장음표시 사용
61쪽
posita est usis tractatus coctrina, pedem in nuti. iiii vis. Hucusque naturam linearum Curvarim gens:ratim contemplati sumus, nunc proprii, ad rem a cedentes pias Curvas lineas hactenus a Geometrisonsideratas emimerandas sustipimus: & propriam Iineae Curvae 'ue naturam singillatim expositione prosequmi in Pria iis lineo Curve,que teribus post Ct oiviri limotueriint, sunt Conta sectiones, ut iam sub initim disinius quare harum naturam primo comtutiamur quas cum tres ei se eonstet , Rarabolan Ellivsin, Hyperbolem , si'ue Parabola aliis ciliabus longe simplicior, ab ea initium ducemus. Est Parabola Curva linea, in qua quadrat crdinatarami eamdem inter se habent rationem, ac abscisae cor hondentes ut si rectae lineae mi quemvis datus ang. ordinatim adplicentur pluresse, tineae M N ahi invicem parallelae, sed ratis quidem naturae, de lingitudinis, ut ipsarum mquadrata habeant inter se eamdem a nem, ac abscissis LM iis ordinatis correspondentes, linea Curva Amm, quae per extremitates earum ordinat nim transibit, Parabes dicetur.
62쪽
Unde si e vertice eius A ducta recta A C ipsis parallela talis longitudinis, ut quadratum unius ordinatae D E aequale sit rectangulo in quod fit ex ipsi recta AC in abicissam correspondentem AB m it quadratum cujusvis iterius ordinatae MN aequa te rectangulo CA Μ, quod si ex AC in abscissam
correspondentem M. Nam, per Parabolae naturam, ut DE quadratum ad M N quadratum, ita af cima D ad abscissam A in sed sumpta coniunt altitudia ne AC, abscissa Am est ad abiciliam Min, ut rectangulum AD, ad rectangulum C AM ; qua erit ex aequa ratione, ut DE qtiadratum ad minuadratum , ita rectangulum C AD ad rectang. - : proinde, quia mangulo AD aeo uale supponitur E quadratum , erit etiam rectangulo CAM qu
le M N quadratum Fllipsis est Curva linea, in qua ordinatarum quadriata eamdem servant rationem, quam habent rectangula comprehensa sub portionibus ex eadem Nd a linea per Ordinatas illas abscissis. Ut si eidem rectae lineae Ara ad quemvis datum ang. ordinatim adplicentur plures rectae linere M N hi in vicentia parallela in quovis angulo, sed eius tamen longitudinis , ut ipsarum M N quadrata sint veluti sctangula A MAE, quae fiunt a correspondentibus portionibus M, B, ex eadem recta linea is per Ordinata die a abscissis, linea Curva AN B conia ctens harum ordinatarum extremitates Iliasis nominabitur. Unde si ex vertice A ducatur rei' Α C, quae ipsi MN parallela talis sit longitudinis, ut quadratum unius ordinatae in sit ad tuum res an pulum νων, veluti uel recta AE ad ipsam A B erit quadratum cujusvis alterius ordinatae M N ad suum rectang. AMB, etiam ut AC ad A B. Nam cum
per Ellipsis naturani quadratum D E sit ad m
63쪽
quadratrini P. uti rectant lanae , A D Bod 'rectanse M erit, permutando , ut j quadratulis ad Wrectang. Ai iti MN quadratum ad rectasim AMB unde quia ex hypothesi Di quadratum est ad inani Am ut AC ad Ab urit exaequa imite etiam ut M N quadrivum ad rectang. Α Μ B ita A C ad A B- Ex quo iret quadratum cuiuslibet ordinatae M N miniis esse rectam Cini quod fit ex recta A Cin ah sciliani corres mentem A mali rei'ang.
mili limiliterque postro ei, quod fit ex A C in A B. Et resim ium' BC ductaque ex puncto O, in qua ipsa bim huic occurrit , recta in ipsi Ara paratauic; propter similitudinem triangulorun MOB, erit uti A C ad A ita MO, ad Mi
sed per antecedentem Euipsis proprietatem AC est ad A B, ut bim quadratuni ad rectan o AMAE maptaque communi altitudine AM, est B; ut rectangulum A MO ad reis angulum A MAE quare erit ex aequa ratione, ut MN quadratum ad mctangulum AMR, ita res angillum ad idem rectangulum A, B;- proinde MN quadratum aequale erit rectan illo AMO: iam vero rei'ai gulum Moisi inus et recta noulo CAM reis angulo alio CP quod est simille, o similiter positum, Hangulo AB, cum sint circa auidem diagonalmia C. Ergo in quadratum minus erit reflangulo
A in alio rediangulo simili , institerque posito ei, quod fit ex x in a. Q. E. D.
Hyperbola est linea Curva, in qua ordinatarum . quadrata eam inter se servant pro Portionem, quami habent reis angula, quae fiunt ex portionibus sumptis ex utroque alicuius rectae lineae terni ino .correia pondentibus ordinati ad ipsam illam res an lineam
versus unum terminum Productam adplicatu id Amsit
64쪽
se aliqui rem linea terna inata, ad eam versus terminum umi A productam adplicentur in quoliabet dato angulo plures rectae lineae M N parallelae sed ita tamen ut ipsarum , quadrata in ea inter fidi sint ratione, quani habent rectangula A i , quae fiunt ex correspondentibiis portionibus A in B M
sumptis ex utroque termino rectae lineae A B; line Curva AM E quae per earum ordinataruna extremitates transibit, H perbola dicetur. Si ex vertice A ducatur recta C perallela Ndinati m eius longitudinis, ut ciuadratum unius ordinatae in sit ad suum rectangulum mi , ut AC ad AB erit etiam quadratum cuiusvis alimrius ordinatae M N ad rectanae ut uni ipsi correspondens ΑΜΒ , militer ut AC ad A B. Nam, cuna per hy-Φerbolae naturam in quadratun sit ad M N quadratum , ut reis angulum Ama ad rectangulum -ΑMB. erit permutandQ, ut in quadratum , ad rectangulun AD R, ita , quadratum ad rectangu bini MR. Unde quia, ex hypothesi, DE quadratum
est ad rectangultim mi ut AC ad A erit, exaeqtra ratione, uti m quadratum ad rectangulunia.ΑΜ ita AC ad AB. Ex quo patet quadratum cuiuslibet ordinate Nmaius esse rectangulo CAM, quod fit ex recta AC in abstitiam correspondentem Am rectangulo alie inii-ai, similiterque posito ei, quod fit ex AC ut Ara. vim iuncta C, productaque ipsam N, donec
eram ea protracta convemat in pum o auia su
65쪽
ex aequa ratione, ut MN quadratum ad rectangu- luna AMB, ita rectangulum M ad idem ret' tangulum AMB;- proinde m quadrat una aeqtiale erit rectangulo AMO. Iam vero deni illa CP ipsi M parallela , rectangui uni A in maius est rectangulo ram, alio rectangulo C P , quod est sinit te, similiterque politum rectangulo in C, cum . sint circa eamdem Diagonalein BD ictu M quadratum maius et laua erit rectangulo A rectangulo alio simili, similiterque posito ei, quod fit ex A C in Ara. Ex his omnibus facile coli igitur quaenana sit harum omni una Curvarum differentia. In Parabola quadratum cujusvis ordinatae aequale est rectangulo ex absciua in rectam lineam constantem, quae Para-
merer, sive Latus rectum nominatur. In Ellipsi idem quadratum minus eis, in huperbola maius rectangulo sub abscissa, de latere recto comprehenso, alio rectangulo simili , similiterque posito ei, quod fit ex e dem latere recto in aliam rectam lineam , quae maeris ran versi ire me ap latur . Inde eiusmodi
Curvae nomine rabolae Ellipsis, Hyperbolae inpellantur; quandoquidem Parabola comparationem alve aequalitatem Ellipsis desectum ,- Hyperbola
Sed ad harum Curvarum similitu finem alias Liuiles Curvas in infinitum promotas recentiores Gemmetrae excogitarunt masimiliter infinitas Parabolas, infinitas Ellipses, infinitas hyperbolas nominarunt. Et, ut ab inlinitis Parabolis ordiamur, quemadmodulis parabolae Conicae veterum ea est praecipua propri tas, ut quadratini cuiusque ordinatae a reluet cranaulum sub latere recto, correspondente abscis comprehensa, ita alias Curvas in infitiuum erinxerunt, quam.u ge An aliter ea sit proprietas, ut non quadra
66쪽
stas adaeqtiret Cniogeneutra producimaa, quod sat ex alia minori potestate lateris recti, in potestateirta reliqua ni ab stillio correspondentis. Et ex variis potestatibus, ad quas ascendere potet ordinata , diverse Curvas illas Oininarunt. Siquidem dicuntur Para-holae ita draticae, sive primi generis, si Ordinatae pote .stas sit quadrat uni, ubicae, sive secundi generis, si ordinata ad cubum ascendat, atque ita in iii finitum. Cuiuscumque vero generis Parabolae , si quadraticae, sive eae, quae prini generis sunt, utpote unius dunttaxat speciei, excipiantur in plures alias species distribui possunt idque pro variis iodis, qui bii parameter, sive latus rectum componi potest cuni a scissa, ut productum obtineatur homogeneum potes tati, ad quam ascendit ordinata. Hoc pacto Parab
lae Cubi e sve secundi generis duplicis esse possunt speciei. Etenim ves in iis Cubiis cujuslibet ordinatae adamua Solidum , qu6 fit ex quadrato lateris recti in absc isam correspondentem tales Parab .he primam speciei constituont verisius sunt naturae, ut Cubus cujusque ordinatae aequalis striblido, quod si ex latere recto in quadratum abscissae oresimi
deum; 4 c quum casi eiusmodi Parabolae sp
Eadem ratione duplicis quoque species esse ponsint Parabolae texti generis quae, alio vi abulo Qua . drato. quadraticae etiam diciantur siquidem vel qua dotes quadratum uniqs cuiusque ordinatae aequale est Plano plano, quod fit ex Cub lateris recti in abscissam correspondeblem; cun hoc contingit, P rabolae primam speciem earu iii, que, tertii sunt gen
ris constituent vel eam habent naturana, ut quadrato quadratum cuiuslibet ordinatae aequale sit plano
plano, quod sub latere recto, Cubo absciss cor
67쪽
respondentis continetur; G tales quidem Parabolae speciem alteran effornaabunt. Sed notanduna es , quod tamen si in huiusnaodi tertii generis parabolispouit quoque quadrato in quadratu in uniu cuiusque ordinatae per aequationem coin parari una plano plano, quod sub quadrat lateris recti, inu drato abscissae com espondentis comprenenditur ait naen non hinc parabolae, quae hac natura pollent, spe ciem alterani parabolarum tertia generis constituent;
quandoquidem reipsa ne tertii generis quiden sunt; cuilli extracta ex utraque parte radiis quaintata, ad parabolas primi generis deprimantur. Id quod etiam in similibus casibus est obse Wandum o Ita si in hisce Pio abolis latus remnii sit a. ordinata dicatur a abstina vero sit , Mani quadratum ii est . . seu a -- quadrato inuadratum aismet a sive qua batum est est 'in quadratum' a lateris recti est quadratum abicis, quare plano optauimo ex ui 1adrato lateris in quadratum scissae, erit Ergo harua abola alia habebit proprietates , ut sit aequa-
drata 3 est mi ero fiet proprietas, ut sitis aequa-k o se a Se iva, ides Parabola erit , cuinsordinata quadratus est aeuualidi rectang. ex iste reisio a in abscissem correspondentem x. Sed Par bola, cuilis ordinatae qaiadratuit in aequase rectangulo ex latere rest v, abscissam corre iide tein . est Parabola prima comi nas Apolloniam . Qua re p
68쪽
B: insistic Parat olim ad infinitas Ellipses traim
seuntes dici is, ibis, Meuia minam Conicae vetenim Ellipsis ea . eu natura, ut in dratum cuiusque, ordinatae Milaisit a rectangulo iub latere recto corresponden abstinc an pr-s- . nisi, si iliterque post ei, quod sit m eo in nrcto, latere in latiis traiisversum otii recentiores Geonio in Ellipses alias in insititimi excogitarunt, quarum isa est natura , ut non quadratum tantummodo, sed quaeris tuusque ordinatae potestas deficiat ab homogeneo producto, quod si ex alia minori potestat. lateris recti in potestatem reliquam abscisis corii L. pondentis , desectu simili, sutiliterque posito alterii homogeneo producto , quod fit ex eadem lateris re mi potestate in potestatem reliquam lateris transversi Et, perinde ac in parabolis dictum H , diverse Ellipses haste nominaruit ex variis potestatibus, ad quas ascendere potest ordinata. Dicuntur enim Ilipses quadraticae, sive primi generis, si ordinatae potestas sit quadratum, ubicae, sive secundi generis, si ordinatae potestas ad Cubum ascendat, atque ita deinceps Hinc etiam nunt quodque getius Enipfium, dummodo quadraticae , sive eae, quae primi generis sui it eucipiantur, in varias alias species dividi potest; idque pro diversis rationibus, quibus latus restum eum abscissa complicari potest ut productum habeatur homogeneum potestat , ad quam ascendit ordinata uita ratione Eli ipse Cubicae, seu secundi generis uia
plicis eis possunt speciei vesci Cubus cuiusque oriadinatae deficit a solido, auod fit ex quadrato lateris recti in abscissam corret pondentem, defectu simili similiterque posito ei solido , quod fit ex eodem lateris recti quadrato in latus transversum; hae lalipses primm speciem consti ent vel si Cubus cuiuscumque orcinata deficiat a selido, quod si ex la..
69쪽
tere recto in quadratum lateris tr versi quo su ejusniodi Ellipses speciem alteram constituent. 1 duplicis quoque speciei esse possunt Ellipsestertii generis alio vocabulo Quadrato inuadraticae tiam dictae; nam, vel quadrato quadi arum unius . cuiusque ordinatae deficit a plano plano quod fit
ex Cubo lateris recti in abscissam correspondentem ., desectu simili, similiterque posito ei plano plano quod fit ex Cub lateris recti in latus tralasversu na Qtum prima species et Ellipsium tertii generis vero quadrato quadratum cuiuslibet ordinatae deficit a plano plano, quod sub latere recto fit, Cubo abscissae correspondentis, desectu simili, similiterque posito ei plano plano, quod ex eodem latere recto iii Cubum lateris transversi huiusmodi Ellipses speciem alteram tertii generis conficient
Non sunt vero numerandae in hoc tertio genere is
Ellipses, in quo uadrato. quadratum ordinatae fiat aequale plano plano, quod sub quadratis lateris recti , de abscissae correspondentis continetur dempto desectu sintili, similiterque posito ei plano plano quod fit ex quadrato lateris re 'i, in quadratum lateris transversi . Nam haud secu ac in Parabolis huiusmodi uipses, extracta radice quadrata a quantitatibus una comparatis, seu tu tuo aequatis ad Ellipses primi generis deprimuntur.
Sed hi calculo Algebrico ad naturam harum Curvarum ultra produe arunt, is quasdam Sirunt proprietates satius exponendas accomodato utenduna
necessario nobis est, ut redi eae intelligantur; quod
neque mirum, ac novunt, neque importunum debet
videri tum quia, hoc duce Calculo Geonietria universa, maxim haec disciplina Curvarum mirifi-c provecta est , uti benesnotum Geonioris ouare
aliquo iure ipsum uincce calaulum Geometria ejusmodi
70쪽
Curvarum sibi seposcere videtur cum etiam qu niam Hie huius calculi musta in nova Geometria immo fere omnia, & potissimum haec, quae pertra 'amus, longe expeditius, Varius exponuntur,
intelliguntur Igitur positis litteris ni pro indiciis potestatum, quas habent quantitates utra usque in embri A gebricae aequationis , die an abscissa tostiae Ellipsis Fig. die a veroo ordinata correspondente Patque latere resto nuncupato de latere transverso nuncupato effornio pro nanibus Ellipsibus cujusvis
generis speciei 4ςneralissimam aequationem .
Ex hac aequatione clarissime cognoscitur primo, in Ellipsibus his omnibus infinite produe is reipsa latus rectum ita ccna plicari cum abscissa, ut productum habeatiar seni per homogeneum potestati ordinatam quales Curvae et se debetit de ita efformatae ess debent etiam aequationes designantes illas. Nam hoc modo collocata sunt potestatuna indicia ni , n, ut id seni per necessario fiat. Secundo cognoscitur, ordinata
ipsiusmet potestatem deficiere semper in Ellipsibus his omnibus ab hoinogeneo producto ex alia nilnorii dictate lateris reei in potastatem reliqua i abscissi correspondentis, defectu simili, similiterquei in aut i Mimogeneo producto ex e dem lateris rem p test te in potestatem relliquam' teris tiransvexit . Sicuti id est in Ellipsi conmuni Apolloniana de quae a tax prima, ac praecipua Oirorum timearum Ellia piscarum . Nam sequatio est generalis quare scin ea id ostendetur, sinum idem erit pue omnisu. aequationibus Ellipsium ompium, se uox culinis . itu.