장음표시 사용
131쪽
est eodem prorsus modo, quo instituta fuit proxime praecedens: nempe tri atur Quotiens totus, Triplum ducitur in Radicem immediate inventam, Producto additur cubus modo inventa Radicis, Aggregatum denique subducitur a numero superiori, residuumque si quod fuerit, annotatur superius. I It in nostro exemplo, quia plures restant numerorum figurae, ex quibus Radix cubica extrahenda est; ideo instituta ulteriori operatione juxta Regulas traditas,habebis Radicem cubicam totam numeri superioris hanc, 3 2 7, manente residuo a I 'O 698. Examen. TotaRadix inventa cubicetur,cubo deinde adiiciatur numerus ex operatione residuus t hoc aggregatum si respondeat numero,eκ quo Radix extracta esst,nullus error in operatione admissus est; sin minus, iteranda operatio, ut error emendetur. Sic si in exemplo posito ducantur32 γ in se, producetur quadratumio 1 3 oo'; quod si multiplicetur per 3247, producetur cubus 3 a 33i oza 3, cui si addantur a s 8o6 98, produceturnum rus a principio propositus, nempe 3 21863O92 I.
,s superficies duplicem habet dimensionem;unam in longum, seu secundum Augit uiuem, alteram iulatum, secundum latitudinem. Quὸ si quando
sepersicies dimetiendae proponautur quae Lugum ertatum perses te ac propriesecundum communem hominum accoptiovem non babent, cujusimo sunt triangula, m figurae multia latere prius ad figuras parasielogrammas rerita uiar quae proprie babent longitudinem es latitudinem 3 revocantisiunt, ut seuo loco videbitur. Morito erro de bis primo loco tractam .
132쪽
PROBLEMA LIParallelogrammorum rectangulorum areas metiri.
T Arallelogrammum est figura plana quadrilatera, cujus bina opposita latera sunt parallela,seu aequid istantia. Euclid .lib.u Elem. Detin. 3s. Sunt autem solum quatuor parallelogrammo-xum species; Quadratum, Figura altera parte longior, seu oblongum, Rhombus, dc Rhomboides: quorum priora duo appellantur xesstangula, quod omnes angulos habeant rectos , posteriora vero duo non rectangula vocantur,quod nullus in eis angulus rectus existat. Hic inquirimus aream parallelogrammorum rectangulorum,nempe Quadrati & oblongi. Dicitur autem area cujuslibet figurae planae seu superficiei, capacitas seu spatium intra latera ipuuS contentum, ut igitur scias aream seu capacitatem in mensuris quadra, tis cu)uscunque superficiei quadrilaterae xectangulae, metire Instrumento nostro, aut certa aliqua mensura, ut pertica, aut cat nuta in perticas ac pedes geometricos di visis,duo quςcunque ejus latera circa eundem angulum rectum: Deinde duc unum latus in alterum, hoc est, multiplica unius lateris numerum per alterius lateris numerum: productum enim erit area figurae propositae inmensuris quadratis.
Sitvg. figura quadrilatera rectangula ABCD,cujus singu-- la latera contineanx quinque pedes simplices; duc latus A B in latus AD, invenies x1; habebit ergo dicta superficies is pedes quadratos, hoc est, continebit is quadratula, quorum quodlibet sit longum & latum uno pede simplici. Sit iterum superficies parallelogramma rectangula EFGH,
. cujus unum latus circa angulum rectum, nempe latus EF contineat 1 pedes simplices; alterum vero latus FG circa eundem angulum rectum contineat 3 pedes simplicesimultiplica S per 3,producentur ivi ac Proinde dicta superficies continebit is pedes quadratOS,
RArio buis reipatet ex ipsis guris appositis senim in figura EFGH, si ea E F vividatur in quinque palmos plices, ct Enea E H in tres.
133쪽
Embadometricus. o ὲ punctis dies νη- η opposita Atera ducantur lineae parastelae ; me
sinitant i 1 quadrato , qVorum unumquo ue eis longum es latum uno Dimosimplici, acproinde unumquodque est palmur quadraim; quae qui dem is quadratula explent totam aream su capacitatem gurae. Idem autem numeruT IJ resultat unum latus ducatur in alterum, hoc eis in Imisltiplicentur per 3, auis 3 multiplicentur per s. Reciὲ ergo diximus gura quadrilatera reditangulae aream inveniri ex ductu unius lateris maturum. Et hoc eis quo vult Euclides , dum lib. 2. Elem. Def. L ait, Ο-mnepars elogrammum re sangulum continera ub rectis duabus lineis, qua re tam comprehendum angulum;quia videlicet quaelibet hujusmodi duae lineae exprimunt totam parasielogrammi magnitudinem, una quidem longitudinem, ut E F, altera vero latitudinem, ut E H. Cur autem dicta duo latera debeant in se mutuo duci su intersi' multiplicari, potent adsignari haec ratiθ. Superficies, ut Mathematici sejunt, concipitur oriri exsuxu lineae. Hinc duae lineae palmares, AB C , ita pbi mutuo in ant in N, ut efficiant angulum rectam ; cr concipiatur lineam A B moveri in trasversum vers C, ita ut cum linea B C per σῖciat angulum rectam biinrelinqua Mise vestium sui , na- fletur ex tali fluxu seuperficiespalmaris quadrata. Eademsuper cies na- fetur linea B C cogitetur elevari usique a ita,ut cum AE semper constituat angulum rectum Simili igitur ratione , duae lineae E F, F G, quarum priorsit J pedum, altera 3 , moveantur dicto modo;orietumver- cies i pedum quadratorum. Atque hoc est, duci unam lineam in aliam.
Vod dixi defiguris A b CD, ct EFG H ntessio etiam se dici debes de q/ubscunque Horis adrilateris rectangulis.
SI nescia multiplicare unum latus per aliud in recta ulis Duris di-- de opposita latera Dura in In Lentosor triduc recta1 lineas, ut in duabus praecedentibus uris factum vides: si enim numeres quadratula resultantia, habebis intentum sine Arithmeti- ι. Et hoc bene notandum est iis, qui nescinni Arithmeticam.
134쪽
LUX Has equitur,quadrati aream reperiri unum ejus Lim ducatur stipsem, quandoquidem omnia sunt inter staequalia. I l. Colligitur hine, qua rationes quis pavimentum quadriisteram rectangulum lateri,insternere cupit, laterum ad id necessariorum numerum invenire possit. Si enim lateres sint quadrati, id sciet uno
lateris latere metiatur duo pavimenti latera circa eundem angulum, es deinde duos inventos numeros inse invicem ducat ; productum enim δε-bitsummam Laterum necessariorum. Si vero lateressent oblongi,metire unum pavimenti latus longitudine, or asterum latitudine lateris ; or numerum alterutrum inventum duc in alterum; es producti fimma Lbii Fummam laterum,
i. his Nil T Crumporro angob alicujus psanitieipropositaesint rectat, nec ne, ἀ- agno stipotest, tum ex ipsa'lanitie protot pa ad mensurandum proposita, tum ex planitiei ichnographia in Instrumento nostro inter mensurandum descripta. Explanitiesic. Ex uno latere sume tres pedes, aut Iasus, aut perticaF,apuncto anguiari incipiendo ex altero vero latere,incipiendo ab eodempunc Io, quatuor; sines connecti liuea rectas haec linea; continetperis,passus erticas quinque, anguim erit rectω ; sipauciores, acutin; plures, obtusiin. Ex Instrumentosic. Sume ex uno latere figurae in ipse Asriptae 3 o particulas, ex altero 4o,s necZe extrema linea recta; si haec sinea continerepartes O, angulus erit recim , s plures, obtusu ; spauciores, a Vim. Latio patet ex qγ Propos lib.pri. Elem. Euct In siccappositum si uram triane utarem A E C,
A Rei Vasati invenitur etiam s diagonalis Auratur in seipsum; di
midium enim producti dabit quadrati perficiem. Ratio desumitur ex eadem 47 Irimi Euci cum quadratum diametri quod producitur ex must sicutione diametri in si sim sit duplum quadrati laterum. Patetpratcrea ex eo , quod, ut mox dicetur,s demittas ab angulo recD in , dia nasem, perpenicutirem lineam, eamque duci in i m diagonalem producatu ara clogrammum aequale quadrato, vel duplum trian-risti ob lituti ex diagonali se lateribuου adrati , ut considerantipatet , o e primo Euci lib. dcmonstratur, declaraturque ex VIosia figura.
135쪽
PArallelogramma non rectangula sunt, Rhombus, & Rhom-boides. Rhombus habetoninia quatuorlatera aequalia,&angulos oppositos tantum aequales, sed nullum rectum. Rhomboides habet&angulos Oppositos, relatera opposita tantum aequa- lia, at nullum angulum rectum. Rhombi dc Rhomboidis eadem est dimensio, idque ope pa- Fig.XLIX. rallelogrammi rectanguli,sic. Sit dimetienda superficies Rhom ις-icy bi oc Rhomboidjs ABCD. A latero A B, in latus C D, demittatur perpendicularis A E: inquiratur magnitudo seu longitudo tam lineae A E, quam lineae C D : una ducatur in alteram, d productum dabit capacitatem xoxim areae, bi aut Rhomboidis AB CD, primi, μ ηυμ perealem basia Rase inter easdemparallelas A B, C D; ergo M. SI Arithmeticam multiplicationem nonsitas, divide latus AB OE Ritem latus A EO BF, in suasparticulas, se duc rectia , ut habeas quadratula ; σ numeratis quadratulis habebis intent m. Hoc autem si eripoten in ipso Pantometro iis ejus chartam projecta eis iura ex mensi ratione in campo facta. αII. Si ex dimensione laterum alicujusuperficiei quadrilaterae non rectangulae deprehenderis, aut omnia quatuor latera esse aequalia, aut duo quaelibet opposita; se praeterea depreheuderis oppositos angulos esse aequales ; scis guram istam esse aut rhombum, aut rhomboidem. AEqualitatem porro angulorum oppostorum deprehendes vel exi aptanitie mensurata, velex ichnographia i m in Instrumento descripta ,sic. ExaΜ-
136쪽
gulis opposi lis Bes C, A OD, numera in utroque latere aquales es pares
numero partes, se extrema connecte lineis rerilis ; quae si aequale uerint, anguli erunt aequales. Colligitur ex Proposit. 28. lib. 3. Elem. Euch undemonstratur,qu)din aequalibus circulis quales recte lineς aequales peripherias auferunt. Schema non pono, quia res clara est. III. Perpendicularem A E, in Instrumento quidem inόenies vel spe duodecimae Primi, vel ope normae, applicando unum ejus latuspuncto A, alteram recta C D. In planitie vero proposita invenies eam ope Instru- menti nostri c. Colloca Instrumentum in Atere C D, ita ut latus dioptricum Euadrati sit semperparallatum dicro lateri CD ; se tam diu moveversus Ces D Instrumentum in diecto latere Aonecper diviras Regulae in uadrato πersatili videas ex eodem loco , nempe ex E, tam pune fum Aper unam visionem, quampunctum D , aut C per aliam ; sic enim angulus E congruet angulo Instrumenti, qui recisus e LI. Aliter vero in planitie invenios Oiangulo A affigas chordam, lateri opposito applices unum latus normae, eamque tam diu huc illuc moveas, donec alterum latus chordae extensae congruat ad amussim o exactissime IV. Si deprehenderis in quadrilatera planitie, bina o bina latera opposita esse aequalia , certissimositas illa eadem esseparallata , se figuramese pararie logrammum, per Schol. l. Clavii trigesimae quartae Primi Eucl. V. Remanent figurae quadrilaterae, quae nonsunt parallelogramma, sed traperia;at quia eorum dimensio non potestsemper commodes eri,nisi resolvantur in triangula , de his primo agendum erit. Possunt etiam Rhombi sRhomboides resolvi in triangula c mensurari ut latebit cμm trapeziis
TR ian uiam omne aut rectangulum est , aut obliquangulun Utrorumque a re a multis modis inveniri potest: tradam primo Regulam unicam pro solis rectangulis, deinde binas proo mnibus triangulis in universum.
Regula pro 'Triangulis rectangulis.
Etire duo latera circa angulum redium, dc duc unum in alterum, dabitque producti lemissis aream quaesitam. Vel duc semisi dim unius lateris in totum latus alterum, α totum produ-
139쪽
Esto triangu lum A B C, cujus latera A B, B C, rectum angv. Fig. Llum ambiant, sitque latus ΑΒ ri, B C s pedum geometricorum Vii, simplicium: duc unum latus in alterum, & prodibunt sy pedes quadrati; quorum se nidis,nempe 27 . dant aream trianguli. Vel, duc semissem lateris A B, in latus B C; aut semissem lateris B C in latus AB; pro v niznt T, vel 27I.
I Elpersice quadrangulum, ut factum vides; divide titera opposu mu aequales partes; duc rectas , numera quadratisia; se horum medietasiabit tibi aream quaesitam. Hrius operationis evidentia manifesta esI, sparasielogrammum A B C D perficiatur: nam se latu A B ducatur in latin B C,pro-niet areae totius parasielogrammi ABCD, perdicZa Probi. I. quod cum diameter A C bifaria cet, per 34. primi,aut cum sit duplum triangu- si habeniis eandem basim se altitudinem, per quadragesimam primam Primi; ργitur trianguli A B C aream esse dimidium areaeparaΩ-loc ammi ABC D. Est etiam parallelogrammum ex alterutro latere dimidio, alteroque integro descriptum, triangulo rectangulo aequale , per Schol. Clavii quadragesimae prima primi Euclid.
gula Prima generalis pro omnibus triangulis.
' IIae sunt generales Regii ad omnium triangulorum,etiam L rectangulorum, areas inveniendas. Prima sic se habet. De mitte ex quocunque angulo perpendicularem in latus oppositum, etiam protractum, si opus fuerit quanquam ut ex maximo angulo demittatur, sive ex angulo majori lateri opposito, consulistius est; quia tunc cadit semper intra triangulum,nec opus est latus producere,) dc quot pedum geometricorum simplicium sit, explora: Habitam perpendicularem duc in semissem lateris in quod cadit; aut contra duo latus illud in semidem perpendicularis , & erit quod provenit, area trianguli. Eandem aream invenies, si perpendicularem duXeris in totum latus, in quod cadit, &producti dimidium sumpseris.
140쪽
LI- Esto triangulum ABC quodcunque, cujus latus B C, in quod cadit perpendicularis, sit Ι4 pedum, perpendicularis v. g. s. Duc 8 in 14, producuntur ut, cu)us dimidium, in , est area trianguli. Vel, duc 8 in 7, vel i4 in q, x provenient 1 6, pro area totius trianguli,
TE0erfice quadrangulum AD CE, divide bifariam in duo quadran. V gula, ct accipe medieta miro area quaesita.
Fas dii perpendicularis in latuu in quod cadit, producitur parallio. grammum, habens eandem ι isim cum triangulo, or intra easdem ρε-rallelas cum Vse, μέ ex Privatet: Sed hujmparallelogrammi dimidisi ea man rutum, perquadragesimam primam Primi 1, ergo. Ex ductumero ejusedem perpendimuris in dimidium lateris , gignitur parallelo rammum aequale triangulo, per schol. ejusdem Ai . Primi. Exd risu denique dimidiaperpericularis in totum latus,oriturparasielogram mum aequale triangulo, per schol. Cla vii ad primam Sexti. Haec eadem tria domonstrax Clavius lib. 7. Geomet, pract, PropOLI,
PErpendicularis, tam in Infrumento, quam in proposita se mensiurat/planitie, reperitur modo dicto Annot., Problematispraecedentis. Maenitudo ejusdem perpenicularis in mensura laterum trianguli reperiturium mechanice, tum geometrice. Mechanice in Infrumento, Eintercepta,perpendicularis circino applicetur lineae Cur seris divise, ovideatu quoi particulae ipsi resondeant. In planitie vero . vel per perticam , chordam, catenulam sec. velper dimensionem. uomodo reperiatur geometrice, docet Clavim Propos '. Triari. rec ilin. , bb. i. Geometr. pract. cap. 3. num. 9. O bb. 4. cap. a. num a. O ab assim.
AD vitanda fractiones in multiplicatione serpendicularis per latin, itaprocedere potes. Si numerus lateris eis par, perpendicularis im Im accipe semissem titeris: si numerin titeris eu impar,perpendicularis I m