Iohann. Baptistae Caraccioli ... Problemata varia mathematica. Accedit examen machinae motus perpetui

51쪽

adi PROBLEMA. IV. contra hypothesim . Hinc si X est curvae punctum ; iunctis x B;& M B; foret triangulum Eu B aequale triangulo ΕΚΓ ; Nam ob B M A. & u. Et x. curvae puncta esset Θροιhsὶ in sectione opposita G K M S limes ordinationum quaesitus. Maxi mum autem absurdum; ex triangula Provenire aequalia; cum basis ΕΒ sit communis; & altitudines MI, LI; nempe normales MI, LI demissae e curvae punctis ad asymptotum ne cessatio esse debeant ob curvam asymptoticam inaequatus. Igitur intersectio EG. curvae . hoe casu non posset cadere ad partes G S . contra plagam sti; & non erit in hyperbola opposta Locus. Aliter. Iam duo puncta demonstrata sunt M. S x. debere hoc casu esse intersectionum Lineae EMA ; & curvae G S. si L. cadere ad parteS G. curvae posset. Ducantur ex illis rectae M N.& MI. & MC. atque ΕΝ .& ILI. & KC. sicuti in praecedentibus . Nunc tam pro puncto M.quam pro puncto K. esset Ec -- 2 a d 2 a d d - b ν x

Itaque; non spectato etiam illo absurdo; nequaquam cadet interis sectio E hoc casu ad partes G. curvae; ita ut esse possit in hyperbola opposita locus. atque semper Geometriam inter Syntheticam convenit,& Algebricam. Ergo ; si sectio opposta GS loci hyperbolici inventi cadat tota extra datam rectam AB ; nusquam habebit Iocum quaesitum 2 E. D.

52쪽

In casu propositionis secundae num I. recta linea MAE determinata quemadmodum saepe dictum est ; potest secare sectio- νiα vi nem oppositam in uno puncto; & Potest in duobus. In casu quae ibi. eiusdem propositionis num. II. si curva opposita pervadit per extremum punctum A datae rectae A B ; ipsa EM A . minime se ea bit eandem curvam in alio puncto praeter M; secaret enim in tribus punctis curvam unam hyperboli eam recta linea; quod fieri nequit per Conicorum disciplinam . Si vero ipso eodem casu num. II. curva opposita secat eandem AB; mi in P; potest etiam & in PIGv. alio seeundo puncto recta linea Eu A secare curvam praeter Pu ctum M. Igitur in easu Prop. II. num. I. Fig. III. 9 num. II.

Fig. V. potest recta EM A secare curvam oppositam in duobus punctis; & non in duobus; sed in uno secabit, in ea su Propos III. si intersectio E caderet ad partes S. curvae is vieontra asymptotum O D; secaretur curva necessario in duobus punctis M. & Κ. a recta EA M; uti ibi ostensum est. Sed sequeretur absurdum demonstratum in proposit. Qua de caussa non eli Loeus eo casu in hyperbola opposita GS. Atq; si eadem intersectio E ea dat ad partes curvae G versus O D . nul piam erit locus in sectione. quod etiam ibidem demonstratur; sive si incidat intra BO. sive pia. vir extra . Quo utroq; modo recta EA M . nequit nisi in uni eo puncto M. Rcurvam asymptoticam secare , cum anguli ME B. vertex sit E. supra asymptotum . Inde eius duo latera EAM; & EB. semper sebinde fient divergentia . quare EAM. numquam potest alibi occurrere curvae asymptoticae identidem ad asymptotum semper eandem BE accedenti . Id vero in aliis casibus propos. lI. Fig. m I v. v. non consistit. Ergo in sectione opposita erit semper Ioeus quaestus, si per transit illa per extremum punctum A. datae rectae AB. prapositione II. num. II. Fig. IV. Et nuspiam erit locus; si curvae a dat tota extra AB ; atque abscissae sint x. & ordinatae - γ ὲ

in loco quidem quaesito . Pros it. III. Fig. V. O VI. Si denique

L curva

53쪽

curva ipsa opposita cadat tora extra A B;& non secet rectam A B ;Sed abscissae loel quaesiti sint se x. & ordinatae -I Prol i. II. nam. I. Fig. III. aut lec et ipsam AB. Proposit. II. num. II. Fig. V. tunc erit semper opposita lectio hypeiholica limes ordinationum quaesitus. Haec enim ex praecedentibus conlectantur. Et quidem his duobus postremis casibus . cum non demonstretur recta EMA necessario se ea re curvam oppostam in duobus punctis; potest enim , & non potest se illam se eare; uti initio se holii dictum est;&eum loci quaesiti aequatio bene proveniat; non te cabit ipsa EMA curvam illam in duobus punctis: & locus sane erit in curva proposit. II. num. I. Fig. III. O num. II. Pig. V.

PROPOSITIO IV.

SInt omnia quae antea. Sed datus angulus ABD sit rectus Fig. I. Proposit. I & idem quaeratur. datus enim ibi sui eacutus. Eadem omni ex parte erit solutio a & constructio. Et enim solum fiet AF - AB. Hinc AB erit in b. Et in constructione asymptotus DLX erit ad normam supra Γ D. in s Et cadet etiam intra angulum s obtusum. Et reliqua uti in Propositione prima . Sit idem angulus A BD datus obtusis. Conficietur quoque eodem modo problema. Et datus angulus ordinatarum M CRerit quoque obtusus. Et perpendiculum AP. cadet extra AB. atque Ao parallela ducta ordinatis supra BD. incidet supra BD. ad partes D. Sicuti in praecedentibus. Et Ec erit pariter se BC - ΕΕ. atque O E - BE- BO. uti in loco quaesito . propos. I. Et reliqua omnia eodem modo sicuti antea perficientur.

PROBLEMA V. GEOMETRICUM.

PROPOSITIO I.

SIe datum positione , ct magnitudine triangulum BAg. rectangulum in B. Quaeritur trames punctorum M. ita ut ductis

54쪽

ex punctis M. lineia rectis MN parallelis Ba. & eurrenti. hus in N. ipsi EA protractae hinc, & hine. si iungantur Ma.& N Q. fiant aequales. Sit ABe datum triangulum non Isolae. Ies. Itemque sit AB latus minus latere B . Ponatur inventus Limes DEI. cuius punctum quodvis se M . F. manens in locis positis superne ipsi datae BZ. Ex M. ducta MN ' aequidistans BZ secet B A in N. Connectantur MA. & N , Sint datae AB a. & Βλαα b. atque abscissae loci quaesiti A N ex A tendentes versus R. snt - x. Et ordinatae ibi positae NM in plaga aversa ipsi B e. sint μεν. Erit BN AN- AB - x - a. atqui est MAE' - γγ - xx. atque Nilo. M - xx - 1ax - aa . & MA. b oras est Nu . Er

A D. recta maior AB . Quod ostenditur. Nam est - tertia Geometrica post a.& ι. quae se recta linea L. Inde erit AB. B O:: BQ. L. Quare υροιbs erit L. maior B Z. Et longe magis

maior quam AB. Hinc - maior -- . & - - - γ scilicet

a . AB AB - - maior erit -- - - . nempe a . Quare A D. recta definita maior erit AB. Inde punctum D. eadet extra AB. versus B. Nune axi DB A. vertice D. parametro DL - xa. describatur Parabola IEDF. Erit ea semita punctorum M. quaesita. Quoniam ordinatim ponatur ex DB A. quaevis NM ad parabolam in erure DE. superius ad Bu Et sunt AN x.

- -- - - κ . Eaedem vero NM um s. ordinatae utriusque

55쪽

PROBLEMA. V. 16tur erit II ---ε - - x x xa. Itaque erit γ- ιι - aa - Ian. Et II - aax - aa - ι, - o. Qui Ioeus sui cinventus. Quare iunctae semper MA. & erunt aequales. Id enim positum est. L. E. F.

PROPOSITIO IL

EADEM GInt omnia quae antea. non Permeabit Parabolae erus T F. 'in' per st, Vettieem dati trianguli. Esset enim Per locum Geo metri eum recta B0 αα AO. Quod valde absonum rationi. Item que si ordinaretur ad curvam tota LBO; tunc AO foret A st. Ergo foret αα β 2. Et inde BO. Quae omni modo eum eadem ratione pugnant . Et quidem; si ad curvam ordinata foret

ipsa st BO . fieret B C - DB x L L. Quare esset b, -

esset ιι - ιν -- aa - aaa. quod ii ratione prorsus abhorret . Est vero Loeus in crure ipso DF. Nam sumatur quodvis punctum G. in illo superius ad datam duo. & ordinatim ponatur MN ; erit A N - - x. Et MN- -I . Inde MV erit -- II. Et reliqua uti antea. Eritque etiam ibi Nita in NA. Itemque si sumatur ibidem tota ordinata MNM. erit M A. in crure DE Ni . Sed MA cruris D E est MA eruris DF. Ergo in crure DF est etiam MA - NO. Aceipiatur nunc plaga insta Brip . Vbi abseisiae essiciuntur - - x. Et ordinatae in parte versus parabolae crus D E sunt -- I ; sed in Ioco versus parabolae crus DF. sunt - I. Itaque se ibi abscisia AP a & ordinata P X versus DF. Et erit parabo lae abstissa DP - DA -- AP - - - - - π. Et ordi

nata PK erit - - a. Igitur eadem prodibit ibi aequatio. Et st

56쪽

PROBLEMA. V. 37 sit ibidem abscissa AH. Et ordinata H M. versus Dd. Et erit

parabolae abscissa DΗ - DA - AH - - - - - x. Et aa a ordinata HM. erit - - I. Et eandem etiam inveniemus aequationem . Inde erunt iunctae dc ΑΚ. atque dc AMinter se aequales. Tandem Locus in Curvae portione TR. intercepta inter duo trianguli latera BZAZ insidit etiam hine. & inde ad curvam. Quoniam erit ibi abscissa BN AB - AN a - κ & ordinata NM--γ. Inde essiciantur omnia; quae antea et eritque ibi MA - ΝΟ. Ergo sane ubique in descripta parabola adest quaesita sedes ordinationum MN.

PROPOSITIO III.

Int omnia qua antea. Sed datum triangulum BAst . Sit Iso- in steles. Et erit idem locus parabolicus; qui quaeritur. Sint enim quae prius. Itaque erit AB M BZ: Inde a b. Et AD - - - . I set in a. Igitur erit AD - AB. Et B. essicietur vertex parabolae in Ioco constructo; eum iam proveneriti us quaesitus II -- - π - 2 aa - o. Idem vero axis B A. erit Parabolae ἰ di idem latus rectum 1 a. Igitur si ordinata MN. 3c abstissa BN. Erit illa quidem in T. I. haec vero aequalis semper erit o - x. Sed est MN αα BN x xa. Quare erit 3I - Σ σε - 2ax. Et II -- llax - 1aa - Ο. Et ubique vestigia M. in utroque parabolae crura BE. & BF. invenientur tam supra, quam infra punctum A. quare ubique erit MA aequalis N 2. . ALI-

57쪽

I. CVT data recta linea AD. magnitudine a cuius data pars AB. divisa sit hintiam in C. Addatur ipsi AD in directum recta Doaequalis BD. Erit AO; scilicet dupla BD; una cum AB. aequalis a CD. Nam est AO - AB BO 1 CB a BD 2 CD. Item erit a DA - BA a CD. Nam est D A - CD - AC M

Ergo erit a DA - a CD B A. Et i DA BA a CD. II. Sit recta AB. dc recta BO. atque sit x tertia Geometrica post duplam AB. & post B st . perspicuum est ἔ esse duplam X terciam Geometricam post simplicem Aβ. Sc post B E.

PROPOSITIO IV.

'bri Odo sint, quae antea . dividatur Ba bifariam in C. Et deieripta sit parabola EDF. vertice ἔ axi; paramet Oὲ quem admodum in superioribus eonstitutum est. dico illum esse locum quaesitum. demonstiatur . Est recta D L. parameter. Nam sumatur semiordinata Parabolae quae vis NM. ex A. Versiis verticem D. Erit per parabolam MΝ' - DN x L L.

tam a DB x AB - AB BN . Sumatur tamquam una re talinea a DB -- AB. atque altera sit recta AB. Igitur erit 1 DBX AB -- AB' rectangulum ex recta x D R A B in rectam alteram AB per eandem . Et inde AM' erit m rectangulo; quod ex 2 DB - AB. conficitur in a B ι una cum B M. Erat

Diuili do by Corale

58쪽

PROBLEMA. V. 39 Erat eonstructione tota AD aequalis ipsi AC. simul eum

tertia in proportione Geometrica post x AB. & BQ. Sed AD. componitur ex AC. & CD. Ergo erit Ac -- CD aequalis ipsi AC. eum dicta tertia Geometrica; Eti sublata communi AC; erit sola CD aequalis eidem tertiae. Et dupla CD. aequalis tertiae Geometricae post AB. & BQ. s Lemm. n. 2.ὶ atqui dupla DB simul eum AB. est aequalis duplae CD Lemm. n. I. . Ergo dupla DB simul cum AB. erit tertia illa post AB. & B E. Et BE erit aequale rectangulo; quod ex dupla et B. simul cum AB. tamquam ex una recta linea constituitur in ipsam AB. lis. vi. Elem. atqui hoc rectangulum una cum BN . erat aequale quadrato quod ex A M. Igitur erit A My - B E- ΒΝ'. Sed

AM N . E. D. Recipiatur nunc semiordinata parabolae quaevis Hu. ex Λ . in plaga aversa vertici D. Et fiant. quae antea. atque erit A M

Et constituatur una recta linea a DA -BA. ferit autem sem

BA'. erit rectangulum, quod ex recta linea a DA - ΒΛ in B A emeitur per eandem ; cui simul cum B H' erit aequale AM . Et scuti antea ostendetur x CD tertia Geometrica post A B ;& BQ. atqui a DA BA est a CD s Lemm. n. I. I Igitur erit AB tertia Geometri ea post Bes & aDA - ΒΛ. Quare BE rectangulo quod ex recta linea constituta a DA - RA emeitur in BA. 16. vi. Elem. ; cui una cum quadrato Bre erit se Au .

EADEM

59쪽

PROBLEMA. V. PROPOSITIO V.

Int omnia. quae antea. Si datum triangulum fuerit AB QJso. G ii seeles . Deilis est synthetica problematis solutio . N.m , veluti casu eodem essectum est in propose. III. 'g' quae ibi γε, describatur Parabola eadem; sed vertice B communi cum trianguli ABZ dati vertice: & erit ea Limes ordinationum quaesitus; plane idem ae in alio casu. Quoniam sumatur primum abscissa BN in axi BAG. supra punctum A. Et inde ordinatim ad cur Vam ponatur Nu; iunganturque u A. & Nuta, Est quidem MΛ

PROPOSITIO VI.

FIG. IV, I TU ne in eodem triangulo dato AB L. non aequicturi sit latus AB maius quam BZ, Et erit recta AD minor AB.

Quandoquidem sit recta linea L . supra definita proposit. I. Igitur erit AB . BC:: B st. L ; atq; inde. bnoib. I recta L minor B ab Igitur erit L. longe magis minor, quam A B . Et minor . at-L AB . AB AB - . L AB .

que - - - minor F - ἔ Ergo erit - - - minor

A Bi se ilicet AD GL propos minor A B. cadetque vertex D curvae parabolicae intra latus AB. trianguli dati AB T. Et reliqua hoc

60쪽

P R O B L E M A. V. ΑΙ hoe casu ipsius verticis D intra B A locati fient plane uti in ante. cedentilius; si triangulum non fuerit Equicrure ; tum in Analytica; eum in Synthetica solutione. Etenim pro solutione Synthetica; li lemiordinata sumebatur quaevis II M parabolae in fari; opus erat; ut a DA soret recta maior quam BA. P vomion. IV. atqui aut dati trianguli non I scelis AB λ latus A B sit minus; aut sit maius latere BQ; erit semper recta a DA maior quam A B; quoniam; si dicatur quoque L tertia praedicta pro-

portionalis; erit confruction. Propos. I. semper - -- -- DA. unde erit semper L - ΒΛ - 1 DA. Ergo x D A erit maior semper recta linea quam ΒΛ. excessu eiusdem tertiae Proportionalis . Quare patet quod propositum est . Solutio autem analytica est eadem, quae supra L Propositione LI

I. Ostenditur in his semper; si sumatur etiam radix salsa - at. progigni aequationem; quae conitruitur ; & quae est iplamet inventa. Ergo ostenditur, a radicibus etiam salsis praeberi valores ignotae ae.&esse illas aequationis inventae etiam radices: & satisfacere quaestioni. Et ita semper in antecedentibus; di in inlequentibus. Quod semel admonitum volumus. I l. Quaesivit Limitem hune parabolicum insignis ad laudem Geometra V. Utviamus in Divinatione secunda Geometrica in Aristaeum seniorem Lib. 3. a propositione XIX. us'. ad XXII. de Lo- eis Solidis. uatuor igitur propositionibus rem absolvit. Quarum prima proponit problema ; si datum rectangulum triangulum fuerit Isosceles ; tres vero aliae spectant calum ; ii idem triangulum non fuerit Ilio eles. Et duae illarum continent non brevia Lemmata , tertia autem; qua Problema solvitur ἔ satis bene est longa. Iam vero solutio Analytica non adest. Et nostra Synthetica solu

Diuiti sed by Corale