장음표시 사용
31쪽
Profecto irregulare trapetium ex quibusvis datis rectis lineissa a problemate consormatur.
Si constitutum quaesitum trapetium fuerit MP2M. cuius latus M P - A. & PT in P . atque sto in C. & OM - D. fueritque latus Mo parallelum Psta & ducatur ex extremo puncto Dateris Pu , parallela O N. Iateri MP. occurrens Moin N; erit necessario dissectum trapetium in parallelogrammum
MPEN. & triangulum O NO. Quoniam Figura quadrilatera est ;& latera duo opposita habet parallela. Item triangulum ipsum QNO . eonstabit ex tribus datis rectis lineis; idest; ex una st Naequali lateri uni trapetii A. ex altera eo ς aequali lateri elusidem trapetii C p atque ex tertia O N aequali excessui inter alia duo trapetii latera; quae sunt parallelai nempe inter D . . sive O M. & B . sive Pst , aut MN. vel inter B . sive P m aut MN .& D. sive MO . Ergo; si datae quatuor rectae lineae compos tura erraPetium eae sint, ut duae ex nuper dictis tribus rectis lineis stin. NO. OQ. trianguli ZON sint omnifariam sumptae maiores reliqua; problema possibile est; Si non maiores; problema nequaquam erit possibile, Et positis datis lateribus duobus MO. &PsL parallelis; quae iungant tertium datum latus M P; non adtinget quartum datum Q O ad Mo in o. aut nullo alio mo do quatuor data latera in regulare trapetium Poterunt aptari. Fit quidem propositum id problema possibile. Ex datis tribus redis lineis Ost C; ti 2 M in. A. atque O N; quae aequalis sit praedicto excessui dato; constituatur triangulum GPN. ΡΟ ra essiciatur Nu in ON aequalis datae rectae B. atque ax tuta aetatur 2UP parallela, & aequalis eidem rectae B . Iungatur I '. Erunt ob aequales . & Parallelas NM;& 2 Pi rectae lineae illas ad easilem partes conjun
32쪽
B D - MN - MO. Et est utroque casu ΜΝ - Pu B. Ergo erit utroque casu MO D. Sed sunt parallelae MO; & PT pariter per fabricam. Igitur regulare trapetiumax quatuor datis rectis lineis A. B. C. D. nobis comparavimus O. E. F.
X quatuor datis rectis Iineis AB. BC. CD. DA. trapetium
regulare constituere; quod Circulo inscribatur. Debent quidem aut duae, aut tres esse aequales. Lemm . II. Item oportet ι ut tres omnifariam acceptae sint maiores reliqua ; atque etiam; ut duae ι quae non erunt parallelae I cum recta linea, quae est excessus parallelarum; sint omni modo sumptae reliqua maiores. Propositione V. .
Sit quaesitum trapetium ABCD. cuius duo Iatera opposita parallela sine A D. BC. Erunt AB. & CD. alia duo opposita aequalia. Lemm . II. Ponatur autem angulus ABC. obtusus . Eritque AD C. acutus. Insunt autem duo anguli oppositi necessario aequales duobus rectis propter Figuram Circulo inscriptam; & non uterque rectus. Quod initio propositionis primae ostensum , & explicatum est . Sed est angulus BAD. aequalis ADC. propter parallelas ;& inscriptam figuram ι ob quam est angui. ABE - AD C. Ergo erit etiam ASC angulus aequalis DCB ob eamdein inscriptam Figuram. Inde obtusus erit angulus DC B. ducatur ex A parallela AH ipsi DC. occurrens BC in H. Agatur etiam norma A L supra BC. cadet AH extra CBL; cum sit parallela ipsi DC & angulus DCB ; sive
DCII se obtusus. Nunc . Erunt; uti praemonebamus; duae datae rectae linae, aut tres necessario aequales. Itaque casus sunt omnes iidem ac
illi; qui Propositione Iu . di I v. continentur. atqui in illis una
33쪽
duarum ex datis quatuor restis lineis est semper maior altera. xvii. Quare ita latera huius trapetii aptata ponantur; ut parallela A D. sit maior altera sibi parallela B c. Inde dictus supra exee sesus p p ι. U. in adposita conditione semper obtinebitur. Erat vero AB aequalis statuta DC. Tandem connectatur diagonalis AC. quae necessario trapetium in duo triangula dispertiet. Sint datae A B . seu DC - e. & AD b HC. atque BC- d. Ignota vero B L sit - x. Erit per positionem LII, HC- LB BC - , - α - d. Sed est A L - AB BL 'cr- xx. Ee etiam AU-Aw -LH'. Quare erit ce-
Igitur tertia Geometrica accipiatur post α, - a d. & ,- d. cui in B C. abscindatur aequalis B L . extra BC. Extollatur ad normam LA; cuius quadratum sit aequale excessui quadratorum . quae ex AB , & inventa Γ L conficiuntur . est vero AB. maior positionet quam B L. Iungatur AB. atque ex A ducatur AD parallela ipsi BC; & aequalis b. adiungatur C. ad punctum D. Provenientque in triangulo ADC; uti & in triangulo ABC. duo latera omnifariam sumpta maiora reliquo per Positionem. Posita nimirum sunt constituta triangula. Ergo compositum regulare trapetium erit ABCD. ex quatuor rectis lineis datis; quod Circulo inscribatur. Id enim politum est r atque si per con-rio versam vigesimas secundae lib. III. Elemen. iam demonstratam NUMI, descriptus Circulus sit circa triangulum ABC ; perducetur ille per quartum punctum D; Et inscriptum capiet trapetium ex
rio. V eruntur anguli in regulari trapetio; circa quod Cireulus xvi, i, G descriptus. Sint omnia quae antea.& eadem Fig. xviii. Dan
34쪽
pROBLEMA I. Istur quidem,& noti fiunt per constructionem oppositi anguli AD c.& AEC. Inde per ea; quae Praecedenti propositione ostenduntur; extant cogniti anguli BAD; & BCD. cum ille demonstratus ibi fuerit aequalis angulo AD C. iste vero aequalis angulo ABC. Sed dantur per construtionem anguli B AC & BCn. Ergo cognitos etiam adlequemur angulos C A D. & AC D. Igitur angulos omnes perspectos habebimus inscripti Circulo trapetii. Deinde A D. datum est quidem maius latere BC proposit. praecedenti J potest vero esse maius; vel minus latere DC. Etenim inscriptum trapetium hoc regulare intus Circulum complectitur; veluti dictum est; f praecede uti proposit. J casus omnes pro positionis Ill. & IV. cum duo latera sint necessario aequalia . Quare in illis casibus; quibus una inaequalium datarum recta rum; qualis est A D; est minor una aequalium; qualis DC. erit latus D minus DC; iis autem casibus; quibus una inaequalium . uti A D; est maior una aequalium: qualis DC; erit latus A D. maius DC. Ergo si latus DC foret maius AD; posset quidem in tra Pe tio regulari, haud lacus ae in irregulari inieripto Circulo pr positione ιI. et se hac parte angulus CAD. aeutus; rectus ; &obtusus. At vero angui. BAD. in trapetio regulari interipi intus Circulum est necessario aequalis angulo ADC per antec dentem . Sed A D C. est angulus necessario acutus. Ergo & OD. necessario erit acutus. Ergo acutus necessario semper iplo angu lus CAD erit. Hine etiam semper obtusus erit angulus BCD. Et quidem demonstratur per eamdem 3 iple BCD. aequalis ABC. qui erat obtusius . Si datus ang. CAD. sit rectus; obveniet trapetii 'Iatus CD. diametret ipsius Circuli. Sunt igitur anguli huius trapetii omnes definiti. 22. E. F.
Manifestumi est . Si ex quatuor datis rectis lineis; quae regu
35쪽
Iare trapetium componere debent Circulo inseridendum; duae sat aequales; aliae duae inaequales; neque triangulum AB C. neque AD C. sore Isosceles . cum opposita latera AB. DC. sta mi aequales dibeant. qua ratione datae rectae duae aequales inoter se; duae inter se aequales esse nequeunt. Nam quadrilatarum sorti parallelogrammum. Et quidem analogia Propos-tionis IV. non consisteret. Igitur quicunque sint casus Proposie. III. non erit in hoe trapetio triangulum ullum Isio sceles. Si v ro ex datis lineis tres sint aequales; qui duo esse Possunt casus propositiones IV. erit I sceles triangulum ABC ; si casus si Figurae XIlI. ipsius propositionis IU. sed erit I sceles ADC.s casus sit Figurae XII. eiusdem propositionis . Sunt enim in nostro trapetio duo latera opposita AB. & CD. aequalia. Et
que est quidem position. c major quam d.
Est regulare trapetium aliud Isbsceles; quod latera duo ι quae non sunt parallela ; habet inter se aequaliar & aliud scalenum a cuius eadem latera sunt inatqualia. Et inde nulla aequalia. Sed colligitur ex propositione VI. circa quodvis trapetium reguIare ιsquidem latera data aptari ad trapetium possint propos. U. ;& duae datae rectae non sint aequales inter se; & duae inter se aequales; circulum describi; atque s Corollario proposit. IV. Icirca quodvis trapetium irregulare describitur quoque circulus . Igitur circa quodvis trapetium tum irregulare , cum regulare Is sceles Lemmat. II. ; et si duae datae lineae non sunt aequale inter se; di duae inter se aequales; Circulus potest describi.
SIT datum trapetium AEHC. oportet illud e ire a Cireulum
describere. aut sint datae quatuor rectae lineae AE. EH. UC. ca non omnes aequeses; oportet ex illis trapetium compo
36쪽
nere, & circa Circulum describere. Sunt quidem tres omnimodo acceptae maiores reliqua .
Ponatur esse ΑΕΗ C. datum trapetium iam constitutum ; &circa Circulum O ..deseriptum . aut ponatur ex datis quatuor rectis lineis non omnibus aequalibus AE. EH. II C. CA. esse compo
Geometria cum algorithmo demonstrato .
Itaque ita trapetium datum sit; aut ex quatuor datis rectis lineis ita constitutum sit; si eirca Circulum z. describi debeat; ut duo opposita latera simul accepta aequalia sint duobus oppositis simul acceptis. Sive latera omnia sint inaequalia; sive duo aequalia ;& duo inaequalia; aut duo aequalia inter se; & duo inter se aequalia. quo casu duo adjaeentia latera AE. & ΕΗ.crunt aequalia; & duo adjacentia AC. & CH. aequalia; Cum duo opposita simul accepta latera esse debeant ex dictis aequalia duobus oppositis simul acceptis. Item quia secus; duo opposita latera essent aequalia; & duo opposita aequalia. quare
quadrilaterum esset parallelogrammum; & non trapetium ἰ quod quaeritur. atqui data sunt trapetii latera magnitudine. Ergo; cumdatus jam i & cognitus sit illorum mutuus positus; si trapetium C eirca
37쪽
circa Circulum sit describendum ; q)od de monil ratum est; erunt quoque dati angus trapetii quatuor A. & Ε.&II. & C. Itaque sit Circulus ; cuius centrum E; circa quem Ponatur descriptum datum trapetium ABIIC. Ex g. agantur normalesst D. ad trapetii latus AE. & 2 F. ad larus EII. atque u G. ad latus CII. &. 297 . ad latus A C. Iunganturque E 2 dc CL. Erunt
& Ca G. Inde angulus D E L. obveniet aequalis angulo FEO . Et angulus B CP aequalis GCst. Igitur dividatur bifariam datus angulus A EII. a recta Eri & bifariam datus augulus ACII. a recta CL. Convenient Es & C in puncto. quod sit stta. Ex ducatur una normalis 2D. ad latus trapetii AE . aut F. ad latus ΕΗ. aut 2 G. ad latus II C. aut O R. ad latus A C. Vnum enim. idemque est. Et centro ae intervallo 2D . aut 2 F. vel 2G. aut st B. deseribatur Circulus. Erit is quaesitus. Id enim positum est ; cum unum, idemque Politum fuerit pun elum 2 , Circuli centrum tam pro normali 0 D. aut O F. quam pro normali 2G; aut st Γ . atque unum idem sta fuerit punctum concursus duarum Est . & CZ, ductarum per id, quod traprtium circa Circulum positum fuerit descriptum. st . E. F.
Nequeunt ex quatuor dati trapetii iam constituti lateribus esse tria aequalia . aut si datae quatuor rectae lineae sint constitu I u r a e trapetium; nequeunt tres esse aequales; debent enim L per demonstrata I latera duo opposita simul accepta esse aequalia duobus oppositis ianui acceptis . Analysis haec Omnes sol. it calus; vel trapetium circa Circulum describendum irregulare su ; vel regulare liose eles; aut Scalenum . atque si duo latera A L. & EII. aequalia sint inter se ι& duo CA . CII. aequalia inter se, erunt anguli oppositi EA C. &EIIC. aequale S.
38쪽
Intu Circulum vero datum . aut circa Circulum datum deseriis bere tiapetium . quod quidem minime esse potest datum iduo enim sola latera data et se possunt, problema est faeillimae solutionis.
PROPOSITIO. SIT data Elipsis GDLF. Cuius diameter positione data GL .
& Centrum O . Quaeritur punctum in Curva A . unde si ordinetur AB; atque ducatur Tangens AP occurrens diametro in T; fiat excessus inter quadratum ex GL. & rectangulum ex Go in GR ; ad exeessum quadratorum GL . & GB ; veluti GL una cum GR ad subtange tem T B. Sit punctum A in curva quaesitum: & ordinatim adplieeturABr atque dueatur Tangens A T conveniens cum diametro GL in T . Est per doctrinam Conicorum L B . BG t: LT. TG. xxxiv. Lb. I. Conicor. Apollo. Inde erit BO. BL r: GR. TB. Etenim dieatur GL; e. & sit GR - x. Igitur erit L B - e - x. atqui est per dictam propositionem ;e - x - x t LG - GT. T G. quare erit c - x - κ . x et L G -- GT - TG . TG scilicet , e - xx . x r e , T G. Et inde T G -
39쪽
eo P R O B L E M A. II. de T B ad G B erit uti x L B ad 1BO. seu BO. BL ii GB. TB. Nunc; denominatis diametro GL; & abscissa GB ; uti antea ;
erit subtangens TB - per nuper demonstrata.
Itaque si extrema duo mutuo ducta aequemur aliis duobus mu
eomposita aequatio erit x' - - c'- . Quae deinde construetur sic. Inducatur Parabola cI xx. Igitur erit sta II x'. Et instructa aequatio reddetur asII -- -- - c' o. Sive II
Nunc diametro DE. & Par. metro eo a . describatur Parabola ΚDI. Cuius vertet D. ducatur DII. parallela ordinatis parabolae KDI. Et in illa sumatur DA - -; atque diametro AH ;vertice extremo puncto A ipsius LM; parametro vero - - ἔ at
que ordinatis parallelis ipsi DL sit descripta secunda Parabola BAC. Dico harum duarum parabolarum intersectiones praebere valores ignotae x. Duae intersectiones necessiario sunt per descriptiones parabolatum; & non aliae. Sint autem intersectiones M. M. Unde agantur ordinatae MO ; & MP. ad Curvas . Sit MO dicta x. in angulo EDA; atque D O dictaa. Ordinatae nempe sunt, & abscissae parabolae primae. Patet, primam parabolam x DI descriptam esse eam, quae inducta nova parabola est a I - xx. Nunc deseripta C AB. sedi ei ae e s
40쪽
PROBLEMA. II. a INam sumatur intersectio M in angulo EDA. Est M P - Do I. atque PA DA - DP - - - x. sed est 31Py ae quale rectangulo; quod ex AP in Parametrum essicitur . qua-
o. Accipiatur nunc intersectio M in angulo EDII. atque est ibi etiam MP - DO - a. atque PA - DA -- D P --- x. Est enim DP in plaga aversa -x. Unde eadem provenit aequatio. Sed in utraque
curva sunt eaedem ν; & eaedem & x. Ergo lassiciatur - Para
bolae primae loco Ir in Parabola secunda. Et proveniet aequa-
Et eum duae snt necessariae intersiectiones Curvarum M. M. duae sunt radices aequationis possibiles. Deest vero in ipsa aequatione aliquis terminus ; Ergo per algorithmum radices in illa sunt verae fallis mixtae. Unde una radix vera erit possibilis; altera& possibilis falsa . Erat MO in angulo posita EDA - - - κ . In de erit opposta MO - - x. ambae vero DI. sunt F. Itaque sumatur GB luper diametro GL aequalis MO - - x. Erat enim in analysi GB - - x. Ex B ordinatim adplicetur ad Ellipsim recta BA. Et ducta ex A. tangens AT. Conveniet cum ipsa diametro in T r, ita ut subtangens I B. quarta sit in proportione Geometrica post GL - GOX GB. & GL GBa. atque G L - - G B . Id eniin positum est . Iam veto demonstratum est, eandem obvenire aequationem eonstructam; quae sane eadem est cum inventa: si adsumatur - x. Ergo accipiatur super eadem diametro GL in parte aversa; nempe ex L versus G portio L si se uo - - ου. positae