장음표시 사용
101쪽
- o. qui alter erat locus ad parabolam. atqui sunt ast a xin utraque curva eaedem x. & eaedem I. Igitur loco ----
lassiciatur in hac aequatione aequalitas illius - - per primam inlatam parabolam a S erit adi
tum L per eandem parabolam J hahetur quoque II ma xx - - - . Quamobrem; s II in hane aliam suam demutetur ae
qca ax a adda Φ- - - - o. quae inventa aequatio iuit, & erat eonstruenda. Habee autem illa per algorith. radices tres veras, unam salsam i si omnes sint possibiles. Possunt autem esse. Quod infra cognoscetur . proposit. V. J . Iam vero sint interfectiones quatuor curvarum, & inde quatuor aequationis reales radices . Itaque supra B A . accipiantur ordine ex B. versus A. rectae BC. quarum prima sit BC. aequalis minimae CNex determinatis supra DI . dc tendenti ex C. versus parabolam AB. Secunda sit radius Bu CI. Est quidem cI - - , seu aequalis radio; proposit. I. ; & tertia BC. sit aequalis CN. pariter contendenti ex C versus parabolam AB. &maiori quam prima CN. & quam C I; seu quam radius Ba. Et quarta BC. sit aequalis C N. in positu contrario prae reliquis; scilicet ex N. vergenti ad parabolam A E. Et sunt prima recta BC. radiusque B de tertia PC locatae in eadem plaga ex B. ver sus A: inde respondent tribus radicibus -- x. politivis inventa
102쪽
aequationis . atque quarta BC. contrarie sita; uti dictum est; convenit radici falsae - x. eiusdem aequationis. Nunc adiungantur rectae CN. radiusque. 2 N. ad datum pio punctum N. Et producantur ad circumferentiam in M . Et erunt Vφu rectae CM. 0 u. C M. ex B versus A; sed recta tertia C M. cadet extra circulum; uti dicetur ι atque C M. in positu contrario aequales singulae radio dati circuli BNAP. Id enim positum est . atqui una intus unum quadrantem Bo P . & una intus Ast P. locabitur recta tendens ad idem punctum N. datum in lupa riori quadrante BG. aequalis radio Lemur. II. . Ergo duae nempe BC. minor radio ; ex dictis ; & altera scilicet iple radius BC ex Γ verius A . tendentes manebunt intus circulum. & duae BC. una ex B. verius A; & altera in plaga aversa locabuntur extra circulum. Ita enim una CM in quadrante B st P. & una QM; nempe radius; in quadrante Ast P. posita erit; aequales singulae radior atq; ambae pertinebunt intus circulum ad cavum illius curvameni & duarum C M. extra circulum postarum Pertinget una ad convexam , altera ad cavam Peripheriam . Quod erat secundum.
Cum sit AI construction. - - . Et a sit parameter pa-- FIG XIII. rabolae BAE; unda I. foret focus; si AIS. axis; profecto quadratum ordinatae ex I ductae ad Parabolam A E erit - - . Igi-
Φtur ordinata erit - . sed est IC - . . Ergo C. manet in curva
AB. Quod erat Tertium. FIGDeinde una recta determinans quaesitam CD. aequalem ra- Viii. dio est ipsemet B L. radius. atqui BC. fuere supra BPq. rectae illae determinantes praedictas C M. & suerunt--x. atque in omni aequatione adhibita ad com ructionem est eadem is x. Quare sumatur aequati Oxx - ax in aF. in qua fiat x aequalis radio eritque - - aI. Inde erit I - - - perfabricam
103쪽
x G. Xlli. AI. Et sunt rectae ΡΝ --γ illae, quae ex concursu curvarum ducun: ur supta DCIx parallelae i pii AI. Ergo concurrent curvae in vertice A. parabolae BAE. Et alterius Parabolae te mi. a FI . traiicietur Per A. Demonstratur id aliter. Occurrat AI ips T G in R. Nunc est BO- c. atque ΝΟ - d. Igitur erit dd - ce - ce s per
Gratium J & inde -- erit atqui erit ordinata AR
Itaque ARA erit - - . Et este idem AR debet aequale re et angulo, quod RT in Para metrum
. constituitur ob ipsam parabolam FTH. Est autem - reapse aequale huius rectangulo. Nam est si T ID IC CD - - - lud erit 16 ώ - ac
. Igitur conficiatur dictum rectangulum ; & ib
inde erit AI' aequale illi rc tangulo. Et curva parabolica FT. Pur ducetur Per A . verticum altemus parabolae. Quod crat qu4r tum O . E. O .
I punctum T. vertex parabolae FTII. incidat; uti hactenus; extra parabolam aliam AE . aut supra illam ; quatuor erunt concursus curvarum iam determinaci. Si cadat intra parabolam AE tuna non nisi duo erunt occurrius; unus in vertice q. alter in P. intus
104쪽
ngulum S RG sive ad partes parabolae AB. Et una determinans rediam quaesitam erit C I. scilicet circuli radius; altera erit CN ex C versus K. Quare sumatur tunc supra ΓΑ recta es una B C ex Γ; versus A ; est enim NC - x. led sit ipsa B C maior ec VILI. radio. Etenim est NC. maior CI, seu radio; per descriptionem cur varum. Altera vero determinans quaesitam est ipsum et rauius T O . atqui ex eodem puncto N. una tantum recta aequali S ra dio inclinabitur intus quadrantem Bst P. & una tantum intus quadrantem A0 P. f Lem m. II. J. Igitur accepi a BC. maior radio Cadet extra circulum . Ita enim ; si iungatur 2 N. & CN. & protrahantur ad peripheriam in M ; erit sane una O u quaesita aequa 'lis radio; scilicet idem mei radius ; pertingens quidem ad circulum cavum et & alicia quaesita radio quoque aequalis ei it C M; Pertingens ad circulum convexum. Id enim positum eth. Et non nisi recta una ex N. prodiens posita erit intus quadrantem AOP. aequalis radio ν quae est ipse radius.
In nostra aequatione tres octavae partes quadrati ex xa coeD
ficiente termini secundi, nempe -- ; dempto -- c ciuciente 2 4 termini tertii constituunt quantitatem positivam. Itemque tres
octavae partes quadrati ex . coefiiciente termini quarti; et a' c e 3 a' dd dempto - ----. Producto , quod sit ex termino postremo ducto in coesticientem termini tertii; faciunt sane quantitatem positivam . Igitur cfer algoriis. indicium alterutrum nequaquam adest radicis fictiliae in aequatione inventa. Et ἰ per constructionem, descriptionemque curvat um ; sese illae necellario alicubi intellecabunt. Aliam nunc parabiim s constructionem aequationis inventae , quae necessario radices quatuor producat
105쪽
aequationis; quare semper casus omnes conficiet problematis. Proinde illam commenti sumus.
Sumatur AI - - . & diametro AIS parametro a . de signata si parabola RAO. vertitaem habens A. Per I. agatur I RV parallela ordinatis deseriptae parabolae. Fiat in I RU por-
minor --. sed maior qua me. Nune diametro secunda BD. Parametro vero - - - - ; ordinatisq; ad diametrum secundam parallelis ipsi AIS comparata sit hyperboles GEH cum opposita TEL. dico primo, ductas rectas ex intersectionibus curvarum parallelas diametro AIS. parabolae ab indere supra BP DR. lineas aequales petitae x. & problemati satisfacientes. Et secundo; quatuor necessiario esse intersectiones; inde quatuor habendas esse x. Quoniam curvae per descriptionem sese equidem intersecabunt; sint autem intersectionum puncta P . Vnde demittantur
106쪽
P R o B L E M A. IX. 37 PM ad parabolam. & PN ad diametrum secundam hyperbolis
ordinatim adplicatae. Sunt quidem CN. ex C tendentes verius B x; atqne PN ex intersectionibus tendentes ad I RU. sunt I.& in plagis contrariis erunt illae - x. S. istae -F. uti in praecedentibus . Igitur u N - 2 C - CN; aut CN - CZ; vel - - CN erit m c - x. vel - α - e . Profecto descripta parabola RAO demonstrata in superioribus est locus ei te parab P a xy
les erat construenda. Inde loco II in hae aequatione suppona
Y - - o . Quae aequatio fuit inventa ; &2 4 qquam construere oportebat. Et pertransibit hyperboles per verticem A parabolae . atq; ipsa parabola ducetur per punctum C. Vtiiupra spropOL. IV.) de duabus parabbim dictum est . Eodem enim modo hic ea ostendentur. Sumantur nunc supra BA data circuli diametro viii tres BC. BC BC. ex B . versus A. quarum B Q. est radius; aequales ordine. sicuti in superioribus; spropositi IRI ipsis CN. CI. CN. & quarta BC ex B. ad plagam contrariam aequalis CN.lacatae ex B. ad partem adversus A. atque connectantur CN.9 N. CN. CN. producanturque ad circuli circumferentiam in M .& erunt interceptae inter cavam circuli peripheriam, S diametrum B A. rectae tres c M. O M. C M. quarum 2 M. est radius ;atque recta una CM. inter convexam peripheriam . & eandem
107쪽
diametrum aequales singulae radio circuli dati. Id enim positum est. Et tertia BC ex B. versus A accepta incidet extra circulum ; ita enim una intus quadrantem Bst P. aequalis radio;& una intus Ast P. radio quoque aequalis; nempe ipse radius
2 Μ. Lemm II. erit Iocata. Quod est primum. yio KkV Est diameter feeunda BD. hyperbolis in ad. atque illius Pa
rameler - - . sed EF diameter prima est media Geometrica inter Mi. & . quare erit EF d. Et υ. - - . Agatur EL. parallela RIV occurrens AI in L. remanebit L. A extra IL ἐ& vertex Λ parabolae subinde manebit supra verticem E hyperbolis. Quae Patent. Inde necossario parabola, & duae hyperbolae semper in quatuor punctis mutuo convenient: & quatuor adsequemur radices aequationis . Quod erat secundum . Et indicium non adest radi eum
aequationis impossibilium sper eum lib. I quod supra fcbol. propo si . V. ostensum est . PROPOSITIO VII.
It nunc datum punctum N in circuli ADI circumferentia ita io XV ut ordinata ex illo ducta NO ad diametrum positione datam B A. cadat in circuli centrum O. Et quaeratur intercepta C M. uti supra L proposit. I. I aequaIis datae, P. Similis erit solutio. Nam sit C M. quaesita P. & ordinetur MP. dicaturque BC. ignota x. Erit Ac a - x; retentis iisdem denominationibus; quae in praecedentibus cproposiι. I. . & OC BO - BC. erit - .L- x. atque etiam erit CN --. Sed est CN. NO libCM. MP ; scilicet MP - --- ο
108쪽
Construetur autem simili quoque ratione, ac Praecedentes compositae fuerunt aequationes. Adsumatur enim locus parabolicus ax - xx - ιγ. Hine erit aa xx --- α' - , II. Quare si in sede a a xx--- 2ax H aequationis inventae reponatur eius aequalitas
sit AI - Et vertice A. diametro AIS. parametro b .d feribatur parabola LAO. Post hac per I. agatur B T. parallela ordinatis paraboIae descriptae. in qua sit BI - -; seu radio; aut ordinatae No Fig. xv. ; atque sit IC - BI. Et diametro secunda BC. describatur hyperboles aequilatera DEL; cum sua opposta GFII. Oecurrent mutuo duae curvae; diametri enim illatum sese intersecant intus parabolam construmon. . Et occurrent invicem aut in quatuor , aut in duobus punctis. ipsae duae curvae . Potest enim AI - - esse maior , aut minor eonstra
Abaton. quam sit IE - οῦ semidiameter coniugata hyperbolis. Et nequit esse illi aequalis; cum non sit data P. seu b. circuli radius.s bypotbef. I. Hinc vertex A. cadere potest aut intra hyperbolem DEL. aut extra. Quod in antecedentibus pro aliis casibus etiam ostenditur prol. II. M Non
109쪽
sci PROBLEMA. IX. Non adest conditio non semel memorata proposit. I. radicis
fictitiae . Nam - aa - aa - , b - 2 ao -- bb. quanti- eas est positiva. itemque quantitas positiva est - a ab'a ab A - - . a' bb sab4 ,- - ; cum sit sola - - Dpotb. quantitas po' stiva. Hinc nequaquam discordant, quae de iis radicibus in aequationibus quarti gradus demonstrat algorithmus . atque tres in inventa aequatione sunt radices verae; una falsa per eundem . Ergo si quatuor sint curvarum cone ursus; tales radices aequa tionis erunt. Termini autem eiusdem aequationis non sunt omnes positivi: & non consecutio invenitur signorum & - . habet enim tertius & quartus fgnum - Igitur per algorith. radices aequationis erunt verae cum falsis commixtae. Inde si duae sunt intersectiones curvarum; radix una vera erit, altera falsa. Nune snt intersectionum puncta P . ex quibus punctis demittantur ordinatae PM. ad parabolam. atque ad diametrum secundam hyperbolis ordinatae PN. Sunt CN. ex C versus B. x. & PN. ex P. versus BCT. sunt --ο . Inde in locis oppositis fient illae - κ . & istae I. Atque C N. erunt radices aequationis inventae; valoresque ignotae x. Nam Parabola quidem XAO. locus erit novus inductus parabolicus ax - xx bs. quod pluries antea demonstratum est . atqui propter hyperbolem habetur PN si Ni - Γν-- Cι CN; sive in BP - - CΝ - CIaut in BI' - CI - CN. quare erit II - - - xx- ax --. Et inde essicietur II - xx -- ax- - O. quae hype boles erat aequi latera. Sed sunt eaedem x.& eaedem I. in utro que laco. Igitur removeatur I . & eius aequalitas per parabo Iam subiiciatur - - - re. Et restitutam habebimus ob bo sto
110쪽
- - . quam eonstruere oportebat.
Accipiantur nunc super diametro positione data BA. cireuli dati ADI. cuius centrum O. tres BC. BO. BC. ex B. versus A. & quarta BC in oppositione; si quatuor lint curva rum intersectiones; si vero duae sint intersectiones; sumantur duae BC. una ex B. versus A. altera aversa ipsi A. eo plane ordine; quemadmodum constitutum lupra fuit sproposit. I. inconstructione J . Et iungantur c N. eruntque; protractis N C. ad peripheriam in Ma comprehensiae Cu . inter diametrum datam A B. & ipsam peripheriam aequales singulae eidem rectae datae P. seu β. Id enim positum est. Atque ad circuli datam diametrum BA . ducatur alia diameter 2 ON. ad norinmani in D. Et; si quatuor sint interlectiones duarum Curvarum; tunc trium rectarum BC. acceptarum ex B. ad Plagam A. in ipsa si A. una incidet supra; & una infra NOQ. atque tertia extra circulum. Ita enim una C M tantum totus quadrantem cireuli Bossi includetur aequalis datae ; & una eidem aequalis intus quadrantem Aori Lemm. II. Et quae CM intus circulum erunt; pertinebunt ad cavum illius ἱ quae vero duae CM. e. tra circulum ἔ pertinebunt ad convexum. sive quatuor sint, sive duae BC. & inde quatuor sint, sue duae C M.
Nequaquam ἔ uti monebatur; erit AI αα EI. quare curvarum vertices convenire minime poterunt. Sed erit AI aut maior,
aut minor EI ut in propositione ). Quoniam si AI foret in EI;
sbile; esset enim data P. aequalis radio cireuli dati. Resistit autem hypothesis. M , PRO