장음표시 사용
141쪽
par; accipesemissem perpendicularis stam Ateris, quam perpendicu oris numerus est impari, duc unum in asterum, sproducti ac gestemissem.
Remia Secunda generalis pro omnibus triangulis.
Λ Ltera generalis Regula sic se habet. Primo, Collige omniacis tria latera trianguli in unam summam: deinde divide totam summam in duas aequales partes, &ex semisse summae subtrahe singula latera, ut habeas tres disterentias inter illam semissem relatera singula: postremo multiplica inter se mutuo tres has differentias dc semissem summae; ultimi enim producti numeri radix quadrata dabie aream trianguli quaesitam. Sit v. g. triangulum aliquod, cujus latera sintio, ii, & i 4; eritque summa ex illis collecta 36 , & semissis siummae 18 ditarentia: autem inter hanc se . missem & latera, erunt 8,s, & . Hae differentiae & semissis summae inter se multiplicatae faciunt 3 ys: nam i 8 ducta in 8, producunt r* , haec ducta in s. producunt 864; haec denique ducta in Α, producunt 34ss. cujus numeri quadrata radix 18 A erit area dicti trianguli. Demonstrationem vide apud Clavi. lib. Geo
A Zias Regulas lubens volem omitto, quoniam quidquiddisrumento nostro per ipsas seri potes4per has quoque olaspraestatur.
a Verbiorum areas iuvenire. Rapezia appelIantur omnes figurae quadrifaterae non paras, A telogrammae, id est, quae non habent bina & bina latera opposita parallela, sicuti habent Quadratum, oblongum , Rhombus,& Rhomboides. Possunt autemTrapena habere varias formas, tum ratione angulorum , tum ratione Iaterum. Posunt enim habere vel unum tantum angulum rectum,vel duos, vel nul- Ium ; sed vel unum tantum obtusum, alios acutos; vel duos obtu-IOS, dc alios acutos. Item, possunt habere vel duo tantum latera parallela , vel nulla, praeterea vel aliqua in ter se aequalia , vel nulla Ac. Ad inveniendam Trapeziorum aream trademus duas Re-- gulas
142쪽
gulas, unam communem omnibus, alteram propriam illis quae habent latera duo parallela.
Regula pro omnibus Trape Ziis.
Pist. LII. TRapeZiorum quorumcunque area reperitnr, si ducta diame- Icon. VIII. 1 tro dividatur quadrangulum in duo triangula, ec utriusque capacitas inquiratur per dicta Problemate Ill. praecedente; nam summa utriusque dat aream totius trapeZii, ut patet in figura
DEmon ratio ea eadem cum illa, quam adduximus Probi 3. Did-ier poteu duci se mensurari in ipsa planitie admensurandumpropo- vel in Instrumentopou deseriptamplanitiei ichnographiam.
Regula pro Trapeziis habentibus duo latera parallela.
yig. LIV. CI duo opposita trapezii latera sunt parallela, ut in trapezio A B βψο- Vixi o C D sunt latera A D, BC, inveniri potest area, si perpendicularis A E inter duo latera parallela ducatur, &. multiplicetur in semissem summae ex lateribus parallelis conflatae.
N apedo AB CD ducatur Diameter AC, se dividatu gura indua1iriangula A B D, A D C. Producatur deinde latus A D, trianguli ADC, ab angulo C demittatur in latus A D productum perpendicuiaris C F in latus vero B C demittatur ab angulo A perpendiculcris A E, quae t CF aequalis erit, eo quod A E C F parallelogrammum sit ex constructione,& per Schol. secundum 3 M. primi. suoniam igitur, ex demonstratis Probl. 3, area tam trianguli ABC, quam trianguli AD C, invenitur ex perpendiculari A E vel C F ipsi aequali) multiplicata persemissem laterum B C, se A D; etiam area totius trapetii ABC D invenietur exper
143쪽
Parpendicularis porro, tam in Instrumento,quam in ipsa planitie mensurata, invenitur modo dicto supra Probi. r. Annot. 3. Diameter etiam invenitur vel ex disrumento, vel mensurando ipsem in planitie
II. Ac multiplicare nescit,constituat ex perpendicularis emisse titerum parasielorum quadrilaterum parasielogrammum,ductisue parallelis consitu at quadrat uti. Vel ex perpendiculari se utroque similatere seors Apto con intust duo parallelogramma factis quadratuluaccipiat iborum summ zm.
Figurra musi ilateras ordinams,sive regulares , dimetira.
MUlti laterae figurae ordinatae ac regulares sunt figurae planae, pluribus quam quatuor constantes lateribus,habentes &omnia latera aequalia, dc omnes angulos aequales; cu)usmodi sunt pentagonum, hexagonum, heptagonum, octagonum S.C. Harum areae duplici ratione inveniri possunt. Primo, si re- Fih.Liv.&solvantur in triangula, ut de trapeZiis diximus, &. singulorum tri- LV. Icorticangulorum areae investigentur modo dicto Probl. 3. Secundo, si 'III multiplicetur semissis summae laterum omnium in perpendicu larem ex centro figurae in quodcunque latus demissam ; numerus enim productus erit area figurae. Eandem aream dat sernissis producti ex ductu perpendicularis in sumnaam omnium laterum. Inspice figuram LIV. &. LV. lconismi Vlli.
Entra porro figurae ordinatae imparium citerum ess in communis- sectione linearum ex angulis ad latera opposita perpendiculariter δε-ctarum. Sic centrum Hurae pentagona ABCDE eis in G, ubi concurrunt lineae D G, C G, E G, ctc. ex anguos adlate perpendiculariter δε-cta. Centrum vero figurae orivata Parium laterum en in communi θ-N ctione
144쪽
mone linearum ex angulis adangulios oppositosductarum, ut patet in sim xagono ABCDEF Iconismi VIII
, o area cujuscunquepostgonio in ti, Ggurae multi laterae rein gularis, habeatur,sire matur in triangula , se horum areae inusia gentur; patet ex dictis Probl. 3. Luo vero eadem area sit aequalis producto ex emisse ummae laterum imperpenicularem ex centro Murae in latus quodcunque ductam; patet in utraq; citata Agura ex tristetulis AGBrnam in utraque, area trianguli AGB creatur ex aevo perpendicularis in semissem lateris A B, per demonstrata Problemate terito. Ergo in pentagono, quinque triangulorum areae creantur ex ductu perpendicularis G I, in quinque semisses laterrem; in sexagoNo vero , ex trIangulorum areae crean r ex dism perpendicularis G H in sexstemisses laterum. Ergo sec. Hinc etiam patet ratio, cursemissis producti ex duci perpendicularis inseummam omnium Laterum, det aream canuude gurarum.
Super scies polygonas irregulares dimetiri
Uperficies seu figurae polygonae multa latera vc: irregulares Osint, quae plura habent latera quam quatuor, no tamen omnia aequalia, sed vel aliqua tantum, vel nulla: Has autem figuras sic metieris. LVi Resolve superficiem pΘlygonaim irregularem proposita miluoni VIIJ. in triangula, ut vides sectum n apposit a figura; & singulorum trianguliorum areas indaga, per dxaeta Probi 3 , dabuntque omniumitii angulorum areae arcam totius si perficiei multilaterae.
Demonstratio hujus praxis pater ex dictis Problem. tertior.
et o titur quaelibet' mest Latera superficies irregularis in tot triangu la, quotcipsa habet avulos, duobuου demptis. Nam ex quolibet angu lo adreliquos,exceptis duobus proximis, possunt duci lineaeo ut ex V 'ostiasigura pate . t l.. Sil
145쪽
Embadometricus. II. Si figura aliqua postras irre Maris admensiurandum ops ira, novotistrosi vim triariuis, coquo intra i am non possunt ducili rectae, ut accidis aliquando in campis propter arbores, paludes resolvatur gora , charta Instrumenti desicripta, es indagentur trian
d 1 I. Agrimensores,inquit Clavius lib. . Geomet.pracr. c. q. n. 3. ne cogantur totum campum6'Vsperambulare, utperpendiculares iureiangulis ducant; hanc ineunt rationem. In agro sive in figura in charia Instrumenti descriptaὰ constituunt quampossunt maximum rectangu- -=L ' i euo Numin iv x QV - 'U' 'IV, 7 v. ' lauro, io uini mitti; quo faciunt , applicando unum norma latus ad latus rectanguli formati, c aliud dirigendo ad angatumsigurae oppositum: ita namque tota figura resemitur in rectangulum iLud constitutum, se in traper aduorum laterum parasielorum, o in triangula rectangula. Deindemetiuntur aream rectanguli, per dicta Probi. Hi triangula vero rectaneuta ter dicta Probi 3; se traperia, per i Probi. q. horum enim omnium areae in unum collicta consciunt arcam to ius campi L bice appositam Auram. I V. Si in circui campi erit portio aliqua curva secanda ea erit in tot partes, donec a rectis sine parum i erant, eaeque o lateribus x vitas assumenaeae. Idemsierito in ly sigura in Instrumento deseripta.
circulorum arrata invenit , coguita diametrou circumferenna.
Rchimedesti e Dimens circuli Propos . I. demonstrat a Iream circuli esse aequalem areae trianguli rectanguli cu lnum latus circa rectum angulum sit aequale semidia te ii
3',ali rum Vero perimetro seu circumferenti e usdem circuli IIe
si dato quotamque circulo accipia S semidiametrum
ciem circuli, & has duas lineas componas ad angulum rei nim
146쪽
lis rectangulis in essicias triangulum rectangulum, ejusque aream investiges )uxta dicta Probi. 3; habebis aream circuli dati.
HInsequi urprimo, aream circuli produci etiam ex multiplicatione Semidiametrii emissem peripheriae; velex ducta totius peripheriae insemissem semidiametri ; vel denique ex ductu totius diametri in quam tam partem peripheriae. Eario patet ex Probl. 3. citato. Pro de B aatem,nuxc uno, nunc altero ex Hrisu modis uti, ad vitanda racyrones in operationibus erithmeticis, dum nimirum partibus integris adhaerent non integra, nempe , Τ, , unius pedis seo. Potest etiam diameter duci in peripheriam, & producti pars quarta sumi; vel inferni peripheriam, di producti semissis acci pr.
Se Semicirculi, G ssu drantis dimensione.
SEquiturpraeterea areς emicirculi produci exstemidiametro in quar tam partem circumferentia: Item aream uadrantis circuliprocre mi ex semidiametro in octavampartem circumferenziae: oe aream octava partas circuli exsemidiametro ins tam decimam partem circumferentia; sic deinceps.
ora difficultin consi iti in linea peripheriae circuli aquasi invenienda; seu in invenienda proportione inter diametrum se cireumferentium circuli: quae quidemsi habeatur 'abebitur etiam quadratura circu- P, eujus in vestrigatio adeo torsit hactenm multorum ingenia ed frustra. tarchimedes libro citato Proposue demonstrat, cujmlibet circuli peripheriam esse iripiam diametri, oe a borsuperare parte, quae quidem minor sit decem septuagesimis diametri, major vero decem septuagesimisprimis .iu dem diametri Cum igitur tplus quam ; sequitur,
circumferentiam circuli continere diametrum ter, or minus quam unam septimam iametri plus vero quam unam octavam e iisdem : atque adeo meram proportionem circumferentiae ad diametrum consistere inter tri
plum si quei 0mom, riplam sesquioctivam. Itaque proportio perimetri seu circumserentiae circuli ad diametrum est minor quam pro ad po, sive Dad γι major vero quam
147쪽
quλm 113 ad 73. Data igitur diametro circuli, v g 2g partium, si
dicas, ro dant GO, seu J dant zz,qujd dant 28 reperies numerum paulo majorem perimetro,nempe 88: nam proportio 88 ad 18 est tripla sesqui septima, eadem videlicet quae zzo ad Io: seu 22 ad γ: proportio autem circumferentiae ad diametrum est minor quam tripla sesqui septima, ut dicebam. Si vero dicas, 21 dant 123, quid dant 28: reperies numerum paulo minorem perimetro, nempe nam proportio 87 ad a8 est tripla superdecu partiens se-Dtuagesimas primas, nimirum eadem quae 2 23 ad 28; proportio autem Circumferentiae ad diametrum masor est quam tripla superde cupartiens septuagesimaS primas. E contrario vero , data circumferentia cujuscunque circuli, V. g. 88 partium, si fiat, ut 11 oad o, seu 11 ad 7, ita 88 ad aliud , proveniet numerus 28, minor vera diametro: nam cum circumferentia ad diametrum habeat minorem proportionem quam tripIam sesqui septimam, hoc est, quam 2 et ad 7; habebit quoque circumferentia data 8ῆ adstiam diametrum proportionem minor zm, quam ad 28; atqne idcirco diameter circumferentiae 88, major erit, quam 28. Si vero fiat, ut ii 3 ad 71, ita 88 ad aliud; dabit productus numerus 18 fit, diam
trum vera maJorem. nam cum circumferentia ad diametrum habeat majorem proportionem, quam triplam superdecia partientem septuagesimas primas, hoc est, majorem quam 223 ad 7i; habebit quoque data circumferentia 88 ad suam diametrum proportionem majorem, quam ad 28 γ, ac proinde diameter ci cum ferentiae 8 8 minor erit quam 28 iEx quibus patet, diametrum circuli ad circumferentiam non esse praecise ut Tadad; nec circumferentiam ad diametrum utra ad 7. Communiter tamen inter Math maticos, tam veteres, quam modernos , adhibetur praedicta proportio, ad vitandas fractiones. Subtilior tamen est ratio seu proportio illa, quam invenit Ptolemaeus lib. 6. Almag. 6c adhuc subtilior illa,quam invenit Vieta; subtilissima vero,licet non unde quaque vera, quam re perit Ludolphus Collen, & examinavit, approbavitque Christ phorus Griten bergerus. Sunt autem sequentes.
148쪽
QVi Regulum Trium non callit, utaturpraxi tradenda inferius Libraio. Pari I. Cap. et Probi F. ubi dum agimus de usu linearum polyme- irarum in Arithmeticis operationibus, eam tradimus.
Data circumferentia circuli, reperire Hametrumta.
CX dictis praecedenti Problemate constat, ut area circuli repe-x riatur, necesse esse, tam ejus diametrum, quam circumferentiam esse cognitam. Quare trademus nonnulla Problemata seu Regulas, per quas tam eX data diametro circumferentia, quam ex data circumferentia diameter cognosci posti tum mador, tum minor, tum media. Sit igitur data circumferentia 88. v. g. Fiat, ut DO ad 7O,seu ad γ, hoc est, ut 3'8, seu 3 ad I )ita data circumferenita 88 ad aliud: hoc est,duc seu multiplica datam circumferentiam 88 per γ,& summam productam divide perar; & prodibit in Quotiente diameter paulo minor justo. Fiat iterum, ut a 23 ad 7s, hoc est, ut 3 - adi, ita 88 ad aliud: hoc est, duc 88 in 7l, & summam divide per ar3, dc prodibit in Ouotiente diameter paulo major justo. Mediam ergo ex duabus inventis diametris eligito, &. habebis vero similiorem. Vel, fac ut 314 ad ioo, ita 8S ad aliud; hoc est, duc circumferentiam datam in ioo , & summam divide per 3ι , α unico actu invenies mediam, seu proximὸ veram diametrum.
149쪽
I regati communis esZ omnibus cis sis. Carterum pro Geometriae pran ea aliqhi hanc aliam ad nant Regulam. Maltiplica circumferentiumcujuscunque circubi per 3, i , 8 ; dabitqueproductum,e Udem cirrufidiametrum. Exempligratia. Sit circuluου , cujuου circumferentia si 180, 8 , , , et ' decempedo In hanc circumferentiam ducito 3I', 8 ' . presententque pro diametro hujus circuli 1ς, 'I',3 , 6' , hoc est, quinque decempedae integra, novem prima, cum nove ecundis; r liquarum vero sartium non habetur ratio , praesertim in dimensionibus
Data diametro circuli, reperire circum
rentiara . Sst data diameter 18 v. g. Fiatu troad 22o aeur ad 12, hoc est,uci ad seu ad 3D ita data diameter r8 ad aliud: hoc est, duc diametrum 18 per a r,& summam divide per 7,fietque circumferentiam orjusta. Rursus ergo fiat, ut Tiad 223 hoc est, ut 1 ad si ' ita diameteret 8 ad aliud; hoc est, duc diametrum et 8 perra 3 resummam divide per Ia, & fiet circumferentia minor justa. Mediam ergo ex duabus inventis circumferentiis eligito. Vel unico actu duc diametrum per i , & summam divide perio O,& habebis circumferentiam mediam, seu verisimiliorem. Vaec etiam regula communis eu pro omni circulorum genere. Pro' Geometria vero practica aliqui hanc adsignant Retulam. t Multiplicadiametrum c0 unque cireusiper 3', P, ',2 , , productum dabis ejus eircumferentiam. Ex. gr. circulin, cujud diametersit 6 decempedarum, multiplicato per 3R,ύ , ' ,Σ provenientque pro circumferentia talis cireuli 180, 7, . et 'silicet octodecim decempedae,octo pedes, cum c Σ' unim decempedae.
Data sola diametro circuli, reperire ejus area V.
150쪽
dum, quomodo eadem invenienda, vel ex sola diametro, vel ex sola circumferentia cognita. Primum in hoc, alterum in sequenti praestabimus Problemate. Clavius lib. . Geomet. prael. Cap. 7. Propos. 1. demonstrat, proportionem quadrati ex diametro cujuslibet circuli descripti ad circuli aream, majorem esse quam Io ad H, minorem autem quam 28 ad 223. Data igitur diametro cujuscunque circuli, si fiat, ut i ad ii, ita quadratum datae diametri ad aliud; hoc est, si data diameter ducatur in seipsam I ut habeatur ejus quadratum & productum multiplicetur per ii, factumque dividatur per I ; dabit productus in Quotiente numerus aream circuli vera majorem. Si vero fiat, ut 28 ad a z3, ita quadratum datae diametri ad aliud; hoc est, si data diameter multiplicetur per seipsam, dc summa producta multiplicetur per a 23, totumque productum dividatur per 284; dabit
numerus procrsatus in Quotiente aream circuli vera minorem.
Eligito igitur mediam inter utramque, & habebis proxime vera circuli aream,
ALis in Geometrico negotio hunc praestribunt Regulam. Multiplicetur quadratum diametri per γ', 8 dabitque productum ipsam circulis e ciem. Ex. gr. Detur circuisu, sub diameter contineat Α . 8'; quadratum hujus diametri faciet 2 30, o , 4 , quod multiplicatum Iers da ro areapropositi circuli 180, o , 8' ,6 ', 4I V. Nolunt hi,praecisus adhuc haberi posse dictam aream, si quadratum diametri multipliceturper T A ,S 4. ,3
Data sola periphema circuli, invenire ouae aream
CLavius loco proxime citato Propos. 3. demonstrat, proportionem quadrati a circumferentia circuli cUjulvis descripti, adcumuli aream, ma)orem elle quam 892 ad Ti, minorem autem
Data igitur circumferentia circuli , H IJat ut 892 ad Ti, Ha Quadratum datae circumferentiae ad aliud ; hoc quadratumo datae