장음표시 사용
203쪽
Stereo metricuς. sitae sunt parallelae, & aequales,¶llelogrammae. Hujusmodi F.LXXiX figuram solidam eXprimit columna aliqua quadrilatera unifor ις'R SH mis crassitiei, prout est apposita ABCDEFGH figura. Sunt autem tot parallelepipedorum genera,quot parallelogrammorum. Si enim omnia sex parallelogramma parallelepipedum ambientia, fuerint aequilatera dc rectangula, noc est,quadrata; dicetur parallelepipedum illud cubus: si rectangula quidem omnia,at non Omnia ςquilatera,sed quatuor fuerint longiora, duo breviora,& aequilatera sive illa quatuor sint omnia aequi- latera, sive duo opposita tantum dicetur parallelepipedum ait ra parte longius. Si aequi latera quidem omnia, at non omnia rectangula, sed solum quatuor; dicetur rhombus: si denique neque omnia rectangula, neq; omnia aequilatera, dicetur rhomboides. Parallelepipedum altera parte longius sic metieris, ad inveniendam ipsius aream solidam seu sbliditatem. Metire certa ali. qua mensura, v. g. palmis, pedibus&c. propositi parallelepipedi longitudinem, latitudinem, & altitudinem: duc deinde latitudinem in longitudinem, vel e contra longitudinem in latitudinem di habebis aream basis: Demum productum seu basim inventam duc in altitudinem; dc numerus resultans dabitpalmos,pedes dcc. cubicos propositi parallelepipedi, hoc est, numerum cubicorum
palmorum, pedum occ. qui in tali corpore continentur.
Exemplum. Sit in supra posito parallelepipedo latitudo AD duorum pedum,longitudo A B quatuor pedum, & altitudo AH octo pedum: duc α in , habebis octo palmos quadratos probasi A B C D: deinde duc basim inventam, id est, 8 in 8, habebis 6 palmos cubicos pro soliditate seu capacitate totius parallel
Cubi soliditas habetur, si unum solum latuSmensuretur habito enim uno, habentur reliqua, cum omnia sint aequalia ) &in seipsum ducatur,lcidem deinde ducatur in productu , num
rus enim resultans erit numerus palmorum rig. cubicorum in cubo proposito contentorum.
204쪽
ut dixi, o constat exv.p. Libri 3. Probi. r. Vas perficieselevetkras fisbatiumseu altitudiνem μνiu palmi quo sis multiplicetur per unum uiresultat corpur octo palmo Vm cubicorum: si a duos palmos elevetur,re- sultat co in i 6 palmorum s denique ad octo palmorum altitudinem ele- lvetur, resultat corpud 64palmorum cubicorum. Eadem est ratio m -- lreris. t Si parallelepipedum est rhombus, aut rhomboides, inquire per dicta Lib. 3. p. 2. Probl 2. aream basis, eamque duc in altitudi- lnem: productus namque numerus erit parallelepipedi area. Raetio est eadem . .
Si nullum latus parallelepipedi est rectum ad basim; demittet
perpendicularem ex aliquo angulo tu premi parallelogrammi ad lplanum in quo est basis, eamque metire ,& habebis altitudinem parallelepipedi. In vestiga deinde aream basis, per Probi. i p. z. t Lib. 3. eamque inventam duc in altitudinem, dc producetur area liseu capacitas propositi parallelepipedi in mensuris cubicis. Ra- tio est, quia upra basim intestigatur parasielepipedum rectum ejusdem altitudinis cumproposito parallelepipeao, eruniter 2'. est O. Vndec hac parallelepipeda inter se aequalia .
HInc Colligi tur, qua ratione inveniatur selidit, alicujus muri, val
cortina inter propugnacula extensae Oc. II. Colligi urpraeterea, qua ratione sex ruendus sit murm qu drangularis ex lateribus, lapidibuου quadratis, aut oblongis . reperiatur numerus lapidum, laterumve neces riuspro muro exstruendo, dumm G sciamin quam istam, quam latus, es quam alius debeat esse murω. Nams longitudine lateris metiari, muri singitudinem Iatitudine latitudinem, altitudine seu era sedis altitudinem; es quoties quaelibet harum in
muro contineatur, notes, ac tres numeros inoeentos inste duxeris ; habebis sumerum Laterum, quibuUro muro exIruendo opus ha bes. Exemplum. Contineat longitudo muri futuri longitudinem lateris ducenties, latitudo latitudinem octies, crassities seu altitudo altitud, nem orituagies. Igitur si hos tres numeros ro o. 8, 8 O in sie di, xero .nimirum ro O in 8, esprod tam in 8 o; produces numerum hunc la8OOO,qu in numerin laterlim, quibus pro muro extruendo opus habes.
205쪽
Risma est figura solida, quae planis continetur, quorum ad minimum adversa sunt &aequalia,& similia, id parallela si- '' ve triangula sint, si ve rectangula, sive pentagona iac. reliqua vero plana sunt parallelogramma. itaque Piisma nihil aliud est, quam Columna quaedam Iaterata aequalis crassiti ei, cujus basies opposit usunt aequales, similes, parallelae, sive hae sint triangula, sive quadrangula, sive pentagona &c. Errant itaque qui solum illud corpus coluna nare appellant prisma,cujus oppositς duae buses sunt triangula aequalia dc similia; sunt enim infinitae species Prismatum, iuxta definitionem traditam. Ex his patet, omne parallelogrammum esse Prisma , licet non omne Prisma sit parallelograminum. Prismatis aream habebis, si aream basis inquiras in mensuris quad ratis, eamque in altitudinem ducas, ut mox ostendam. Area porro basis cognoscitur ex dictis Lib. 3. p. 2. Probi. i. a. 3.&S. Metiam 4 & 6. Altitudo vero habetur,si latera non sin t recta ad basim, modo dicto Probi. praecedente.
Viae si concipiatur para elepipedum ejusdem altitudinis cum rismate, habens pro base rectangulum bolari alis aequale; erit peri. Coroll. 7. Duodec. hoc parallelepipedum prismati aequalecum ergo parasielepipedum producatur ex siua baste in altitudinem multiplicata, trocreabisur quoque prima ex multiplicationesiuae basis in altitudinem,
Ylindrus est figura solida aequalis crassitiei, quae continetur duobus circulis aequalibus & aequi distantibus ,& rotunda su- 'erficie inter ipsas inter jecta, instar columnae cujusdam rotundata Bases cylindri, superior nempe & inferior, sunt ipsi circuli praeducti; axis vero est: linea recta per centra circulorum ducta. Culin-
206쪽
F. LXXXI, dri recti sunt,qui habent axem ad rectos angulos Insistentem ipsis μ'- -kΠ basibus; Scaleni vero seu obliqui cylindri sunt , qui non ad recto, angulos insistentem basibus habent axem. Cylindri area procreatur ex multiplicatione basis in altitudinem cylindri. Basis cylindrorum inmensuris quadratis invenitur per dicta Lib 3. pia Probi. γ. Quod si cylindrus sit obliquus, exquirenda est altitudo ejus per lineam perpendicularem exsuperiore base demisia ad planum, in quo inferior basis existit; a que in hanc altitudinem area basis multiplicanda est: productus enim numerus dabit aream cylindri propositi,cum aequalis sit cylindro recto eandem cum illa basim dc altitudinem habenti ,per
RAlio dictorum de Olindro recto est eadem c- illa, quam adsigna semiu proparatu opiredo rectangulo Problemate Primo.
Ex hispatet, quomodo metiendou sit siccur tritico plenus. Eua vero ratione metiendin sit acervus tritici icemus Librosiquenti Probi LGrosiario.
Pyramidum, s Conorum soliditates stive areas
FAXXXII DYramis est figura solida, quae planis continetur, ab uno plano JςQR Alii ad unum punctum constituta. Punctum hoc vocatur vertex pyramidis , planum autem ipsi oppositum vocatur basis pyramidis; quae quidem basis potest esse vel triangulum, vel quadrangulum, vel pentagonum,dc ab ipsa tota pyramis dicitur vel trigonaleu triangularis, vel quadrangula, Vel pentagona &C. Reliqua vero plana,quibus pyramis continetur,sunt necessario triangula, cum omnia ad unum punctum tendant. Hinc variae oriuntur pyramides, nempe trjangulareS,quadransulare S,pentagona S C. Conus
207쪽
Conus est figura solida rotunda ad unum punctum constitura, supra basim circularem, instar pyramidis rotundar. Punctum praedictum vocatur Vertex coni, linea recta a vertice ad circuli centrum ducta appellatur axis conis circulus ipse dicitur basis. Conus rectus est,qui habet axem ad rectos angulos ipsi basi: Scalenus vero seu obliquus est, qui non ad rectos angulos ipsi bauaxem habet. Pyramidis& coni area producitur ex multiplicatione basis hi tertiam partem altitudinis; aut ex altitudine in tertiam partem basis. Ex quo fit, si basis ducatur in totam altitudinem, tertiam partem numeri producti esse quoque aream py ramidis vel coni.
Ratio eis, quia cum ex bast in totam altitudinem gignatur 'sena, aut cylindrub, eandem habens cum pyramide es cono altitudinem diximus Problemat racedenti; producetur, per scholium I Duodec. ex eadem basi in tertiam pariem altitudinis , tertia pars illius prismatis, vel cylindri e sd Pyramis, per coroll. γη. Duodec. eis tertia pars illius Prismatis; per decimam Duodec. eis tertia pars Cylindri ergo sec.
se porro Uramidis, si triangularis eni, cognoscitur per ricta Lib. 3. 2. Probl. 3. Si quadri utera, reperitur perdicta ibidem Problema- se primo. Si multilatera,per dicta Problemate quinto. basis autem coni investigatur per dicta ibidem Problemates tim . Astitudo Dramidis se coni habetur ,sin verticestituat planum basi aequidistans, ab eoque adplanum, in quo eis basis, demittatur perpendicularis, eaque men Aretur; haec enim eis altitudo quaesit a.
Prosium pyramidis, s coni mense.
FRustum pyramidis,& coni quod alii appellant pyramid em & kT
208쪽
Comple imaginatione, vel etiam lineari in plano aliquo descriptione, totam pyramidem, dc conum; dc metire primo totam pyramidem, & totum conum; deinde complementum: quod Complementum si auferas a toto, remanebit frustum quaesitum.
Sed haec melius patebunt ex dicendis infra Probi.'. de dimensione obeliscorum.
PROBLEMA UI.a eam corporum Regularium invenire
Orpora regularia, ut initio hujus Libri dixi, sunt quinque, M non plura, ut proba t Clavius in Scholio Propos i8. lib. i3. Eucl. nimirum Tetraedrum, Hexaeedrum, Octaedrum, Dodecaz-drum, & Icos acdrum. Tetraedrum est figura solida, siti, quatuor triangulis aequa- llibus& aequi lateris contenta. Hexaedrum seu cubus est figura solida, sub sex quadratis aequalibus contenta. Octacdrum est figura solida, sub octo triangusis aequalibus d aequilateris Contenta Dodecaedrum est figura solida,sub duodecim pentagon IS aequalibus 8c aequi lateris contenta. Icos aedrum est figura solida, sub viguati triangulis aequalibus, & aequilateris contenta. Tetraedia, sive pyra i libita angularis aequilaterae est enim tetraedrum, hujusinodi: yi amis) area seu soliditas invenitur per dicta Probi. iv. praecedentC. Hexaedri, sive parallelepipedi basium quadratarum,in quo omnes tre dimensiones sunt aequales est enim hexaedrum, hujusmodi parallelepipedum capacitas atque soliditas reperitur per dicta Probi. I. Oetaedri aream venitur sic. Quia octaedrum dividitur in duas pyramides similes & zequales, quarum basis communis est quadratum a latcre descriptum; si utriusque pyramidis area seus ditas investigetur per dicta Probi. , habetur area Octacdri.
Producitur autem area illarum duarum pyramidum, ii quadratum lateris octae iri ducatur in diametrum octaedri, ecproducti numeri tertia pars capiatur, ea enim est area quaesita. Datio 'Is, aura productus illa numerus ex quadrato titeris octae G in e ius m iam trum, rii parallelc Zedum duarum ι arum Z rami in tripli. mi
209쪽
tripla est unius 2 ramidis. Diameter porro Octaedri, quae a diametro sphaerae et quadrati lateris Octaedri non differt, in enitur, si ex duplo quadrati lateris radix quadrata eruatur; eo quod per sthol. 7 . Primi, tam quadratum ex diametro quadrati desicriptum, sit duplum quid titatera, , quam quadratum diametri sphaerae quadrati lateris octae ri, per 1 M. Tertii dec. Semissis vero hujus diametri es altitudo utrimlibet n- ramidis. Dodecaedri area sic invenitur. Quia ductis ex centro dod caedri ad omnes ejus angulos rectis lineis, dodecaedrum dividitur in duodecim pyramides pentagonas aequales;si area unius pyramidis perdicta Probi. . in enta multiplicetur per r2, Procrea
ibatas pentagonae, dc altitudinem pyramidis investiga re. Rasis pentagonae invenitur ex latere dato, per dicta Lib.3.pariobl. V. Altitudo pyramidis invenitur, si ex superiori plano licto demittatur ad planum basis oppolitae linea perpendi- is: hujus enim semissis inquisita in partibus lateris do decadat pyramidis altitudinem. Icosaedri area sic invenitur. Quia ductis ex centro Icosae-d omnes ejus angulos rectis lineis, icos aedrum dividitur in vi- pyramides triangulares aequales; si area unius pyramidis per. Problemate IV. in venta multiplicetur per et O , gignitur tOcosaedri area. Area autem unius praedictarum pyramidum stigatui modo paulo ante dicto.
Corpora irregularia dimetiri geometrice, o
Orporum irregularium dimentiendorum ratio geometrica alia non est , quam ut prius in regularia resolvantur, & cu)us t regularis, in quod irregulare resolutum est, capacitas seor- inquiratur: nam omnium capacitates simul junctae dabunti V totius
210쪽
totius irregularis corporis capacitatem. Quomodo porro irre. gularia corpora resol vantur in regularia, patebit ex Libro Metamorphotico. moniam vero quaedam irregularia corpora commode in regularia resolvi non possunt, cujusmodi sunt statuae, Urnae, amphorae, vasa diversiarum figurarum,frusta saxorum,& similia, quae neque uniformis sunt crassitiei, neque latera habent prorsus recta, aut ad bases perpendicularia &c. ideo scriptores nonnulli tradunt Regulam q uandam mechanicam ad hujusmodi corpora dimetienda. Hanc Regulam ait Clavius,esse minime aspernan dam, eamque proponit lib. S. Geomet. prael. Cap. ix. in hunc sen-
Paretur arca lignea ex asseribus laevigatis, instar parallelepl- pedi cujusdam, quae pice ita oblinatur, ut aquam continere possit. Arca haec tantae debet esse longitudinis, latitudinis, atque altitudinis, ut corpus metiendum intra ipsam. positum, aqua totum possit operiri. Posita autem hac arca horizon tiaequi distan te, boneficio libellae, aut perpendiculi , infundatur in eam tantu aquae, quantum satis est, ut corpus impositum omnino tegat; notenturque diligenter suprema latera aqua in asseribus arcae, ut habeatur altitudo aquae usque ad arca fundum. EX tracto deinde corpore, ita tamen, ut nihil aquae eXtra arcam cadat, notentur rursum latera aquae, postquam quieverit. Quod si per dicta Probi. r. metiamur duo parallelepipeda,quorum ba sis communis est arcae fundus, sive basis, altitudines vero sunt rectae lineae a lateribus aquae notatis usque ad basem, & minus a mas Ore subtrahamus; re. linquetur parallelepipedum soliditati corporis propositi omnino
Quod parallelepipedum etiam consequeris, si altitudinem
inter latera aquae bis notata duces in balem arcae. Sunt qui infusa aqua in arcam, latera eius in asseribus primo Dotent ; deinde imposito corpore, ejusdem aquae latera signent: si enim altitudo inter posteriora latera, ac priora, ducatur in basim arcae, producetur toliditas corporis impositi, ut paulo ante diacebam.
Pro urnis atque amphoris, si ve eae lapideae sint, sive creta ceae, ita aciemus. impleatur vas arena, &. eiuS orificium ita obture-. riar,