장음표시 사용
111쪽
FIG. XV, CInt eadem ἱ quae antea. Sed quaeratur de recta P . intercepta inter diametrum circuli , & circumferentiam, quae obveniat aequalis radio eirculi. Similis equidem erit solutio. Profecto nuper inventa aequatio evadet κ' - 2 axi aa xx - ' Α Φ
- -- - O. Hae e ipsa aequatio non est in sua propria sede loccata. Etenim postremus terminus v. habet divisorem -- - .
qui metitur - -ς Per . Et ipse aequatio plane dividitur
quae inserius etiam deprimitur per x - O. Et remanet xx- ax o. In sua autem sede haec insidet aequatio; & radices habet duas; positi vam unam ; & alteram negativam; nempe G- - . Igitur inventa aequatio est primi gradus ; sed cum
pro venerit quarti gradus; duas habet radiees rationales posi
tivas - - , unamquamque aequalem radio circuli dati i& duas irrationales, unam positivam ἔ aliamque negativam . Et singulae fuerunt x. cuius illae exponunt valorem. talesque fuerunt radices per nuper effectam inventionem illarum. atque tales illas ostendit consecutio signorum -- ι aut - . iuxta algorith
Itaque aecipiatur supra diametro B A. Circuli dati; super qua Vii fuerunt ignotae x, seu BC propos I. J radius B O. Et iuncta esto N; nempe circuli radius; leu ordinata ex N. dato puncto su- Pra
112쪽
pra peripheria hvorbesi . Igitur producatur O M. ad circumferentiam in st. deinde ex B. ad plagam contra A. fiat BC -- VJ ' G . atque ex eodem B. in plaga versus A. fiat BC q& eadet haec BC. infra centrum O . circuli; seu infra diametrum N OQ. & quidem extra Circulum ; est
enim --- - maior diametro Circulit atq; iungantur C. SAdatum punctum N. eruntq; OZ atque C Urectae quaesitae aequales radio. Id enim positum est. Et radiees duae aequationis inventae aequales singulae ipsi- f. exponentur ab eadem BO. sunt enim cum eodem signo omnino aequales; aliaeque duae exponentur ab ipsis duabus determinatis BC. Atque o spectabit circulum cavum. Sed duae C M. proficiscentes ambae a punctis C. aeceptis construct extra circulum ; & una quidem a C. ad plagam ex B. contrariam A. altera a C. ad plagam ex B. versus A; pertinebunt ad circulum convexum.
O Vantitas Differentialis iuxta Algebricam analysim infinite mi- norum potest infinita habere Integralia ; non enim differentiae minimae -- dx est sola Integralis quantitas Gae; verum etiam -- x - m. Et m quasvis cognitas indicat magnitudines; & numero etiam infinitas. Hinc inventa quantitas Integralis non sem' per satisfacit problemati; sed oportet ut quaedam data, & nota
113쪽
quantitas ipsi Integrali addatur; aut ab illa subducatur. Quod in dieti algebra infinite parvorum, ut recte animadvertatur, vulgo iussum semper fuit. Exploratum aliquando est; quaenam sit quantitas addenda, aut demenda ; aliquando minime est. Si perspectum est ; facilis
erit actus ; & inserius etiam id ostendetur exemplo parabolae. Si non est perspectum; eximius prae omnibus Geometra analystes Io. Berno ullius in fine Lectionis UIlI. Mathematicae de methodo Integralium tomo operum III. modum agendi praebet exemplo firmatum; scilicet; spatium ; cuius Integralis inventa est ;poni aequale nihilor & tune ; si Integralis quantitas quoque plane evanescit; nihil addendum esse, nihil auferendum ipsi Integrati; si vero quantitas aliqua adhuc restat positiva; esse illam ex aliis Integralibus subtrahendam; si autem negativa; esse iisdem addendam. Haec Berno ullius. Verum aliquando spatii consideratio usui esse potest ; praecipue eum spatium aliquod constituit quaesitam summam Differentialis; nempe integrat ; uti in hae doctrina dicitur; quantitatem Disserentia- Iem; Cuius non accipitur , aut accipi nequit expositio algebrica Integralis; at aliquando ipsa spatii consideratio locum habere non potest; vel non est necessaria . Quapropter generatim ; si minus innotescat; quae quantitas addenda sit Integrali; quaeve de illa detrahenda ; fiat ignota abscissa; uti x; aequalis nihilo; & si nil reliquumst; argumentum id erit, nil esse addendum, & auferendum Integra li ; si autem relinquatur quicquam ; est illud Integrali adiiciendum; si sie negativum ; sed auferendum , si positivum . Demonstratur . Quoniam sit semiparabola ABC. euius diameter AH; quae sit axis facilitatis caussa. Et vertex si A. parameter A L. sit in AH. portio data AD . ad quam ordinata parabolae si DP. quae erit data. Originem abscissae non habeant quidem in A . sed in D. Et sint ex D versus II - - κ. Ordinatae autem tendentes ex AH axi versus crus A C. parabolae sint se I . Dicantur datae A D. b. &DP. a. atque data etiam AB sit - e. Et BC basis semipara-hoale
114쪽
PROBLEMA. x. 9sholae datae sit m. tandem perameter dicatur p . Erit aequatio curvae γγ bp -- p x. cum sit abscissa parabolae in , - v. Sumantur nune intra PD in parabola duae infinite proximae NM.n m. atque ex N. agatur Νο parallela AH. occurrens nm in O. Est quidem ΛΜ - , -- x. Sed differentia eius minima Mm est dae. eadem plane, ae si abscissae forent simplices x. cum origine in A. Elementum areae semiparabolae est minimum trapetiumn N M mn I . dx . atqui est 2I. Ο - ρ. . Vnde dx o . quare Elementum erit . o. Cuius Integrale est
- -κ Vs, pae. Sed est in B ipla abscissa' -- x - A B m e. Et ordinata It fit BC m. Quare Integrale ab apx x'pβ-px erit in B - ep - ob parabο- piam 3- cm. quae tota area est semiparabolica ABC. Verum si accipiantur in eadem parabola duae in sinite proxime NM. n m. supra PD . & eadem ibi fiant; erit spatium semiparabolicum AD P. eadem argumentatione ; cum locus parabolicus II - βρ - ρη. ubique insidat in curva; aequale 7 ab. Ergo habebitur & to tum spatium semiparabolicum ACB; & pars eius a vertice sumpta ADP . & tandem etiam segmentum illius DBCP. Etenim
est illud - em -- ab . Si nempe ab . detrahatur ex - cm.
Haec ita sane eveniunt ; quoniam exploratum est; quaest origo abscisiarum: & descripta existit Figura: & reliqua patent ; & data sunt. Sit vero proposita sola Integralis quantitas
---- A Us, sae & aliud quippiam non detur ; idcircoque non innotescat abscisi: trum origo; & reliqua sint inexplora' a - Oportet perquirere per sdicta quid addendum, auferendumve
115쪽
96 PROBLEMA. X. Integrali sit; ut satisfiat quaestioni. Igitur essicienda est abscissa κ- o. Etenim est x D tb. abscissa ; atque spectandum , num aliquid restat. Quod si reliquum est aliquid ι debet illud deduci ex Integrali inventa, si est positivum a aut addi eidem Integrali; si negativum: sive; quod unum idemque est; debet illud semper detrahi ex Integrali inventa. Etenim additio quantitati S negativae constituit apotomem in Arithmeticis, & Algebricis ν nimirum recisonem. Et id effetendum est , ut satisfiat Quaestioni.
Quoniam profecto ignoratur bpothesi origo abscissa
rum; di ignorantur, quae per Integralem inventa sunt l. atqui datae Disserentialis x. est Integralis tam sola x. quam x m. Ergo ; ut satisfiat quaestioni; cum reliqua non dentur; & non sint cognita , atque inde non pernoscatur , de qua re agitur Dpoth. ; flessicienda est x; terminique ubi adsunt x. essiciendi nihilum; sive o. Et si nil restat ; est Integralis sola x. si vero aliquid remanet ex causi. - m. sive - m. non est Integralis lota ae . sed accipienda est Integralis x - m. aut unus , aut alter sit casus; sive ipsius --mι sive ipsius - m. uti explicatum est. Ergo semper ; si aliquid restat ; indicium id est quaeri, quod continet Integralis x. dempta cognita alia magnitudine. Sicuti in negocio nostrae parabolae ; si in Integrali -- ' od .pae fiant termini ..ubi x; aequales nihilo; restat - - xv p x . quod detrahen dum est ex pae. Quare indefinita Integralis quae sita erit
ob - Px - x Up x. Et determina-3 3la Integralis in B. erit 3- cm- - ab; sicuti nuper supra in ventum id fuit. Hoc autem quaeritur, quod haee continet Integra lis; quae satisfacit inde quaestioni; euiu non patescat origo abscii tarum; & reliqua non sint data, sed iunorentur. Igitur quaeri ursolum
116쪽
PROBLEMA. X. selum segmentum semiparaboli eum DBCP . quod est
I. Hine; etiamsi data, & cognita sit Figura; de qua agitur;&reliqua etiam perspecta; sed sola origo abiicissarum quae abscissae in his ponuntur semper adpellatae x. varia sit, de minime data ; tamen essicienda quoque est x o. & e medio Integralis indeterminatae tollendi sunt termini, ubi adest x. Nam tunc sex dictis I semper, an disserentiae minimae dae. sit Integralis sola κ. num vero x. sed addita , aut detracta alia cognita . magnitudine ἔ anceps. Ergo per propositionem patet . quod dicitur 'II. Colligitur etiam . poni posse ignotam x. aequalem nihilo non solum in Integrali quantitate inde terminata; sicuti explicatum est; verum etiam in ipse Disserentiali r & inde tollendos ego ex illa terminos ; in quibus inest sola disserentia minima d x.
Idem enim est quaerere, an accepta Integralis x. sit sola Integralis disserentiae minimae dae. utrum vero aliarum datarum magnitudinum additarum ipsi x; vel ex illa deductarumὲ ac quaerere, an Disserentialis dae; priusquam accipiatur eius Integralis ; habeat 1olam Integralem x. num vero x. & alias magnitudines sibi additas, aut u se ipsa detractas. Id autem essicitur per tradita in proposit. cum fit x - Ο . III. Quae continet propositio ita se habent; quoniam in Elamentum quodvis quaesitae cuiusvis dimensionis; aut consectao alterius cuiuscumque quaestionis per Algebram infinith minimorum init semper disterentia minima dae. cuius Integralis quantitas esse potest tum sola x; cum x m. Inde enim haec omnia Pendent. Et exploratum id est per ea, quae clici a sunt. Ergo; cum solum ob id fiat x - o; aut dx o . n. a. ; amovendi ex Integrali; aut Differentiali n. a. soli termini sunt, ubi comperi- Lur x, non quidem x. ad alias potestates evecta; qualis x'. aut
117쪽
s,8 PROBLEMA. X. xy. & Et ita de reliquis; atque ubi comperitur n. a. J sola
differentia minima dae. non vero ducta in x. aut in alias Potestates ipsius ae . quilis x. dx. vel x'. dx . Sive x' .dae. Et ita de ceteris. ideirco diximus f n. a. J toIlendos esse e Differentiali te
FIG. IIsIe datum triangulum FAD orthogonium in A. oportet illud in duo aequalia dividere per rectam BC parallelam lateri M. quod angulo insistit recto A. Dividatur ita in B .ex D. datum latus AD; unde ducenda est recta BC quaesita; ut sit DB. media Geometrica L . inter dimidiam rectam lineam ADt, atque totam eandem A D. Λgatur ex B. parallela BC ipsi FA. oecurrens FD. in C, Et erit datum trian gulum FAD. dispertitum in trapetium FABC F; & eriangulum CBD. invicem aequalia a recta BC parallela lateri FA. Etenim; cum sit DB. BC ir DA . AE; & triangulum CBD. CB M BD sit aequale ; erit ipsum idem triang. CBD. aequale per fabricam quartae parti rectanguli FA X AD. cuius rectanguli dimidio est aequale totum triangulum FAD. Igitur quod restat trapetium FCBA; si a triangulo toto FnD. tollatur triangulum CBD ὲ erit altera quarta pars rectanguli FA in A D. &inde aequale triangulo CBD. Ergo erit datum triangulum P A D. dispertitum in duo aequalia; videlicet in trapetium FCBA. &in triangulum CBD. a recta BC parallela lateri FA. O . E. F.
FIG. III. Sit Rectangulum ABD C. euius lateri CD. adhaereat Figura quaevis plena BDF. Existentes ambae Figurae in eodem sem-Per Plano revolvantur motu aequabili, & tempore eodem circa fixum axim AB. Interea Figura L DF moveatur altero motu
118쪽
progressivo supra latus CD. in dicta revolutione; donee eonverinso tota perficiatur illuc desinens; unde coepta est; Solidum genitum Cochlea adpellatur,
Solidi Coehlearis hane maxime perspicuam, optimamque deis finitionem excogitavit Torrieellius scripto relictam in Comment riolo quodam de Cochlea; ubi nonnulla, satis vero bene pauca, atq; ea strictim quidem , ae presse de hoc selido commentus est . Et non semper demonstrationem subiungere voluit. Centrum vero gravitatis illius vix in fine, & unius tantum generis Cochlidis; scilicet enatae . triangulo adhaerente lateri Figurae revolutae sine ulla demonstratione commemorat. Nos ipsam eandem definitionem solam cetera omnia nostra facientes recepimus. Et Torricellius Geometria infinith minimorum certo non usus
fuit. Dictus Commentariolus operibus evulgatis Torti cellii ad finem adiectus est. Vir magnae existimationis Paschalius in quibusdam in lucem emiliis Epistolis Mathematicis ad varios scriptis nomine subdititio Delion villii; at mihi narratum est, litteris etiam proclidit de Cochlea in Epistola ad Slurium a sed quam brevissime seripsit; solasque paucas propositiones Protulit sine demonstra.
tionibus . quas aut Praetermittit; aut ex alio Commentario a se composito de Arcuhus Circulorum, eumque Epistolis illis in lucem edito consectari illas enunciat. Neque Delion villius Geometriam infinite minimorum ad sua demonstranda adhibuit. Et egregia definitio Coehleae Torrieelliana multo anteferenda est definitioni Detio a villii. Geometras alios de Cochlea agentes nos non vidimus i & etiam ignoramus.
It rectangulum ABD c. & Figura alia Plana adhaerens lateri yiora CD. st triangulum EDF. orthogonium in D. cuius quidem N , Iatus
119쪽
roo PROBLEMA. X. latus ED. sit in CD. atque revolvantur ambae Figurae ei rea latus fixum A B i prorepatque triangulum EDF. eodem tempore motu suo proprio supra CD. donec tota perficiatur converso. desinit. Quaeritur Cochlea per revolutionem generata. Agantur ordinatae communes rectanguli, & trianguli duae MO N. mon. infinite proximae , vi parallelae quidem ipsi BDF. Itaq; erie MO. ordinata rectanguli; & ON trianguli. Dicantur datae BDF.ν . BD. b . ED. p . DF. a. Sed denominentur ignotae , ct mutabiles EO. x . atque MON. I. Erit Oo . differentia minima dae. Sit Elementum solidi minimus cγlinder Amn N. ac si in revolutione triangulum BDF. non ferretur motu luci progressionis supra cD. atq; si dieatur e . peripheria descripta in revolutione a dato radio BDF sive r ; erit peripheria descripta in eadem conversione a radi
vario m. aequalis Mici circulus basis cylindruli erit aequalis Est vero Oo sed . altitudo eiuslem minimi cylindri. Ergo erit
- -- Igitur si in Elemento laeo γ ν suiu-
120쪽
. Sed fit in D. ignota x. ae qualis p. quare quaesitum solidum erit UE- - . . ab a - Fla. V. Sit hyperboles A g. euius latus rectum BD --. Et sumantur quidem eaedem rectae lineae; quae in Cochlea ἔ eodemque modo denominatae . Latus vero transversum, seu axis CA.
sit - - . Item si A P in axi producto intus curvam p ED . Figurae Cochleae . Ex F ordinetur FE. ad curvam. Atque ductae sint in hyperbole infinith proximae ordinatae MN mn. sunt quidem abscissae AN . x. & ordinatae MN. I. Tandem agatur M. parallela AF secans m n. in O. Nunc revoluta curva AEF. circa fixam AF. generet conoidem hyperbolicam E AH. Cuius altitudo AF . Itaque Elementum dictae Conoidis erit minimus Cylin-det Mon Ν --. - . ostenditat uti hie superius in Cochlea
tur in Elemento vice D. haec illius aequalitas. Et erit illud