장음표시 사용
21쪽
Τabella haecce levissimo negotio quinusque opus fuerit continuabitur, in s prema quidem serie transversali per ea quae ad Propos 3 annotata sunti, in prima serie perpendiculari per continuam bis, ctionem dimidii, in locis intermediis per dimidiationem summae duarum areolarum immediate praecedentium in eadern serie perpendiculari& transversali, cujus
ex dictis plus satis perspicua est. Quo
modo autem expectationes duorum i dentium absque con
tinuatione Tabellae indefinite ad quotvis
deficientes lusus e hiberi possint, infra in Appendice Cap. .Part. II. ostendetur.
22쪽
NUnc vero ponainus tres esse collu res, quorum Primo ut & secundo unus lusius deficiat sed tertio duo luSUS.
. a inveniatur primi pars, rurῖS advertendum est, quid pii deberetur, sit vel ipse vel alter reliquorum duorum primum Iulum Vanceret. Si ipse vinceret, haberet depositum, id quod sit a. Tod ii secundus vinceret, primus nihil haberet, quoniam secui Soic iusiui finem imposuisset. At si tertius vinceret, tunc cuia quς trium adhuc unus deficeret lusus, ideoque tam primo quam
Mnnotat. Cujus pars siparatim etiam inveniri potuerat. J -- Gipso Jequentem ludum vinceret, expectatio ejus Eois V in *ς00d proximi ludi victor is ad O; id quod ipsi per Coroll. r. Prop. III. valet La.
quot quis voluerit, ex quibus uni plures & alu pauciores lusus deficiunt, cu-luSque parS inveni diur, considerandum est, uuid illi Culu S partem invenire volumus, deberetur, si vel iose '
gdiatur, & aggregatum per numerum collusorum divi-Gatur, quotiens ostendet unius quaesitam partem.
23쪽
Ponamus tres esse colluseres A, B, & C, & ipsi A umim Iu- dum deficere, ipsi B duos iussis, & ipsi C similiter duos lusos. In venire oportet, quid ipsi B, ejus quod depositum est, debeatur. Id quod vocetur q. Primb examinandum est, quid ipsi B deberetur, si veI ipse, vel A, vel C primum sequentem ludum vinceret. Si A vinceret, ludo finem imposaisset, ac per consequens ipsi B deberetur o. Si ipse B vinceret, deficeret illi adhuc unus Iusus,& ipsi A unus luses, at ipsi C duo lusus. Quocirca ipsi B hoc in casii deberetur per 8, δν Propositioncm. Denique si C primum sequentem ludum vinceret, tunc ipsis A & C singulis unus deficeret Iusus, sed ipsi B duo lusus, ac per consequens ipsi B deberetur q, per eandem Propositionem sy m. Nunc autem in unam summam colligendum est, id quod in tribus hisce casibus ipsi B deberetur: nimirum, o, quorum summa est ἱ Quod ipsum divisum per 3, numerum colluserum, dat L q. Quae ipsus B quaesita pars est. Demonstratio autem hujus patet ex Propositione. Quoniam enim B aequam habet seriem ad obtinendum O, i vel habet per Propositi
nem tantundem ac ri Et certum est, hunc divisbrem 3 esse numerum colIuserum.
Ut autem inveniatur, quid cuipiam debeatur in quolibet casu, videlicet si vel ipse vel aliquis reliquorum primum sequentem l dum vincat: oportet simpliciores cassis primb investigare, & horum medio sequentes. Nam sicut hic ultimus casus solvi non potuit, priusquam ille octavae Propositionis calculo subductus esset, in quo deficientes Iussis erant I, I, 2, ita etiam cujusque pars supputari nequit in tali casu, ubi deficientes Iussis sunt x, 2, 3, quin primum calculo subductus si casus deficientium Iustium I, 2, 2, quemadmodum jam fecimus, & praeterea ille, in quo lusus deficientes sunt 3 , , 3 , qui similiter per 8 m Propositionem stipput ri potuisset. Atque hoc quidem pacto consequenter supputare licet casus omnes, qui in sequenti tabula comprehenduntur, & infinitos alios.
25쪽
Uod ad Tesseras attinet, de iis hae quaestiones proponi posisunt: videlicet, quota vice una tessera senarium jacere periclitanaum sit, aut aliquod reliquorum punctorum. Item quota vice duos senarios duabus tesseris, aut tres sinarios t ibus tesseris jacere sit tentandum. Et plures aliae hujusmodi quaestiones. Ad quas solvendas advertendum est. Primo tinius tesserae sex esse jactus diversos, quorum quivis aeque facile eveniat. Sumo enim tesseram habere figuram cubi persectam. Porrb duarum test rarum 36 esse diversos jactus, quorum similiter quivis aeque facile obtingere potest. Nam ratione cujusque jactos unius tesserae potest unus sex jactuum alterius tesserae simul contingere. Et sexies 6 e ficiunt 36 jactus. Item trium tesserarum esse ais jactus diversos. Nam ratione cujusque 36 jactuum duarum tesserarum potest unus sex jactuum, qui in sunt, evenire. Et sexies 36 essiciunt ais jactus. Eodem modo patet, quatuor tesserarum jactus esse sexies et iis, id est, et 296 ; atque sic ulterius jactus quotlibet tesserarum
supputari posse, stimendo semper pro accessione unius tesserae sexies jabus praecedentis.
Porrb notandum, duarum tesserarum unum duiataxat esse j
ctum, qui et aut ret puncta ericiat, duos verb jactus, qui 3 aut rapuncta essiciant. Si enim tesseras vocemus A & B, patet, ad 3puncta jacienda in Α unum & in B duo, vel in B unum & in Aduo puncta reperiri posse. Similiter ad ii puncta jacienda in Aquinque & in B sex , vel in A sex & in B quinque puncta patere posse. Quatuor punctorum tres sunt jactus, videlicet, ipsius A 1 &B3 puncta, vel ipsim A 3 & B a punctum ; vel ipsius A et & B t
Decem punctorum similiter tres sunt jactos. Quinque vel novem punctorum or sunt jactus. Sex vel octo punctorum sqvς sunt jactuβ, Septem punctorum 6 siint jactus. In
26쪽
PARS PRIMA. a tribus tesseris reperiuntur 3 vel 18
Quod hic Austor praestitit in duobus & tribus tesseris, praest ri quoque potest in quatuor quinque pluribusve, in quibus numeri
iacti . si rint, ut quam plurimi
Praetereantur, nisi aliquem in iis inquirendis ordinem obse ves, ostendam q- quiS methodo uti debeat, ut certus esse possit,
se omnes adinvenisse nulIo praetermissis. Primb inquirendum: quo modis diversis componi possit proposinu punctorum numeruS,
luperet: deinde explorandum, quot jactsis cuilibet horum modorum respondeant; quae quidem omnia melius exemplis quam regu iis addisci riam: Esto itaque indagandum, quot jactas reperia 'xur a punctorum in tesseris. Hune in finem incipio a unitatibus, stribendo I. I. . ν
incla primam unitatem adaugeo continua additione unitatum, quousique senarium essiciant & habeatur is . r. r. i ; sed quia summa nondum exaequat numerum propositum Id, at tollo etiam secundam partem ad binarium, ad ternarium, scribendo. 2. I. I, deinde 3. 3. r. I, singulisque vicibus primum numerum ad senarium elavo, ut habeantur 6. a. r. 1 ,& 6.ῖ. I. I, quorum iummae adhuc a proposito numero deficiunt: quare pergo seribere . - . r. r, primoque qu/πmλrio ad sel irium et evato habebo tan-
seorsim illos anmo: postea stribo F. S. I. , quos quia pariter ret eficiunt, ite rum reservo. Jam quia 6. S. I. , utir, excedunr ips
27쪽
1Ilis neglectis tertiam quoque unitatem, quae hactenus intacta mansit, Ad binarium elevo, scribendo a. a. r. I, sed quia primo binario ad senarium promoto numeri 1. a. I , deficiunt adhuc a Ia , trai Seo ad 3. 3. 2. I, quorum primus pro more adauctus exhibet numeros 6. S. 2. I, seorsim ponendos, quia complent i 2 : Deinde selummodo secundam partem augeo, primam vero minuo unitate,& habebo alios quatuor adnotandoS. Jam non pergo attollere secundam partem ad s vel , quia ad complendum in deprimenda esset prima ad vel & sic praecede tes quidam modi redirent; nam ad hoc cavendum siemper opus eli, ut nulla partium priorum minor constituatur ulla sequentium: qui circa statim propero ad 3. 3. 3. 1, ubi mutato primo ternario in qui
narium obtineo numeros s. 3. 3. x constituenteS lummam propolim
tam. Mox vero secunda parte stiblata & prima deprella ad quaternarium , habebo alios quatuor numeros quaesito satisfacientes . . 3. I. Porro quia manifestum est, neutram duarum priorum partium, imb nec ipsam tertiam partem unitate possse augeri, quin vel summa omnium quatuor excedat Ir, vel aliqua praecedentium
partium minor fiat aliqua subsequentium, & sic pristinidi redeant ; idcircb postremam etiam unitatem, quam hactenus in
tactam reliqui, ad binarium promoveo sicribendo 2.2. I. a, prim que binario ad sublato, 6. 2. 2.2, qui modus quaesito lati
facit. Hinc secundam partem augeo, primam minuo, tum unit
te, tum binario, & habebo duos alios modos requisitos s. 3. a. a,& . . a. r. Ubi quia denub apparet, neutram priorum partium posse augeri, quin vel altera minuatur, & sic pristini resultent m di ; vel summa omnium superet ia; progressior ad live aucto unitate primo ternario ad 4.3.3. I, qui novum modum suppeditant, quo componi pol si numerus propositus. Tandem quuniam ob eandem rationem nullam trium priorum partium amplius
augere licet, postrema ad ternarium elevanda scribendumquς 3. 3. 3. 3, quorum summa & ipsa aequat ir ; quo facto non fas est ulterius progrodi, quandoquidem postremus terminus augeri nequit, quin aliquis priorum diminuatur, & sic redire faciat unum praecedentium modorum. Quapropter constat, nullos dari alios modos, quibus componi pos4t numerus xi ex quatuor aliis, quorum sin-
28쪽
PARS PRIMA. agguli senarium non superant; praeter undecim hactenus enumeratos, quos eo ordine quo sese offerebant, adjuncto Iaterculo insertos conspicis. Haud absimili autem ratione recell-sere poterimus Omnes modos possibiles, quibus evenire potςst quilibet alius punctorum numerus in tot tesseriS quot quis voluerit, dummodo advertamus, primae testerae puncta continua adjectione unitatis elevanda esse ad senarium , priusquam puncta secundae augeantur Ia unitate, & puncta pariter secuti dae attollenda ad senarium, priusquam puncta tertiae augeantur unitate, & puncta temtiae , priusquam puncta , & V priu quam uex , & ita deinceps. Hoc peracto, aliud superest negotium in
eo consisteris, Ut exploretur numeruS jactuum
singulorum modorum ; nam singulis horum modorum plures iterum respondere possunt jactus, prout hic vel ille numerus in hac illave tessera conspici potest. Ita si quatuor tesserae vocentur A, B, C, & D, patet ad primum modum essiciendum . . I. I, posse vel
&e. puncta reperiri: unde tot restillabunt jactus, quoties isti numeri diverse ordine locari possunt ; quod de reliquis modis pariter antelligendum. Possunt vero numeri 6. . r. I, quorum duo sunt diversi, duo iidem, Iocum inter se permutare duodecies: sequentes . . I. I, quorum duo priores, ut & posteriores duo sunt iidem, non nisi seXies z sequentes verb 6. 3. r. r , qui omnes imur se diis runt , vicies quater, uti constabit ex Doctrina de Permutationibus& Combinationibus, quam parte secunda pertractandam suscepi. Hi jactus una cum jactibus reIiquorum modorum in unam summam collecti iniciunt 12s, numerum indigitantem omnes quo
quot dari possunt jactus 12 punctorum in vi tesseris. Quod ipsum indagandum erat. Verum enimverδ quoniam haec methodus sapputandi num Ium jactuum in pluribus tessetis, supra modum taediosa & proli est, Mori yactsis.
29쪽
est, ostendam porrin, qua arte idem consequi possimus non tantuni pro certo punciorum numero, sed pro omnibus omninb punctis, beneficio appostae Tabulae , quae & expedith admodum construi potest, & naturam progressionemque, quam numeri jactuum inter se servant, apertius ob oculos ponit. Consti uctio talis est: Scriabantur ordine numeri omnium punctorum quotquot tesserae recipere possunt a minimo ad maximum, puta, . . 6. 7 8 c. usque ad 2 pro tesseris quatuor e, aut s. 6. 7. 8 dcc. usque ad 3o pro tesseris quinque, &c. & si1b eorum sex primis collocentur sex unitates , quibus sebjungantur sex aliae unitates, & his iterum sex aliae, idque fiat sexies, promovendo singulis vicibus earum primam uno gradu Versus dextram : quo facto addendae quae in eadem serie perpendiculari sibi invicem respondent, ut fiant numeri 1. 2.3. &c. Horum deinde numerorum sex quoque constituendi sent ordines, ita ut sequentium quilibet praecedenti uno puncto anterior fiat ; dctum addendi ,. ut prodeant numeri I. 3. 6. Io &c. Hi iterum sexies gradatim ponendi & addendi ; idque tamdiu continuandum est, donec tot ex ultima additione resilitantes habeantur numeri, quot reperiuntur diversi puncta in proposito tesserarum numero ;significabuntque numeri singuli punctorum sibi respondentium j ctus. Ita tesserarum jactus unus est, qui Φ aut at puncta proinducit, quatuor jactus, qui S aut aῖ , docem qui O aut ri , viginti qui aut a I puncta efficiunt &c. Rationem hujus constructionis attendenti 'rcipere haud difficile est: Cum enim singulae accedentes tesserae jactus praecedentium sextuplicent, manifestum est , cur numeri jactuum praecedentium tesstrarum sexies repetendi ad
dendi stat , & quia numeri punctorum , qui singulis istis jactibus
respondent, augentur unitate, vel binario , vel ternario &c. prout in accedente tessera vel unum, vel duo, vel tria &c. inveniuntur puncta , patet etiam , cur series ista jactuum singulis vicibus uno gradu dextrorsum promovenda sit, nimirum ut hac ratione cuilibet jactuum numero respondeat numerus punctorum unitate major, quam eidem respondebat in serie praecedente. Ota, non omnes punctorum numeros pro dc sex tesseris ob
spatii desectum apponi potui se , sed facile supplentur, qui desunt, ex parallolis: nam bini punctorum numeri ab extremis aequaliter