장음표시 사용
141쪽
a io De In itistim 'taliam proposit. 18. sit parallelogrammum parabolae circumscriptum ad ipsam, ut 3. ad 2. Ergo etiam triangulum A E C, erit ad parabolam A B C, ex aeq la-li, ut 6. ad 1. seu, Vt 3. ad x: &ad excessum ipsius supra parabolam, ut 3. ad a. Quae rationes sunt illae, quas habet circulus ad excessum, & ad spatium spirale, ut apparet ex proposit. s. & ex eius corollario. I sset ergo quispiam ex his eogitare, analogiam praesentem perpetuam esse in alijs spiralibus, & in . aliis parabolis, ita ut sectindum spatium spirale,ne pe quadraticum, & excessus quadraticus, sint aequales parabolae cubicae, & excessui triangi li A E C. supra ipsam: & sic deinceps. Sed qui hoc arbitraretur ostendere, deciperetur utique, quia hoc falsum esse in posterum manifestabimus. Sed ut lector percipiat, quae dicturi sumus, debet quandam doctrinam a proposit. 3 o. citati miscellanei petere, in qua demonstrauimus. Quod . Si in qualibet infinitorum parabolarum sumatur aliquod punctum, a quoad diametrum recta ordinatim applicetur, diamete que ita producatur, Π pars extra parabolam sit ad partem diametri abscissam ab ordinatim applicata
versus verticem, ut numerus parabolae unitate minutus ad unitatem. Recta linea, quae ab extremit
te inuentae lineae ducitur ad illud punctum , quod saniptum suerat , parabolam continget. Quae Omnia nil aliud sonant, nisi quod si A E, contingat parabolam quadraticam, M o erit dupla O B: si in
142쪽
Spatior- -U- . 11 b eam, erit Mo, tripla OB: si quadratoquadria triplam: & sic deinceps . Vt Mo, sit ad O B, ut numerus parabolae ad unitatem. Haec in diacta propos t. probantur: videat ipsa lector in dicto loco. ded ex his em nobis. PROG
143쪽
Si in qualibet infinitarum parabolarum ducatur ordinatim
applicata ad diametrum, , ab ina extremitate ordia natim applicatae ducatur tangensparabolam,ab altera πω ro extremitate ducatur parallela diametro . Triangulum ab his, ab ordinatim applicata formatum, erat adparabolam , it numerus parabolae acceptus secundum na- merum parabolae initate auctrem , ad numerum para
IN schemate superiori csto quaelibet parabola
ABC, cuius ordinatim applicata ad diametrum O B, sit ipsa AC, A F, sitian gens, es CE, sit parallela diametro OB. Dico triangs tum AEC, esse ad parabolam ABC, ut numeruη parabOLe acceptus secundum numerum unitate Mictum, ad numerum. V. g. in parabola quadrati a , ut 6. ad a. shu, ut 3. ad s. in cub ca , ut ι a. ad 3. seu ut 4. ad i.& sic in infinitum. Occurrat OB, ipsi A E, 'M. ,Elgo excUala p posit. 3 o. Miscet lanei hyperbolici, S parabolici, erit MO, ad OB, ut numerus parabolae ad unitatem. Ergo C E, dupla M in exit ad Bio, ut duplus numerus parabolae ad unitatem. Ergo triangulum AEC, erit ad parallesograna imam circumscriptum parabolae ABC, ut numerus parabolae ad unitatem ; nempe, ut numerus parabolae accc plus secundum nuta erum unitate
144쪽
. et ictum, ad nummim. unitate auctuin Sed ex qui. ut at 4 infindarum parab larum assignata ex Cau lerio in proposit, ici ib. i. de infinit. parab. est paraLlalogrammum circumscriptum parabolae ad ipsam, ut numeius parabolae unitate ainus ad numerum parabolae. Ergo ex aequali, erit triangolum A E Rad yaiabolam ABC, ut duineiuspirabolae acceptus
145쪽
m In ut rum 'seum secundum numerum parabolae unitate auctum adnumerum Hrabolae. Quod M.
Erit ergo per conuersionem rationis , triangulum ad excessum ipsius supra parabolam, ut dictus num rus parabolae acceptus secundum numerum parabOl e unitate auctum, ad numerum parabolae acceptum secundum numerum parabolae. Vel clariuS, erit triangulum ad parabolam, ut numerus parabolae unutate auctus, ad ,nuatem ; nempe in quadratica , ut s. ad I. in cubica, ut . ad I. & sic deinceps. Et ad excessum trianguli supra parabolam, ut dictus numerus parabolae unitate auctus, ad numerum par bolae. Nempe in quadratica, ut 3. ad a. In cubica, vi
q. ad 3. Et sic in infinitum. 'Non ergo seruatur analogia inter infinitas parabolas, & infinitas spirales. Nam utique est triangulum ad parabolam quadra istam&ad excessum ipsius supra parabolam, ut primus circulus circurnscriptus spatio spirali lineari ad ipsum spatium, & ad eracesium supra ipsum at non sic est in aliis: sed in spirali quadratica,est ex propositi P. & ex eius corollyrio , circulus ad spatium, vi q. ad a. & non, ut A. ad a. ut triangulum ad inlineum cubicum ; & sc in
Sed unum adnimaduertetur , quod equidem haud spernendum vide r. & est , quod in eadem ratione
146쪽
sunt in qualibet parabola , trianguIum AEC, ad . parabolam ABC, idci parallelogramninum semiparaboli OBC, circumscriptum ad trilineum, quod est excesses parallelogrammi supra semiparabolam.
Nam utrumque est ad utrumque, ut numerus para-holae unitate auctus ad numerum parabolae. Pariter in eadem ratione sunt triangulum AEC, ad ex cessum sui supra parabolam, de parallelogrammum 1emiparabolia circumscriptum ad ipsam ; nempe i Ut numerus parabolae unitate auctus ad numerum. .
Dum haec, quae scripsimus sub praelo essent, aecepimus epistolas a nobilissimo Geometra Petro P .relo Caravanio Mediolanensi, ac Mediolani commorante, ad nos trasmissas, datas subdi 1 r. luit, anni Praesentis i66o. iin quibus sprius a nobis de subiecto nostrat impressionis monitus) sic loqueba
methodo degl'ι niti, e paria des spirali. His auditis,c gitabamus Uualidium nobis praetuisse, ac opusculum postrum de Infinitia spiralibus ad oleum , piper edemutendum.Porro libro Uuallisiti frustra apost bibliopolas., aut alios Venetijs qu sito,contagimus. ad Excellentissi suum Asdream Moretium Pataui, uinc ma axem, ipsum rogantes opus praedia viri, si
147쪽
ris De I nitorum Spiralium apud ipsum esset, nobis accommodare. Nec euanuit spes nostra . Ille etenim Excellenti Irhus vir summa; qua pollet humanitate j uota nostra Expleuit , librumque ab ipso mutuo re pimus. Quo vix inspecto statim occLIrrit nobis tinctatus de sectionibus conicis, &c protinusque obseruauimus in ipsa dedicatione asse validissimum testimonititii pro ia-
nec I videbitis me stat m ab illo Aeris Methodum is diuisibilium,quasitam. Geometrispassim retet tuaistam binc, Τ am tractiitui sequenti qui buic gemellus est substernere oec. Audi Tacquet, & amplius n)li de indivisibili-bias iudicare. Methodus namque illa indivisibilium,
m i, zi geometris passim recipitur es Desi ne quari , ad lucendo argumentationis per indivisibilia exem
plam , exclamare. de em confiscat istbcc ratiocinatio.
Nam iuxta Uvallisi uri squi pluribus in locis perhonorifice de indiuili bilibus loquitar= conuincit pas
opus ergo Vuallisij percurrentes, an imaduertimus ipsum anno i 636. circa aliquot laborasse, circa quae Caualerius, in exercitationibus geometricis
I 6 7. & nos in opere dἡ infinitis parabolis anno I 61 9. Sed non psaltuit illa , quamuis ipso poste
riores , eualgasse et namque procedimus methodo a sua totaliter diversa'; N iuxta nobis connaturale, g 'ometrica geometricὸ pertractauimus.
. Porro valde gavisi tumus dum inspeximus , ins-
148쪽
nitas spirales ab illo acutissimo viro explanatas, diuersissimas fore roto caelo ab ijs' quas nos meditati eramus In scholio etenim subnexo proposit. 43. Arithmeticae infinitorum , in quo suas infinitas spirales explicat, supponit ipsas diuersificari ex diuersa proportione in sipirales incidentium ab initio ad inuicem secundam multiplicatam propo tionem angulorum. U. g. in schere1.sequenti, si F Mincidens in spiralem sit ad AC, itidem in spiralem incidentem, ut angulus NORA, ad anguluml, OSRA; nempe ut arcus NOS R, ad arcusti OSR; Secundum ipsum , spatium AC FRA, cst primum spatium spirale. Si vero sit F A, ad AC, in duplicata proportione praedicti angiilyad praedictum angulum, seu dicti arcus ad dictum a
cum . Spatium erit secundum. Si in triplicata , te tutium,irc. At in nostris spiralibus res e contra acci,
149쪽
Ii 8 De I nitreum Spiralium dit. Nam incidens ad incidentem est in submultia plici proportione anguli ad angulum, seu arcus ad arcum. In spirati etenim quadratica, cum ex proposit. prim. sit quadratum FA, ad quadratum AC, ut arcus N O S R, ad arcum o S R , erit F A,
ad A C, in subduplicata proportione arcus ad a cum is Et sic consequenter in cubaea, in subtriplicara , & sic deinceps .i Procedentes ergo per diuersa principia, & circa diuersissima laborantes, diuersit. sima etiam colligimus. Ipse etenitu putans incidentes in spiralem augeri secundum multipIicem .ppoportionem angulor m, seu arcuam, arguendo suo modo coligit spatia spiralia minui.Secundum tim ipsum, circulus circumscriptus primo spatio, seu primi g neris est ad ipsum, ves. ad i. Ad spatium secundi generis, ut Mada Ad tertij. vi s. ad ι. & lic in infinitum . Ν- vpro supponentes incideates in spirales augeri in submultiplici proportione angulorum, s. uarcuum, deduxi mus spatia spiraliaaugeri. Circulus
enim ad spatium primi generis est, ut 3. ad i. Asspatiumsecundi, vi q. ad 3. Ad tertii, Vt 3- ad 3- ει sic in infinitum . Vnde in suis spinalibus circulus est ad spatium sprsale, ut nymerus gradus spatii bi
nario auctus ad unitatem : at is nostro est, ut nam
rus binario auctus ad . numerum. Et uniuersiliter ipsae existimat proportionem circuli ad infinita spatia sipseralia esse eandem congruenter cum proportione P
rallelogrammi ad infinita trilinea parabolica sibi i scripta . At nos in nostris spirali et infinitis adi
150쪽
Spetiorum Mensura. II suenimus , proportionem circuli V eadem infinita spatia subintellige semper primae reuol urioni, ese eandem cum congruenti, & explicata proportione trianguli ad excessus supra infinita trilinea paraboli- ea sibi inscripta. Quae proportiones in spirali A
chimedea dumtaxat conueniunt. In ipsa etenim solummodo , tam parallelogrammum ad trilineum, quam triangulum parallelogrammi dimidium ad eccessum ipsius supra trilineum, sunt Vt 3. ad i. In re liquis vero, parallelogrammum est ad trilineum, ut numerus trilinei unitate auctus ad unitatem: triangulum vero est ad excessum sui supra trilineum , ut numerus trilinei unitate auctus, ad numerum trilinei unitate minutum . Cum ergo infinitae spirales
Clarissimi Uuallis; sc discrepenta nostris, prodeant
Portis quis recolens dicta in praesenti digressione , S modum supra explicatum , quo Clar mus Torricellius considerauit analogiam inter spir lem linearem, & parabolam quadraticam, posset rationabilius, quam ibidem factum fuit, cogitare, an a-l giam illam, quam supra diximus nequaquam semitari inter infinitas spirales, & infinitas parabolas, utique locum habere in infinitis parabolis, & in infinitis spitalibus Uuallisij. Nam ex supradictis, patet, in his omnibus easdem proportiones sertiari . Exstat im en i m D p i a d ictis i iqu et, circu tu m a d i n fin itas spirales V uallisij esse secundum ipsum, ut numerus graduue spiralis binario auctus, ad unitatem: & ad eracessiim