장음표시 사용
221쪽
scribi potes Iuni lateri Pantometri nostri, silcque Imstrumentum extendi ad Gelometriam siuare qua hujusmodi virgae conseruantur ratione , prius videndum e It.
PROBLEMA LRegulam Cubimetricam s C lindrimetricam com ruere, hoc est, Mensura amosas in certis locis usita tas, tam aridurum, qzam liquidorum, virgis sim
Perticis, atque adeo Paulometro, inseribere . ADdimensionem Vasorum Cubicorum, parallelepipedorum, Fig
ac cylindricorum requiruntur, ut dicebam, Regulae seu vir- ῖξ.. xiii gae in certas partes ex arte geometrica di visae,ita ut singulς earum partes significent certam aliquam mensuram usitatam in illo loco , pro quo Virgae cons uuntur. Ut si quis scire cupiat, quot mensuras certi alicujus loci capiat aliquod vas, vel quot modios tritici aliquod granarium&c. , oportet prius Construere pro loci illius mensura modio certas Regulas, tam pro planis,quam pro cylindricis vasis. Hae autem ita construuntur. Primo, ex linea aliqua, quae sit AB, in polito assere ducta, abscinde decem minutissimas partes aequales,ab A usque in C;deinde has decem partes transfer ex C in D, E, F, G, eritque tota linea A G in centu m aequales partes divisa. Quod si A G decies in linea AB ex G ulterius productam transferas; erit illa in mille aequales partes divisa. Secundo, pro Regula cylindri metrica construe vas cylindricum A, procubimetrica vas cubicum seu parallelepipedum d.
Tertio, infunde in haec Vasa, pro mensuris, I, 8, 27, 66,12J, mensuras, aut alium numerum mensurarum cubicum, quorum radices seu latera cubica sunt i,t,3, , D pro modiiS Vero, I, 8,27,54,
α c. modi OS; ec quousque vasa impleantur, diligenter nota,collo-X 1 catis
222쪽
catis prius vasis ad horizontem parallelis. Impleantur v. g. usque
Quarto, igitur linea ΑΒ divisa in centum , aut mille partes, metire tam diametrum fundi interni vasis cylindrici C D, quam latera basis internae parallelepipedi K H, H C. Metire quoque eadem linea utriusque impletionis altitudines C G. Quo facto,
inquire aream fundorum seu basium praedictorum vasorum, per dicta Lib. 3. Probi. i. dc 7. Inventam basim duc in altitudinem impletionis C G, atque ex producto extrahe radicem cubicam. Hujus radicis numerum in partibus lineae A B inventum intercipe circino,eumque aliquoties transfer in lineam L M ductam in praeparata Regula seu Virga. Et si quidem infudisti in vasa unam mensuram, significabunt singulae partes lineae LM unam mensuram: si infudisti 8, 17, 6 ,αJ, significabunt singulae 8,r7, 6 ,δ2J. mensuras: quare singulae dividi debent in dua S, tres , quatuor, , quinque particulas, ut quaelibet particula significet unam mensuram. Exempli gratia; habeat utrumque latus ΚH, H C, 26 partes, altitudo impletionis CG, 43: duc latus χε partium in se,&produces in6 ; hoc productum duc in altitudinem impletionis,
cem cubi cam, quae est 3Ok; circiter. Si igitur in vas cubicum in fudisti unam tantum m en suram, accipe ex linea divisa A B 3osi partes, easque transfer in lineam L M: si infudisti 8 mensuras, acciperiusdem numeri dimidium, nem de i: si 27 infudisti, acclape tertiam partem ejusdem numeri, nzmpe t o st&C. Et quia pono infusas fuisse S mensuras, idcirco accipe ex linea divisa A Bpartes siveislsere; easque in Regulam L. M aliquoties,ut decies, vicies, aut saepius transfer, nimirum ex Lin N,O,P,Q; & habebis Regulam cubi metricam praeparatam. Eodemque modo praeparabas Regulam Cylindri metricam.
Potes quoque Unam partem LN, aut etiam omnes, in de. cena aut centum alias partes sub dividere; sic enim usus ipsius latius patebit, dc ad vasorum etiam eXiguorum mensurationes CX- tendi poterit. Dividitur autem una pars mior in centum minoreS com-' modissimc hoc modo. Primo in duas; deinde quaelibet barum
duarumin alias duaS; dcharum quaelibet in alias quinque dc habebis i
223쪽
Coelo metricus. Risbebis jam io partes; tandem harum quaelibet in alias quinque :sic enim tota linea in centum aequales partes di vi fa erit . Sed nox in Exemplis nostris facilitati, causa ponimus partes majores in decem tantum minores subdivisas esse. Unam hujusmodi m o rum partium inscribere poteris lateri uni Instrumendi nostri, re ubi opus fuerit,in aliquam transferre perticam,au t Regulam planam longiorem. Regulis igitur in hunc modum constructis, jam ad ipsam va- mrum dimensionem procedamus.
PEr Vasa parallelepipeda intelligo hypocausta, cubicula, granaria, turres quadratas,& omnia quae Constant sex parietibus,
quorum duo quilibet oppositi sint paralleli: I ndagaturus igiturquod modios tritici capiae v. g. horreum parallelepipedum, metire Regula Cubimetrica L Mejus longitudinem, latitudinem, dc altitudinem ; duc longitudinem in latu tudinem; productumque duc in altitudinem; dc habebis num rum modiorum, quos capit propositum granarium: Ponamus V. g. propositi granarii longitudinem habere puncta maiora seu partes majores Regulae L M2oo , latitudinem Izo, altitudinem 3or multiplica loci inuo, & produces 1 ocio; hoc productum duc in 8o,dc produces totam horrei capacita cem, ni ,
C Icludo in hoc calculo cavitates granarii, quin enestrae,ianuae, se alia ejusemodi faciunt; ponoque quatuor muros seu parietes , tabulatum ite opertu , se inferius pavimentum, carere omnibuου cavitatibus, lacunis, asseritatibuae, se tumoribu et alioquiu etiam harum cavitatum ca-l paritas esset indaganda, o numeropraedicto adjungenda l l . tauo taut longitudo, a ut latitudo, aut altitudo, aut omnes t mul, aut duae tantum, non exacte babeant puncta majora ,sedpraeter uti l habeant etiam minora, ut er-qμ accliti resolvem ora in misera, ,
224쪽
hoc est ,sim ora puncta divi sint in decem minora, duc majora in decem sin centum majorasint divisa, duc illa in ioo, se productu adde
puncta minora. Eu acto, duc, ut prius, longitudinem in latitudinem , se productu- hoc in altitudinem, atque ex hoc postremo producto retice recipriores numeros versm dexteram,si puncta mesora divisa sint in decem minora , sex ,s magora in centum minor asint divisa ; novem sinmisie. Exempli causa si alicujus granarii longitudo punctorum majoram io8 minorum, latitudo majorum 'F, minorum 6; altitudo malarum O, minorum s. Igitur se majora punecta longitudinis duxeris in Ο,productoque adjeceris'procreabis puncta minora i8o s latitudi-ispunecta majora duxeris in I O ,productoque addideris 6 minora ; efficies 936 minora : denique saltitudinis pune fa majora rixeris in io,produ- Aioque adjeceris y minora , progignes 4 minora. Resolutis igitur in hunc modumpunctis majoribuου in minora,si duxeris I 8OTtn 936,progignes i727 9ras hocproductum in a J duxeris, procreabis 734i84io Oe de rejectis tribus numeris prioribuου versus dexteram,restant 73ψi8ψ. Atque tot modiorum ea dictis naris capacitaου.
PAut hinc, quomodo puteorum pri alicorumstu para clepipedorum capacitas in certis mensuris inveniripossit.
suomodo dimetieuda siti frumenti congemios tu
EX his patet etiam, quomodo metiri debe in magnam ahquam congera-emfrumenti in granario aliquo jacentis possunt enim hae Regulae inberet ire etiam ad solida merien a ita tamen, utpara Hogrammtimstu potius parasielepipedum congeries illa efficiat. Creta vero superscie, ida, qua frumentum contingit pavimentum semper eis amplior, quamsuprema frumenti superficies , tam in longitudinc, quAm in lalitudine , ita ut congeries illa efficiat quoinramulem truncatam i nece se ess me iri tam inferiorem quam superiorem longitudinem, rum At Dudinem tam Fuperiorem quam trifcriorem acciTere, easque intcs adacuare, hoc ess u=λι-
225쪽
murum emissis 'ro adaequata longitudine , latitudine accipere, spro cedere modo didio in Problemaxe. Contineat inferior longitudo paries Ee L bimetricae majores ta Opuperior i ita inferior latitudo contineat 8 o. Luperior 71, erit igitur aequata longitudo ii6, latitudo γ 6st denique
sit quidam circa civitatem aut arcem ducere fossam, cujus latitudo superior esse debeat i 6 cubitorum, inferior duodecim, profunditas octo, longitudo mille. Debet autem pro quolibet cubito cubico expendere η' Iulios. Quaerit, quantum pecuniae pro tota fossa expendere debeat. Sit superior latitudo A F, inferior C D, profunditas G C. Quia triangula A E C, B F D, sunt aequalia in posito exemplo, ut suppono; erit parallelogram-mum A BD E quale trapezio AC DE, per dicta lib. 3. par. 2. Probi. . Cumque latitudo B G sit duodecim Cubitorum est ea nim aequalis latitudini C D, erit tam A G, quam F B, duorum cubitorum; quare tota AB erit i4 cubitorum &est profunditas GC, octo cubitorum. Si igitur a 4 in 8 ducas, habebis tu, aream parallelogrammi A E D B, sive trapeZii A C D F. Haec igitur area ducta in longitudinem fossae, quam posuimus cubitorum I OOo,erit tota fossae capacitas cubitorum cubicorum iit Ooo. Et quia pro uno cubito expendere debet o Iulios; si mo oo duxeris in Ao, produces 448o oo O Julios; quibus per io divisis, reperies 448o oo scuta seu aureos. A Echanice seu practice vasa cubica, imo & cubica corpora solida, sic duplicabis ope praedictae Regulae cubimetricie.
226쪽
Metire latus cubi dati quodcunque,& in partes divisum duc in se.
productum in duplum numeri illius, in quem latus divisum est; atque ex hoc postremo producto extrahe radicem cubicam ;&baec radix erit latus cubi duplicandi. Exempli causa, Esto aliquis cubus, cujus latus to pedum sit. Ducro in se,& produces Oo, hoc productum duc in duplum lateris, nempe in o produces Isooo; hujus numeri radix cubica Propinquior est paulo minor, quam nam hic numerus in se cubice multiplicatus produciti6OO3ρ s,qui numerus valde parum abest ab hoc numero 16o oo; est vero hic numerus duplus cubi radicis et O. Si cubus sit triplicandus, duc primo latus cubi triplicandi in seipsum, deinde productum in triplum lateris; nam ex postremo hoc producto educta radix cubica dabit latus cubi triplicandi. Sit exempli causa cubus, cujus latus sit et O pedum, triplicandus; duc et o in se, productum in triplum lateris, hoc est, in 6o,dc ex postremo hoc producto extrahe radicem cubicam, quam reperies majorem quam 28ῖ , minorem quam 28ι.
concavas columuas, turres, s quaecuVque prasemata, basis habentia triangulares, pentagouas, hex suassici Zλ ω , s etiam irregulares, dimetiri.
Ir Etire primo singula basis latera Regula Cubimetrica. Qui-1Vibus habitis, inquire per ea quae diximus in Epipedometria
lib.3. p r. r. aream basis. Si enim illam in altitudinem columnae, turris, aut prismatis duxeris, habebis totius columnae, turris, aut prismatis capacitatem. Exemplum. Sit turris octogona, cujus quodlibet octolat cxv. xum BC, CD, DE dcc. habeat puncta maJOra 2O, linea vero exia liquo angulorum B, C, D &c. ad centrum A ducta, habeat puncta majora 26. Quia igitur tota figura resolvitur in octo talia tri angula, quale est B A C. A quia latera A B, AC, sunt aequalia, ni mirum 26, basis vero B C ro punctorum majorum; eri r area figurae, per Probi. F. Lib. 3. Par. a. punctorum quadratorum Io 6 fere igitur ductis r66 in S, numerum triangulorum, in quae figura resolvi
227쪽
solvitura, exurgit totius figurae area punctorum quadratoru 13 28: quibus in altitudinem turris, quae sit 3 o punctorum majorum ductis. prodit totius turris capacitas,nimirum mSdiorum sisto. Eodem modo in omnibus aliis agendum est: si enim area ducatur in altitudinem,habebitursemper totius turris, prismatis,
Tetraedra ,seu Pyramides regulares , T reliqua coimpora regularia, metiri.
P Rimo pyramidem regularem, cujusmodi est tetraedrum ex corporibus regularibus, dimensiurus quoad capacitatem in nitatis, duc aream basis pyramidis in altitudinem, & productum divide per tria, habebisque capacitatem ipsius. Ratio hujus ope. rationis est, quia cum omne prisma triangularem habens basim, resolvatur in tres pyramides aequales, & triangulares habe tes bases, per TR . Propos lib. Iz. Eucliae sequitur quamlibet pyramidem esse tertiam partem prismatis, quod eandem cum ipsa basim re altitudinem habet, ut etiam diximus Libro praecedetate Probl.4. Exempli causa,sit pyra mis,cujus basis latera singula sint octo punctorum majorum erit igitur quadratum areae basis 768, operando juxta Regulam secundam generalem tradi tam lib. . par.2. Probl. 3. adeoque ipsa area fere. Sit altitudo pyramidis 2o punctorum maJorum , cuJus quadratum 4oo si duxeris in quadratum areae, produces 3 O72 Oo,quadratum capacitatis prismatis eandem basim Sc altitudinem cum pyramide habentis. Quare si ejus radicem quadratam, quae est sy fere, per tria diviseris, proveniet capacitas pyramidis 18 ἰ punctorum cubicorum fere. Secundo, cum omnia corpora regularia in tot pyramides re . solvantur, quot bases seu superficies habent, si areae superficieruducantur in numerum superficierum si ve basium, productum in altitudinem pyramjdum,quae est semissis altitudinis totius corporis est autem altitudo corporis regularis, distantia duarum su. perficierum oppositarum seu parallelarum productum dividatur per 3, prodit totius corporiS capacitas.
228쪽
Sed ab hoc calculo excipiendum esse tetraedrum, manis stum est, cum non habeat seperficies parallelas. Sed iam exemplum assieramus. Sint latera basium dodecaedri 6 punctorum maJorum,altitudo 14; erit igitur area pentagona basis 61ἰ punctorum masorum quadratorum,per Propos I. partis a. lib. 3. quae ducta in is, nempe in numerum superficierum, facit γ α Et quia altitudo corporis ponitur r punctorum, erit semissis τι quae semissis est altitudo pyramidum, inquas dodecac-drum resolvitur. Si igitur ducantur in 742 , producuntur fio I huius tertia pars intest totius dodecatari capacitaa.
PROBLEMA VILCMindrorum Capacitatem invenire
TN Cylindris dimetiendis utimur Regula CyIindrimetrica. CP Rindros igitur dimensurus, metire Regula Cylindri metrica primo latitudinem Cyllindri, Loc est, diametrum basis Cylindri, uehabeas ejusdem basis aream, per PωbI. io. partis r. Lib. s. deindoujusdem Cylindri Iongitudinem seu altitudinem. Hoc facto,duc basis aream in longitudinem Cylindri,&. habebis capacitatem. Exemplam.Sit alicujus cylindri basis , ex Iatitudine seu diametro inventa, punctorum minorum 3z69, longitudo vero seu at titudo punctorum itidem minorum ra8. Duc 32 9 in I 28, producetur hic num exus, AIFῖγα; ex quibus re)ectis tribus prioribus figuris dextris , ut invenias puncta majora, restant mensura: Ais, seu potius i6, proprerea quod numerus ultimur rejectus, qui est 8, fere ad io accedit. Si calcul um accuratius subducere desideres, dic per Regulam Proportionum: Io oo dant nam mens ram, quid dant ligurae resectae, scili ce t8γα t & reperies. ferE unius mensurae. Igitur vera capacitas totius cylindri erit AisS mens
229쪽
Pyramidum cs Conorum capacitates invenire incertatis mensuris.
π Ibro praecedente Problem. 4. docuimus,qua ratione pyrami- dum & conorum solidorum area seu λliditas inpedibus cubicis, aliisve similibus mensuris, sit invenienda. Ex quibus quidem etiam constat, qua ratione eorundem corporum concavorum capacitates sint dimetiendae in certis liquidorum, aut aridorum mensuris cubicis: est enim utrobique eadem ratio. Etenim hieetiam Pyramidum M Conorum capacitas generaliter cognosci. tur ex multiplicatione superficiei seu areae basis eorundem in altitudinis tertiam partem, vel ex multiplicatione tertiae baseos partis in totam altitudinem. Quare si per Li bri tertii partis secundae Problemata, tam area basis pyramidis, Vel coni oblati, quam altitudo eorundem, inter partes Regulae cubimetricae inquiratur. 6c facta multiplicatione unius in alteram, basis inquam in altitudinem, productum per tria dividatur, in vεnitur desiderata capta
Datet hinc quomodo poculorum nramidalium se conicorum ea cim reperiripusis.
Vasia i qualium basium metiri.
Q Upra Problemate secundo docuimus, quomodo mensuranda sint vasa pristinatica seu parallelipepeda, quorum videlicet bases, seu inferior Sc superior superficies, sint aequales, similes, dc parallelae, reliquae vero parati logrammα, boc est, quorum perimeter ubique est aequalis, tam scilicet inferius, quam superius, dc in partibus interjectis. Reper luntur tamen vasa nonnulla, quorum superior basis imaginaria ) existit major, vel minor inferiori, quamvis eidem parallela & similis existat. Hujusimodi vasorum mensuram, quando dimerentia dictarum basium est valde notabilis, absolves eo modo, quo libro praecedenti Probl. 3. diximus Y i menin
230쪽
mensuranda esse frustra pyramidum & conorum. Quando vero disserentia non est admodum notabilis , procedere poteris tali pactois Quoniam bases oppositae, superior & Inferior, inaequales sunt, similes tamen dc parallelae, ut sipponitur; adaequa illas, hoc
est, inquire inter ipsas mediam aliquam inter majorem & minorem, eamque ducinaltitudinem, S produetum dabit vasis capacitatem. Adaequantur autem bases facillime, si reperratu r separatim utriusque area, dc summa ex utraque facta dimidietur; haec enim dat basim adaequatam. Quomodo porro basis utraque reperiatur, patet ex dictis libro praecedente. Dimidiatur etiam seu adaequatur utraque basis , si minor auferatur a mMori,&disserentiae dimidium vel adiiciatur minori, vel auferatur a ma)ori; summa enim residua, aue resultans,est basis adaequata-
Doliorumstu vasiorum vivariorum capacitatem
reperis . rit. xci. Olia, seu Vasa Vinaria referunt plerumque figuram duplicis
Moessim L eoni decurtati, quorum bases sint circa doliorum medium conjunctae, vertices vero decurtati sin t fundi. Tale est appositum dolium AB CD EF, constans duobus conis truncatis AFB E, MC D B E, quorum bases B E sunt in medio dolii, seu in esus ventre conjunctae, fundi vero AF,& CD, sunt conorum truncatorum vertices. Quando igitur doliorum fundi A F, C D, non sunt notabiliter minores quam venter B E, hoc est, quando fundorum diametri non admodum disserunt a diametro ventris; inquiri potest doliorum capacitas eodem modo, quo diximus Problemate praecedente inqui redam esse capacitatem conorum truncatoria. Semper ergo indoliorum dimensione adaequandi prius sunt fundi dc ventres.. Et quidem si fundi sunt inter se aequales, v t plerumque sit; unica adaequatio sufficit, nempe diametrorum Ventris & uruus fundorum: si autem inaequales sunt duplici adaequatione Opus est, D mpe primo duorum sundorum, deinde fundi