장음표시 사용
32쪽
PARS PRIMA. asr moti quos parallelos voco aequali semper iactuum numero
gaudent. Non inopportunum erit hic loci indigitare, cum id scire non nunquam intersit, quot jactibus emci possint in tribos tesseris puncta triplicata vel duplicata, s Galli Vocant rolei & et, ) hoc est quotieS contingere queat, ut vel in OmnibuS tribus, vel saltem in duabus tesseris, reperiatur aequalis punctorum numerus : Liquet Vero, unum tantum esse jactum, quo produci possunt tres set ii item unum quo tres quinarii, unum quo tres quaternarii Scc. adeo que non nisi 6 punctorum triplicatorum jactus existere posse. Sed contra Is sunt jactus, quibus duo ex. gr. senarii contingere possunt
etenim si tesserae vocentur A, B, & C, fieri potest, ut duo illi se narii reperiantur vel in tesseris A & B, vel in A & C, vel in B &
C, quod tres casus. essicit: ac deinde ratione cujusque horum casuum 1actus tertiae tesserae, in qua diVersuS punctorum numerus consipici debet, variari potest quinquies ue unde quinquies tres seu
is existunt duorum senariorum jactus ; quod cum idem de duobus quinariis, quaternariis & reliquis intelligendum, sequitur punctorum duplicatorum esse sexies quindecim seu so jactus : Proinde cum trium tesseratum jactus in universum existant et I 6, erunt reliqui iro jactus simplices, quorum numerus etiam initio investigari Potuisset. G
IRR' 'Rς i, quod pignoris loco deposi Sunt enim ' iactus contra ipsium, & tantum unus pro ipse Ouod aureim depositum est vo tur μ. Est itaque ipsi uni ea a
Propositionem tantundem Valet ac ba Ese m riodi si
P0 i x, qui prima vice suscipere velit. J V
33쪽
Qui duabus vicibus semel senarium jacere certet, sors eius hoe pacto computatur. Si prima vice O jaciat, obtinet a. Si diversum eveniat, unus ipsi restat jactus, qui eae praecedenti tantum valet, quantum Atqui ut prima vice 6 jaciat, unus tantiim castis est, & quinque casus, quibus diversiim eveniat. Itaque ab initio
unus casias est, qui det ipsi a ; & quinque qui dent id quod
per Propositionem valet Unde contracertanti lusori cedit reliquum aded ut sors utriusque sive aestimatio expectationis eam servet rationem , quam ii ad 23; id est, minus quama ad a.
Hine eodem modo calculo sabducitur, quod sors ejus, qui tribus vicibus semel senarium jacere suscipit, sit futura ; ita ut 9I contra Irs deponere possit; id est, pauid minus quam 3 ad sH Qui quatuor vicibus idem suscipit, sors ejus est ; ita ut Qt contra 6rs deponere possit I id est, plus quam x ad i. Qui quinque vicibus idem suscipit, sors ejus est &potest 6si contra 3ias deponere ; id est, pauid minus quὲm 3 ad a. Qui sex vicibus idem sitscipit, sors ejus est a , & p test 31o3i contra is sis deponere ; id est, pauid minus quam 2 ad r. Atque ita consequenter quilibet jactuum numerus inveniri potest. Sed licet majori compendio progredi, ut in sequenti Propomtione ostendetur 3 sine quo calculus alias multo prolixior foret.
Id quatuor vicibus idem fuscipit, Subiit alia quando cogitatio, posse sorte qsempiam calculum Auctoris tali dis cursit suspectum reddere: Si quis quatuor jactibus senarium jacere
contendens, aequam circiter ad vincendum ac perdendum expectationem habeat, hoc est, aeque facile vincat ac perdat, fiet ut aliquandiu ludens toties vincat quoties perdit, s & pari fortuna utatur ;adeoque ut e quaternis jactibus toties unus senarius e istat, quoties ἡ quaternis aliis nullus : quare in octonis jactibus unus reperietur Garius, ac proinde in sexcentis verb. gr. jactibus senarii γs. Sunto
jam sex alii, qui ea conditione Iudant, ut prim' vincat, si unum punctum jactatur, secundus si duo, tertius si tria dcc. quo utique
34쪽
necessario, ut 1n sexcentis jactibus centum eveniant senarii: idcircue Luna aequa sorte & pari fortuna luditur, in sexcentis dactibus senarii Prodibunt centum & pauciores quam centum, quod absurdum. Huic fallaciae ut satisfiat, pono quidem, quod ubi aequa fortuna lu-uitur, ibi in jactibus 6oo evenire debent senarii centum; sed nego quod si quis quaternis jactibus semel senarium jacere' certaverit' propterea quatuor jactibus ad vincendum opus habeat ; potest enim vel priimus, vel secundus, vel tertius jactus senariuS existere, quo casu reliqui jactos sequenti quaternario annumerantur ; sic ut pauis csores quam octo ad semel vincendum ac perdendum sufficere pos.lint. Id vero quo pacto huc quadret, sic ostendo: Fingo, in omnibus iactuum quaternariiS, qui me ludi victorem reddunt, primum existere; sic centies vincendo non nisi Hasumuntur, reliqui soo per divisi indigitant mers perditurum. Si verb illorum quaternorum jactuum postr mus quisque senarius foret, Vincondo centi oo jactsis absiumere tur, residuis tantum ducontiS, qui ostenderent me quinquagies perinditurum. oc a cum nonnullis casibus tapius perderem quam Vincerom, alHS pIuri vincerem quam perderem, colligo fieri bene Polle, ut hac convitione aequa sorte certetur. Contra vein, si quis tribuS vicibus siemel senarium jacere suscipiat, is quidem aliquot c*
35쪽
Si quis prima vice duos senarios iacere contendat, apparet unum esse casum, quo vincat, id est, ad obtinendum esse casus, quibus perdat sive nihil habeat, quoniam 36 sunt jactus. It que habet per Propositionem Qui duabus vicibus idem suscipit, si prima vice duos senarios jaciat, obtinebit a; si verb prima vice diversum eveniat, unus ipsi
restat jactus, id quod ipsi , per illud quod jam dictum est, valet
Atqui ut prima vice duos senarios jaciat, unus tantum est casus, sed 3s casus, quibus diversum eveniat. Itaque ab initio unus
castis est , qui det ipsi ii, & 3s qui dent ; id quod per
Propositionem valet Et remanet contracertanti a. Ex his invenire licet, qualis sit ei sors aut pars, qui idem succipit quaternis jactibus, praetereundo casum eum, cum quis illud ternis jactibus suscipit. Etenim, qui 0r vicibus duos senarios jacere contendit, si illud Im aut vice faciat, obtinet a ; sin minus , restant ipsi duo jactus , qui per illud quod stiperius dictum est, valent a. Sed I propter eandem rationem habet etiam II casus, ut ex duobus primis jactibus semel duos senarios jaciat, contra Iras casus , quibus diversum eveniat. Habet itaque ab initio γε casos, qui ipsi dent a,& iras casus, qui dent ipsi Quod ipsi per et i in Proposi
tionem valet remanet contracertanti
Id quod ostendit eorum sortes esse ad se invicem, ut Iristyi adi oossas. E quibus porrb eadem ratione invenitur eXpectatio ejus, quis licibus semel duos senarios jacere certat. Ac inde rursus expectatio ejus, qui idem suscipit i6 vicibus. Atque ex hujus expectati ne, ut etiam ex expectatione illius, qui istud 8 vicibus suscipit, invenitur expectatio ejus, qui illud 2 vicibus in se recipit. In qua operatione, quoniam praecipue quaeritur in quo numero jactuum aequalis sors incipiat, inter eum qui id suscipit & ςum qui osseri, licebit a numeris, qui alioquin in immensum eXcrescerent, post K riores aliquot characteres auferre. Atque ita quidem reperio ei, qui illud et vicibus suscipit, adhue aliquid deficere , tumque demum eum potiorem conditionem inire, cum as jactibu. aggreditur. Anno
36쪽
29 Sed propter eandem rationem habet etiam i casus lJuvat hic observare, quod Auctor supponit, expectationem quam-o cunque fractione expressam considerari etiam posse tanquam resultantem ex tot casibus ad obtinendum depositum a , quot indigitat numerator fractionis, & tot casibus ad nihilum, quot significat differentia inter illum & denominatorem ue tametsi fortassis aliter ad expectationem illam perventum fuerit: Sic quanquam ille, qui iduabus vicibus duos senarios jacere suscipit, ad expectationem suam perveniat per I casum ad a, & 3s casus ad se; nihilominus censeri etiam poterit eam sibi acquirere per ri casus ad a, &1raF casus ad O. onia' habens 71 casus ad a, & iras ad o, habet hanc expectationem j1l a , & qui plures casus ad a habe
ret ac pauciores ad nihilum, aut vice versa, ejuS quoque eXpectatio contra hypoth. major minorve foret, quam per Coroll. r.
tque ita quidem reperio ei, qui istud a 4 vicibus si A K
't sc. J In praeced. Propos . adstruxit Auctor , posse quatuor 32ibus cum lucro suscipi, ut una tessera senarius jactatur, nuncauerit, nondum illud r jactibus posse, ut duabus tesseris duo ja- -ntur senarii ; quae multis plane videbuntus , cum 2 ja
ciuS ad omnes 36 jactus duarum tesserarum eandem praeciSe ratio Πςm 1ervent, quam jactos ad omnes sex jactos unius tesserae. Eacem olim dissicultate constrictus haesit, reserente Pascalio in literis operibus Tolosae M. 16 9. impressis pa- ... 'gV0xuxa AHQnymus quidam caetera stibacti judi cu Vir, sed Geometriae expers. Hia enim qui imbuti sunt, ejus
modi minime morantur, probe conscii dari innumera
quae admoto calculo aliter sist habere comperiuntur , quὶm initio 3pparebant; ideoque sitaui QR nr, juXse id quod semel iterui SVς monui, ne quicquam analogii. temere tribuant.
37쪽
SI pro numeris literas substituisset Auctor, potuisset hanc & 'a cedentem Propositionem uno Problemate con lecti, ejusque lutionem generilem pari facilitate investigare, hoc pacto: Pon btur pro numero omnium casuum, qui reperiuntur in una pluribusve tesseris, aut in quavis alea, s cum haec non magis ref iis applicari debeant , quam quibusvis sortitionibus aliquoties reii randis , in quibus numerus casuum perpetub constans idemque manet) b vero sumatur pro numero casuum, quibus praestri et punctorum numerus obtinetur , seu quibus obtinetur quod sisseeptum est ; ι pro numero castum, quibus illud non obtinetur, seu quibus non praestatur quod intenditur.
Jam si quis prima vice suscipiat praestare aliquid, patet, eum habere , seu a-c cassis ad illud praestandum, hoc est, ad obtinendum depositum, quod nunc sit x, & c cassis ad obtinendum os quare ejus sera per Cor. I. Prop. III. fit et Si quis duabus via cibus illud suscipiat, nusus habet a-c casus ad I vel sed c cassis quibus pertingit ad pretecedentum e pociationem . , id quod per IIL Prop. valet Si quis tribus vicibus idem praestare contendat, habet denub a-c casus ad x seu & c cassis ad sese tem proxime inventam ; quod ipsi tantundem valet, ae
Eodem modo, si vicibus illud in se recipiat, invenitur ejus expectatio : si quinque, ; & in genere si n via
cibus, reperitur sers ejus ---, sic ut remaneat contracertantΙ - .
Praeter hanc methodum , quae Auctoris est, duo alii suppetunt modi haud inelegantes Problema silvendi, quorum unus hic est: Quaerantur ordine expectationes aleatoris pro singulis jactibus seo sim a
38쪽
3 ARS PRIMA., hoe est, quaeratur quae sint illius sortes, si primo, secundo,
temo, quarto &c. demum jactu, non alio, praestare quid velit ;quod enim ex omnium expectationum additione resultat, erit expectatio faesita. Qui primo jactu quid suscipit, ejus sors ostensa est esse αγα Qui secundo jactu praestare vult, ille si primo Praestat, non praestat quod intendit, cum solo secundo praestare deis buisset; ideoque deposito Dustratur : sin autem Primo non praestat, restat illi unus jactus quo id praestare tenetur, qui ipsi valet, ut dictum a 3 sed numerus casuum, quibus primo jactu id essicit, per hyp. est b, & eorum quibus non efficit c; unde per x. Coroll. III. sere
ejus fit Qui tertio demum jactu praestare intendit, is si primo
praestat rursus deposito excidit, quia intentum non assecutus est, quod eo tendebat, ut Io tertio praestaret: sin primo jactu non praestet, superiunt ipsi duo jacitis, quorum selo posteriori praestare
tenetur, quo casu ostensium est ipsi deberi ; sed prius illud hoc ι casibus contingere potest, quod proin seriem ejus per idem Coroll. efficit . Qui selo 4 φ jactu praestare aggreditur, is si primPpraestat, deposito identidem privatur: si secus, per tres residuos jactus ad praeced. expectationem pertingit; quod illi nunc seriem parit . Atque eodem modo colligitur, qudd semqu3, qui s Q jactu in se recepit, sit ; qui sexto, 3 &π' neraliter qui n jactu, ' . Ergo cum sers ejus, qui primo j aggressus est, sit - , qui secundo , ; qui tertio, -; qui ub, atque expectatio ejus, qui illud indefinite in alia quo primorum n jactuum praestandum suscepit, ex omnibus illis rimul sumtis confletur, sequitur hanc sere ejus expectationem
39쪽
. . . u*ue ad , quae series est quanti
latum geometrice - proportionalium , quarum summa invenitur
alter modis Qui u jactibus unius tesserae praescriptum punctorum numerum jacere suscipit, perinde facit, ut ad seq. Prop. ostendetur, ac si eundem unico jactu n tesserarum in aliqua minimum tessera jaciendum susciperet. Concipiantur itaque n tesserae, singi lae intaictae a hedris, quas inter sint ι isto punctorum numero non signatae. Sic erit numerus omnium casuum in universis n tesseris,a'; cut supra post Prop. IX. evicit Auctor & per eandem rati nem numerus eorum , quibus optata puncta in nulla tesserarum emicant, ιν; quia nimirum ratione cujuslibet ex ι hedris unius tesserae, quaelibet similium liedrarum alterius tesserae simul cadere potest. Necesse igitur est, ut reliquis a' - ιν casibus haec puncta saltem in aliqua tesserarum reperiantur. Quare qui tali conditione certat, habet a - ιο casus ad obtinendum depositum et, & casus ad obtinendum o ; quod rursus ut antea sortem illi parit sic ut contracertanti semper relinquatur Exhibita sic generali Problematis solutione, si nunc porro cum Auctore scire cupiamus, quo jactuum numero aequalis sers inter contracertantes incipiat, aequandae tantum inter se erunt eorum inventae sortes , ut sat a' - hoc est, a 'x2ιν ; quo ii dicatur nil aliud requiri, quam ut numerus omnium casuum, &numerus eorum quibus non obtinetur quod susceptum est, continuo in se ductu ad similes potestates attollantur, quousque productum prioris numeri fai posterioris duplum : tum enim index p testatis, ad quam uterque elevatus est, indigitabit quaesitum. Quae operatio illud insuper commodi prae Hugeniana habet, quod non supponat ullius praecedentis casus sortem cognitam esse : caetera enim compendia , quorum meminit Auctor, M abscindendis a fine
notis, & eliciendis per saltum expectationibus, dc hic loci obtinet;
40쪽
ubi liquet, et ''m pol atem numeri 36 quae cadit inter arro& raso . .) deficere a 2 potestatis numeri 3s duplo quod cadit inter 2276 . . & 2292 . . : sed et potestatem illius numeri cujus limites sunt 8o6o . . & 8roo . . excedere vicissim duplum asy hujus, utpote quod terminis continetur 7966 &8o22.4 Monendum tamen est, totum hoc expediri posse negotium compendio citra comparationem majori per Iogarithmos , ita: Quia nabemus a v x χι', & aequalium numerorum aequales sunt inarithmi, erit quoque niax la- nic, sive nia -nt cxla, seu d nique naa quo indicatur quaestum numerum jacilium haberi, dividendo simpliciter log-um binarii per differentiam interloyos numerorum a & En operationem :