Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

42쪽

o fas imis, At vero, si dumtaxat q- tu re um gulum , quod dato quadrato sit aequale; problem arit indet minatum; cum infinit a in ne j xi mr se ris Quorum unumquodque adaequo qu/set tum id tum lineae Latque idcirco omnia tu 'g tu ιibi nautuo erunt aequalia. i Rursiis ii quolibet problemate geometrico duo sim: Mirio continentur, Notum sve Dau- , - . - εω- , ii is se sit , sicuti io cra ab em trisi duo

43쪽

ctu incitiduntur 'pothesis , Coi clusio Etenim, si quod proponit tir, nihil aliud contineat praeter Notum; id utique non erit Problema, sed Homa, idest propositio notissima; at si nihil aliud completaturi, quanis vel aliquod obscurum, sive novum, facillinii miseria

fectu; fiet pones nim, quod adhq non est probatum licet facile possit admitti vel aliquod incognitum; erit problematis blutio plan impossibi is . sve non e it problema . Cum enim mentis ὀstia is miratio id quidem erat, ut ex cognitis possit tantum aliouid eruereri profecto, si nullae adsunt conditiones nullum nobis suppeditabitur medium , quo , id, quod

quaeritur, detegere valeamus S per coiisequens ' blematis solutio fit nobis impollibilis. Jam vero quemadmodum plerumque praeter conditiones neces: Larias, aliae etiam adiunguntur superfluae, ac reiiciemis, ut problematis blutio possit obtineri ita aliquando non omnes adponuntur conditiones, quae ad soluti nem probleniatis sunt necessaria: S tum problemata fit indeterminatum , infinitas nimirrum admittens λ

lutiones. - . . . . .

Etenim problema deterniinatum hac patrie differt indeterniinatum , certisque modis solubile, si adiunt tantur, quae deficiunt, conditiones ad determinatam solutionem necessariae. Sit Ara recta linea, quae ital g. I. debeat dividi, ut rectangulum sub segmentis aequale sit quadrato data re Mine: H. In hoc problenui te duae insunt conditiones, una, quod latera rectati guli sinu sumpta aequalia sint datae rectae lineae ualtera, ii 5 ipsum rectangulum aequale iit dato

ouadrato mae conditiones satis sunt ad problemati, terminati determinatam solutionem Nani si super

data recta linea Semicirculus describatur ACDB;

atque ex extremitate una erecta perpendiculari quae

44쪽

qiuae aequalis datae rectae Η, agatur per punctii maxedia linea CD parallela ipsi Ai iv ex ptinctis C,

in quibus ducta para tela senii circulun secat, deniittantur CE ,- DG ei dena in perpendiculares, erit quaestum res angulum tam id tu id fit ex x inst B, quam id , quod ex B. Et quidem . ii triusque rectanguli latera adaequant datam lineam A B; de utrumque ei aequala quadrato recta lineae datae H; quod quaerebatur. Sed nihilominus, si eidem problemati. praeter duas illas conditiones tertia adtionatur, scilicet quod eg- mei ta rectae lineae satae A M sive etiam latera rectun-

Iuli inveniendi debeant este in data ratione, mani. inum est hanc conditionen ad probleuiatis resbluti non esse plano superfluam, minimo ipsum per illam . reddi nipossibile cum problenis per duas priores

.conditiones sitis apte determinetur . Quamobrenia ,

.cum problema tridus is conditionibus proponitur, nonnisi duae sunt considerandae e inveniendum est velo es angulum dato quadrato aequale, es cuius lariter simus sumpta datam rectam lineam adaequent; es rectangulum; quod dato quadrato aequale habe ta tera in data pror Grtione ves do: ique rectanguluin, cuius latera sint mutuo in data proportione, es simul

sumpta datam rectam lineam adaequent . Nam, Quem- .Rdmodum huiusniodi: ruriangulum i ioximo c tu r. solas illas duas ori litiones optime determinatur ita ςtiam in . reliquis duobus casibus per conditioiles in iis adpositas satis apte definitur. At vero si ex eodem problemate auferatur una conditio, scilicet quod latera rectanguli inveniendi aequalia esse debent datae redis lineae & uni taxat proponatur inveniendum rectangulum, quod sit aequale quadrato datae rectae lineae Η, perspicuum est, pr pter defectum alterius huius conditionis problema imitate

45쪽

determinatum evadere dc infinitas recipere soluti ἀIῖ, e . Etenim si licuius quilibet describatur At C, PIH a. eumque contingat in punil ree a m quae ipsi sit aequa Ila, ex puneto inducantu infinita rem linea DC, quae circulo in duobus une is B, 'Occurrant ob notissimam imul proprietatem palam.

est , unumquodque rectangulorum BDC aequa reis quadrato, quod fit ex tangem A D; sive riuit is data recta linea , cui ipsa Am ex conflauctitista est aequalis inocirca hut problema tali passis propositum determinarum fiat, certainique numerum si lutionum diversarum admittat, supplenda ἡst es eoii ditio deficiens, ex arbitrio; de quaerendum est vel re ctangulum, quod dato aequat quadriit haberi lare uin letita proportione, vel , etiam citiis a teri

sumpta datam remin lutealia adaequenti . i. t

Ex dictis observandum, quod quemadiit Mumta problemata indeterminata , determitiata reddi possun quoties conditiones iis defclantes adponuntur; uad. vjcissilia problinati dete minata teddi postilis an dem terminata, cum aliqua ex usu cotidittanis auferii tur atque hoc generatim ετ dimni quoiuod εα-que problemata . Nominatariari iter abi ariola iconditioirum indeterminata scuti etiam generatine, suit dictum is problamatis uidereriminatis atroauo : doctumque redditis, determ irati, per i condiruinuus. adiectionem. Nam, sicuti cum qMeritur recta rimul viii, quod simpliciter dato quadrato si aequale, inveniri possunt infinita eiusmodi res angula, ex quibus inimilion nisi linteum inseruit quaesito cum latera ipsus rectantuli simul sempta aequali esse debinis dullineae sive cum problema, determittariim; Hue i tione eunt quaeritur rectangulum quod dat wdn to si aequale, es colus suinpta dit Grectam lineas adaequent, unua, tantur inoo ,

quod

46쪽

quod quaesito satisfacit cum tamen infit illi possini inveniri restafigula, sit e lateri resanguli inve- mendi , nequaquam omneat, ut datam reminclineam simul iunipti avi vehi veletiain ii ipsam rectangulum investiendum minimeseo debeat datis quadrato aequale.. Advertendum secundo, quod pioblema determinatum ara intimi indeterminatum , dempta aliqua coim umh qit dictvis est, ii Golani adiecta conditii Eabia ae Liriniunx problema revocari posest, sed rim sinatis tu,qui umia tu sis potest, seterminari; non priui ium, .sed novum euietatur problema deteraminatum . Ita; cum quaeritur rectangulum dato quis da Go. aequale, , later .ha m datae re in lineae aequa ua; auia, aut, altera concutione demista redditur in de riuinatum problei, a. α' si adposita 'una, ves iterae ablata conditione, inficitur idem problema d

terminatum Sectanaen , si, uti antea , quaeratur re-Hangui una dato qua irato aequale, cuius latera sint aequalia datae rectae lineae tum dempta illa conditione, quod lat assint aequalia rectaelineae, adiecta hac nova, quod laten alio in data ratione, ex indeterminato fiet novum problema devmunatum, non quod erat antea. tum tamen est, mininae exi arbitrio homo plerum que pendere, quod problemata determinata reddan tu indeterati nata hoc, vel illo modo &quod indeterminata reddantur quoque determinata hoc, vel illo modo, qualibet adposita conditione. Nam ab aliis

solvenda nobis stata, certaque ratione problemata plurimum solent proponi. Haec dicta sunt ut probe lio scatur a Tyronibus probleniatum indeterniinatorum S determinatorum natura, ac differentia. Quod vero dictum est de prohiemate determinato reddito indeterminato vicis in est dicendum de problemate iud terminato reddito determinato. His i sitis quemadmodum Reuiores. J a com

47쪽

dandums la μές. veteribitae G metvis perspecturix. hoc eodem orisne fuit. -re hanc: in Gemi nietricis doctrinam inuito pretio habuerunt, uti testis: , est appiis Alexandrinus, qui initio Libri septimi conectiomisi , Μ tbeniat earum , strabens ad Filim --inium iam ornm e uirum , iis marina ,

. tque uinius tanta indo utilitari Walia moensa es Quod ut clarius exemplis innotescat, quaeratur rectangulum euius latera sint in data proportion Ponatur quaevis remi. litaea B. ei adhaereat ad quemvis angulum alia recta C; i sit AB ad BC

in data dicta ratione. Modo iungantur pune a M. . C recta linea A C palatii eli, in linea A Getie ores natam seriem infinitorum valorum quaesti proble-naatis ad Guam Edeundum , ut reiangulum quaeritur euris latera sint in data d la ratione ideli in linea AC ades ' infinita series ut forum satisfacie

tium problemati . Nam ductis quibuslibet lineis, Nin litare Ara C parallelis has B C , exit semper ΑΕ, ad BC, ut AM, ast MN inare rectangula

Omnia , quorum unina latus iitra , alterum MN,

satisfacient problemati indeterruinatos lia bunt enimaaetera , anx data dicta olim Eodem

48쪽

I Eodeni modo si quaeratur rettantulum quod in . Kognato quadrato aequale habeat latera, quae sinulsu napta claram rectan adaequent post Ara data q-aecta linea; fh super ea tamquam diametro deseri ha-tur circulus AN B series disposita punctorum N in . per herin crit locus Geometricus, seu sedes punctorii infinitorum, quae problemati indeterminatollissa tulit, continentia infinitos quaesitos satores Nana, ductis ex punctis N normalibu ad Ara secantibus ipsati in M, erit semper rectangulo in aequale quadrato M N, O circuli naturam. Atque hac qui . dem aemne per dispositionem in Ordinatas series, seu in infinita linearum pumta, eontemplati infini 'amum orsuum problematum indeterminatorum, contem pigrio niaxini Linearum Cur tuti ipsis

tabulo promanavit sed ex altera parte nihil apud eos magis in abdito fuit positus uani uitiis vocis signi. Matio. Quidam enim adeo arcte illam acespiunt, ut id dumtaxat Geometricum vocent, in cubino eum iure ς-fici potest. NA ---n- B a ut

49쪽

ut omne id pro Geoinetrico littelli Uant quod i ani- O persectum, utque exactii ni sive circitio, ii ve L .. .su litet alia fiat ratione . Hinc distinctio curva ruin In Geometricas, , ,eclianis HS Urnder: dici salIes

Ueteres, qui e Geometricas semper ad pravinita traducebant; ipsi inque Geonioriam. veluti disciplia .nRna Diateia plabantur, ae non to ratiotieni, idest mentem, per si ret, quani ad visae usus foredissicinni

data id filiuit Geometiore iactum dicetant, quωMirculo re ut Iliaeae conficietb tyr; in quod comsequenter plo circino, Regilla poterat ad praxim

revocari Ratio est quia in problematum retioluti m non uti is mi veterum scopus primipuus, cum . si sui et, sis ea pediti ratio operandi in quaint i veniendo ita ut Circulo non munus uterentur in eorum problematum resblutione, quorum locus , sive sedes est in ipso Circulo, sive in sitieis et adgnotis, sed etiam in resblvendis lis problematis, quae cum sint plane simpliciora, per solam rectam lineam possunt adiministiari . Unde, quia aliarum Cui valui' descriptio non tam facile obtineri posse ab ipsis e gnoscebatur, quemadmodum Circus circumferentia, quae mus circini ductu in plano describitur iunces , ut id solum dixerint Geometric fieri , quod Circuli circumferentia absolvebatur . Atque hanc unice suisse veterum mentem pluribus quidem rationibus ostendi potest . Nam primo si non ad facilitatevi operandi , sed ad solam naturae

simplicitatem, sive ad simplices nostrae mentis noti . ne in problematum resolutione animum adplicare ii voluissent, merito reprehensione dignus esset Eucli. dec qui postquam initio libri primi suorum Elemen torum sibi concedi postulavit, ut quovis centro die

quovis buerouo Circulus describatur . deinde pro, pota

50쪽

positione secunda molutionenat, aegreditur eius pro . . bleniatis , in quo ad dat ima punis uni oporteat i es amlineam 'plicare datur restae lineae mi alam , Et pro

positione tertia tibi ungit solutionem alietius p bli et ratis , in quo 'datis dia abus est, hi laesi aequalibus ex niatori portio aequalis unori abiminini Quandoquidem, si rem inlinitus ni ideremus may reni, aut salieni aequalem dissidestatem mens rostra expe-

tuu in intelligenor circa idarum cuntium descriptisma culinu cuiusvis intervalli quis an coincipienda adulatum pulictum apphicasa data res' linea; quae, au teri data iit aequalis aut etiani ex maiori recta li- scissa portione, in concipiendo , quae minorem

Nec prosecto inna otione ab hac negliger tiae nota .vhidieabitur meo iudicio, o sintentia Euclides, quam dicendo, vetero Geonintras uore Tam ad finplices nosirm mentis inuicemus, quis, ad faeciliorena ope randi tui eiu in probis alum resilutione inspo.ctionem accomodasse ita enim facile ratio intelligetur,

quamobrem circiali descriptionem' dato centro , cintervallo in postulatorum mi mero reposuerit Euclides ;- tamen speciali soluti ne digna existimaverit duo illa problemata, quae insecti a S tertia propositione primi libri continentur. Nam, ut Circulus dato centro, intervallo deseribatur, satis est intervalhun illii circa datum entrum eo, usque tare, donec ipsum ad locum redeat, unde coepertatis veri id quod solius Circini ope satis apte obtine

tu . Sed tamen, ut ad datum punctum recta linea Aadplicetur, quae alteri datae sit aequalis aut etiam, ut ex maiori recta linea portio abstindatur, uete datana rectam lineam acaequet, describendus elset ex dato illo puncto, aut etiam ex una extrenritate lineae mirutis Cuculini . habens Pt intervallo ipsam rectam

. lineam