장음표시 사용
211쪽
Stereo metricu S. tur,ut aqua ingredi nulla ratione possit. Imposito deinde vase in aqua intra arcam contenta, ac si esset corpus quodpiam irregulare, investigetur ejus soliditas, ut jam diximus. Deinde extracta
arena, norentur latera aquae, antequam Vas vacuum imponatur. Imposito demum vase vacuo sita tamen, ut totum aqua implea' tur)signentur iterum latera aquae. Si namque altitudo interposteriora ac priora latera multiplicetur per basim areae; procreabitur soliditas solius vasis: quae detracta ex priori soliditate, notam rolinquet vasis CapacitatCm.
Jatet hinc, eadem ratione mechanice mensιrari posse etiam corpora A regularia, es Sphaeras, de quibus pausip)di.
Loco ligneae arcaesumi pote a quodcunque vas, cubi, aut parasielepipediguram habens, dummodo continerepossit aquam. l I . Si quae corpora irregularia neque mechanice, neque geometrice mensuraris sunt, mensurentu altem aestimatione quadam,o crassa,
Areamsvesoliditatem sphaera, ct sigmentorum
ejus, iuvenire . Sphaerae soliditas haberi potest multis modis. Primo, si ducas
superficiern convexam speserae in tertiam partem semidiam tri ipsius, vel e contrario tertiam partem semidiametri in superficiem. Secundo, si semidiametrum ducas in tertiam partem superficiei sphaetae, vel e contrario tertiam partem superficiei insemidiametrum Tertio, si semidiametrum ducas in totam superficiem, vel e contra, dc producti accipias tertiam partem. Quar- , si diametrum ducas in sextam partem superficiei, vel e contra. Alios modos vide apud Clavium lib. Geom. pract. c. s. post septimam Propositionem Regula 2. ubi etiam invenies demonstrationem praedictarum praxium.
212쪽
Exemplum. Sitalicujus spaerae diameter I 6 pedum; erit igitur semidiameter 2 8, perimeter circuli maximi e)usdem sphaeraei 6 pedum simplicium, circuli maximi area 2 64, sphaerae area lausi perficies convexa 816; qua ducta in Σ8,semidiametrum scilicet sphaerae, 6c producto di viso per 3, prodit capacitas seu solidi. eas sphaerae pedum cubicorum sive solidorum si'89 . Ratio hujus operationis est, quia in sphaera sunt in siniti coni, bases habentes in superficie sphaerica, vertices in centro. Possumus eandem capacitatem in proposito exemplo etiam hoc modo reperire. Duc diametrum sphaerae in aream circuli maximi, nempe, Ss,in 1 6 ,d produces i3798 ; hoc productum duc in duo; productum divide per 3 , & reperies pi' 89 ut priuS. Ratio hujus operationis est, quia i phaera ad cylindrum,CUjUS tam diameter baiis, quam altitudo , aequalis est diametro sphaerae, est ut 2 ad 3 Hemisphaerii soliditas producitur ex semidiametro in tertiam partem superficiet haemisphaerii; vel superficiei hemisphaerii in tertiam partem semidiametri 6 c. Alios modoa vide apud Cla-Vium loc. cit. C. s. n. 3. ubi etiam n. ψ. dc F. docet modum inveniendi solidi talem sectorissphaerae, M cu)uslibet portionis ip sius.
Idem Claviusto c. cit. c. r. tradit methodum in Veniendi aream sphaeroidis, musdemque portionum. Capite 8. 9. docet modum inveniendi aream conoidis parabolici 5 hyperbolici.
elisicoram oliditatem invenire, universamque illorum dimensitonem Peragere .
DIfert Obeliscus a pyramide in eo , quod pyramidis latera
paulatim gracilescan i,& continuato fluxu a basi ad verticem' excurrant ad instar triangulorum iso scelium, prout apparet in figura A; Obelisci vero latera gracilescunt quidem sensim versus a-- picem, non tamen continuato fluxu; sed antequam inpunStum confluant, truncantur, Sc deinde in parvam pyramide desinunt, ut in figura B apparet. Unde Obeliscus vocari etiam solet pyramis truncata; corpus trunco impositum , dictio par is p) rami
215쪽
Stereo metricus. dibus comprehensum, solet appςllari pyramidium seu pyrami-
Militudinem obelisti, si truncin non esset , si lateria
bis continuo fluxu in ultimumpunctum conluentibus Ad instarpyramidis excurra ' perire .
SIt datus obeliscus A B C DI, cujus basis infimae singula latera 'AB habeant palmos is, suprema: CD 8, altitudo E F inter utramque basin ab infima usque ad pyramidion interjecta io 8. Si iraque scire vis, in quantam altitudinem excurrisset dictus obeliscus,si latera in punctum c5fluxissent; hac id industria explorabis. Protrahantur latera AC,&BD, usique dum in punctum G confluant: dc divisa basi AB bifariam in E, ducatur recta E G. Hoc peracto, ex C puncto linea C H ducatur, parallela ad F E, si ve ad G Ealtitudinem totius obelisci, secans basim AB in H , nascen- eurque ex hac sectione duo triangula, A H C, dc A E G, sirnilia inter se,& consequenter proportionata,per Coros propositionis quartae lib. 6. Elem. Euclid. eritque, ruina 4 . proposit. 6u dem lib. s. Euccut latus A H ad latus es C, ita latus A E ad latus E G. Cum itaque tria hic nota habeantur, videlicet CH, quae est E F altitudo obe-isci io8 palmorum; dc A E, quae est lateris basis infimae medietas sex palmorum; dc AH denique duorum palmorum cum enim 2D basis superior sit 8 palmorum, erit medietas ejus CFquao uorpalmorum, dc secabit consequenter C H parallela ad E F, ex emibasi AE sex palmorum, palmos duos in notus etiam erit axisi G totius pyramidis, si fiat, ut A FI 1, ad H Cio 8, ita A E 6 , ad ES: prodibit enim , facta operatione juxta regulam proportiorum, E G altitudo obelisci; si in pyramidem sensim abiisset , 314 almorum: Pyramidis porro C DG altitudinem F G habebis,si illitudinem obelisci EF a tota altitudine inventa siubduxeris,ui-lόlicet io8 132 : reliquum enim dabit zis palmos pro altitudine lyramidis CD Gquaesita. Hoc pacto invenit P.Mrch rus ob eliscum 'a bilium sim vicem ultimum excu rrisset, D fuisse rami-
216쪽
inautitatem sepeficialem Obeli corum investigare .
Um omnes obelisci sint tetraedri, id est, quatuor lateribus seu superficiebus constent; si illa sunt aequalia inter se, sussici et unam superficiem investigare: hac enim inventa,& per multiplicata, patefit totius obelisici superficies. Sit itaque obelisci antea propositi superficies extima A B Ci. XXX vi. DI. Protrahe lineam CD supremae basis in puncta EZ Futrim Icon. XLV. que ad duos palmos, &ex A dc B inferioris basis punctis ducline. as A E, de B F, ad E F normales, oc ad O L linea ni mediam parallelasinasceturque quadrangulum rectangulum EF B A, cujus latus A B, vel E F, in latus A E vel BF ductum producet aream totius quadranguli EFB A palmorum quadratorum i 10s: nam BR est in palmorum, bc A Ei OS palmorum, quae in seducta essiciunt196. Quia vero haec summa superficiem obelisci C D A B ex cedit; ab ea subtrahenda sunt triangula A E C, & BDF, ut versuperficiei obelisci area habeatur; quod ita fiet. Cum tam basis E C trianguli rectanguli A E C, tam basis DF trianguli rectanguli B D F, sit palmorum duorum, est constru
ctione: iterum cum dictorum triangulorum latera A E, dcis F. sint aequalia lateri OL, quo destio8 palmorum: fiet ut si latus Educatur in latus E A, hoc est, zin io 8; proveniant 2 6icujUS nu meri dimidium, iO8, dat aream superficialem trianguli EC Ait palmis quadratis quaesitam, JuXta praecepta Geometriae practica tradita lib. 3. Par. 2. Probl. 3. Est autem triangulo E C A aequat triangulum D F B, ut patet. Duo ergo triangula E C A, D F BContinent palmos quadratos ris. Harum summam si subduxeris a summa totius rectanguli E F B A, remanebunt i O8O pro are superficiei unius faciei obelisci A B C D. Hic numerus in quatuor obelisci latera multiplicatus, producet tandem aream sta perficialem totius obelisci truncati Ad CD , 3ro palmorun
Restat dimensio pyramidii CI D, cujus superficialem quantitatena sic invenies. Cum basis C Din 8 palmorum, bc latus O
217쪽
stereo metri si ex suppositione it palmorum, si haec duo latera inter se multi. plicentur, prodibit quadrangulum C D H G9s palmorum; cujus dimidium 8 dat aream unius lateris pyramidii quaesitam. Hanc multiplica per ψ, dc summa i91 dabit in quadratis palmis aream supersicialem totius pyramidii. Hi adjuncti praecedenti
summae 4 ro, assignant Sir totius obelisci aream superficialem in palmis quadratis quaesi tam . Ratio patet ex dictis lo. Cit. Si sci re cupis quantitatem lineae A C, vel B D, superficierum Obelisci terria in atricem ; ita procede. Cum triangulum AEC sit rectangulum, angulusque E sit rectus, ex Constructione , erit , per47δ . Prim quadratum rectae AC aequale quadratis rectarum
A E,& EC simul. Conjunge igitur quadrata linearum AE,& EC
in unum, dc ab aggregato extrahe radicem quadratam,& haec radix dabit tibi quantitatem lineae A C quaesitam. Exempli gratiar linea E C duorum palmorum in se ducta, dat 4 pro quadrato linea A E io 8 palmorum in se ducta, dat Ii664 pro quadrato: quibus si lungatur quadratum lineae E C, nempe 4, emergit quadratum lineae AC ii 668 palmorum, duobus praedictis simul sumptis aequale. Ex hoc quadrato radix extracta dat iO8 ε 4,quae est qualitas Aneae A C, VH B D. Si ulterius cupis scire quantitatem superficiei obelisci, si in pyramidem excurrisset, ita procede. Cum in praecedente problemate altitudinem pyramidis EG invenerimus 324 palmorum, basim autem AB, H palmorum ; si multiplicaveris totam basim per altitudinem, id est , 12 per 32 ,&productum 3888 dimidia veris i dimidium dabit i9 palmos quadratos pro superficie trianguli A B G. Eandem superficiem 1 44 palmorum invenies, si multiplices dimidiam basim per altitudinem, nempe 6 per 324. Quadruplica Jam i9- 4,& summa γ7 6 palmorum quadratorum
dabit quantitatem totius pyramidis quoad superficiem eXteri O-Lem quatuor facierum sive laterum.
PI quatuor obelisci latera non sint aequalia inter se, adaequari prius δε-i bent reduci ad quatuor aequalia latera in aequalibuου aequivalentia einde procedendum modo dicIo. Adaequantur autem latera modo diendo infra librosequenti, Problemate secundo , Coro es Probi 9- se . . PRAG-
218쪽
Soliditatem Obeli corum investare .
OMnis pyramis subtripla est sui prismatis, hoc est, omnis pyramis est tertia pars prismatis, quae eandem cum illa habet icbasim 6c altitudinem, per Corosi proposis.7. lib. i2.Esemiui . Cognita igitur basi obelisci, dc cognita altitudine ipsius, si in pyramide CXCurreret, cognosci potest eJus prisma; quia ex multiplicatione basis in totam altitudinem gignitur prisma habens eandem cum pyramide ic basim & altitudinem, ut in Problem. a. hujus libri docuimus. Cognito ergo prismate pyramidis A B D, Pragmatia prima inventae, dabit pars ipsius tertia soliditatem e iusdem pyramidis. Eandem soliditatem habebis, si basim ipsius duxeris in tertiam altitudinis partem ; vel si totam altitudinem duxeris in tetaeiam partem basis, ut diximus supra Problem. 4. Cognito quoque excessu, quo pyramis obeliscum superat, per dicta Pragmatia prima. haberi potest prisma talis excesius, Scconsequenter baberi potest tertia pars talis prismatis ; quae tertia pars est soliditas pyramidis Obeliscum excedentis. Si jam subtra. hatur soliditas hujus excessus a totius pyramidis soliditate, remanet soliditas obelisci ab infima basi, usque ad pyramidium. Pyramidii soliditas invenitur, si basis ipsius ducatur in altitudinem ,&producti tertia pars accipiatur. Sed rem Geometrico ratiocinio ostendamus cum Kirchero in Obelisco Pamphilio lib. i. cap. 6. ubi tamen in calculo irrepserunt errores quidam typograpEici, quos hic corrigimus. Imaginare itaq; in praesenti figura primo pyramidem A B D, cujus basis AB quodlibet latus sit i et palmorum; qui in seducti, consti tuent totam basim A B, i palmorum quadratorum. Circa hanc basim circumscribe prisma A C, habenseandem altitudinem cum tota pyramide, nempe 324 palmorum. Multiplica 3 ambasim hujus prismatis per altitudinem ipsi u ,nem per Aper 324, invenies totum pri sima A C e ste 466s6 palmorum cubicorum sive solidorum. Husus prismatis tertia pars, Videli Cet i syr, dabit to. tam soliditatem pyramidis ABD in palmis cubicis, si in eam O.
219쪽
Stereo metricus. I6IUt habeas soliditatem solius Ubelisci ab infima basi Α B ut . que ad supremam basim N E,sic operare. Circa basim N E pyra midis imaginaria: N E D, constitue per imaginationer risma NG, habens eandem altitudinem cum tota pyramide NED; eritque quodlibet latus basis 8 palmorum, altitudo vero ii6,per dicta Pragmatia prima. Duc jam 8 in se,habebis6 palmos quadratos pro basi N E. Duciterum in eti6, habebis i38r palmos cubicos pro soliditate totius frismatis N G. Hujus igitur prismatis tertia pars, nempe so8 palmi cubici, dant soliditatem pyrami. dis N ED imaginariae. Hujus pyramidis soliditas a soliditatoto- eius pyramidis AB isssa palmorum cubicorum subducta, relinquit io' Α palmos cubicos pro soliditate Obelisci truncati ABN E. Pyramidii soliditatem ita invenies. Cum basis pyramidii,
ut supra vidimus, sit octo palmorum, altitudo vero i2 palmorum;
si mustiplices 8 per 8, dc productum 6 , multiplices perra; siumma producta 768 palmorum cubicorum, dat prilina habens eandem cum pyramidio & basim & altitudinem. Tertia igitud pars hujus prismatis, nempe αs6 palmi cubici, dant pyramidii soliditate quae conjuncta cum soliditate Obelisci, constituunt o o palmos cubicos pro soliditate totius obelisci una cum pyramidio.
Gravitate ive pondus obelisiorum invenire.
FAc ex eadem petra sive materia obelisci cubum palmarem,ea qua fieri potest diligentia accurate quadratum. Hujus cubi
pondus explora per eXactissimam bilancem. Habito cubi pal. maris pondere, duc num rum ponderis in numerum cuborum palmarium totius obelisci,ωsium ma producta dabit podus quaesitum. Sit cubus palmaris ex eadem obelisci materia praeparatus librarum 87. Multiplica iitoo palmos cubicos totius obelisci per 87, invenies 9744OO libras pro gravitate totius obelisci. Eodem modo invenies pondus totius pyramidis s uperioris A i D esita 13 3ozψ palmorum cubicorum .
220쪽
'D sere ometriam pertinet etiam vaserum , s quorumvis Concavorum dimensio, qua nimirum ipseorum capacitas indagatur in certis me uris. Vasa, aliave concava dimetienda sunt vel ub casu parallelepipeda, lylindrica, vel neutra oc est,uel constant superficie in planis, vel rotundis,uel ex hiis mistis. Haec ad illa reduci debent, ut=b Geometracam mensiurandi rationem cadere polsint. Illa ut mensiurentur, opus est Regulastu virga cubimetrica, o Plis rimetrica, ιυ visa in certas partes, quarum Aingula significent ce tam aliquam mensuram liquidorum, aut aridorum, usitatam tu est loco, pro quo conseruitur virga. Haec virga , vel saltem pars aliqua psimis, commodi imscrI-