장음표시 사용
41쪽
Caeterum solutio nostra Propositionis praesentis ansam nobis sippeditavit investigandi praeterea nonnulla alia huic amnia Probi mata , quorum unum hoc est : Si plures colluseres jacere si scipiant praescriptum punctorum numerum, iisque singulis uni post alterum nonnulli jactus, huic plures illi pauciores, continub instituendi concedanzur,. quaeritur cujusque sers φ Ante omnia liquet, quod ille cujus sers quaeritur haberet per ante ostensa --- , s ipsu ludum inciperet ; sed quia alii praecedunt, qui victoriam illi praeripere pocstant, sors ejus minoris aestimanda venit: Deinde patet, qubde pectationes omnium ipsiim praecedentium simul sumtae aequari ii beant expectationi unius selius, qui in locum eorum si iccedere vetilet, & cui tot jactus concederentur quot omnibus illis simul. Sed 'per eandem rationem, si numerus horum jactuum dicatur s, expectatio haec foret- unde per annotata hujus ad lit. I. ille cujus sers quaeritur, tum, cum primus ludere incipit, habrre censetur a - casias, quibus aliquis praecedentium vincat sibiqur depositum praeripiat ; Sc ιε casus, quibus ludendi vices ad se devolvuntur,. ipseque seriem ante dictam ' acquirit: id quod ipsi per I. Coroll. III. valet M ---. Idem etiam scevincitur: Quia universis colluseribus incluse ultimo per hyp. concessi sunt sΦn jactus, erit eorum expectatio totalis--;
a qua proin si expectationes omnium praecedentium postremum,
quae simul sumtae constituunt - , sdbtrahas, relinquetur pro expectatione solius ultimi m aut antea. Nota, insigniter hic abbreviari calculum, si numeri e
suum a & c compositi sint, & eorum loco per z. Cor. III. . minimi in
42쪽
m eadem ratione termini accipiantur : Proponantur ex. gr. aliquot collusoribus jacienda duabus tesseris puncta septem, & corum pri- imo permittatur unus, secundo et, tertio 3 , quarto 4. actus consecutive 'instituendi , velimque fite QSpQ stationem quarti. Quoniam hic numerus jactuuna quarti v x , & summa eorum, qui praecedentibus tribus sunt concessi, in λ dc proin
-x--; insiperque numeri a & c casuum scissitum omnium in duabus testeris, tum eorum quibus non obtinetur praescriptus punctorum septenarius, sunt 36 & ῖο, pro quibus pono
tantum 6 & s ; idcirco a producto ex R potestate senarii inquinarii aufero decimam quinarii, reliquumque divido per decimam senarii, & prodibit pro quaesita expectatione collusoris Quarti
Manifestum est in hocce ProbIemate , omnium collusorum.
quotquot etiam fiterint & quotcunque jactus ipsis concedantur, ex pe ationes in unam summam, collectas necessarib ab uno integro deficere debere ; quandoquidem semper casu quodam utcunque Gatissimo accidere potest, ut eorum nullus praescriptum punctorum numerum consequatur. Deinde etiam per se clarum est, quod in P xi lactuum numero unusquisque posteriorum collusorum deterio- nancisci debeat unoquoque priorum, eoque magis quo hi, 'Pβ ς0ntinuo instituendi conceduntur; cum uti , - . .' pQUil x, ut primi ludentis spes in certitudinem fere distis '. - ης ' ψ' 'Ri. Vincendi spes evanescat. Quae proinnumero iactuum quod eo tendit, ut dato urit iani id c a ς''*ςutive instituendorum investigetur, hant aequales : oportet autem, ut numerus jactuum primi non narrat ei sortem excedentem unum dimidium, si colIusores sunt duo. aut tertiam partem integri, si sunt tres: aut atam si '
ώ RVR ' Vm V0ςζtur x, ab omnibus excepto intimor, adeoque a solo ultimo προν, numerus verb jactuum
43쪽
primi sit ne erit ejus expectatio --, & omnium m colluserum expectationes conjunctim - , cumque singulae expectationi primi ponantur aequales, erit quoque earum summa - iquare-- π -lioc est m---x I - - , ει
divisione, x x in , sive mutatis signis ob a ι
sorum praecedentium ultimum, hoc est, primorum ni -I collus rum expectationes simul semiae sint -x - Iunde simili modo elicitur Ix νιμ tm - 2 --.
quod requirebatur. Ita si sint tres collusores, & eorum primo duo concedantur jactus, jacienda Vero proponantur duabus tesseris puncta foem vel etiam una tessera puncta sex ; quia utrobique ratio numeri a ad numerum ι ea est, quam habet 6 ad quo casu priami sers per sepra ostensa, propter η xr , est u paulo minor triente depositi: facio primδ mx r, deindς m M 3, & hoc pacto reperio, qubd ad aequandas quam proxime reliquorum sestes concedendi sint secundo collusoti tres, & tertio octo jactus.
44쪽
IN venire, quot tesseris sitscipere quis possit, ut prim1 vice duos senarios jaciat.
Hoc autem tantundem est , ac si quis scire velit, quoto jactu Lquispiam una insidet re possit, ut bis senarium jaciat. Quod si quis duobus jaelibus susciperet, obtingo i ei, per ea quae ante Mostensa sunt, i a. Qui illud tribus jactibus in se reciperet, si pri mus ejus jactus senarius non foret, haberet adhuc duos jactus, quoiarum uterque senarius esse deberet, id quod tantundem valere dictum est ac At vero primo ejus jactu existente senario, .s est, ut ex duobus jactibus non nisi semel senarium jaciat. Quod per X. Propositionem tantundem valet ac si i a haberet. Atqui ceratum est ipsum unum habere casurii, quo prima vice senarium jactat , & quinque casus quibus diversum eveniat. Habet itaquρ ab initio unum cassim ad & s casus ad id quod per II. Propositionem tantundem valet ac seu ria. Hoc pacto asistimendo continue unum jactum amplius, invenitur ro jactibus imatessera, aut ro tesseris primo jactu suscipi posse, ut duo stuarii jaciantur, idque cum lucro.
Hoc autem tanIundem e B cte. J si cui decem ex. gr. Ltesseris unus jactus concedatur, evidens utique est nihil referre , sive decem illas tesseras simul & semel seu successive unam post diteram in alveum projiciat: M successive id facit, perinde rursiis esse con-RI, sive tesserae illae decem quae projiciuntur sint totidem diversae testerae, sive una eademque decies ex alveo sublata & projecta.
Per ea qua ante ostens sint cre. J ostensum est in tui praeced. Propos tia esse partem ejus, qui uno jactu duabus tesseris duos senarios jacere contendit , sed modo audivimus perinde esse, sue quis ullum jactum duabus tesseris, sive duos jactus una tessera instituat: quare & illi, qui una tessera duobus jactibus duos senarios, hoc est, bis senarium jacere susciprt, eadem debetur Dortio G a.
45쪽
ΡRoblema hic loci propositum, non sectis atque praecedens, s lutionem quoque admittit per symbola; & generaliter conceptum huc redit, ut inveniatur expetratio ejus, qui certo jactuum n mero suscepit aliquid praestare bis, vel ter, vel quater pluriesve. Nam qui semel tantum id praestare suscipit, ejus sere in praeced. jam Propositione calculo silbducta habetur. Qui duabus vicibus aliquid bis praestire suscipit, ille si prima vice non praestat nihil depositi habebit, sed totum adversario cedet: sin ic ima vice praestiterit, reliquo aleae jactu adhuc semel praestare tenetur; quo casia per annotata praeced. Propos posita signia
sicatione literarum a, b de c, ut ibi ipsi dubctur , & adversario ejus θ; praestat enim hujus senem, ceu brevioribus terminis comprehensam, inquirere. ) Atqui sunt b casus, quibus id prima
vice essicere possit ; & c casus, quibus sectis eveniat: quocirca sunt
contracertanti c cassis ad obtinendum depositum 1 20 & ό casus ad acquirendum ἱ; id quod ipsi valet. Qui tribus vicibus aliquid bis essicere contendit, ille si prima Vice eniciat, quod sempor si casibus evenit, duabus reliquis vicibus idem non nisi semel efficere obstrictus est, seriemque adeb Antagonistae siti per Annotat. praeci Prop. facit: sin prima vice id non
efiiciat, quod casibus c contingit, tenebitur illud duabus reliquis vicibus bis praestare ; quod valere modo diximus Adversario ejus Habet igitur iste c casus , & b cassis ad id quod ei parit expectationem l ' T.
Sis qui quatuor vicibus aliquid bis esse tui dare tentat , is bcasibus, quibus primus ei jactus ex voto siccedore potest, adversatio seriem acquisits ; ι casibus, quibus contrarium accidit,
46쪽
eum ad praecedentem expellationem perducit ; id quod huic seriem gignit Qui vero tribus vicibus ter praestare quippiam conatur, is si primo jactu scopo aberret, antagonistam suum depositi 1 xvictorem reddit: sa consoquatur quod intendit, residuos habet duos jactus, quorum etiam uterque ejus Volo respondere deberet ; quo in statu adversarii sortem ostendimus esse Posterius autem b, prius c casibus accidere diximus ἱ unde conir
certantis expectatio resultat maestatasti .E' quibus porro haud absimili ratione inveniri possunt expectationes ejus, qui alteri ,s, 6 &c. aleae jactibus aliquid bis, ter, quater, pluriesve praestandum offert: Unde nata est sequens Tabella, quami quis levi labore continuabit, quousque opus fuerit ; si confiderer, columnas transversales tabellae ordine complecti qua
titates omnium potestatum binomii secundam nim. quadrati , tertiam cubi, quartam biquadrati &c. ita quidem , ut prima columna verticalium solos primos, secunda duos, tertia tres, quarta ' priores harum. potestatum terminos exhibeato Hinc enim colligitur facile, illum qui indefinite n jactibus aliquid bis praestandum offert, sortem habere ' ; qui ter,cnεnbon
, . ,' 'ς - ν',& generaliter denique, qui illud in vicibus praestandum offert, huic senem competere c-- --bri 3 usique ε
Eadem etiam formesa aliter & stiti: elici potest, in auxilium vocata combinationum doctrina, hoc modo: Constat ex supra Tabu-
47쪽
48쪽
distis, eodem recidere, sive quis η jactibus unius tesserae aliquid mVicibus praestandum suscipiat, sive id unico jactu n tesserarum in mresseris praestandum sibi sumat : Sint igitur te serae A, B, C, D &c. quarum nu nςrus sit n, singulae instructo laedris, quas inter u voto suscipientis respondeant, reliqua: c ΠQR rς Po 'deant ; & quaera-xur , quot casibus accidere pol sit, ut tum in nulla tesserarum, tu ra in una tantum tessera, tum in solis duabus, 3, Φ ε c. tum deni iue in m i innitim tess ris praestetur quod susceptum est : omnibus enim his casibus suscipiens voto suo excidit, & antagonista ejus victoria potitur. Ostensiliri autem fuit in annot. praec. Prop. casus esse n , quibus contingere possit ut in nulla ii tesserarum prodeat quod Leeptum est : & simili modo colligitur, casus esse , quibus contingere possit ut in nulla n tesserarum prode t quod susceptum est & simili modo colligitur cusus esse bueta b ve &c. Quibus una tesseratum puta A, aut dux A & B, aut tres A, B & C &c. sitscipientis voto respoli
vel 13 - a, vel n - &c. tesserae spem ejus fallant: unde cum singuli ho tum casuum cum unoquoque priorum conjungi possint,exductu horum in illos nascentur casus bι μ' , aut, &c. Et quia
tessera illa vel illae , quae favent suscipienti, potest esse vel A vel B vel C &c. si sit una : vel A & B, aut A & C, aut B & C &e. si sint duae: vel A, B & C , aut A, B & D &c. si sint tres, &c. hinc
numeri casuum rursus toties multiplicabuntur, quoties ex universis η testeris singulas, binas aut ternas M. accipere licet; sed licet hoc, per doctrinam combinationum secunda parte tradendam, η, HI i. il vicibus : quare facta hia altea multiplicaidone casus emergent , aut bbc' , aut
i , ., k quibus in una, duabus, aut tribus &α duntaxat tesseris, sed quomodolibet sumptis, eveniat quod sese P Vm est ; & consequenter etiam casus v . . n ----χquibus id eveniat in m - I tess ris. itaque omnes hi recensiti casus antagonistam suscipientis, uti dictum. ludi victorem reddant, praetereaque in uniVersis n tesseris casus ex is alit
49쪽
a' , fiet per L. Coroll. 3. Brs ejus
s V m in x: a , ut stipra. Quoniam autem in proposta quaestione, scut in praecedente, praecipue hoc intenditur, ut investigetur, quot aleae jactibus expectationes lusoris & adversarii incipiant aequari, si ve utrivis competere dimidium depositi ; idcircb nunc porrb aequationem instituo inter repertam adversarii seriem & st, indeque u lorem numeri n quoad possum determino. Ex. gr. Si cum Auct re scire desiderem, quo jactuum numero quid bis praestandum si scipi possit, puta una tessera senarius bis jaciendus, ut aequa sorte
oo ac an b, quo indicatur, numerum a ad eam potestatem elevandum esse, quae proxime sit aequalis producto ex potestate uno gradu depressore ipsius c, & duplo summae, quam numerus c cum ipse b ducto in indicem potestatis a constituit. Hoc enim facto index potestatis a denotabit numerum jamium, quo quid bis praestandum suscipi potest. Addo calculum pro Auctoris exemplo, in quo a numerus omnium castium unius trierae valet . numerus eorum quia bus obtinetur senarius 1, α ι eorum quibus non obtinetur 5:
quare cum nona potestas ipsius a adhuc deficiat, decima verb excedat potestatem ipsius ι uno gradu inferiorem & dicta ratione nUI-tiplicatam, colligi debet, novem jactus nondum suffcere, at jact bus decem cum lino suscipi posse, ut una tectora bis sinarius jaciatur.
50쪽
Uem etiam per constructionem Geometricam non inconcinnam o, tinere licet, ope Curvae quam vocant Logarithmicae: Insistat axi CH Logarithimica quaevis FE G, cui applicentur rectae AE & CF. quae sint in ratione a ad ι, producendae ad duplam longitudinem in
B & D; & agatur recta DB, occurrens curvae in G: sumta protinitate C A , abscindet denaissa applicata G H in axe pollionem C H x n, numero jactuum , quo aliquid bis praestandum sitscipi potest. Et quemadmodum hoc consecuti semus occursu lineae rectae R Iogarithmicae: sis numerum jactuum, quo quid ter praestandum test suscipi, per intersinionem Parabolae & logarithmicae; & quo id quater tapiusve, ejusdem & altioris gradatim curvae algebraica ope demire licet. xurum posse s & hic, uti fecimus in praeced. Pmpos materiam hanc prosiqui ulterius & investigare sortes plurium Aleat rum , qui singuli aequali an inaequali numero jactuum consecutive inliniendorum susciperent aliquid praestare aliquoties ; aliaSque plures ejusmodi quaestiones formare ; nisi & brevitati consulendum dc Lectoris industriae quaedam relinquenda esse viderentur. 'Unicum tamen, ne hactenus dicta sinistre acciperentur.m nere adhuc operae pretium duximus; nempe, Problemata hujus &Praecedentis Propositionis, ubi quaeritur expectatio ejus, qui aliquot
jactibus quippiam semol uti aliquoties praestandum suscipit, ita F i esse