장음표시 사용
21쪽
de neeessario consequi tur; tres omni modo acceptas esse maiore reliqua . Colligitur etiam ex demonstratione , verum quoque esse Lemma; si ex quatuor datis magnitudinibus inaequalibus tres sine aequales; maiores quidem in summa, quam reliqua: aut duae sint aequales,& duae inaequales; vel denique duae sint aequales inter se;& duae inter se aequales; modo tres omnisariam aceptae sint m. iores reliqua.
Manifesta est neeessitas conditionis Lemmatis . Nam si quatuor sint rectae lineae datae, seu quaevis magnitudines p. m. n. q. quarum minores tres non sint in summa maiores maxima; sive tres omnifariam acceptae non snt maiores reliqua; propositio non consistit,
π Rapetium regulare; cuius nempe duo latera opposita sint Parallela; alia vero minime; inseriptum Circulo habet duo alia latera opposita non parallela semper aequalia. Sit enim Circulo u , inscriptum trapetium regulare DAB C. cuius duo latera DC. AB. parallela. Et producantur DC ad I. atque BA ad E. Erit angulus E AD aequalis angulo DC B. Propter trapetium inscriptum; atque aequalis etiam angulo AD C. Propter Parallelas . Igitur AD C. erit aequalis angulo DCB. Inde pircumferentia ABHC. erit aequalis circumferentiae BAPD. & ablata communi AFB. erit cireumferentia DP A. aequalis CH B. Ee igitur chorda DA . erit aequalis chordae CB . Sunt vero DA. CB. latera duo trapetii opposita non parallela. Idem autem eodem modo ostendetur; si parallela fuerint duo latera opposita S A. CB. Ergo patet quod propositum est. Vera est etiam propositio converse ; posito quidem descripto intus circulum quadrilatero DABC .seu ; quod idem est; posita descripta intus circulum Figura; in qua angulus E AD sit aequalis angulo DCB. Itaque dicatur. ' Ma-
22쪽
PROBLEMA. I. 3Manifesta est Propositio conversa a si nempe in Cireulo sit DA CB; & angulus E AD angulo D OB; esse DC parallelam AB. PROPOSITIO LEX quatuor datis rectis Lineis omnibus inaequalibus CD. FIG. Iv.
DA. AB. BC. trapetium constituere; quod Circulo possit inscribi. oportet autem ut tres omnifariam sumptae maiores sint reliqua. Sit CD maior DA. & DA. maior AB. quae maior BC. Ponatur factum esse quod quaeritur. Et sit trapetium pedi formatum ABCD. quod Circulo possit inscribi . Iungatur FIG. V. diagonalis AC. quae dividet trapetium in duo triangula. Erit quidem trapetium irregulare Lemmat. II. nulla habens latera opposita parallela ἔ atque cum Figura sit quadrilatera habebit angulos aequales quatuor rectis; cumque inscribenda sit Cir- eulo a anguli duo oppositi erunt aequales duobus rectis . Sed nequeunt esse tam ex una parte , quam ex altera duo oppositi ambo recti. etenim omne quadrilaterum habens duos anguistos utraque oppositione aequales est per Elomen. Geometr. parallelogrammum ; Igitur necessario duo anguli oppositi erunt aequales duobus rectis ν & non erit uterque rectus. Quaeritur autem trapetium; non Parallelogrammum. Quod etiam esse minime potest 3 cum quatuor datae rectae lineae sint omnes inaequales.
Ponatur angulus in B obtusus; hine illi oppositus in D.
Sint quoque ita latera AB. BC. CD. DR. collocata; ut summa quadratorum; quae ex AB . & BC. lateribus trianguli amblygonii ABC. conficiuntur; sit minor, quam summa quadra torum , quae ex A D. & DC lateribus trianguli Oxygonii AD C. constituuntur. Sit etiam in hoc triangulo latus AD minus la Λ i tere
23쪽
tere DC. Igitur ponatur latus AB. aequale datae rectae li-FIGIV. nae AB.. dc latus BC. aequale datae rectae fi C. & Iatus AD. aequale datae rectae DA . atque latus DC. aequale datae rectae DC. Nune. Est quidem angulus ADC νομί-e aeutus . atque etiam spositione) acutus erit angui. AC D; eum sit latus A D. positum minus DCι unde angulus AC D. in triangulo AD C. FIG. V. non erit c bapothes rectus, aut obtusus. quare necessario acutus. demittantur ex A normales A G. supra DC. dc A L. supra B L. cadet AG . intra DC. sed AL extra BC. Sint denominatae rectae datae AB. c. & BC. d. atque CD. a. dc D A. b. Ignota vero BL dicta sit x. Similia sunt triangula AB L. dc ADG; cum tam anguli ABL; ABC ι quam b Oibes ADG; ABC sint aequales duobus rectis. Inde erit ang. AB L aequalis ang. ADG. Et sunt anguli A. D. ALB recti. Hinc erit AB. BL ti A D. DG. scilicet e. x :: b. - DG. Quare CG CD GD erit se a - atqui est A ς' - AG - GC AD DG G . quare erit AC' - βι -
- a ab x. Atque a ς ἐκ - 2 abae radi ebb -F ea a - c edd. Inde habebitur analogia; af,-- ae d. bb - a a - ce-ώ ra e . x . atqui est e . data quantitas; & necessarici maior x. Ergo etiam maior esse debet a ab -- a ed quam , , -- a a -ee - dde, quae datae etiam sunt quantitates. Sed est re-ipis Ial -- ac d maior quantitas. quam ιβ - a a - cc
24쪽
'PROBLEMA. I. sItem est bι - , a a maior quantitas quam ce -- dd. quain re b, - a a - ee - dd est excessus inter quantitatem maiorem, & minorem. Ergo si adinveniatur quarta Geometrica post aaι - aed; & b. - aa - ec - dd, atque σὲ erit illa aequalis x; sive B L. Et inventus erit valor ipsius v. Componetur autem Resolutio sie . Dicatur m comperta x. Sit latus BC in datae rectae BC d. producaturque BC ad L. Fiat BL m. atque ex Leducatur ad normam L A. Cuius quadratum sie aequale excessui quadratorum ; quae ex data AB c. & inventa BL eon-situuntur . Est quidem BL psinione minor AB propter angulum in L rectum. Coniungantur A B . & AC. Erit quidem
triangulum ABC datum ob latus AB in e . di BC d. eonstructiau. Atque ob latus AC; quod datum ,&inventum est pcr id quod ponebatur . Etenim est CA' - AB BG -- di BC X B L. Invenitur igitur Ca per ignotam B L determinatam . Et erunt in ipso triangulo duo Iatera omni modo accepta maiora reliquo; cum positum ABC triangulum fuerit. Deinde dabitur auoque triangulum ADC per AD - β . dc
id, quod ponebatur. Quare anguli in A.& D dc C. erunt quales esse debent; si trapetium iuxta hanc solutionem Circulo sit intcriptum, duo vero latera in eodem triangulo ADC erunt quoque omnifariam accepta maiora reliquo; positum enim ADC. triangulum fuit . atque ambo triangula ABC. CD A. posita sunt consor mare trapetium; quod Circulo si inscriptum. Ergo ad datam rectam AC. datumque in illa punctum A datus angulus C AD. constituatur .& lumatur A D - b. iungaturq; Dc. erit
gulare trapetium ABCD. ex quatuor datis rectis lineis performatum habemus; quod Circulo inseribatur. Id enim positum est. Delambatur nune circa triangulum ABC Circulus; cuius Centrum v. 4 Elem. γέ circa autem omne triangulum Circulus
25쪽
eulus desieribitur. Et per conversam propositionem vigesimae secundae lib. I ii. Elementorum; quae sine demonstrata est; pertransibit Circulus per quartum punctum D. Et circa quaesitum irregulare trapetium ABCD. erit Cireulus ABCD. delariptus 2 . E. F.
Vera est conditio problemati adposita; quhd ex quatuor datis rectis lineis; unde trapetium constandum est . tres sint omnifariam acceptae maiores reliqua. Quoniam patet, in omni Figura quadrilatera esse tria latera necessario maiora reliquo omni
sic vir se iam accepta. Iungatur enim in Figura quadriIatera FEPH diagonalis EH. Est EF. - FH , m. Inde EF - F Η -- EP erit , ΕΗ - EP. Igitur longe magis EF - FH -- EPeril PH. Et ita de reliquis casibus.
Erat CG - quare erit Inde quan titas positiva erit iuxta hane solutionem. Quoniam est iuxta illam a maior b. Iam vero c. erit semper maior m.
ν c. vet. CInt omnia ἔ quae antea. Et positio eadem . Est quidem an-- eulus ADC. in trapetii triangulo ADC acutus. itemque acutus AC D; eum sit latus AD. minus DC. uti propositione praecedenti dicebatur. Sed angulus CA D; propterea sane, quia latus AD. minus est DC, unde DC. maius latus subtendit angulum C AD; esse potest & acutus ; & rectus . atque etiam obtusus in hae solutione. Itaque oportet illum de
26쪽
PROBLEMA. I. 7Pueatur ex vertice D. perpendiculum D I. supra basim AC, ε ngvzrit A C. ad CG. veluti DC. ad C I. Sed data est A C. itemque se cognita est per solutionem CG. & quantitas est positiva Coria antecedentis . Et data etiam est BC. Ergo dabitur CI. quae si minor si quam AC. cadet perpendiculum D I. intus AC, & angulus C AD. erit aeutus semper quidem acutus est ang. ACD; uti ostensum est . Si maior; cadet Perpendiculum extra AC. ad partes A. eum angulus A CD. sit acutus; atque angulus C A D. erit tunc obtusus. Si vero C I. st aequalis C A. tune perpendiculum cadet in Ai eritque ipsum idem latus D A. trapetii. Et angulus C AD. erit rectus. Et diameter deseripti Cire uti obveniet trapetii latus DC. atque erit tunc CA. media Geometrica inter DC. & CG. scilieet inter totam basim ι & segmentum basis; quod ipsi adiacet C A. id quod triangulo rectangulo convenit; ex cuius angulo recta A. perpendicularis AG. ad basim immittitur. Igitur definita erit natuta anguli CAD. in hac solutione , in quas propas. I. I angulus A CD. adsumptus fuit acutus. Sed & esse potest obtusus. Est quidem in ipsa eadem solutione angulus ADC. necessario acutus. Determinandi igitur sunt hoc etiam in casu tum ipsi anguli; eum etiam positus laterum datorum trapetii. Itaque ponatur in eadem solutione angulus A CD. obtusus ι titque semper AD C. acutus. Ergo latus AD. maius tune emisi. Viyi debet latere DC. Hinc datarum rectarum AD ,. dc DC a. ex qu tuor datis; unde componendum est trapetium ; & quae duae ponsti. aere debent trapetii latera A D. & DC. sumatur maior a. cui si aequale latus AD. & minor b. cui sit aequale latus DC.& peruendiculum AG. cadet extra DC. ad partes C. Eadem que fiant; quae in Propositione I. quod spectat ad Problemat &eadem obtinebitur ; quae ibi; analogia i atque CG fiet x Vnde quantitas quidem erit positiva. ΑΠgulus CBD. erit sane necessario acutus. Item ob figuram in scriptas nὲ erit tum necessario acutus BAD. oppositus BCD. qui necessa io erit obtusus; si obtusus A CD. Coniugatur diagonalis
27쪽
BD trapetii. Atque sumatur triangulum BAD. erit angulus ABD . - AC D. Et inde erit obtusus. Erat vero acutus BAD. Et acu tus erit ADB . construct J eum sit in hac solutione semper acu tus ADC . Et sane latus AD. accipitur in eadem solutione maius semper latere A B. prop. I. provenietque diagonalis BD. minor AD. Item centrum circuli circumscripti manere debebit extra triangulum AC D. hoc casu. Et inde extra BD. Et obtriangulum etiam BAD. non acutiangulum; sed obtusi angulum in B. manet idem sta extra BAD. ideoque pariter extra A D. Modo in duo triangula ABC. AD C. dividitur nostrum Tra-2ram petium. Est triangulum AB C. amblygonium . cuius inveniuntur.& dantur per construction. anguli ABC. obtusius;& B AC. atque BCA. acuti. Cum vero detur obtusus A B C. datur etiam illi op Politus acutus ADC. in altero triangulo acutiangulo AD C. In quo determinati ,& dati quoque per constructionem erunt alii duo anguli A CD. de CA D . sive c A D. acutus sit; sive obtusus ; sive rectus ; in casu nempe ; quo angulus A CD. non sumatur in solutione obtusus. propos anteced. Cum vero A CD. accipitur obtusus; erit necessario CAD. aeutus; sed & etiam per constructionem datus. quae ex superioribus consectantur . atqui; datis, & cognitis angulis B AC ι de C AD; uti & B CA. atque A CD . dantur quoq; toti BAD.& BCD . Ergo anguli omnes in nostro trapetio sunt determinati.
Int quae antea. Sed ex quatuor datis rectis lineis duae snt ae- quales , & duae inaequales. Oportet quidem , ut tres omnimodo
sumptae sint maiores reliqua. Et tres sunt casus Figuris I x. x. xi. repraesentati. Eadem erit solutio; modo trapetii circulo inscribendi latera apte , conguenterque mutuo statuantur iuxta imperata.
Si casus sit Figurae ix. posset per dicta triangulum ADCFlo. VI. constitui I sceles; existente angulo Ac D. acuto ; est autem semper AD C. acutus in hac solutione. Igitur utrumquo .latus φ. Τη -& Dc . sive recta b. & recta a fieret 4. . Et rectς solutio consisteret. Quoniam Iss -- 16. necessario est hoc casa
28쪽
PROBLEMA. I. si s 4. Et tunc . cum essiceretur a - ι ἔ analogia propositionis primae redderetur aed - aa. Iaa - ee - dd :r c. m.
Sed Orou. Lem. I. & uti patet est; cd -- a a maior quam 1 a a- ee - ώ. atq; esset A B e ma 3 ; & BC - d - a . siva AB -e in x & BC -d - 3. & hoc casu semper foret ee. & aa dd. Vnde esset aso ce -- dd. Et quantitas idcirco erit positiva 2 aa -ee - ώ. Ergo patet, quod proponitur . Possiet sane idem triangulum ADC. non deligi Isoleeles; ris. VI. sed cuius sit latus alterutrum - 4. & aIterum m 3. proposit. I. O II. Ee probe quoque solutio per superius effecta absolveretur. In casu; quem commostrat Fig. x. possiet triangulum obtu- sangulum ABC. Iisseeles adsumi. Itaque esset AB c 8 .FIG. v I. pariterque BC --- 8. Et proba maneret solutio. Nam 6 4- 6 . necessario est hoc casu α 3I - 369. Itaque analogia
propositionis Primae evaderet ace -- xato. b, a - aec et
e. m. Est Corol. Lem. I. acc- 1 a b maior quam ι , --a a - 2ec. Etesset AD - , -9. atq; a 3 . sve AD - , - , . Et CD m a m s f propos L-II. J Atq; hoe easu semper foret ι β sa γ 2ec. Ergo bb--aa- aee quantitas esset positiva. Potat quidem idem triangulum AB C. non eonstitui Isoseeles; led euius alterutrum latus - 2. & alterum s. iuxta ea . quae in antecedentibus iura fuero. Et solutio rite, ac recth perficeretur per quae hactenus sunt pertractata . Quod vero spectat ad Perquirendos angulos trapetii in omnibus tribus casibus huius propositionis; & in illis; in quibus aut triangulum A B C. aut AD C. sit Isis sceles; simili ratione peragendum est, ac in Propositione II. Quartus esset etiam Casus ; si duae rectae scirent inter se aequales, & duae aequales inter se. Verum; modo duci latera opposita;&duo opposita non locentur aequalia; erit enim tunc parallelogrammum; similis erit solutio. Nam eta deberet ex dictis in triangulo ABC. amblygonio latus AB α BC ex. eaus ) 3. Et in triangulo oxygonio AD C. esse latus AD DC - exem caum risi, VI
29쪽
s . Et est quidem p - - 1s -- 2s. Unde recta servaretur analogia proposit. primae; quae tune esset Ia a - 2ec: c. m. Esset enim primus terminus maior secundo. Corollar. Lemm. I. S per se patet . atque 2 a a maior 2ee. quare 2 aa ace quantitas esset positiva. Et duo dicta triang. forent aequi- cruria . Hine ἔ cum in triangnio ADC sor et D A se DC. est vero angulus in D. acutus in hae solutione ; obvenirent semper necessiario acuti alii duo in C. & A. Item totus angulus B A D. esset aequalis toti BCD. Et uterque ; ob figuram inscriptam Circulo ; rectus. Et reliqua sicuti in praecedentibus.
Int datae quatuor rectae lineae; quarum tres aequales. Et idem quaeratur. operietque semper; ut tres omnifariam acceptae sint maiores reliqua. qua de re duo sunt casus Figurarum xu. & xiri. & eadem quoque erit solutio; & conli ructio; constitutis inter se trapetii lateribus; sicuti in antecedenti inhus praeceptum est. In casu autem; quem exhibet Fig. xu. erit
2s 2s- - 9. atque angulus A CD Dret necessario acutus. Semper autem acutus ADC . Analogia vero propositionis pri
rio hoc casu semper a maior erit quam d. Vnde a a a - ddquantitas est positiva. Liquet vero; se Coroli. Lemm . I. esse aga - 1 a d quantitatem maiorem qu m aa -dd. Ergo recta erit solutio. Et reliqua scuti in praecedentibus conficientur. 1ic. vi. Dei'du in Casu Figurae xui. triangulum obtusi angulum AB C. necessiario non arbitratu erit etiam ex dictis Isoseeles. Igitur ita locentur latera; ut sit AB in e in ii. & CB - d
30쪽
PROBLEMA. I. Dia. Atque A D - , - in. Et DC a s. iuxta supra imperata. Et est hoc casu semper - - - 21s ς aas -- 22s. atque praedicta analogia evadet 2 ab - - 1bb. a a --bb t: ι. m. Sed profecto a b b - 1 ab maior est quantitas quam a s - M. rou. Lemm. I. Item ab est semper hoc casu maior aa; & magisa ab maior erit aa; atque multo magis as , -- ab . maior erita a -bb. Postea eensti acturae est a maior ι . quare a aerit maior bb. Et aa - βb , quantitas erit necessario positiva. Itaque recte perficietur eadem Problematis solutio. Quod ad id autem , quod spectat investigationem angulorum trapetii in ambobus casibus huius propositionis; pariter etiam praestandum id est, quod in propositione secunda.
Perspicuum est; si ex quatuor datis rectis lineis, quae tra-Petium componant; duae, aut tres sint aequa Ies, facilitas quibusvis casibus Proposition. III. o IV. succedere Problema . Etenim inventa analogia; per quam sola quarta Geometrica quaerenda est ; paucioribus terminis tunc comprehendetur. Liquet autem, non omnes datas rectas lincas; ex quibus constituatur trapetium; esse posse aequales. Figura enim quadri latera; cuius omnia latera sint aequalia; est parallologramma. per xxxiv. lib. I. Elem. Igitur ἔ quod ex antecedentibus consequitur; circa quod vis trapetium irregulare; euius nempe nulla latera sunt pa rallela; poteli Circulus deseribi. De regulari nune; cuius icilicet duo latera opposita sunt parallela; alia vero minime; inquirendum est.