, erit sinus semissis arcus B C D, ac proinde sinus rectus arcus B C, vel D C, ideoque ex tabula sinuum sentissis arcus B CD in gradibus nota erit; qua habita, totus arcus B C D non ignorabitur. Habito arcu BCD noto in gradibus, sic idem notus fiet inmensura semidiametri A B, scilicet in palmis, Tota circumferentia circuli a semidiametro A B sex palmorum descripti, jam nota secta est in assu impra mensura, nempe in palmis, per Regulam
Problematis Noni , si ergo fiat, ut gradus 6 O ad totam circumfe
157쪽
rentiam in assumpta mensu ra cognitam, ita arcus B C D in gradi bus cognitus ad aliud; cognoscetur idem arcus B C D in mensu ra assumpta. Quare si multiplices semidiametrum in semiarcum in dicta mensura repertum, reperietur area sectoris A BCD, in eadem mensura quad rata.
sunt etiamgradus in arcu BCD contenti investigari ope circuli alia cujus, aut quadrantis divisimgra s c, in aliquo campo. Circulum aut quadrantem insuper cie aliqua deseriptum atque divisem, pone intra Secrorem ita in centrum circuli divisi corresondeat centro Aseriti τι deinde ex centro circuli inque ad punectum B se foris extendes tum , se nota gradum, quem in circulo divise a indit de lum extende inque ad puniafum D, o nota iliter gradum quem in circulo diviso absin-dit : quot enim graduum eis arcub circuli inter bina puncta notatus,totidem graduum erit arcus B C DSectoris.l I. Si non posses metiri mi liamei rum A B. se chordam BD ,eὸ quod non detur aditus intra arcu- A C D,adbibenda esse raxis Proble
HI. In aliquibus casibus inveniri potent quanistin arcus BCD m' certa mensura mechanicὲ s nimirum circumducaturfunis, cujus deinde longitudo inquiratur. IV. In planiti erum dimensionibuου, vita omnis acillima eis, si inveniatur in certa mensura chorda B D, se bifariam dividatur in E,ctex E erigaturperpendicunaris E C, eaque inveniatur in eadem certa mensura ue deinde re Ta B E ducatur in seipsam , O productum dividatur per C E, invenIoque numero addatur numerus rectae CE: sic enim producitur tota diameter, iuxta die Z upra Problem. X t, ct consequente emta diameten ex hac deinde, se chorda invenitur arcus in gradibuου, se inmensura semidiametri, tandem exstemidi ametro se larcu tota area.
QVo autem ex ductustemidiametri A b insemissem aram BCD, hoc est, tu arcum B C notum in mensurasim diametra A B , producatur area Sectoris A BC D, ita probo ex Clavio lib. Geome . pract. cap. 8. m. I. Compleatur circulus BCD G, O, siat quadrans Ad F, ct semi-
158쪽
circums ABDG. Vsiniam igitur, per 33 Sexti, est ut arcus BD, ad uadrantem BF., ita Seritor A BD, ad Sectorem A BF; erit quoque ex cholio Propos. 22. lib. Euclid. ut arctas b D ad quadruplum quadrantis B F, hoc eis, ad totam circumferentiam; itasector A BD, ad quadraptum Sectoris A BF, hoc est,ad totum circulum. Vt autem arcus BD ad totam circumferentiam, ita eu B C semissis arcus B D , ad F D G oemissem totius circumferentiae, peris Quinti , Igitur erit quoque ut BC, ad B D G, ita Sector A B D, ad totum circulum. Sed ut B C au B D G, ita est rectangulumsub AB, BC, ad rectangulumsub A B, B D G, per prumam Sexti; Ergo erit quoque Sector A B D, ad totum circulum, ut rectangulumsub AB, BC, adrerirangulumsub AB, BF G. Cum ergo, ut Probi. T. tradidimin, circulus aequalist rectangulo sub Ab , B DG; erit quoque, per i Quinti, Seritor Ab D aequalis rectanguis sub A B, b C. quod erat demonstrandum.
lio Uegmentorum circuli aream iuveUire .
Si portio circuli proposita non sit Sector, sed segmentum alterius rationis, quale e si in superiori figura segmentum E B C D , sic ejus area inquiritur. Quaere segmenti seu arcus propositi centrum A,per Σ1 Tertii, ductis rectis A B, A D, inquire per certam aliquam mensuram quantitatem semidiametri A B, & arcus B CD, investigaque aream totius Sectoris ABD, modo proxime dicto. Ducta deinde recta BD, inquire aream trianguli A B D, per dicta Probl. 3. Si sam trianguli aream subtrahas ab area totius sectoris ; erit quod remanet, area segmenti ABC.
Fig. L Xi, T Y his patet, quomodo invesiganda sit area gurae lenticularis, quas ςQM .i cilicet composia eis ex duob gmentis duorum circulorum, sive 3- qualium, e inaequalium, ut patet in C. II. Patetpraeterea,qua ratione inveniatur areasupersicierum, quibus vel annexum e gmentum circuli, ut patet in A ; vel demsegmentum circulare, M Zares in b. Sed de hoc iterum insequenti Problemate.
159쪽
Eguras ex variis circulorum segmentis coagmentatas , sive omneS circumferentiae extrorsum vergant, sive introrsum , sive partim introrsum & partim extrorsum, sic metieris. Arcubus subtendae chordas, &in prima ex tribus appositis figuris metire quadrilaterum ABC D, per dicta Probi. r.&α; Msingula segmenta, per dicta Problemate praecedenti: si enim haec segmenta quadrilatero adiiciantur quod omnia extrorsum fendant in constabitur area totius figurae ex quatuor arcubus E, F, G, H, composita. In secunda figura metire tetragonum, per dicta Problemate quarto, es subtrane ex ipso quatuor Gegmenta F, G, H, i, quod omnia introi sium vergant; & remanebit reliqua figura ex qua
In tertia figura adi ice trilatero A B C, segmentum A F B, e trorsurn vergens,& ex composito numero aufer duo segmenta A E C, B D C, introrsum vergentia ; & relinquetur area figurae proposita .
his pater, qua ratione quamcunque guram irregularem dimetiri debeas. II. Patetpraeterea, quomodo dimetiendi sint agriplani , habentes
rementum circuli duabus rectis , s duobus arombus comprehensium metiri.
area segmenti ABCD, compresensi duabus ri s A B, C D, di duobus arcubus A C, B D. Inveniatur, per Ie Aa Problem lex vi, seorsim area utriusque segmenti A E B, C
160쪽
ig.LXLII. IIegmentum esset compositum ex rectis,es arcubus inaequalium cire icum t M olorum, quale eis D EFG; ducantur chorda D F, EG, inquiratur separatim area quadranguli DEGF, se area segmentorum D HR EIS, ac dantur omngs areae inventaeintersi, seres stabit tota areasegmentum .positi.
O lis, ct E Utica figura aream invenire .
i.. A Ntequam Ovalis, ellipticaeque figurae dimetiendae rationem -'μ' ' λα tradamus,paucis docebimus quomodo illae describantur. Ovalis igitur figura sic describitur. Ducatur A B in determinatae quantitatis, re ad rectos angulos eam secans in E alia CD: tum centro E secentur utrimq; aequales ad lubitum intervallum E A, E B; item aequales inter se ad lubitum intervallum E F, E G:& pro libitu etiam aequales EI, E H. Ex H, dc ex I, per F, & per G, educantur,& producantur, uilubet,rectae H Κ, H L, I M. I N. Centris F & G, intervallis F A, & G B, ducan tur arcus M A L, ΚΒ N. Centris etiam H dc I, intervallis H L, vel H Κ,item I M, vel I N, ducantur arcus I Κ, dc MN; &descripta erit figura ovalis,
ita Bettinus tom. I. Apiario . Progymn. IO. Proposit. IS. apud quem vide demonstrationem. Notandum tamen ex eodem, futuram figurae varietatem
pro libitu, prout puncta F & G accipientur magis vel minus distantia tum ab A dc B, tum ab H & I. Ovalis itaque figura &ellipsis aream sie invenies. Quaere inter majorem dc minorem diametrum A B & C D mediam proportionalem ,peri, Sexti,dc ad mediae proportionalis medietatem describe circulum, ejusque aream indaga, per dicta Problemate 7 ; dc habebis aream figurae ovalis, atque ellipticae, eo quod praedictus circulus sit aequalis praedictae figurae ovali; quod sic demonstrat Cla vius lib. q. Geomet. pract. cap. S. num. J.