장음표시 사용
91쪽
At si persectae fuerint IunuIae quocunt modo inaequales.semper orthogonis a circuli medio ad substratam basim d ducendo aequales enitit. sit iacens linea A L; sipra semici cuius struatur ACFL, ab extremitatibus AL orthogonium quodcunque struatur triangulum A CL, cuiui laterum d ctum rectum angulum in C constituant supra latera AC,C . Ambientes semicirculi tonsurgant ABC, CGL, & in eis perfectae Iunulae ex more designentur A B C E, CGLH. His peractis in verticis sinuosae lineae puncto D ab diametri extremitatibus AL duo latera consurgant, ut orthogonium triano
gulum ADL constituant, aio dictas persectas lunulas ABCE, CGL H, in circulo AC DFL descriptum semper dia cto triangulo ADL aequales esset Quoniam lanulae A BCE, C G L Η aequales sunt triangulo oringonia A D L semper ex
Potest & alia probandi ratio suscipi. Triangula ADLt super lineam AL cuscripto, alluestriangulum aquale instata ilineam AL designetur, & sit ALΚ, di puncto Κcitumi pedes, A fixo,
92쪽
fixo, altero vago in A collocato sinuosa linea ducatur Ussiae ad L. Quoniam duae lunulae persevi* ABCE, CGL H aequales sunt uni lunulae AS L ex ima huius &lunula ACDFLSest aequalis triangulo M quod idem est cum triangulo
magis a. semicirculi xertice declinant, talito minores fieri, ut in triansulo A C L videre est, quod triahgulo ADLminus est, & qui desectium conspiceta quierit, triangulum ACM a triangulo M DL subducat hoc modo, a linea M D, linea M C praecidat, dia linea M L lineam M A obtruncet,& lineam MNiducat, triangulum M IN aequ/le erit ACM, reliquum triangulum ID N es viatilitas lynulas ID M L, dempta lunula A E C. T vero interuenientia vacua circa Iunulas si . quadryre quaesieris , ita quadrili Esto G-nori lunula A B C G, maior iC D L H im- heramus semicuriis ea triangula inania i ter illas, in rectilineas figuras reddere scilia
strita; itur parallςlogrammata tangentia earum ambientes
lineas P QC L, A R S C, & fiat alterum parallelo ramidum ex binis AL, TV, & sit ALTH & sat triangulum ACLgquale AF L per 3 i. primi Euclid. quibus ita dispositis inquam vacuum circa A T V L F aequale esse imperatis vo
93쪽
euis. Quoniam triangulum ri h L est aequale ACL eaeonstitutione,& triangulum ACL est aequale lunulis CDLin& A B C G, ergo si triangulum A F L a parallelogrammo A T L V abstuleris, reliquum vacuum A T V L F erit aequale interiectis vacuis iam recensitis.
Duas lunulas inaequales in semicirculi ambitu descriptas seorsim quadrare.
Prop. LSTO rectangulum triangulum ACL, euiunporrectius latus C L sit ausum exilioris AC,& circumserantur lunulet ex more,quibus adi ce suas literas indices C G L F, & ABC T. mox parallelogrammum constituatur ex Iat ribus
94쪽
ribus AC, CL, ίACKL, &fiat quadrans circuli CDLFR&subdupli AEGS, nos rionem reddituri, lineam CR triangulum ACL i iri inmixvrangu Ii compares mutuo co respondentes, & a uiues sint, ut ACR par sit RDL & tria pulum A CR partitaunulae A B CT triangulum CRL ipsi CGLF. Quonia Iunulae CGL p.& ABCT pares sunt triangulo ACL da hiam fiostri adiuuant , & triang*lo: ACLPar trimetrum G n L . ouoniam vi que sui parallel grammi dim 3Mm est ut figura 'inrta bulus demonstratumeit ergo triangulum C D L est duabus praesignatis iam lunulis CGLF,& ABC aequale,sed triangulum CDL est aequale lunulae CGL H, ergodunula CGLH est aequalis CGLF, &ABCT subducatur semilunula CGLF, utpote utrique communis, remanet sublunula 'LH aequMis ABCT, & quemadmodum triangulum CDL aeques*ACL, subducatur commune CR L, reliquum triangulum RDL reliquo triangulo Am aequale unularu panium reprqsentanti sequitur trian- . Κ sulum
95쪽
gulum Rm esse aequale sublunulae C F L Η, & triangulum ACR aequale lunulae ABCT, a quo si triangulum Ain subtrahatur, aequale lunulae ABCE per primam huius remanet subtriangulum ASI imae lunulae A E C T par,quod erat de
Vel hoc modo si triangulum ACL aequale est Iunulis A B C T, C G L F, compleatur triangulum C R E, & compleatur perfecta lunula,que sit CGLH,ergo addita pars trianguli l DL aequalis erit additae Iunulae CFLH, sed pars tria guli addita RDL aequalis est triangulo A C R, ut vidimus, &par est lunula ABCT lunulae CFLH. LVel hoc modo. Tres lunulae ABCE, CGLF, MCΤ sunt aequales trigono ACL, & duae IunuIae CGLF, CFLΗ trigono C D L, ergo omnes quatuor iam dictae lunulae sunt aequales duobus trigonis A C R, & C D L, sed tres lunulet ABCE.
96쪽
Iunula AECT est aequalis trigono ASR, quod quere
vel tres lunulet A B C E, AECT, CGIL aequales sunt trigono ACL, & trigonum CDL aequale lunuls CGLH, tolle triangulum CDL ςquale iam dictς lunulς CGLH, reliquum triangulum ACR lunulis ABCE, AECT aequale est, tolle lunulam persectam A B C E sub lunula AEC T sub triangulo A S R aequalis eri quod erat demonstrandum.
Trianguli in circulo descripti angulo per m dium discisscr, & lunulis a circulo medio
diuisis, proportio partis maioris trianguli ad I minorem, est sicut superior pars maioris lunulae ad inferiorem, Ec superior eadem pars ad minorem lunulam,& superior pars tria guli ad inferiorem sequitur eam suarum i
nutarum. Prop. . Nusquam ad diuersarum partium rationem lunularumtaΚ a descen-
97쪽
descendamus, admonitione dignum censemus, quod cum ab aequalitate duarum lunularum descendimus quam in secum da par te vidimus, quantum maior crescit, tantum aItera.d crestir, de ex alterius defectione altera augumentu suscipit,&circulus ille, qui per medium utriusque percurrit, a maiori' se inicirculo subripit, & minori addit, sed id non temeret, scd
certo se superant excessu ut ratio maioris superioris lunule ad inseriorem eadem sit, quam maioris superioris trianguli pars ad inseriorem, de ratio maioris superioris lunulet ad totam a minorem,ut ratio partis trianguli anterioris ad posteriorem eandem sequuntur an . log am, dc utraque utriusq; rationem sequitur,ut exemplis patebit. Triangulum rectangulum strue,
cuius angulis appinges literas ACL, productius latus CL in duas partes , angustius in unam partiri In puncto bis riar stissionis latet is C L signa Κ, ex quo , de interuallo CK
circinationis arcus exaretur, cui suas indices Iiteras applic bis C G L, eodemq. ordine signa A C suum arcuin delinea is ABC. mox triangulum maioris circuli CGL constitues, dc sit C D L, de minoris ABCE, sit AC S sepra succumbentem omnium basim AL, medius circulus flectatur ACFL, dico lunu- Iam superiorem maioris circuli C G L F ad suam inseriorem CFLH, eandem habere rationem, quam superior pars trianguli CRL ad inseriorem RDL, x eadem superior pars lunaeqmaioris CGLF ac totar minorem ABCT, quam triangulum CRL ad situm sequentem ACR.
Quod ut facilius cognoscamus ad hoc demonstrandum adhibeo numerorum oscium , dc ut facilius proportiones observemus cum fractis integros numeros in stactiones soluamus,ut unum den minatorem habeamus Quoniam lineam CL in duas partes divisimus erit eiu&quadratum quatuor partium, cuius pars quarta, idest unitas est, hanc in duodecimas solvemus,idest H, erit ergo totum triangulum ACL .,
de quia linea C L ad CA, duplam habet proportionem , ita
98쪽
triangulum C erit& triangulum ACR A. Ergo totassi unula persecta CGLH κ erit superior lunula maioris circuli LF cum duabus lunulis ABCT simul iunctae sunt H .Tria-guluna. C. D L erat H, si superior pars erat e inserior R D Lerit es, di quia tota persecta lunula CGLH est V ι ut proportio quadrupli seruetur, quam habet ad minorem perstinctam ABCE H& triangulum ACS erit ei par H, inferior ergo pars se, , & cum nullus melior congruat sublunularum partibus sit sublunula AECT H, sic superior pars maioris lunulari inferior me . Vnde proportio trianguli superiorisCRLad inferiorem BD L erit dupla, ut superior maioris lunulae pars CCL H ad inferiorem etiam dupla, idest et ad et et , &proportio superioris lunulae pars C G L F ad lunulas ABCTetiam dupla est, sed superior minor lunula ad inseriorem tripla est, ut ii ad H, sic triangulum superius A CS ad A S Mut ac ad ri . Subiiciatur aliud exemplum in trip a diuisc ne supra Ilianeam porrectam AL, circulum effingamus ACIL, mox in eo triangulum describendum, ut rectus angulus C litcram pos deat, cuius latus unum longius C L tres partes, minus A C, unam sortiatur in struendis ibi commode semicirculis C G Lmaiora
99쪽
natori ABC minor. Inde perfectae Iumilae ex ordine sub gnentur, idest trianguli CDL, CGL H, trianguli ACS ABCE,υ ii O I Iriangulum ACL, quia linea est trium partium, area erit H, proportio C R L ad A C R est tripla, ob id triangulum C erit . , & triangulum ACR v, triangulum CDE latus trium est partium,quadrans est nouem partium, cuius quarta pars est a , idest xl supra sunt trianguli CRL l, ergo trianagulum RDL erit k, tres lunulae ABG, AECT, CGL Fest 1irperior maior ad duas minores est tripIa, ergo lunula sup xior est .,&duae Iunulae ABCE, AECT est l, sed lunula per fecta est v, ergo superius triangulum C A S l subdirum reliqui imi & sublunula reliqua inferior maior lunula,ut compleat numerum H eriti, ergo proportio Iunula superior ad instriornm,ides' C G L F ad C FL Hsicut triangulum CRLad RLD, & lunula E G L F ad lunulas ABCT, & superior i nuta minor ad inseriorem, ut triangulum A C S ad triangulum AS R.
Datam maioris lunulam circuli. ita secare, ut
eius sublunula minori lunulae, sub- lunulae par sit. Prop. 8.
Vamquam in supra commonitis idem indicauerimus, uberioris tamen doctrina gratia exem- i id Q ol plum in hunc modum absolvemus. in hanc rationem triangulum orthogonium eligendum
cst ACL, cuius porrectius latus CL bifariam dispescemus, supra lunulas ex more constituemus,& medium circulum ATCFL, & eis triangula subijciemus CDL, ACR, mox datis lineis AC, CL parallelogrammum constituatur CAL Κ, inquam sublunulam CFLH, lunulis ABCT aequa- Iemee. Quoniam Iunula CGLH aequalis est suo triangum
100쪽
utrumque inamaale suo par logrammo dimidis CALX,& triangulum AC L esta quale t*hula CGLE, O Iunulia ABCT, ergo lunu CF H ςsta: qu iis lanulis ABC E ,: λΑ E C T, tollatur de medio lunula . LF, remanebir subi nula CFLH aequalis ABCT, quod erat discutiendum. i
. Datam dupli, Gaubdupli circuli lunulam ad . illi: : imperatas partes discindere.
Sto dupli, & subdupli multifariam scindenda I nula A FLH, cuius subtensa AL, sui compar tria ngulum jnserius substituemus ADL a medio inflexi cii soli vertice F v ad trianguli aciem linferne pq iram P: recto ductu descendar. Ii idextro trianguli latere AD suturae linear designandae sunt Iu-