장음표시 사용
91쪽
drantem comprehensae inter diametrum datam. & circumferentiam Circuli 1 & quae nequeunt esse eidem datae rectae aequales . lare maiores, vel minores radio eiusdem Circuli. FIG. Aliter. Non enim; sed sit alia NEM; euius definita pars intercepta EM si circuli radio aequalis tota intus quadrantem . Iungantur
Θpothesil erit angulus ust E MEst. Sed angulus Pst C. est maior angulo M Ε. Profluunt enim rectae N P. & NEM. ab eodem puncto N; atque incidunt CP. EM. intus eundem quadran tem b orbesi ; unde una si propior ad diametrum o D . quam
altera. Ergo ang. Pst C. erit maior MEst , sive ME C. sed erat PQC - ECN. Inde ECN. ang. internus erit maior externo ME C. Quod a ratione maxime abhorret. Dico iscundo; ex eodem puncto N. non inelinari intus alium quadrantem O 2 R. nisi solam diametrum NMIr cuius portio O II interclusi per centrum inter eandem positione datam ei a metrum B ZA, dc circumserentiam; atque manens tota intus quadrantem si radius circuli. Non enim; sed sit alia demissa NI K. ex N intus dictum quadrantem; cuius portio definita IK. sit radio circuli aequalis to--οεM.ta intus quadrantem. Connectatur X Q. Erit angulus Κυ
nor erit recto LIR. Inde maior recto erit NIst . atque est minor recto Ast N. Vnde maior recto Ν I. Et igitur in triangulo ND. anguli duo in z. & I. erunt singuli maiores recto; seu obtusi. Qui daam vero isthuc monstri erit p
Per spieuum est , in secunda demonstratione huius Lem m. contiis neri ea sus omnes positionum diversarum ; quas lineae praedictae ΝM. N P . accepto quadrante OD; possunt obtinere : illique tune iidem cum expositis; uti liquet; in Lemmate praecedenti. Namia demonstrationem secundum huius Lemmatis nullum iniit me dium elementum in aliqua dictarum positionum innixum.
92쪽
s It in dati Circuli ADI. circumferentia datum punctum N. FIG VII. oportet ex N. demittere rectam NM ad aliam circumferen, tiam ; ita ut eius portio C M. conclusa inter diametrum positione datam B A. & circumferentiam sit aequalis datae rectae linae P . liquet P . elle debere diametro minorem. Per tractatum ab aliis est problema ; sed ἱ quod norim i de sola interclusa Cu, quae sit aequalis radio. Generalius igitur hic illud proponitur ;& nostris solutionibus, & demonstrationibus quivis casus problematis conficietur. Ponatur factum esse quod quaeritur. Demittantur ex N.& M. ordinatae circuli NO . M P. ad diametrum B A. Cadere pollet Noaut in circuli centrum 2 . aut extra . Cadat extra . Dicetur in Prop. VII. de alio casu faciliori. Cadet autem semper inter punctum C.
de B . ipla NO; eum sit circuli ordinata. Dividetur igitur B A. in duo inaequalia BO. O A. sit OA. pars maior. & OB. pars minor. Erit OB. minor radici. & OA maior eodem radi O. Inde per circulum erit OB . minor ON. quae quidem ON est minor radio b orb. . 'Dictae sint datae, de cognitae BO. e. dc ON. d. de circuli diameter AB . a. Ignota vero sit BC. & denominetur x. Erit CA a - x. Et OC BC - BO erit se x - e. data vero P . adpelletur b - CM. Nunc est per circulum AC XCB - NC XC M. quare erit a x - xx NC x b . Inde fiet NC ---Sed est CN. NO ri C M. M P. Igitui erit
MP. Hinc M P erit . atqui est quoque NO. OcMP. PC. nempe d. x. PC. Quadere P c
93쪽
qui latera. Modo sit AI - oatque vertice A. diametro AIS . parametro b. describatur parabola TA L . deinde per I. agatur DI B parallela ordinatis dei criptae Parabolae . Et sit DB- 1d. divisaq; bifariam in O. Aecipia iur in DB. ex O versus B. portio OC c . atq; ex C. veriuS Parabolam A T sumatur CI- semidiametro dati Circuli iti . di diametro secunda DB . descripta sit hyperboles aequi latera KF si cum sua opposita HEG. ordinatas habens parallelas ipsi AIS. Dico primo; has duas curvas mutuo inter insectum iri. Secundo ; interscctiones fore in Punctis; unde ordinatae deductae PN ad D OB praebebunt abruptas supra ipsa DB. radices CN. aequaticinis inventae, seu valores ignotae x. Tertio ἔ quod tertium propoliticine insequenti demonstrabitur in aut quatuor, aut duas esse intersectiones: inde aut quatuor, aut duas esse iuxta hanc problematis solutionem radices aequationis inventae . Demonstratur primum. Nam per deleriptionem diameter Parabolao , ct diameter secunda hyperbolis lese intersecant . Igitur Curvae mutuo concurrere in punctis debent. Et a a bcoessiciens tertii termini aequationis inventae subtractus ex tribus octavis partibus quadrati csessi eientis termini secundi; scilicet
94쪽
cet ex - a a facit sane quantitatem positivam . itemque tres octavae partes quadrati ex coelficiente termini quarti; nempe ι'ce; dempto producto - aabbdd - ealbee -- , dd --b' ec; quod ex postremo termino ni in coefficientem termini tertii; constituunt constraa. pariter quantitatem positivam - δ' te
aab bd -- aabbee - D dd- b c e . quae duae conditiones sunt. alterutra quarum si desit; non deest autem hie ulla; radices erunt i aequatione quarti gradus fictiliae per algorith. . Quare; cum do monstretur has curvas neeessario lese intersecare per descriptionem; ratum, firmumq; semper iterum fiet, quod demonstrat de radicibus fictitiis aequationum quarti gradus ipse adorithmus. Schol. proposit. unieae problem. II D alibi . Quod erat primum. Sunt vero per eumdem algorisb. tres radices verae, una falsa. modo sint omnes quatuor Possibiles . Demonstratur secundum. Demittantur ordinatae PM ad Pa' ris. rabolam. dc PN ad diametriim secundam hyperbolis ex interie- ηεψφη ctioni hus P . duarum curvarum. Sunt CN ex C versus P. - x. Sei licet radices verae . atque ΝP ex N verius A. parabolae verticem sunt se I. inde CN ex C versus R. erit radix falsa - x. Et iplae NP. ex N ad plagam aversam eidem A . erunt -I. Sed
ob parabolam est PM'; scilicet LI - CN; vel CN - CI; aut
IC - CN; idest ax - xx; aequale rectangulo, quod ex AM fit, sive ex AI - IM; vel A I IM in parametrum b.
95쪽
Et sunt eaedem x. 3c eaedem I in utraque curva. quare si in hyperbole in locum II. succedat eius aequalitas; quam descripta
Iam vero si omnes radices aequationis sint possibiles; quod eveniet, si curvae in quatuor punctis sese secabunt; erunt iuxta successionem signorum μὴ aut - . in inventa aequatione radices tres positivae, & una negativa per algorith. . si autem duae sint intersectiones; unde radices aequationis duae possbiles; erunt autem certe duae, curvae enim; uti dictum ; sele necessario intersecant; tunc sane radix una erit politiva ἔ altera negativa. Nam aequationis termini non lunt omnes politi vi; seu praefixi signo F. itemque non comperitur in illis consecutio signorum se; & - .
quare per algorith. radices verae sunt falsis immixtae. Et inde patet quod dicitur. Itaque; si intersectiones quatuor sint curvarum, & inde radices aequationis quatuor; sumantur ordine super dati circuli diametro B A. ex B. versus A . una BC. aequalis minimae CN.ex determinatis supra BD. & tendentibus ex C. versus parabolam AT. quae minima CN. est minor CI - - . seu radio
BO . cireuli dati per descriptionem curvarum; ct construction. deinde alia BC. aequalis secundae cΝ, quae ratione eadem est maior radio Ba ι atque tertia Bc aequalis maximae CN; prose.cto maiori quam ipse radius Bula eadem ratione . Postea in pla. ga aversa ipsi A. accipiatur quarta BC. aequalis CN; sitae ex C. versus parabolam a L. de illae CN suerunt x. haec vero postrema fuit - x. Et Fig. viii. iungantur puncta C. dc Ν.& CN. protrahantur ad circuli peripheriam in A1. eruntq; singulae m. aequales datae rectae P. sive b. id enim positum est . atqui intus unum quadrantem BD ; dc unum Ac P. una locabitur recta tendens ad idem punctum M datum in superiori quadrante B O . aequalis rectae datae Lewm. I. Ergo ex B versus A. duae BC. manebunt intus
96쪽
PROBLEMA. IX. 77ius circulum ; & tertia BC. extra illum. Ita enim una C M. &una cu in uno ; & altero quadrante BO P . & Ast . posita erit aequalis rectae datae . Indeque ipsarum C M. tres pertingent ad curvamen circuli cavum, & una ad convexum , singulae se P b. Si autem duae sine curvarum intersectiones . tunc super eadem Fis. vii I. diametro B A circuli dati sumatur una BC. ex B. vellus A. aequalis determinatae CN --x. ex C. scilicet tendenti versus D. & quae CV. est maior CI. seu circuli radio B . s per descriptionem eurvarum ; ct construction. I deinde altera accipiatur BC. in plaga aversa ipsi A. aequalis alteri CN - x. tendenti ex C. versus B. atq; coniungantur Fig. v iii. CN. protractae usque ad peripheriam circuli in M. Et erunt singulae Cu aequales rectae datae P. seu b. Id enim positum est. Ambae vero ad circulum pertinebunt cavum. Quod erat secundum.
π Emonstratur nunc quod erat tertium Propositionis praecedentis. Sint omnia quae antea. Quatuor esse possunt interlectiones curvarum iuxta hanc problematis solutionem; & etiam duae . Dein
monstratur. Ducatur ex F vertice hyperbolis ΚFle parallela Fc sis ix ipsi BID. secans AI in L. Erit FO LI. Est FO . semidiameter diconiugata curvae ; S aequalis BO per descriptam Dperbolem aequi- lateram d. eo uction. Est autem d. ordinata circuli dati.& minor Οροib. semidiametro circuli. . Deinde b. recta data est minor diametro a. sed esse potest maior; aut minor quam non quidem illi aequalis hapoib. . atque est AI - . t Construct οπ. JNunc sit a se et . Sc ι - 4. inde b erit minor a ; sed maior . Et
97쪽
Et erit AI --- 3 --L. Inde AI erit minor - seu radio. io i 6 aquare sit sit - 3 ; erit FO - 3 . Et inde FO, seu IL minor quam A I. aut si d. sit - 3- erit FO - 3 -- - . & igitur FO. seu IL aequalis erit ipsi AI. Hinc primo casu erit LI. minor AI. FIG. IX. secundo vero erit LI AI. Igitur secundo casu vertex A. paraboIae incidet in L. & non secabit parabola nisi in duobus punctis unam hyperbolem HEG. sed primo casu idem vertex cadet supra L. & parabola potest secare curvam hyperbolicam in duobus; aut in quatuor etiam punctis.
Modo sit pariter a - 7 . sed b - 3. inde berit minor a; & minor
atq; erit AI- -- - - --. Et inde AI. maior radio - . &igitur longe magis maior erit quam d. seu quim FO; vel IL . Et vertex hoe etiam casu ita ibi manere potest positus; ut parabola secet curvam hyperbolicam aut in duobus; aut etiam in quatuor punctis; uti antea. Igitur patet quod propositum est ι quatuor esse posse curvarum intersectiones , aut etiam duas: indeque quatuor esse aequationis radices. aut duas. Quod erat tertium .
Int omnia quae antea. Fuit recta C I. in praecedenti constru-FIG. IX. Q ctione propositionis primae minor quam D B . nempe fuit dati circuli semidiameter - . minor a d, seu Hi vii. minor a NO. Potest autem esse maior quam a NO ; seu quam dupla ordinata. Si sit c est vero semper L Fig. ix. J CI. maior BO. nempe est simplici ordinata NO ; seu d. Fig. v H. radius semper maior ; non est enim ordinata No. radius circuli, uti praefati sumus
98쪽
mus); tunc accipiatur in analysi propos. I. Fig. vii. pars data maior AOὲ non vero pars data; uti ibi sumebatur; minor BO. ex duabus; in quas dispertitur diameter B A. Itaque dicatur tunc
o. guae simili modo construetur. & Xu
Quoniam sit constructio ; uti supra proposit. I. ct sit DB i di atque divisa bifariam in O. Verum sumatur in D S. sed protracta ad partem B. recta I C in c. Et recta O C- quae O C. minor quidem erit quam IC. seu e. consertission sed maior quam DB . seu α d. Dpoibesii J . Eiit etiam CI; seu e. maior quam BO. seu d. eo istiction. Et reliqua sicuti in superioribus propositione I. γ. Et valent etiam hoc casu, quae propositione II. praecedenti demonstrantur. Non enim ibi accepta fuit aut pars maior AO. aut minor BO. Fig. vii. J duarum, in quas divisa erat diameter AB propos. I. circuli in analysis contextu. Itemque ibi posita fuit ordinata ΝΟ - d. minor radio circuli. Prgo patet quod propositum est.
Int pariter omnia, quae antea. Sed quaeratur interclusa Cu Het. vii. proposit. I. J intcr diametrum positione datam B A. & circumferentiam aequalis radio, tendens quidem ad datum punctum N. in alia circumferentia. Instituenda est omnino eadem analysis; quae in eadem Pro- FIG. VII. positione I. . Accipiatur autem non pars maior AO; sed minor ΓO; pariter uti ibidem; ipsarum duarum, in quas diameter B A. ab Ordinata .data NO. dividitur. Igitur sit BO - e. se uti illicissicitur. Item ponatur ipsa ordinata NO. non esse circuli radius.
99쪽
go PROBLEMA. IX. dius. de quo casu dicetur propositione VIII. Et reliqua uti ibi
Arcessitus si parabolicus locus ax - xx aI . Vnde erita a xx - 2 a αλ ae' -- aaγγ - & vice P et axi sufficiatur haec eius aequalitas a a FI . aa xx in inventa aequatione. &reddetur illa II
Φ m Qui locus alter est ad parabolam.
qparametro se a . describatur parabola BAE. Nunc agatur per I. parallela KID. ordinatis descriptae parabolae. & st in KIDrecta IC sive aequalis dati circuli radio. atque in poli-- dd -- c c . satu contra punctum I. essiciatur CD - ,e - .
vio.xui. Est quidem a maior . cum sit B L. seu - maior h otb. quim BO ; sive quam e . Deinde ex D. educatur ipsi Ac . Pa
100쪽
PROBLEMA. IX. 3 irallela DI ; & - . Et agatur FG. parallela DI x. atque vertice T. diametro TG. ordinatisque ; quae sint aequi distantes diametro AIS primae paraboIae; atque parametro
deseribatur secunda parabola HTF. di eo primo; has duas curvas sese interlecare in punctis; unde; secundo i demissas rectas parallelas AIS abscindere in Dri radices inventae aequationis , seu valores ignote x; atque; tertio; parabolae H TF semitam pervadere per verticem A alterius parabolae BAE. S; quarto; irsam BA4. traiici per datum punctum C. quod determinatur in constructione aequationis inventae contexenda proposit. I. . Demonstratur Primum per descriptionem curvarum. Di ameter enim TG unius curvae secat diametrum AIS. alterius intus Curvam. Demonstratur Secundum. Quoniam sint puncta intersectionum P; unde ordinentur PM. ad primam descriptam parabolam ;& P.O . ad secundam; quae PO secent Dx in N. Sunt CN ex C versus Κ - -. x. Et PN ex P versus verticem A. sunt με I. Hine in locis contrariis erunt illae .- x. dc istae - γ a qui ob Parabo
Iam R AE est P νι siue CI CN; vel CN- CI; aut CI- CV, aequale rectangulo; quod ex A M. nempe AI - ΝP; aut AI- NP essicitur in parametrum a. Erso erit - a x xx --sI. ilicet ax - xx ma AEI. qui novus inlatus Die locus ad parabolam . Post hae, ob alteram parabolam H TF; est FG . sive PΛ- NO.