장음표시 사용
51쪽
esse intelligenda, ut sensus sit, etiam tum lucraturum qui fusi epit, si saepius quam suscepit praestiterit. Nam si sensus esset, eum hoc casti perditurum, aliud foret Problema, & aliae nascerentur expetit tiones, quae quia in sequentibus usem habebunt, determinandae nobis sirpersunt, priusquam hinc distedamus. Ut autem generalior fiat solutio, ponamus non in omnibus aleiS aeque - multos regnare casuS, uti hucusque supposuimus, sed numerum eorum in diversis jactibus utcunque variare, vocando in ja tu Pr. Sec. Tere. Quart. Quint.
m. coitim omninm - - - d. g. p. s. eorum quH. quid pratitur -- b. e. h. q. t. - - - n praestatur l. r. v.
quo posito, si aliquot seae jactus , puta quinque sint instituendi, &quaeratur expectatio ad id praestandum in nonnullis horum jactuum , ex. gr. in tribus primis, & non praestandum in reliquis ; considerare oportet, quod quilibet b casuum primi jactus conjungi possit cum quolibet e casuum secundi, & inde resultantium casuum b equilibet rursus cum quolibet h casuum tertii, quod facit be h casus:& pari modo, quhd quilibet r casuum quarti jacteis conjungi pomit cum quolibet u easuum quinti, quod castis suppeditat ru; hinc chm& horum singuli cum quolibet priorum beh combinari queant, eripnumerus omnium casuum quibus contingere potest, ut in primis tribus jactibus praestetur praestandum, in postremis duobus non praestetur , behru; de quia ob similem rationem numerus omnium omni-nb casuum in universis quinque jactibus est alaps, sequitur expectationem quaesitam per i. r. 3. sere ep. unde talis formatur
pro cognoscenda sorte Aleatoris, cui plures feae iactias eoncessi ,& qui praecise in certis quibusdam, non aliis jactiabus quippiam praestare tenetur. I Roductum continuum ex numeris casuum , quibus quid prae--L statur in jactibus, in quibus praestari debet , & eorum quibu non praestatur, ubi non praestari debet, dividatus per productum
52쪽
eontinuum ex numeris omnium caseum in jactibus universis ; "iens exhibebit quaesitum. rod. i. Si iidem numeri casuum regnent in omnibus aleis, hoc est, si singuli d, e, ρ, fiat, sinsuli e , b, q, t x b , & singulifν ,r,uxι: expectatio inventa vertetur in hanc - ; lcgeneralius in
a nsumto n pro numero omnium jactuum, &m pro numero eorum, in quibus praestandum praestari debet. r. a. Si iidem numeri castium regnent in omnibus aleis, &determinatus etiam sit numerus alearum seu jactuum , quibus quid
praestari debet ; ipsi vero jactus non sint definiti, sed quomodolibet ccipiendi; puta, si s jactus fiat instituendi, & in tribus eorum
'quibuslibet quid praestandum sit, patet hinc quantitatem eXpectati nis inventam toties adhuc multiplicari, quoties ex jactibus quinque diversimode terni, h. e. generaliter, ex n rebus diverta in res accipi possunt. Potest autem hoc feri, per Combinationum doctrinam
seq. pari. tradendam , qudd pem inde - vicibus : quare nunc expectatio suscipientis valebit
SI cum alio ludam duabus tesseris unum solummodo jactum, hac conditione, ut, sit septenarius eveniat, ego vincam; at ille, si denarius obtingat; si ve ro quidquam aliud accidat, ut tum id quod depositum est aequaliter dividamuS : Invenire qualis imus pars cuique nostrum debeatur. F 3 Quom
53쪽
Quoniam 36 jactuum, qui duabus tesseris pmveniunt, s lactis existunt septem punctorum , & 3 jactus decem pulictorum, restant adhuc 27 jactus, qui ludum aequare possunt, id quod si fiat, cui-N que nostriim debebitur 3 a. Verum si id non obtingat, h bebo 6 casus, qu bus vincam, id est, ut a habeam; & 3 cassis, quibus diaversum eveniat, nihilque ha m et id quod per II. Propositionem, tantundem est ac si tali casu ita haberem. Habeo itaque ab initio*7 casus ad sta, & s casus ad ia, id quod, per II. Propositionem, O tantundem est ac ua. Et remanet contracertanti da.
ctor prius quaerit expectationem ejus, qui 6 habet casus ad vincendum & 3 ad perdendum , quae expectatio est a; eaque demum mediante insere quaesitum: sed potest idem quoque non cognita illa expectatione immediate concludi; nam 2 casus ad sta, ε c siis ad a, & 3 ad o, quos habeo si proposita conditione Iudo, etiam tantundem valent per x. Coroll. 3, ac 'la; uti quoque 27 cassis ad
Κώ, 3 ad a, & 6 ad o, quos habet colluser meus, ei per idem Cor. Ortem pariunt li/.
O remanet contrarer tanti 1. a.' Residuum nempe t tius depositi. Quia enim ambo simul hnito lusit infallibiliter i tum depostum, nec plus nec minus, impetramus, hinc etiam amborum simul expectatio per Axioma nostrum integrum depositum exhaurire debet, uti quoque in Propos. IV. ad literam C notavimus.
Sectis foret, si qui casus darentur, quibus & alii de deposito participarent ; veluti, si postrema conditio lusit annexa juberet, ut id
quod depostum est in pauperes erogetur; tum enim propter 6 c uis ad a, Sc 3o ad O , non nisi haberem 1 a; & colluser propter 3 casus ad a, &had o, tantum haberet'; residuum vero depasti i pauperibus deberetur, qui propterea & ipsi in rationem LDtis venire censendi essent.
54쪽
Si ego & alius duabus tesseris alternatim jaciamus, hac conditione, ut ego Vincarn simul atque septenarium jaciam , ille vero quam Primum senarium ja-; ita videlicet, ut ipsi primum jactum concedam: Invenire rationem meae ad ipsius sortem.
Ponatur, sortem meam valere x, & id quod depositum est vocari ιι; eritque sors alterius ma-x. Et patet, quandocunque ipsius vices jaciendi revertuntur, sortem meam tum rursus debere
esse ae x. At quandocunque meae vices sint ut jaciam, sors mea pluris aestimanda est. Ponatur itaque pro ejus valore Jam quoniam ex 36 jactibus reperiuntur s in et tesseris, qui colluseri
meo senarium dare Iususque victorem reddere possunt; & 3 et jactus, quibus diversum eveniat, id est, qui meas jaciendi vices prom
vent: habebo , priusquam jacit, s casus ad obtinendum o , &easus ad obtinendum I. id quod per III. Propositionem valet S. Positimus autem casiam meum a principio esse oox. Quocirca erit x x , adeoque I M-. Deinde positum filii, vicibus meis venientibus, sortem meam valere 3. Ego verb jacturus, habeo ccasus ad obtinendum a , quandoquidem 6 jactus reperiuntur p ctorum, qui me victorem reddunt; habeoque go casus, quibus vices colluseris mei revertuntur, id est, ut mihi obtineam x. id quod per III. Propositionem valet Hoc autem cum sit OOI, erit, invento, ut ante , I, . Unde invenitur xx , vsor meae sortis. Et per consequens collusoris
Auctor in hoc Problemate primum adhibete enitur anaIysin algebra
55쪽
algebraicam, cum in praecedentibus sela synthesi usus fuisset: cuius
dii serentiae ratio est, quod in illis omnibus expectatio quaesita fluebat ex aliis expectationibus vel in totum cogniti, & datis, vel incognitis quidem, at natura prioribus ac simpliciolibus , & quae ab hac vicissim non dependebant; quapropter incipiendo ab omitium simplicissimis earum ope gradatim pergere poterat ad enodandos alios casus magis magi, que compositos absque analys ulla. Secus verb se hic res habet ; nam expectationem meam , quam possideo cum colluserem ordo jaciendi tangit, Auctoris more aestimare non possum, nisi cognitam habuero sortem, quam acquiro ubi vices j ciendi ad me devolvuntur : sed & hanc cognoscere nequeo , nisi priorem illam compertam habeam , quae tamen ea ipsa eis quam quaerere intendo unde cum utraque sit incognita, & altera ab autera vicissim dependeat , non potiunt Auctoris vestigiis insistendo
aliter quis analyseos ope ex se mutuo elici: id quod opeiae pretium est obs rvasse, ut utriusque methodi discrimen, & quando
haec illave in usum vertenda sit, perspicuo aliquo exemplo pateret. Dixi, Auctoris vestigiis insistendo non posse ; datur enim ashuc alia peculiaris via, qua quaestum consequi possum citra analysia ullam , & quam in sequentibus quoque utiliter adhibere licet.
Fingamus loco duorum alternatim ludentium infinitos Colluseres, quibus singulis ordine uni post alterum singuli tantum concedantur
jactus, ea lege, ut cui colluserum in locis imparibus senarius , aut cui in paribus septenarius primum evenerit, ille vincat atque depositum auferat: quo pacto liquet, secundum colluserem vincere non
posse, nisi duorum primorum jactuum solus posterior praestet quod praestare dinet ; nec tertium victoria potiri posse, nisi trium priamorum jactuum selus tertius id praestet ; nec quartum, nisi quatuor primorum silus quartus , & ita consequenter. Quare, si pro F χῖ , numeris casuum quibus in tesseris duabus evenire potest Lia rius vel non evenire , ponamus bH item pro 6 & 3o numeris casuum , quibus septenarius obtingere vel non obtingςre potest, e & pro vero numero omnium casuum b c , Vel e f, scriabamus a; inveniemus per Regulam in fine annot. Prop. XII. tr ,
ditam singulorum Collusorum expectationes, ut siquitur:
56쪽
Quod si nunc in primi, tertii, quinti & reliquorum imparibus numeris designatorum Colluserum locum unum solum mente substia xuam , meque ipsum in locum secundi, quarti, sexti, & caeterorum , qui in pari graduum numero sent collocati, constabie hune ipsem fore casum praesentis quaestionis, atque instiper expectati neS utriusque nostrum aequari debere expectationibus simul sumtisumnium illorum colluserum , in quorum locum suffecti sumus. Sors itaque mea exprimetur per E - - - &c.& collusioris mei sors per &ta series
scit. infinitas quantitatum geometrice progre lientium in ratione a a ad c , & quarum prior summam conficit posterior '
sic ut sors mea ad sortem illius se habeat, ut ιe ad seu restit iis valoribus lit. a, c-e, ut ad 3o, plane ut supra.
oronidis loco Auctor Tractatui suo subjunxit sequentia quinque Problemata, sed omissa analys vel demonstratione, quam L Mori eruendam reliquit. Hanc itaque nos partim hic supplere, partim in Librum secundum rejicere coacti sumus.
PROBLEMA I. A & B una ludunt duabus tesseris, hac conditione. ut A vincat, sit senarium jaciat, at B sit septenarium jaciat. A primo unum jactum instituat; deinde B duos jactus consequenter; tum rursus A duos laetus, atque sic deinceps, donec hic vel ille victor evadat. 4aeritur ratio bortis ipsius A ad sortem ipsius di Resp. ut ioyss ad I 2276.
57쪽
Solutio : Ponamus, sortem ipsius A valere t , tum cum Iud re incipit ; at cum ordo jaciendi collusorem B tangit, x : cum R1emel lusit, I : cum bis, hoc est, ctura ludendi vices ad ipsiam Aredeunt, Q. Quoniam enim omnes istae sortes differentes sunt &snc Eliae, earumque praecedens quaelibet a sequente & postrema vacamim a prima dependet, uti ex subjuncta operatione constabit, non poterit Problema istud Auctoris saltem methodo, per ea quae ad Propos ult. annotata sent, aliter quam mediante analysi algebraica expediri. Primo itaque quia in 36 jactibus duarum tesserarum reperiuntur s, qui ipsi A senarium dare, eumque ludi victorem reddere possuAt ; & 3i jactus, qui ordinem jaciendi in collu- forem B transferunt; habebit A, tum cum Itidum inchoat, s e sius ad obtinendum a cid quod depositum est & 3i ad obtine dum x ; id quod per saepius laudatam Propos valet
principio sors vocata fuerit l, erit propterea tisi . Deinde cum ordo ludendi tangit colluserem B, habet A 6 casus ad obtinendum nihil quandoquidem 6 sunt jactus τpunctorum , qui adversario ejus favent) & 3o casus ad acquirencum' quis sortem ipsi parit Eademmet verb sors supra
nobis dicta fuit x; quare x II. Porro cum collusior B, abs luto primo jactu alterum aggressurus est, habet A ob eandem rationem cassis ad O , α, ad sortem sequentem e ; & siquidem
Iudendi ad ipsum A revertentibus, quo cassi ejus evectationem Qvocamus, habet is s casius ad a, si nempe sinarium jaciat, & ritassis ad obtinendam sortem pristinam i, si siclis eveniat; quacdoquidem tunc collasiores in eo statu erunt, in quo fuerant a primcipio, dum ipsi A unus superest jactus, quem excipere debent duous a B institiaendi, & hos duo alii ab A , atque ita deinceps,
omnin cut ab initio : constat autem ue casus ad a, & 33 ad x v I quocirca et M Inventis hac ratione tot suppositae fuerunt Iiterae incognitae, oportet apoliremas ad primas retrogredi, substituendo valoxem e per ultimam
58쪽
n ana repertum in proxime praecedente, ut habeatur I x ' , ita hunc valorem in antepenultima , ut fiat x xx/ndem valorem istum in prima; qua ratione sors quaesita habetur se, & relinquetur pro sorte colluseriS B a. . unde sors 4 Rd sortem B erit, ut to31s ad I 2276; uti Auctor invenit. Idem verb etiam aliquantb compendiosius investigari potest, -dhibitis tantum tribus literis incognitis r , x & Q, praetereundo seriem I, quam acquirit A , postquam B uno jactu defunctus est. EX Annot. Propos XI. constat, quod sors ejus, qui duobus jactiti
semel septenarium jacere susciperet, esset, depositi quippe
tam a numerus omnium jactuum, ad c numerum eorum quibus non obtinetur septenarins , est in ratione ad s; & propterea
- unde, per ea quae ibid. ad lit. I. monuimus, com
cludendum, II esse casus, quibus colluser B ludendi vicibus ad se devolutis alterutro suorum jactuum septenarium jaciat & vincat,
ipsique A nihil acquirat; & rs alios, quibus id neutro jactuum praestet, ludendique ordo inde ad A reversias huic sortem e pariat; id quod ipsi A , qui eo statu possidere supponitur x, tantundem Valet ac si haberet ; adeo ut x x - . Caeteris enim positis ut prius, si valor ipsius e supra inventus hic substituatur, inveni tur ut ibi x x-, 8c consequenter lx
Atque hinc perspicitur methodus Auctoris, quam imitari convenit in omnibus similibus sertitionibus & ludis aleae, in quibus plures continub sortes incognitae se mutub excipiunt, dummod6 post jactus aliquot pristina recurrat rerum facies, eaedemque reve
tantur sortes incognitae , quas aleatores ab initio Iudi habuεre. Sed non tam facile apparet, quo pacto illa Problemata tractanda sint, in quibus ludum prosequendo sortes nunquam in orbem re- unt, sed subinde aliae novae prodeunt a prioribus diversae & aeque
ignotae, idque in infinitum ; cujusmodi quidem nulla in hoc Auct m Tractatu habentur. Eorum aliqua proposui olim in Ephemer. G a Erud.
59쪽
Erud. Gad. 168s. art. 2s, spe fretus sere, ut nonnemo illorum s lutionem aggredi dignaretur, quam cum toto quinquennio nemo dedisset, ipsemet postea in Actis Erud. Lips m. Maj. I 69 . communicavi , secuto mox etiam fundamento solutionis ab ingeniosis, simo Leibnitio ibid. m. Jul. ejusdem anni occultius exhibito, quod ego nunc apertius exponam. Prius autem ostendam, quo pacto per illud praesens Auctoris Problema silvatur ue nec enim differt hoc fundamentum ab eo, quo ad selutionem quoque praeced. Propos in aniwtat. sui usias, eademque promiscue sacilitate applicatur ad quaestiones, in quibus eaedem perpetuo expectationes in circulum redeunt, & in quibus nulla talis earum datur apocatastasis, hoc selo discrimine, quod in prioribus ad tales infinitas unam plureSVe, quarum silmmae una aliqua quantitate exprimi possunt; in posterioribus verb ad alias itales haud oeque summabiles nos deducat. . Supponamus infinestos lusores, qui singuIi ad singulos successive jactus admittantur, & quorum primus, quartus & quintus, octavus & nonus , & sic pono intermissis duobus semper duo sequentes, senarii jactur caeteri, secundus & tertius, sextus & septimus &α septenarii ja tu vincere possint. Ac tum per Regulamannot. Prop. XII. annexam quaerantur singulorum eripectationes, quae semio valore lit. a,' c, e M s, ut in annoti praeci Prop. ita habebunt:
V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. XII. A B B A AB B
sibstitutis igitur in locum omnitim eorum , qui senario Vineunt, uno selo collusore A; & in locum eorum, qui septenario vincunt, uno selo B, habebimus casiam praesentis Problematis, indeque concludemus, sortem ipsus A sere l
i in utraque hac serie termini locorum tum parium
60쪽
parium tum imparium separatim accepti Geometricas progressiones constituunt decrescentes in ratione liquet hinc etiam ambarum si minas in potestate haberi. Reperitur autem summa prioris seriei
iqu ut Io3ss ad ira is, prorsus ut iupra. Sequuntur nunc exempla talium quaestionum, ubi nulla datur sortium apocatastasis : Sint duo Colluseres A & B certatim luden tes duabus tesseris ea lege, ut qui primus septenarium jecerit vincat. Quaeruntur eorum expectationeS, si ludere debeant hoc o dine I. A semel, B semel, A bis, B semel, A ter, B semel, A quater,B semel &c. II. A semel, B semel, A semel, B bis, A semel, B ter, A cmel, B quater &c. III. A semel, B semel, A bis, B bis , A ter, B ter, A quater,B quater &c. IV. A semel, B bis , A ter, B quater, A quinquies, B sexies, A septies Scc. Hic methodus analytica Auctoris nil proficit, sed mea, eadem qua antea facilitate quaesitum determinat. Loco duorum alternis ludentium A & B fingo rursus luseres infinitos, quissius singulis snguli tantum concedantur, jactus, & quaero singulorum expectationes. Reperitur autem per Coroll. r. Regulae ad Prop. XIJ. notatae, ob numeros casuum a, b dc ι eosdem in omnibus aleis, expectatio cujusvis generaliter ---, ubi m numerus jactuum, quibus septenarius cimus b caseum praestandus est, perpetuo valet a ; & nnumerus omnium ab initio jactuum successive valet a, a, 3, &ς. his ergo substitutis sequens nascetur laterculus OM. II. III. IV. v. VI. VILVΠΙ. ΙX. X. XI. XII. XIII. XIV. XV &e.
tum loco horum collusorum repono duos A & B , utrique ea assignando loca , quae juxta quaestisnis tenorem illi competunt, tam