장음표시 사용
41쪽
PIG. I. contra primam acceptam ιπο - x. Et ordinetur ad Ellipsim recta ED. atque ex D. sat DP curvae tangens; concurret D P.
eum diametro GL in P. ita ut subtangens P E. sit quarta Pariter Geometriea post GL' - LO X LE. & GL - LE'; atisque GL - LE. id enim positum est. L. F. O.
In inventa aequatione deest secundus terminus; unde summa radicum verarum erit aequalis summae falsarum. Sed etiam deest terminus tertius. Igitur coessiciens termini tertii affectus signo nequit scilicςt esse minor tribus octavis partibus quadrati coess- cientis termini secundi. aut productum ex ultimo termino in coefficientem tertii ; si assietatur illud fgno -; esse minus tribus octavis partibus quadrati; quod ex eoelficiente constituatur teris mini quarti . Quae ambae necessariae eonditiones severe in algorithmo demonstrantur; & nostram nos habemus demonstratio. nem; quibus ; si alterutra earum desit; radices procul dubio erunt aut aliquae, aut omnes in aequatione quarti gradus fictitiae. In nostra vero aequatione ambae conditiones desiderantur . Hinc sperastariιδ. inerunt in illa xadices impossibiles . Sed duae non omnes. duo enim puncta necessario dantur concurssis Curvarum per deseriptionem; sicuti dicebatur. Vnde duae; quae sunt radices; sunt possibiles. Ergo descriptio curvarum Geomtrica respondet algorith. Tum idem algorissimus demonstrat; si aliquo orbata sit aequatio termino, qualis haec aequatio eadem fuit; adesse m illaveras radices cum falsis commixtas. Ee deseriptio duarum harum curvarum; quae ipsam eamdem construit aequationem , duas yic. n. habet MO. satisfacientes problemati; locatas in positu contrario; unde radices verae, & falsae aequationum algebricarum
originem ducunt. Ergo ratum , constansque per haec fit quod de praedictis conditionibus, di de mixtione dicta radicum verarum , & falsarum algebrica demonstrat Geometria. PRO
42쪽
IT propos tum problema ; duos numeros invenire; ex quorum quadratorum additione deducta latera faciant 78. & si illis mutuo ductis addantur eadem latera; progignatur 39. Sit dictus unus et . alter x. Erit ob unam conditionem Σκ
nem est Σα -- xx - Σ - x 78. quare erit; si loco z.
elatur multiplicatio per Iquatio more consueto. & habebitur P
Habet l4o . divisorem 3. & comperta aequatio dividitur per x - 3 o. Est igitur x - 1. Sed erat Σ - . quare erit s. Sunt igitur duo numeri 3 . ct s. διψsatisfaciunt quaestioni. Sed; divisa invenia aequatione per x - 3 - o; remanet x' - 4 xx - 6s x - 668 - o. Et 468 habet divisorem s. atque haec ipsa aequatio dividitur per x - 9 o. remanetque Ax - 3 x - sa o. Hinc erit etiam per hanc reductionem
Ergo habentur iidem duo numeri inventi. Equatio x x x - sh - o. nequit inferius deprimi; sed & duas habet radices fici tias . quod propter omnia signa 'h quae adsunt; Algebrae regulae demonstrant. Et quidem erit xx-F 3 π
43쪽
- . Soli igitur duo numeri sunt aut rationales; aut irratio nates ; qui setisfaciune quaestioni; 3 . & 9.
IT datus ang. acutus AβD. cuius positione quidem datum sito latus BD. sed latus AB. magnitudine etiam datum. Quaeritur locus punctorum M; ita ut; iunctis rectis lineis ME. MA. quarum MA. secet BD in E; sit triangulum B ME. semper eon. stans . dc datum Ponatur esse series punctorum M. M. quaesita. Agatur AF ad normam supra datam positione BD. Cadet ib Othesi AF. inter B & D. Ex quovis puncto M. ponatur ducta MC ordinata supra BD. in dato angulo quovis obtuso MCB. atque ex A. ducatur AO. parallela MC. occurrens BD. in o. quae cadet extra BF. versus D. ob angulum in F. rectum; & angulum AOD. qui erit obtusius; cum sit MC. parallela A D. Ex eodem puncto M. sit ducta normalis MI. supra eamdem BD. quam patet eadere extra BC. versus P. Dicantur datae, & cognitae AF - b. AI a. BO - e. Et abscissae BC . snt --x . atque ordinatim positae Cu sint cSit vero constans triangulum, & datum B ME dd.
44쪽
sumpto puncto M; unde ductae ; uti supra ; MC. MI. similia semper erunt triangula ADE. MCE. quare Λ O. OE :: MC. CE.
Quae hyperboles est asymptotica . Componetur autem sic.
Abrumpatur in BD portio BZ --. Ex st agatur Oxparallela AD; seu ordinatis Ioel quaesiti. Et sit in portio I ααα AO - a. Ex H edueatur HL parallela BD. Tum ex eodem P agatur O XU. parallela AB. secans HL in L. Et det O XV intra angulum BDd. Erat enim ang. B0K aequalis AOD. & inde obtutus. atque erit angulus B O X aequalis ABD. Vnde erit acutus. Et datum est triangulum P LH; obstin latus datum ι & angulum O HL - D0 Η - AO B dato.& angulum D II - B L - ABD dato. Dicaturque O L m. Nunc effetatur ZZ - O L - m. ad partes D. Ex Z. agatur Z T. parallela st LX. Et fiat ZT B0 deinde asymptotis 2D R . & 0 X V deseribatur hyperboles T P et per punctum T. Erit ea limes quaesitus punctorum M. Sit enim quodcumque M in Cutua. Vnde ducantur MC.D Pa-
45쪽
parallela AO. dc MI parallela AF. atque MN parallela AR. sive st . quae cadent supra BD positae sicuti in schemate; pr pter dictam aequidistantiam . Modo erit c construction. AO . OB r: MC. CN. scilicet a . e I. - CN. Sunt enim BC- - x . abscissae; & CM - - γ ordinatae loel quaesti. Atque semper erit BN BC - CN - x - - & DN semper B N - BZ- x - - - . Item ob triangula simi
e be beaequatio fuit inventa. Igitur erit in descripta hyperbole Locus quaesitus. atque si ex quovis eius puncto M ducantur lineae ad B. de A; quarum MA secat BD. in Ε; erit triangulum B ME semper datum p & - dd. Id enim positum est. αι E. F. PROPOSITIO II. rio. iii. I, Cint qu8e antea. Et Hyperboles sit opposita SG . Poterito Hyperboles opposita perducta esse per punctum A . datae
positione, & magnitudine rectae Lineae AB. poterit etiam tota procedere extra AB. dc poterit quoque illam secare. Dico primo ἔ aut permeet curva Per A. aut secet AB. aut tota extra AB
46쪽
pROBLEMA. IV. 17dat; esse semper locum in eiusdem S G curvae punctis es; cuius ordinatae M C in loco quidem quaesito sunt F . Sed abscissae BC manent - - x. scilicet esse semper locum in ipsa hyperbole opposita respiciente plagam ex B versus D. positam. Etenim sit punctum curvae quodvis M. ia ea parte acceptum; unde ducantur; uti supra in loco quaesito; ordinata MCcurvae; atque normalis MI: item ducatur AO. in angulo AO Dobtuli1; & perpendicularis A F. supra BG asyptotum . Erit angulus BC M ordinatarum ea in plaga acutus; cum sint ordinatae parallelae construa. ipsi AO. Atque est quidem BC - - ω . Sed Cu αα - γ. Item si M est punctum in curva quaestum; iunctis MB. MA; secabit Mn datam positione BD juxta problema in puncto E. non intus BD. qualis MAe. sed ad partem B R. oppositam ipsi BD. quod liquet; secaret enim tunc ita tecta MA ; s duci posset; rectam BM; seu latus BM; ut non constitueretur triangulum B MAE; quod vult problema. Debet igitur illud constituti hypothesi conditionis Problematis. Nunc per ea, quae effecta sunt in praecedenti; erit MIMα--. Et EB
o . quae plane eadem aequatio est; quae supra inventa fuit. Componetur autem Locus simili modo , quo in praecedenti. Nam sit aeceptum quodvis punctum M in hyperbola descripta opposita in plaga respiciente asymptotum BD. ubi BC sunt x .
47쪽
eadem plaga compositus locus fuerit; ubi quaesitus. Ergo manet locus quaesitus; ubi determinatus est. Et iunctis ibi MB. MA. quae secet BD in E; erit triangulum BADE. semper datum; &- dd. II. Dico secundo ; esse etiam locum in hyperbole respiciente plagam BR a*mptoti: Ubi angulus ordinatarum BC M semper erit obtusus; cum sint ordinatae parallelae ipsi AO. confractιon. atque abscissae, & ordinatae loci quaesiti fient - m, & - I. Oportet autem , ut Punctum E. tunc cadat supra BR. ad partes scilicet curvae S; non vero ad partes curvae G; supra BD . Id vero semper accidet, si hyperboles ipsa opposita per intranteat per extremum Punctum A rectae datae A B; aut seeeti plam AB. potest enim S per A. perduei . & secare rectam A B;& tota etiam extra illam prolabi; ut initio num. I. dicebatur . Demonstratur. Pertranseat curva per A extremum Punctum rectae AB. aut secet illam uti in P. Agatur ex A normalis AF supra BD a veluti supra in solutione, S compositione Problematis quoque efficiebatur. Et si curva seeat AB i prosecto; cum sit tune punctum A extra curvam; secabit normalis A F ipsam eandem curvam in L. Nunc sunt AF. aut KF distantiae curvae ab asymptoto
48쪽
PROBLEMA. IV. 9ptoto It D in locis A. aut x. Et ; accepto puncto quovis M incurva; atque ducta ex M normali MI supra R st D; uti etiam fiebat in solutione. & constructione Loci; erit MI distantia curvae ab eodem asymptoto R V D in puncto quovis M. atqui per pio-prietatem curvae asymptoticae est distantia MI . semper minor di in 'ia' VJ stantia AIp. & minor distantia UR; unde ἔ& secundo eatu multo magis; minor quam normalis tota AF. Ergo per Element. Geometriae recta linea Ausi non parallela asymptoto RDI. Oecurret illi in Ead partes MI minoris quam A F. & inde semper accidet; si hyper-holes opposita pertranseat per extremum punctum A datae rectae AB; aut si secet AB; ut punctum E cadat semper supra BR ad Partes curve S. non vero supra BD. ad partes curvae G. Et posita conditio loco, qud eadet punctum E. his casbus sempers rvabitur O. E. D. Nunc . Sit punctum quodvis M inhyperbole opposita GS. respi-FIG., V. ciente plagam BR asymptoti . Vbi abscissae fiunt - x; itemque ordinatim positae sunt I. Ex M. ducantur ut supra in loco quaesito MC. ordinata Curvae, atque Normalis MI; item ducatur AO. in angulo AOD. obtulo. & perpendicularis A F. supra Ru D asymptotum. eritque angulus ordinatarum BC M.
obtusus; cum sint ordinatae parallelae ipsi A O t O Damon. Cadet C. extra BD. ad partes R. Cum sint BC sb Missi I - x. Quod est semper intelligendum in propositione sequenti; & in inquentibus. Sunt & ordinatae CD in his semper Dpοιbes - . Itaque si praestentur; quae in Ioco quaesito effecta sunt in Propositione I. crit MI- - -a . Et ΕΒ --. Inde Eca - ba
49쪽
ipsa eadem cum supra inventa proposit. L O Nam. I. huius . Itaque eodem omnino modo construetur ac illa tum in propositione I. tum in hac secunda n. I Igitur erit etiam in ea hyperbole opposita GS. tames ordinationum quaesitus.
lat omnia; quae antea. Sed cadat hyperboles opposita GS tota extra datam rectam AB. Iam vero Pertractati duo casus sunt ; quibus hyperboles haec opposita aut pervadit per Apunctum extremum ipsius AP ; aut secat AB , tumque ostensum est, esse semper illam Iocum quaesitum ἔ cadereque interiectio. nem E rectae MAE. dc asymptoti ROD lii pra BR ad partes curvae S contra plagam 2D. Ad hanc vero partem ; sed & ad aliam aversam; nempe ad partem curvae G verius stra incidere quoque posset hoc casu curvae percurrentis extra totam datam reo fiam AB intersectio eadem E. Itaque incidat interfectio E ad partem curvae G versus 2 D. Et cadat aut extra BO. aut intra BO . semper enim conitituetur triangulum BEM ; quod vult Problema. & iuxta conditionem problematis. Dico hoc catu descriptam hyperbolem oppositam GS minime esse locum quaestum. Cadat enim hoc casu intersectio si extra BO. Et ; si fiant, quae in superioribus; erunt abscissae loci quaesiti iplae BC - - x. atq; ordinatae CM--γ. Hinc erit MI -- Et EB - 2 add
Igitur analogia PrOVeniet a - 'Gιό
50쪽
aequatio loci quaesiti supra deprehensa; & quae neq; proveniet; si uti
nuper; pro ΕΒ - --- sumatur im Sit nunc casus Fig.V i. Quare Curvae perductae extra totatii datam rectam A B sit Pun FIG. VI.ctum quodvis M aeceptum; sed M iuncto eum A . & B ; atque protracta MA ; punctum intersectionis E iptius M A. & asymptoti B st Dincidat; fi fieri potest; ad partes eum S contra plagam uJ. At;
cum punctum A. maneat inter conve eam curvam , & asymptotum a BR D. secabit recta MA. neeeIssario curvam in alio Puncto Κr, aliter caderet tota extra curvam GS; & non adtingere Posset ad A : aut esset curvae tangens in M; non quidem secans;