장음표시 사용
241쪽
ha pede, 6; tertia in vertice, , tripede, 8; quarta in vertice, in pede, io; quinta in Vertice, 6, in pede, it; ultima in Vertice, in pede, i , & per puncta majora Z, T, X, M, N, O, P, lateris L B, ducantur linea: lineis L D, B G, parallelae, ut omnes quinque praedi- lineae una cum extremis parallelogrammi lineis L B, D G, dividantur in octo aequales partes. Harum octo partium quaelibet in linea, a, ψ, sub dividatur in alias duas aequales; in linea, 3, 6, in a- Iias tres, in linea, η, 8, in alias quatuor: in linea, F, I R, in alias quin que ; in linea,6, Ir, in alias 5 in linea denique, ,i4,in alias septem. Atque haec erunt puncta longitudinis, quia aequalia in qualibet linea inter se sunt. Puncta vero primae lineae L B,quae ex linea A Ddesumpta sunt, erunt puncta profunditatis, quia inaequalia. Numeri deleti, ieu lineola inducti, in praedicto parallelo grammo , qui subscripti sint in qualibet linea numeris non deletis, significant dimidio minus quam non deleti. Sicy significat, 'significat 3: significat &c. Quod libet punctum minus in lineis longitudinis ejusdem praedicti parallelogrammi valet
Dolia seu vas vinaria metiri Regula visoria.
P Raepara Regulam ex ligno solido & bene polito, aequalis long tudinas cum linea A B, seu L B divisa in praecedenti Proble. QIus longitudinerri linea recta,aequali praedictae
lineae AB, seu LB, transfer in ipsam omnia puncta praedictarum linearum; & habebis Regulam seu virgam visoriam, cujus ope o-ium dotiorum capacitates inquires hoc modo, Inquiratur profunditas ventris dolii per orificium immissa Regula,eaque notetur creta in latere L B, aut alia in linea: in cuiratur quoque diameter fundorum, similiterque creta in eodem latere L B notetur,aut m alia linea. Quo facto,quaeratur medium inter duo puncta notata creta, in dicta regula habebis di ames
1cilicet re longitudine,in ventes dolii capacita tem sic. Primo
242쪽
Primo, si fuerit profunditas aequata punctorum majorum 3. Iongitudo punctorum majorum 8, sive aequalis longitudini Regulae; continebit VaS eXacte tres urnas. Si fuerit profunditas aequata η pui ctorum majorum, longitudo aequalis Regulae, seu Spunctorum majorum; Continebit vas quatuor urnas. Si profunditas fuerit punctorum masorum 1, longitudo aequalis Regulae; continebit vas quinque urnas &C Secundo, si profunditas fuerit punctorum majorum si longitudo contineat totam R egulam , & praeterea puncta majora q; quaere puncta majora profunditatis in capite Regulae seu Parallelogrammi , dc inde descende usque ad punctum majus quartum esec invenies ibidem notaras; continebit ergo vas novem urnas. Si profunditas habeat puncta majora 3, longitudo coram Regulam,& praeterea duo puncta majora,quaere 3 in capite Regulae,&. inde descende usque ad secundum punctum maluS, nempe trique ad C , videbisque paulo supra illud hunc numerum deletum, ψ i qui numerus significar,ut supra dixi, 3l urnas, sive tres urnas &32
mensuras. At quoniam a numero deleto , , usque ad secundum punctum majus C, supersunt duo puncta minora, quorum quodlibet valer octo mensuras, ut in fine praecedentis Problematis di xi, debes ad urnas 3:, seu ad urnas 3 & mensuras 3r,adiicere adhuc mensuras is, ideoque vas continebit urnas tres & mensuras X.
Tertio , si profunditas habeat puncta majora , longitudo totam Regulam, & praeterea a majora, & 3 minora puncta; quae re 4 profunditatis puncia in capite Regulae, dc inde descende per
duo majora, & tria minora puncta , nempe usque ad litteram P, reperiesque juxta secundum malus punctum quinque urnas icquia ab illo puncto usque ad tertium minus P, sun rnumerandae ΣΑ mensurae, cuilibet minori pUnctoarib Uendo octo mensura5, Ur paulo ante dixi; erit totius vasis capacitas quinque urnarum & 2ψ
Quarto, si profunditas sit punctorum majorum s , minorum 3,longitudo praeder totam Regulam habeat puncta maJora 3 que re s majora profunditatis puncta in capite R egulae, inde descende usque in tertium punctum majus , reperiesque supra illud hune numerum deletum qui signa sicat 6 urnas, sive o urnas, &3x mensuras ; quibu6si addiderisau. mensur S, propter tria minora lon-
243쪽
quae inder numerum huuc, γ, dc tertium majus punctum interjecta siunc; conflabis 6 urnas,&-mensuras. Sed quia pi ofunditas praeter quinque puncta ma)ora habet tria minora, addendae sunt cer tot mensurae,quot pancta majora continet tota vasis longitudo: quoniam igitur vasis longitudo conti- nec totam Regulam , & in supcr tria puncta majora, hoc est, iupuncta majora; debent addi cer undecim mensurae, hoc est 33; quare eos a vasis capacitas eri e septem uenarum & rs mensuraria. Quinto, fi profunditas sit punctorum majorum viminorum si longitudo praeter totam Regulam habeat puncta majora 6,minoraq,hoc est,tota longitudo vasis habeat puncta majora mitiora Qq uaere 6 profunditatis puncta maj ora in capite Regulae,&indedesicen de usiquoad sextum punctum majus, reperiesque numerum hanc deIem- ε, hoc est, urnasio , seu de cem urnas Scyx mensuraS, quibus propter in pancta minora longitudinis addα31 mensuras, α habebis exacterr urnas. Rursus adde toties i*mensuras, quot profunditas punca a minora habet, hoc est, quinquies 14, nimirum ro mensitaras; habebisque in universum urnas duodecim, mensiuras sex. Denique quia longitudo habet litibnora puncta, duc illa in minora putacta longitudinis, nempe in I, & produces io; quibus per 6 divisis per sautem dividi debent quia sextae sineae masora punctae in sex minora divisa sunt prove-njunt 3 mensurae. Ergo totius Rasisi capacitas es iz urnarum' i mensurarum.
Nora, silongitudo haberet etiam partes punctorum minorum, ut dimidium unius puncti minoris, aut unam ter tiam, autum m quartam, quintam&c. vel etiam duas tertias, tres quartas, duas, tres, aut quatuor quintas parces, illarum etiam partium rationem habendam esse. Exempli causa, si vas aliquod praererpuncta ma)ora & minora haberet etiam semissem minoris partis, accipiendae essent tantum quatuor mensurae : si longitudo vasis haberet praeter puncta majora & minora unam tertiam partem minoris puncti, accipiendae essent x mensurae. Ratio est, quia si dividantur 3 per 3, proveniunt ae; Si haberer unam quartam patatem puncti minoris, accipiendaeellen duae tantum mensurae. Si imam quintam accipiendae edent Ii unius mensurae, si quidem si er j, proveniunt i . Si haberet tres quartas partes Z si unius
244쪽
unius puncti minoris, accipienda essent sex mensurae. Ratio est, quia si 8 in 3 ducantur, producentur χ4; quibus per A divisis proveniunt6; sex ergo mensurae accipiendae essent. Si punctum minus haberet duas tertias partes, accipiendae essent 1; mensurae eductis enim 8 in a,producuntur i6 ; his per 3 divisis, proveniunt 1 Sexto, si profunditas plus haberet quam totam Regulam,operare cum dimidio profunditatis re longitudinis,ut hactenus ductum est, dabitque inventi quadruplum capacitatem vasis opta
Septimo,si longitudo vasis non contineret totamRegulam, duc puncta minora profunditatis in maJora longitudinis, & reperies musiuras, quae Vase continentur.
245쪽
Eod a pars est Geometriae practica non postrema ; ejusique o cium proprium est,esuperficies qua sicunq; propositas in quasi
cunque partes desideratas partiri. De superficierum divissionibus agunt Machometus Ra de inu mederim Commandium,ciri ophorus clavius lib. 1 Geomet. praeis. Simon Stevinus, Petrus Dion hi in Heglia, Erasmin Rhemholiast, plerique tamen valde intricate. Ego praxes faciliores tantum communiores asseram; reliqua leget, qui volet, apud citatos Auctores vigimus autem de Geod a, tum ut integram de Geometria practica materiam tria
mus, tum quia μνe ctes dividenda commodissime in instrumento nostro delineari, eae de lineat a dividi pos
246쪽
38 Liber VII, siunt, ut ex dictis lib. 3, π patet. Licet enim in ipso
campo dividi posset superficies; praestat tamen illas
ichnographice in charta delineare sicundum omnem laterum proportionem , ac deinde istas ita delineatas dividere,π demum mediante figura divisa in charta dividere easdem in Campo. siuod cum nullo instrumento melius ainacibus flat, quam hoc nostro Tanto- metro ; merito hoc loco paulo fusius ea de re Libro integro tractamus. siuam autem Geodam usuperficierum quarumcunque dividendarum Ars,sit non lumuellis , sed necessaria, docet Erasini Rhemholdus in
De divisione triargulorum per lineas ab angulo
ductas. TAmetsi raro accidat, ut planities dividenda siti persecte trian
gularis, accidere tamen solet non raro, ut planitiem ipsam dividere prius oporteat in triangula, &ipsa deinde triangula partiri, ut rite dividatur planities data. Operae pretium ergo est, de triangulorum partition e, & qu idem primo loco, agere. . Possunt triangula dividi per rectas lineas dlictas vel ab uno angulorum, vel a puncto in uno laterum da , Vel apuncto In l ra, vel a puncto extra triangulum dato. De omnibus casibus agemus, dc primo de priori.
247쪽
. t OBLEMA Imriangulum quo que dividere is duas, ires, quotcunque libuerit pare C AEquales ,per lineam a quo- ωis angulo ad latus oppossitum protractam.
DIviso trianguli ab angulo fieri potest vel in partes aequales, vel inaequales. Hic in aequales I postea in inaequales divide
Sit igitur triangulum ABC primo dividendum in dua . - rit.xCiv. quales partes per lineam protractam ab angulo A, ad basim B C. 1 au.x Dividatur latus B C bifariam in D, Oc ducatur recta A D; eritque A B D triangulum aequale triangulo A D C, per 32 Primi, o pris
Sit deinde dividendum in quatuor, aue quotvis alias partes. Dividatur latus in quatuor partes aequales BE, ED, DF, FC, α ducanturrectae A E, A D, A F; eritque peractum quod quaeritur, per eandem,' Primi, se primsm Sexti.
ΕX his colligitur, quomodo e quovis triangulo auferri possit quaecunquo Pars imperata, V. g. tertia, quarta, quinta, &c. per lineam ab angulo ductam: si enim basim oppositam angulo dividas in aequales partes tres, quatuor, quinque&c. ia lineas ducas; habebis tertias, quartas &c.
giter dividere triangulum in partes aequales per lineas ab angulis ductas.
l OUoniam si omnes lineς ab eodem du cantur angulo,aliquan. Edo segmenta fiunt nimis acuta, ut i D p cedenti figu ra patet quod quidem valde incommodum est in divisione agrorum ill ideo alium afferam modum, quo triangulum quodcun que dividiis potest in pax es etiam aequales, scd per lineas ex divinis angulisi ductas ad latera. M i Aa Sit
248쪽
Fig. XCv. Slt itaque dividendum triangulum AB C in quinque aequa-
-QRis Ries partes. Accipe ex utrolibet majorum laterum, nempe ex la
tere B C, partem quintam BD; dc ducta recta AD, habebis primam divisionem, seu unam quintam totius trianguli ABC. Secundo accipe ex latere A C residui trianguli A D C, partem quartam A G; dc ducta recta D G, habebis fecundam divisionem, seu duas quintas totius trianguli A B C. Tertio,accipe ex latere DC residui trianguli DGC,partem tertiam D F; dc ducta recta GF, habebis tertiam divisionem, seu vertiam quintam totius trianguli A B C. Quarto, accipe ex latere GC, residui trianguli GF C, partem dimidiam G E ducta recta F E, habebis quartam divisionem , seu quartam quintam totius trianguli A B C. Tandem quinta & ultima pars totius trianguli ABC, erit residuum trian. gulum E FC, eritque divisum triangulum totum in quinque aequales parteλ
PEr primam Propositionem lib. 6. Eucliae triangula, quae habent eandem altitudinem, hoc est, q/-sunt inter easdem duas parallifas constituta, itast habent interse, ut bases. Cam ergo B D sit quinta pars Io rivi trianguli A B A B D sit in iisdem parallius cum A SC; erit A BDpars quinta totius. Eandem ob causam vorum erit id quo de alii, partibus diximus.
Triangubum quocuVque per rectam a quovis angulo doctam dilidere in duas partes secundum proportio
nem datam, ita ut an eoedens proportionis vergat in quam partem voti ras
exui QIt triangulum BC dividendum in duas partes, per lineam ab idonis XV oangu o A ductam in oppositum latus B C, secundum proportionem L ad F, ita ut pars ad B vergens,ad reliquam partem ad Cvergentem ,habeat Candem proportionem, quam habet E ad F. Secetur latus B C in D,ita, ut eadem sit proportio BD ad D C, quaτ
249쪽
Geo laeticus. 187 quae Ead F per Schol. decimae Sexti , ducaturque recta A D. Dico, esse ut E ad F, ita triangulum A B D, ad triangulum AD Q
O Vomam enim utraque trianguia eandem habent abitudinem, per quartam Defin. SeXti ; erit perprima Sexti , Iriangulum Ad Dad trian iam AD C, ut salsis B D ad basim D GHceis, si Ea
SI vetus ut ante dens proportionis Uergeret tersim C inecanda esset CB ita , usegmentum CD , ad egmentium D B, esset , ut Ead F oro rundum ut dictum.
HInc pate: , quomodo procedendum, si triangulariscampus sit dividendus inter duos ita, ut unus haseat I, alter e dividendum enim est latu ecundum proportionem, quam habent duo adunum, o adpunctum divisonis ducendae recta ab angulo.
Tma utim quodcunque per rectas a quovis angulo due Tm dividere in plures partes 6ecundum proportio-uem datam, ita ut antecedens prima proportionis vergat tu quam malueris paracm.
SIt triangulum A B C dividendum in tres aut quotcunq; alias F. XCVH. partes secundum proportionem Dad E, dc Ead F, per lineas/ς is 3 ductas ab angulo A ad latus B C , ita ut primum antecedens vergat ad C. Di vi datur is Schol decima Sexti latus B C in punctis H& G, ut sit C H ad H G, ut D ad Ε, & H G ad G B,ut Ead F. Ductis enim rectis A G, A H, erit factum quod quaeritur.
J Am per primana Sexti, ut C Na H G, horret,ut D ad Ε, ita trian-1 gulum A C H, ad triangulum AH G; cui HGadG B, hoc eis, ut Ea F, ita triangulum A H G ad triangulum A G B. A a 2
250쪽
Iplures arisent proportiones in plures partes proportionales Huirin- dum esset titu b C. Et sprimum antecedens deberet esse versus I, i- viso inchoanaea esset a B versu Cprocerinis.
- ca. Est igitur Campus triangularis continens 6oo perticas quadratas,dividendus interquatuorita,ut primum habeat χOo ecun- S lFO, tertius ibo, quartus uo perticas quadraras. Debent autem omnes lineae dividentes egredi ab eodem angulo A ad latus BC. Metire latus B C, & inveniatur esse m perticarum simplicium. Divide so secundum proportionem datam in quatuor Partes, quae nimirum se habeant inter se, uri oo, IN, IJo,im interia. Fiet hoc arithmeticeperRegulam Proportionum quater,aut iter saltem adhibitam sic: Perticae quadratae 6oo totius trianguli ABC, dantin latere BC perticas simplices o, quid dant a Go quid iso 'quid i3oe quid line Invenies pro prima parte perticas simplices is , pro secunda iri, pro tertia IO , pro quarta IO. ln- Tentas partes abscinde in linem B C, in pun Ctis D E F, & ex angulo A duc rectas ad puncta inventa; eritque triangulum di visum prout postulatum fuit. Ratio patet ex dictis Problemate praecedenti. SItidem campus dividiendus interquatuor, cum iisdem conditionibus, sed per lineas e diversis anguli S ductas. Ex latere BC abscinde perticas 16 usque ad D, & duc rectam AD;&contine-hit triangulum A BD perticas quadratas zoo, scilicet partem primam. Eandem primam partem habebis si toto latere B C ab-