장음표시 사용
121쪽
mero Integrorum addi debent tot cyphtae, quot virguIas habet supra se numerus partium,qui primus est a deXigra in serie partist. Exempli gratia,si ab 8I ntegris subtrahenda siunt 1 Prima, addi de bet ad 8 una cyphra: si et Prima,& 3 Secunda; addi debent duae cyphrae; si a Prima , 3 Secianda, ψ Tertia; addi debent ad 8 tres cyphrae. Sic ergo stabunt sequentia Exempla.
RAtio hujus rei est, quia ut Prima subtrahantur ab Integris, item Secunda & Tertia ab Integris; debent Integra converti in Prima, Secunda,Tertia&c. quo a fit per additionem cyphrarum modo praedicto: & hoc ideo, quia multiplicatio sit per io. Eodem modo si a Primis subtrahenda suntSecunda,autTertia; addi debent Primis, una, aut duae cyphrae,&operatio institui, ut dictum. Quando vero subtrahendi sunt numeri quadrati a numeris quadratis, scilicet partes ab integris, aut partes plurium virgularum a partibus pauciorum virgularum; tunc loco unius cyphrae addi debent duae, & loco duarum quatuor, & loco trium sex &C. verbi grati, subtrahenda sint E Prima quadrata ab 8 integris quadratis; aut et Prima, dc 3 Secunda quadrata ab 8 Integris&c. debent stare exempla, ut sequitur. Primum Secundum Tertinm
122쪽
R Atio vero hujus rei est, quia unum Integrum quadratum aequivalet ioo Primis quadratis,&IOoo O Secundis quadratis,& io oo oo Tertiis quadratis; quae quidem aequivalentia habetur per additionem cyphrarum modo dicto. Eodem modo si a Primis quadratis subtrahi debent Secunda quadrata, aut Tertia &c. addi debent ad Prima duae, aut quatuor cyphrae; idque ob eandem rationem jam dictam.
cessaria, & in omnibus operationibus adhibenda; ideoque valde familiarem sibi reddat ipsam Geometra necesse est. Sciendum autem est, ac betae notandum, quando multipli. cantur inter se numeri simplices, seu significan tes mensuras simplices, produci numeros quadratos, seu significantes mensuras quadratas G ut si 4 Decempedae simplices multiplicentur per 3 Decempedas simplices, producuntur ir decem pedae quadratae. Quid porro producatur, dum multiplicantur perticae per pedes, ec pedeS per uncias, aut perticae & pedes per pedes &c. alii multis docent Regulis; nos qui divisione denaria integrorum,
Primorum, Secundorum &.c. utimur, nulla peculiari Regula indigemus, nisi sequente Unica, quae universalis est pro omnibus mensura rurn speciebus, supposita praedicta denaria divisione. Pro Multiplicatione Numerorum Geometricorum Simplicium de quibus solum hic agimus )haec duo observabis. Primo, scribe multiplicatorem sub multiplicando, prout fieri solet in vulgata multiplicatione; deinde Operationem institue eo penitus modo , quo fieri solet in eadem multiplicatione vulgari, nulla omnino adhuc habita ratione Primorum, Secundorum 6cc. ac si omnes numeri essent integri, aut Omnes uniuscujuscunque speciei, V. g. Prima, Sectanda b C. Secundo, peracta operatione, ac descripto infra lineam to .
tali producto, vide quot virgulis signata sit de vera figura tam
123쪽
Multiplicandi, quam Multiplicatoris; & totidem Virgulis, quor in utraq; figura reperies, signabis dextimam figuram totalis pro ducti, reliquas vero ejusdem producti figuras versus sinistram notata una semper virgubianinus. Sed in eXemplis res clarius appare- 'bit,
Sint igitur multiplicandae 3 Decempedae,& et Prima, per tDecempedas, & Prima. Scribe numeros sub se invicem, ut vides in primo Exemplo, & duc vulgari modo a in 32; producen-PUM RIPtur 768. Quia igitur duae dextimae figurae,nemper,&4 quae sunt 'dextimae figurae Multiplicandi & Multiplicatoris 2 habent singu 'lae unam virgulam; notabis supra 8, quae est dextima figura pro. 'duchi, duas virgulas, hoc est, denominationem Secundorum sed φ quadratorum O at supra proxime sequentem figuram, 6, notabis is su nam virgulam, seu signum primorum i& supra, γ, notabis cy- 64phram, seu signum I ntegrorum sed quadratorum.) Si igitur de tur superficies quadrilatera rectangula, cujus unum latus sit lon- 79.6 8 gum 3 decempedas, & zPrima, hoc est, 32 pedes simplices; alterum vero latus sit latum 2 decempedas, & Prima, id est, 14 pedes simplices; continebit tota area seu capacitas ipsius 7 decempedas quadratas, 6 Prima, & 8 Secunda quadrata. Sed haec melius intelligentur ex dicendis infra in Problematis.
Sint iterum multipIicandae 6, 3, , per η, et, hoc est, sex de- Secundu oeempedae, tria prima, quatuor secunda, per quatuor decempe das, & duo secunda. Scribe numeros ut vides in secundo Exem-6, 3- q.
plo, operare ut in praecedenti Exemplo,&producentur ris,s,2, 8. Α- λ Ubi vides, dextimam figuram producti, nempe 8, esse signatam V signo Tertiorum, quia duae dextimae figurae supra lineam ha seni '' simul tres virgulas. λ F 3 o Sint denique multiplicandae 3 Decempedae,& Prima, per
i Prima: stabit Exemplum, ut vides in margine, dabitque produ- 2 6. 6. 2.8
ctum 5, 8. In hoc ExempIo videtur productum esse minus quam Multiplicandus numerus,clim in hoc sin t Integra, in illo minime; non tamen ita res se habet,quia in producto sunt Prima δ Secun-
124쪽
Ratio vero praedicti modi operandi est, quod propter denariam Decempedae divisionem ac subdivisionem hac ratione idepraestatur, ac si Integra Multiplicandi ac Multiplicatoris resolverentur in partes; & partes majores in partes minores, ac deinde productum divideretur, ut fieri solet per aliorum Regulam multiplicandi, prout consideranti patebit.
De Divissione Numerorum Geometri orum.
IN Divisione Numerorum Geometricorum,dividenduS numerus significat superficies , seu numeros significantes mensuras quadratas; Divisor significat unum latus superficiei illius, quam exprimit numerus dividendus; Quotiens denique proveniens significat alterum latus ejusdem superficiei. Verbi gratia,sint propositae 14 Decempedae dividendae per 3 Decempedas; sensus est, quod sit luperficies aliqua continens 24 Decempedas quadratas lia sua area, dc habens in latitudine 3 Decempedas simplices, quaeritur igitur alterum latus quot decempedarum simplicium sit in
longitudine cPossunt dividi numeri ejusdem speciei, id est, significantes
vel sola integra, vel sola Prima, vel sola Secunda &C. Possunt etiam dividi numeri diversarum specierum, ut integra, Prima, ec Secunda dc C. Divisor praeterea potest significare res ejusderni peciei, & res diversarum specier Um. In omni porro divisione proceditur ut in divisione vulgari, observando solum duo. Primum est, Quando praevidetur fore, ut peracta divisione remaneat alj quod residuum , adeoque occurrat aliqua fractio; adjungantur Dividendo numero duae,aut treS cyphrae cum notis partium convenientium; ut si Dividenda sint integra, proxime sequens cyphra significet Prima, altera vero cyphra significet Secunda. Hoc autem ideo fit, ut numerus Dividendus reducatur ad numerum sigmficantem minores partes, saltem Secunda: si enim habentur Secunda, fatis praecisa & exacta erit divisio, etiamsi remaneant Tertia dc Quarta; quia haec Ordinarie sunt tam
exigua, ut sine errore possint negligi.
125쪽
eundum est, uiperacta divisione modo communi, videatur quot virgulis signata sit dextima figura tam Divisoris, qu1m Dividendi; ac deinde minor numerus virgularum subtrahatur 1 ma ori; & denique tot virgulis signetur dextima figura Quotientis, quoipost fas tam subtrassti γnem remanserunt, siequentes vero figurae post dextimam signentur semper una virgulaminiis Sine dividenda 1 . 8'. 4 ', per 8 . Collocentur numeri, ut vi- ades hic, & fiat divisio more ordinario; dabitque Quotiens L . 3'. Nam cum Divisor 8'. signetur tantum una virgula, dextima au- s.stem figura Dividendi tribus: si unam subtrahas a tribus,remanebuntduae, quae poni debentsupra 3 dextimam Quoti, dc supra sequentem numerum 2 debet poni una. Quod si eundem numerum I . 8'. ς'. dividas per ,8 , prove
Si vero hunc numerum 10. 8 dividas per8 provenient in QuotientesiIntegra. 10. 8 . 4 Δl denique dividasi'. 8'. 'per 8'ιprovenient in Quotiente' gur
Sint dividenda 80. ς, pers .Quoniam facta divisione nume- k δ' ri 8 per ', remanent 3 ; addatur ad 8Α una cyphra,& remanebunt, facta prima divisione,3R : quoniam vero facta secunda di visione remanent iterum 3 , addatur altera Cyphra, & remane- 'bunt 3 ; quae fere negligi possunt: si tamen vis exactiorem divisionem, addere pote xis yures cyphras. ψε ιν uEx his patet, tum potissimum adjungendas esse cyphras ad s. . o. . Dividendum, quando Divisor continet plures figuras, aut quo- si ' 'modocunque major est,quam Dividendus; quod contingere po. '' Dii rest, si Dividendus significat Iotegra, Divisor partes.
De Extractione Radicis quadrata.
ID Adicis quadratae extractio aliquando, licet rarius, necessaria 3- est indimensionibus superficierum, seu in areis, capacitatibusve earundem indagandis. Quare de illa hoc loco brevissimδλgendum, nc Tyro extra hunc Librum, quod necessarium est ad L Pra-
126쪽
Practicam Geometriam, quaerere cogatur. Clarius tamen atque distinctius eandem Regulam trademus in Arithmetica. Numerus quadratus est, qui resultat exaIiquo numero in seipsum ducto; quales sunt numeri secundae columnaem apposita tabella. Numerus autem ille, ex cu)us in se multiplica tione producitur numeruS quadratuS, appellatur latus sive radix quadrati , aut radix quadrata, &ab Arabibus Zensus, ab Italis cos a. Extrahere igitur, sive invenire radicem quadratam, aut latus quadrati alicujus numeri, est, numerum indagare& in venire, qui in seductus ericiat propolitum numerum, si qua dratus est; vel si non est quadratus, maximum numerum quadratum in ipso contentum. Ad extrahendam igitur inveniendamve propositi numeri radicem quadratam, sic operare. Primo. Colloca numerum
propositum, ut in divisione fieri solet, &sub prima figura versus dexteram pone punctum, & praetermissa una figura pone aliud punctum sub tertia, rursusque una praeterm jssa aliud sub quinta, di sic deinceps, & scias quod in quoto, sive in Radice tot figurae debeant esse, quot sunt puncta. Secundo: Incipe operationem ab ultimo ad sinistram plano icto,& vide ex tabula apposita )an numerus illo puncto inclusius usque ad finem sit quadratus;& si non est quadratus, vide quis numerus quadratus proxime minor in tabula apposita ipsi respondeat: accipe deinde ejus radicem quae non potest esse major quam 9.)eamque pone pro quoto post lunulam, &similiter pro divisore sub ultimo puncto,& operare ni in divisione. Videndum autem est, ne residuum sit majus radice inventa duplicata. Tertio. Pro novo divisore duplica quotum jam antea in ventum, quotcunque figura rumis sit; productum enim erit novus divisor & hoe semper observa, quando inveniendus est novus divisor,) quem pones sub di videndo, modo dicto in divisione, id est, sub illa figura dividendi, quae sequitur proximo illam sub qua post S erat Primu* divisor.
127쪽
Quarto. Vide quoties novus divisor contineatur in dividendo supra ipsum posito; & quotum novum pone post lunulam .dc similiter ante noVum divisorem versus dexteram, ut ex hoc quoto dc figuris antea sub dividendo positis fiat unus in teger divisor ;& operare ut ante. Providendum autem est, ut totus hic divisor non sit major numero illo, sub quo collocatus est; alioquin figura ultimo apppsita tam Radici post lunulam, quam novo di visori,
rit minuenda una vel pluribus unitatibus, prout reS exiget. Eu-dem hunc ordinem serva usque ad finem divisionis. Exemplum. Esto numerus ii .9o2 F, cujus latus quadratum, sive radix quadrata quaeritur. Operare ut dictum est, & facta o. peratione invenies pro radicems; quae si ducas in se, resultat totus prior numerus; quod signum est operationem fuisse bonam. Si peracta extractione radicis manet aliquod residuum, signum est, numerum propositum non esse perfzcte quadratum,ac proinde non fore radicem, ut vocant, rationalem, id est, quae numero exprimi possit. Invenienda igitur tunc est radix propositi numeri propinquior, cujus nimirum numerus quadratus a proposito numero non quadrato insensibili fere differentia distet. Hoc autem fit duplici via. Priori reperitur radix propinquior quidem in infinitum, sed tamen minor quam vera; adcto ut ejus quadratus numerus semper a nu mero proposito superetur. Posteriori invenitur radix propinquior quoq, in infinitum, sed quae veram excedat; ita ut ejus numerus quadratus ma)or sit semper numero proposito. Indicabo solum priorem viam. Prior igitur via haec est. Inventa radice maximi quadrati in proposito numero comprehensi, qus est ille ipse numerus quem pro Quoto reperisti) adiiciatur ad eam fractio, cujus numerator est residuum extractionis quo nimiru propositus numerus quadratum numerum proxime minorem, quem radix inventa in se multiplicata producit, superat) denominator vero du plum radicis inventae, &pra 'terea unitas qua nimirum radix numeri quadrati, qui proxime major est proposito numero, superat radicem inventam numeri quadrati, qui proxime minor est numero proposito. ) Hac enim ratione composita erit radix multo propinquior quam in venta,minor tamen quam vera. videClav. in Arith. cap. 27. ubi etiam inveni secundam viam.
128쪽
Nota, si numerus qui ex radice post primam aut secundam operationem inventa duplicata resultavit, non continetur in numero illo, sub quo collocatur velut divisori ponendus est pro radice aerus, & procedendum ut antea ad inveniendas reliquorum
CLIbicae Radicis extractio non pertinet ad emba dometriam, seu superficierum dimensionem, sed ad stereometriam, de qua agitur libro quinto. Hic tamen annectere placuit hoc caput, ut totus calculus Geometricus eodem in loco reo etiretur Propositu S. Numerus Cubicus dicitur ille, qui fit ex ductu numeri alicujus primo in seipsum,dc deinde ex ejusde numeri ductu seu multi plica tionein productum : ut si io ducantur in se, hoc est, in io, Gunt ioo ; quae iterum multiplicata per i , producunt scoo. Hic itur numerus, Ioco, dicitur cubicua, seu cubus; ita vero, ejus radix cubica, seu latus cubicum. Hisce praecognitis, Radicem cubicam ex quotlibet numero, oblato facile erues, si sequentia ObserVaVeris praecepta. I. Habenda est prae manibus Tabella decem primorum cuborum , eorundemque Radicum. Haec autem fit ex multiplicatione cubica primorum simplicium numerorum ab unitate usque ad numerum denarium continuatorum, ut apparet in tabella. II. Numerus datus distinguatur, antequam operatio incipiatur, in aliquot membra punctis, a dextra sinistram versus, ita ut subprima dextima figura ponatur primum punctum,secundum sub quarta tquam versus,termitum sub septima,quartum sub decima versus eandem sinistram, ac ita deinceps, quoad numeri suffecerint, notentur puncta, duabus Lguris semper intermissis, ut hic apparet III. EX
129쪽
II IEx tabella praedictaCape radicem numeri a primo putrisas ad sinistram intercepti, sive is una figura constet, si ve duabus, sive tribus . hoc est, quaere numerum hunc in tabella sub titulo cub. quod si non reperiatur, sume proxime minorem cubum
ejusque radicem cubicam colloca extra lunulam. Ut insuperiori exemplo paulo ante posito,quaere radicem numeri 3 s; qui cum in tabula cuborum exacte non inveniatur, accipe proxime minois rem, nempz 27, ejusque radicem cubica 3, annota post lun Iam hoc m odor
IV. Radicis hujus cubum, ar, subtrahe ex numero sub diacto primo puncto intercepto,nempceX,3 ; residuumque s suasa scribe, eo planE modo, ut in vulgari divisione fieri solet ,α apparer in sequen ei exemplo.
V. DipIa radicem modo inventam,& tripIum hoc subiice figurae proxime antecedenti figuram sequenti puncto notatam rs autem plures fuerint figurae hujus tripli, collocentur ex ordine
laevam versus, eo modo, quo infra apparer.
VI. Para divisorem hoc modo. Duc quotientem hoc est, Radicem positam post lunulam) in triplum jam inventum . productum scribe uno loco deinceps remotius, laevam versus, quam triplum incaeperis,& loco inferiori, ut sint jam duo numeri distitiacti, quorum unus Triplum, alter Divisior a nobis post hac appellabitur. Per hunc divisorem si numerum ipsi suprascriptum dividas, habebis secundam figuram Radicis in Quotiente post luni Iam collocandam. Exemplum habes infra. VII. Totum id, quodiam in Quotiente est, duc in Triptu productum iterum duc in figuram Quotietis per di visionem mmdo inventam, huic producto adde cubum ejusdem numeri, eo tamen ordine, ut ultima istius cubi figura dextram versus nosse . L s lici
130쪽
liciatur immediate loco inferiori figurae ultimae superioris producti, sed ad intervallum unius figurae dexteram versus reiiciatur. VIII. Numerorum eorum hoc ordine descriptorum aggregatum subduc ex numeris superioribus,si id fieri poterit,& reiiduum si quod fuerit supra scribe; si autem subduci non poterit, minuendus erit Quotiens eo usque, quoad aggregatum dicto modo inventum subduci possit a superiore, manente semper eodem Divisore & Tripto.
UT in superiori exemplo,tripla Radicem, 3, fiunt'; quae scribe sub s. Duc deinde 3 in f, proveniunt 27; quae colloca inferiusqu1m Triplum, ac una deinceps figura versus lae vam, nempe sub α. Divide jam γα per α7, habebis quotientem , et, priori Quoti-efiti, 3, adjungendum,ut fiat totus Quotiens 32. Hunc duc in triplum , fit productum 8. Hoc rursus multiplica per numerum modo inventum, nempe pera,&habebis productum secundum e 6. Huic denique adde cubum numeri modo inventi, et, nempe 8, fiet aggregatum ex numeris eo ordine dispositis, ut in exemplo sequenti apparet, 1768; quod exsuperiori numero,pr=8,subductum relinquit pro residuo ιε'O.
32 - - - RadjX tota multiplicata per triplum 28 8 - - - Productum 2 - - - NumeruS modo inventus ue 5 - - - Productum 8 - - Cubus numeri modo inventi, I 768 - - - Aggregatum. Haec igitur est summa totius operationis. Si tamen adhuc Uium figura: supersunt ut in exemplo propolito)ex quibus Uabaca extrahi debeat, operatio ulterior instituenda est eo.