장음표시 사용
121쪽
lox P R O B L E M A. X. COROLLARIUM.ma xv. Idem ProUeniet si triangulum orthogonium EDF. fuerit Iso.
sceles. Quoniam erit tunc ρ τα s. Et Cochlea fiet G - ' . Igitur latus transvetium CA hyperbolis si ab . Et hyper
boles ipsa sit aequilatera . Itaque erit II abae -- xx. atque Elementum Conoidis hyperbolicae habebitur ae Cuius lamina erit
in puncto orIIa PIG. vI QInt omnia quae antea. Sed Figura Genitrix CABFE. non sit orthogonia in D. Quare in revolutione generet Cochleam seclenam. Igitur sit angulus E DF acutus. Et Figura A B D C. parallelogrammum sit non rectangulum ι triangulumque E DF aeuistiangulum in D. Retineantur eaedem denominationes linear m; quae in praecedenti. Et sit quoque EO. abscissa x. atque MN I . uti in antecedenti. Ducatur ex E normalis EI supra DF. & ea- dat EI. aut intra, aut extra DF. ad partes F. scilieet ι aut sit angulus E F D. acutus, aut obtusus; idem eveniet. cadat intra DF. ipsa EI. quae dicatur m . Agatur OP. parallela EI. secansmnin P. Est lane DE. EI:: OO. OP. quare erit ρ mra, .mdae Erit igitur Elementum Cochleae eγγ. --. Sed est etiam ED. DF ii EO. ON. Et reliqua sieuti in antecedenti. Ergo Integrati erit
122쪽
PROBLEMA. X. o pressivum Figurae EDE. esse debet π - o. eoroll. Lemm. I. u. I. O HL
Sit hyperboles E AH eadem, quae in praecedenti; cuius tamen diameter non quidem axis sit CA . Et producatur CA ad F. Ud kikλ' intus curvam . ita ut sit AF ED p . In recta linea AF. ad datum in illa punctum F. st angulus A FH. aequalis angulo ED F. Figurae E DF. genitae Cochleae . Ex A. dueatur AI. ad normam supra FH. erit triangulum A FI. aequale triangulo DEI. atque erit AI. aequalis EI. - m. Igitur ducantur infinite proximae ordinatae hyperboIis MN. mn. ad diametrum C AF. at que ex N parallela fiat NP. ipsi AI. oecurrens mo. in P. Erit m dxob similia triangula FAI . nNP. ipsa ΝP Et Elementum Conoidis hyperbolicae prognatae ex revolutione hyperbolis EA F. circa fixam AF est quidem FE . ordinata ex F. hyperbolis erit - - . Sed est ob hyperbolem; sicuti in anteeudenti; o, - ' ρ m. M . quare Elementum; facta substitutione pro II r, eritie erit
Perspicuum est, eadem obvenire, si angulus EDF. fuerit ob- FlG. VI. lusus.
123쪽
io PROBLEMA. X. FIG. VI. lusus. Item si triangulum ED F. fuerit Isosceles ἔ aut etiam aequilaterum. Si enim suerit Isosceles; stitieet fuerit ED - DF
fiet p a. Et Cochlea eadem generabitur ' ου Fic. vIr. In revolutione. Et hyperboles sit eadem sed aequilatera . Nam erit tunc II ab x - xx. Corollar. praecedentis Atque Ele-ebx mae x mentum efficietur me, xx Ie erit
6 rSed est ρ - a. Quare integrale erit Cochlea est hoc casu prognata per conversicinem Figurae BG. circa latus manens A B ; & progressionem trianguli Isoscetis ED F. eodem tempore elati supra C D. Idem plane erit s EDF. sit
FIG. VIII. Onvertatur Figura C ABFE circa latus manens AB. donec redeat unde coepit moveri ἔ intereaque triangulum EDF . Progrediatur supra cui lateri CD rectanguli ABD C. ad vinctum et . Ponatur divisum triangulum EDF in duo aequalia per rectam Go parallelam ex latere trianguli DF ductam alteri lateri ED Lemm. II. Quaeritur Cochlea descripta a sola Figura C A B G O in revolutione. Ducatur in triangulo FGO ordinata MN. Parallela CD. sve GO. & alia infinite proxima ordinata mn. atque ex punctis N . n. sint duae N P . v p, parallelae BF; occurrentes AB in P . p. sit etiam OL . parallela BF. Occurrens A B. in L. Inveniatur proposit. I Cochlea . quae ex totius Figurae integra revolutione Peracta generatur: eritque; retentis Pro quantitatibus in hae Figura datis denominationibus quantitatum similium ipsius propositionis primae ; selidum Cochleae aequale γρ -- -- . Nunc; disper Dissiligod by Gooste
124쪽
PROBLEMA. X. Iosdispertito bsolbs triangulo FGO. ab ipsa GO parallela ED. in duo aequalia i erit data quidem, & cognita FG s Lemm. II. Jsumatur quanta esse debet i Lemm. eodem atque dicatur u . Sint datae quoque GO - m. Et BG - h. atque BF - q. Sint autem F M - x. Et MN - γ . eritque differentia minima Ad m d.v. Item circumferentia circuli descripti in revolutione a dato radio BG. dieatur s. Erit sane superficies Cylindri L BGodesignata in eadem revolutione a recta Go aequalis sm. Iam vero frustum solidi generatum a triangulo FGO . in re-Flavi II volutione componitur ex infinitis annulis Cylindricis; qui constant ex descriptis a circumactis rectis lineis MN. in revolutiona superficiebus ductis in altitudines Mm. usque ad terminum Go. Sunt vero superficies eae cylindrorum A BPN. quorum altitudines MN. & radii basium sunt MB - ρ - x. sed inventa superficies eylindrica fm. est ad dictam superficiem cylindricam deseriptam a recta linea MN. in ratione composita ex ratione Go ad MN. & GB ad DB. nempe uti m h. ad q3 - I x. Ergo superficies cylindrica descripta ab ordinata circumacta MN. erit -- atqui est Fu. MN i: FG. GO :: FD. DE. Inde x. I et: a. p. quare erit ISunt vero datae. & constantes ipsaef. q. b. Itaque praedicta superficies erit - - .; - minimus annulus cylindricus .. fgpx. dx fp xx. dx . . . , . op xx
erit φ . - ---- . cuius mutabile Integrale
125쪽
6 re ab se e stuarQuod L agmen erit Cochleae totius. Et scilicet patet, esse totam Cochleam- maiorem eius Parte; nempe annulo cylindri eo deno a B Atque motus progressionis ipsius Figurae E D GO delatae supra CD. ratio quidem habebitur; aeeipitur enim tota Cochlea generata CABFE.ris in Sit igitur hyperboles EA F. determinata in propositione prima; quae Conversa circa manentem rectam A F. generat soliis dum hyperbolicum aequale Cochleae - --- . Et est
AF Fig. ix O vita. - ΕD p. tam in ipsa prima ; quam in hac propolitione . Estque Ara angulus rectus. Nunc accipiatur in ordinata M. portio FI - ,2gu . Iungatur AI. Profecto in revolutione hyperbolis EA F. circa rectam A F. triangulum simul revolutum I AF. generat conum cum basi; cuius circumferentia est j gg ' . Et ipsa basis est . atque conus est . Ergo,io Vii, qu usita Cochlea descripta a Figura C AB GO E erit aequa-ec in iis solido hyperbolico exeavato APE I A. Est enim hoc solidum ea ast ea bo D geno r
Est ordinata hyperbolis FE in Ueta. -- aa proposit. pri-TIG. ix. ma Hinc si obveniat =ggn aequalis Urab-Φaa . punctum I.
126쪽
PROBLEMA. X. incidet in E. Iungatur recta AE: atque ι si revoluta sit Figura EA F. circa AF. erit Cochlea aequalis hyperboli excavatae AP EA. Manifestum, est idem esse huius propositionis Problema cum rio uni.
illo; quo Cochlea quaeratur, quae gignitur a dato rectangulo ABDC, revoluto una cum adnexo trapetio DEO G. circa fixum latus AB. interea dum Promotum trapetium sit tempore eo dem motu luci proprio super latus alterum DC.
SInt omnia, quae in Propostione I. & eadem Figura Quarta .
Quaeritur genitae Cochleae centrum gravitatis.
Liquet sane, a Plano perducto per axim AB solidi ; qui axis est fixum latus ; circa quod tota Figura revolvitur; donec redeat; unde coepit moveri; dividi Cochleam in duo aequalia; atque id ipsiam Planum dispertiri in duo quoque aequalia ab axi AB. L per generationem selιῶ J . igitur centrum gravitatis manebit in retia AB. Et suspenso solidi poni debet effecta per filum AB. pertransiens per centrum. Sit essecta Per AB. expuncto A. Nunc ducatur EI parallela E DF . occurrens AB . in ἐ. Datur CE . dari enim debet Figurae BD F; quaecumque ea sit; in tota Figura C ABDFE. positus supra latus CDἰ ex quo positu moveri duplici motu incipiat ipla EDF. dc communi conversonis circa AP . cum rectangulo AC DB. & Proprio; quo Prae intellabitur lupra CD. Inde data erit CE AI. quae sit - q. Erit eadem proposit. .I. habita ratione dicti motus proprii trianguli ED F. progredientis supra CD. elementum solidi; &
. . . . cas xx. dx east, x. dxinde minimum illius pondus aequale -- - -
127쪽
AM -q -x . atque est eadem A M. distantia semper minimorum ponderum solidi connitentium in suspensionem A. & quidem varia. Ergo productum ex e sex in dictum minimum pondus erit
aequale elemento momentorum ponderum eorumdem minimo ea a xx. dx ea axi. dx
Et adsequemur Centri Gravitatis distantiam variam a suspensione A. Itaque erit ea
Int omnia, quae in praecedentibus . Sed sit rectangulum L DFG. quod adlaeeat lateri CD & in revolutione motu proprio elatum sit supra ipsum CD. Quaeritur Cochlea; quae generatur. Agantur in sinith proximae MON. mon. parallelae BD F. Oc-
128쪽
PROBLEMA. X. Is scurrentes AB. in M. m. Et CD. in o. o. Et GF in N. n. dieantur B D. b. & BDF. r. atque ED. p. Sit vero D F. a . atque Eo . x . & ON. I. Erit O O. dx. Sed est semper MN b - γ. Igitur Elementum solidi iuxta superiora erit
propter progressionem Figurae E DFG. supra latus C D. procedentis; unde varia, & mutabilis est origo E ableissarum Eo. O-2eών. dx cII. x
Atqui γ est semper a. Et inde elementum erit
xe l a p -- ca astiis p . Igitur quaesita Cochlea, & definita eriz ---. Et inde erit aequalis Cylindro ; cuius altitudo p. scilicet ED. radius vero basis erit V aba --oa . quae est media inter a. seu DP. & a -- a b . sive FB - BD. E. I.
r 2 rSed in D. efficitur x. aequa
Ini eadem. Et eadem Figura: Quaeritur centrum Gravita- tis. Repetamur quae in propositione IV. initio dicta sunt pro centro Gravitatis Cochleae illius. Deinde erat indefinitum Integrale Elementi, seu minimi ponderis solidi s propos t. praeced I I c b β π - ς μμ Piod ueatue GE . donee secet a B. in ι
derum solidi minimorum adversus A. connitentium erit; Cum l. tq - - x distantia, qua semper distant ea minima pondera a su-r o . cb a q. dx e bax. dx ea al. 6
129쪽
ar 4r 32r Dividatur hoc Integrale per ponderum simplicium summam variam --- . Ei; cum x nat In B. aequalis p. habebitur distantia constans, & definita centri Gravitatis a pun
Hine erit illa aequalis ipsi q. sive AI. una cum quarta Geometrica post 4b a a ι & b -- a , & p . quae quaseta erit quidem minor p . Et inde manebit centrum intus IB. E. E. I.
It rectangulum RTFΕι cuius latus TF. in C. & latus EF. O in B. tangat cireulus GL H. Sit circuli centrum S. Et iuncta HS. producatur ad circulum in G. atque in G. tangat quoque eundem cireulum recta A B G. occurrens rectangulo in B.&A. Iungatur CS. quae producatur ; donee secet rectangatum in D. Et revolvatur tota Figura circa Iatus manens R E; interea circulus eodem tempore motu proprio progreditur supra latus TF. quaeritur Coclitis hac revolutione procreata. Ducantur infinite proximae duae MP Q. mp q. parallelae RT.& s.cantes RE in M. m. atque TF. in P. p. & ipsum circulum hinc, & hinc a diametro G H. in o. o. atq; in ρ. Ponatur G. origo abscissarum. Profecto in hac revolutione origo ipsa G. abscissarum eonstans est;& immutabiIis ; cum non adhaereat lateri TF. supra illud insidens ; dum circulus duplici motu sursum desertur; & cum circulus arer sua sursum non progrediatur Per
130쪽
eandem rectam TF; supra quam maneat. Igitur; dum Cochlea haec quaeritur; sola ratio ducenda est motus revolutionis circuli CGLII. ac si solum ille revolveretur circa manens latus TF; &non cum tota Figura circa R E. cuius Figurae revolutio circa RE.essieitur quidem ; sed nil in Cochleae generationem sacere potest . Dicantur nunc GI. x. Et a I. I . atq; ΛΘ- DC.b . Et dati circuli radius CS. r . Cuius circumferentia denominetur e . Est M P O ,-- r I . cuius radii varii circ./με descriptus in revolutione esse-
Sed est 31O - DP -- PI II - , - r -I . Et lcirculus huius mutabilis radii in eadem revolutione designatus est m
quantitas, seu hic circulus ab alio ; &quod reliquum est cluctum in dae. erit Elementum solidi quaesiti; nempe exorti a solo circulo CGLII. in revolutione; illiusqne Integrale praebebit illud solidum, si ve Cochleam ; quae quaeritur ; per ea , quae Prae missa sunt. Itaque dictum Elementum erit qς
Q a να - xx. dx. Elementum semisegmenti circuli GI . Igitur Elementum solidi erit in x elementum semi segmenti GIλ
- - -- x elementum semi segmenti GII . cuius inde terminatum Integrale erit -- X semisegment. G I ex se mi in segment GIst . Est vero semi segmentum G Istia in II. aequale se-