장음표시 사용
121쪽
Si γνάlibet ex infinitis trilineisparabolicis stretur linea basi
paraveti, ον tam toto tribueo, quam trimest ad Wrticem circumscribantur triangula. Erit excessus trianguli ci cumscripti toto trisneo supra idium, ad excessum inungias circumscripti trilineo ad verticem Iura sum, mi pol star diametri trilinei no gradu altior pausare inlisei, adsimilem potestatem diametri tritae, ad meritum.
ESxo quodlibet trilineum parabolicum QX EZ,
cum sibi circumscripto triangulo QEZ, ω sit ducta XΥ, parallela basi Q X, &erilineo adverticem X E Y, sit circumscriptum triangulum X E Y . Dico spatium comprehensum a recta , &curua Q E, esse ad spatium comprehensum a recta, &curua XE, ut potestas ZE, uno gradu altior potestate trilinei ad similem potestatem V E. V. g. in quadratico, ut cubus, ad cubum. In cubico, vequadratoquadratum ad quadratoquadratum, & sic in infinitum. Haec propositio ostensa fuit in schol. pri. proposit. s. lib. pri. de infinit. Parab. ex eo quod
cillinea sint eiusdem rationis. Cum ergo eandem habeat rationem tam triangulum ad triangulum, quam trilineum ad trilineum, quam excessiis tria
guli supra trilineum, ad excessiim trianguli supra tria lineum s & triangulum Q EZ, sit ad triangulum xEΥ, ut potestas ZE, uno gradu altior potestate M tril,
122쪽
- De la Lit m S kastam trilinei ad similem potestatem EY quia haec ratio
componitur ex ratione QZ, ad XY; nempe ex ratione potestatis ZE, eiusdem gradus cum trilineo, adsimilem testatem E Υ, & ex ratione Z E, ad B Υ: quae duae componunt rationem potestatis E Z, uno gradu altioris potestate trilinei , ad similem potestatem EΥ;ὶ erit etiam excessus trianguli ZZ, supra suum trilineum, ad excessum trianguli X ΕΥ, supra suum trilineum, ut potestas ZE, uno gradu altior potestate trilinei, ad similem pol statem ΕΥ. Quod&z.
Deducemus ergo diuidendo , esse spatiun .QEX ad spatium X EX, ut disserentia pol - statum ΖΕ, ΕΥ, uno gradu superiorum potestate trilinei, adsimilem potestatem ΕΥ. Quod si iterum ducta IT, parallela XΥ, fili triangulum I ET; erit excessus X EI, ad excessum I EI, ut
potestas Υ Ε, uno gradu altior potestat e trilinei, ad similem potestatem ET . Et diuidendo , erit excessus XEIX, ad I EI, ut differentia potestatum dictarum ΥE, BT, ad similem potestatem ET . Erit ergo etiam spatium Q EXQ, ad spasium X EIX, ut differentia potestatum EF, ΕΥ, uno gradu altiorum potestate trilinei, ad differentiam similium potestatum YE, ET
Si ergo supponamus QEZ, esse trilineum pr
123쪽
rabolicum quadraticum , & Er, TY, YZ, este aequales 3 quia EY, est dupla ET,
ergo cubus ET, erit ad cubum ET, ut r. ad 8.& ad differentiam cuborum, ut I. ad I. Ergo etiam spatium I EI, erit ad spatium X EIX, ut t. ad 7. Pariter, quia Z E, est sesquialtera E Y, erit eius cubus ατ ; & differentia cuborum E Y, EZ, io. Ergo differentia cuborum ΕΥ, ΕΤ, erit ad disserentiam cuborum EL EZ, ut T. ad I s. & in eadem ratione erit spatium X ElX, ad spatium QEX Q. Et eodem modo quadruplicata ET, quintuplicata&e. reperiremus spatian Q EXQ, esse ad immediate maius, ut 39. ad 37. Hoc adim-
124쪽
De Insinitorum Syralium mediate maius ut 37. ad 6 I. &c. Unde diuidendo colligeremus esse IEI, ad excessum X EIX, supra ipsum, ut I. ad 6. spatium X EIX, ad excessiim sp
ad excessum immediate superioris supra ipsum, ut . ad 18. & sic in infinitum augendo consequens senario.
Sed supponamus Q EZ, esse trilineum parabolicum cubicum, & quadratum Y E, duplum en qaadrati ET; quadratum Z E, eius triplum, &c. Quia ergo quadratum Υ E, duplum est quadrati
E T, si supponamus quadratum E T, en unitatem, erit quadratum Υ E. a. & quia quadratoquadratum oritur ex multiplicatione quadrati in se ipsum, erit quadratoquadratum ΕΥ, 4. Erit ergo quadrato- quadratum YE, ad quadratoquadratum ET, Vt q. ad I .& diuidendo, ut 3. ad I. Erit ergo spatium X EIX, ad I EI, ut 3. ad I. Item,q ioniam quadrarum Z E, est 3 .& quadratoquadratum ZE, s. erit differentia quadratoquadratorum ZE, E Y, 1. Erit
ergo spatium Q EXQ, ad spatium X EIX, Vt 1. ad 3. mod si quadratum EF, intelligeretur qua
druplicatum , adeo ut eius quadratoquadratum esset 36 , & intelligerentur aucta omnia; esset spatium immediate malus, ad spatium QEXQ, Vt 7. ad .& sic in infinitum secundum progressionem numerorum imparium ab unitate procedentium. Divide do ergo , erie spatiam IEI, ad excessum spatij XLIX, supra ipsum. vi I. ad a. spatium Vero
125쪽
XEIX, erit ad excessiim spatij MX in supra
ipsum, ut 3. ad a. Ipsum vero QSXQ, ad excessum immediate maioris supra ipsum, ut s. ad a. &sie in infinitum, ita ut omnia antecedentia contin ant seriem imparium incipientium ab unitate, consequens vero sit semper binarium. His explicatis, supponamus diametrum Z E, tria linei aequalem esse AB, semidiametro circuli diagrammatis proposit. 14. YE, in trilineo ipsi AM, in circulo, & TE, in trilineo aequalem AH, inspirali, & ZQ, basim trilinei aequalem tot circumferentijs FDCB, quotus est numerus reuolutionum, v. g. in casu nostio tribus . Ergo ex proposita 3
126쪽
ορ Inguitarum S ad ina . spatium in trilineo Q E X Q, est aequale in spirali tertio spatio M N L S B M r item spatium X EIX, in trilineo aequale secundo spatio spirati .HRPΜri: item spatium in trilineo lEI, erit ex proposit. -- aequale primo spatio spirali A G H A. Rrgo eandem proportionem habebunt spatia helica ad inuiceri, flian habent praedicta spatia in trilineo. Cam ergo uniuersaliter sint in tril ineo spatiam primam ad secundum, ut potestas diametri ip-
127쪽
spatiarum Menserasius scilicet ET, uno gradu altior potestate trilinei ad differentiam potestatum similium ipsius, ετ E Υ, diametri secundi spatij; & ut secundum spatium ad tertium, sic haec differentia ad similem diffvirentiam potestatum E Υ, EZ; & sic in infinitum d sic in spirali, erit generaliter primum spatium ad secundum , ut potestas A H, indu primi circuli duplo gradu altior potestate spiralis gradus enim trilinei superat gradum spiralis unitate J ad differentiam potestatum AH, radij primi circuli, & ΑM, radii secundi circuli. Secundum verb spatium erit ad tertium, ut dicta differentia ad similem differentiam radiorum AM, AB. Vt sic in infinitum . Immo ea compendia, quae in trilineis quadratico, & cubiaco collecta suerunt, poterunt etiam colligi in spirali lineari , & quadratica, sed haec in duabus sequentibus proposit. colligentur ex alibi a nobis di '
In spirali lineari primi circuli spatium belleum ad spatium
hebcum secundi circuli, erit cis tertia pars quadrati. radiν primi circuli, ad rectangulum sub radio primi, secundi circuli, ina cum tertia parte quadrati excessuri raris fecunaei circuit supra radium primi. Spatium ἡμro secundi circuli ad spatium tertium , erit mi dictum
consequens a rectata tum seb radio secuvi, in tertii ,
128쪽
De Infinitaerum Spiralium eum tertia arte quadrati disserentia horum radiorum,.
HAEc propositio ijsdem terminis, &medijs pro-
batur a Caualerio in lib. c. Geomet. Ind. Pr Posit. I s. sed nos ipsam ostendemus ex proprijs Ustensis. Supponamus ergo ut in propositi 26, esse' spatia, & circulos. Dico primum spatium AGH, esse ad secundum spatium H RPMH, ut tertia Pars quadrati Α Η, ad rectangulum M ΑΗ, cum tenta parte quadrati H M. Item secundum spatium dictum ad tertium MNES BM, ut recta guIum MAH, cum tertia parte quadrati H ad rectangulum B A M, cum tertia parte quadrati M B, & sic in alijs. Etenim spatium AGH, est ex coroll. proposit, T. circuli radij AH, nempe est ad ipsum, ut ἰ quadrati AH, ad quadratum A in Circulus radii A H, est ad circulum radij AM, ut, quadratum AH, ad quadratum A M. Circulus radij A M, est ad secundum spatium, quod claudit,
ex schol. 3. proposita 7. ut quadratum Α M, ad recitangulum MAH, Una cum tertia parte quadrati
HM. Ergo ex aequali, erit primum spatium ad se: cundum , ut ἰ quadrati A H, ad rectangulum
MAH, una cum ψ quadrati H M. Pariter comuertendo, est secundum spatium ad secundum ci culum , ut rectangulum MAH, vsta cum ' quadrati H M, ad quadratum A M. Circulus radij Λ M, est ad circulum radij ΑΒ, ut quadratum
129쪽
A M, ad quadratum AB. Circulus radii est
ex dicto scholio, ad tertium spatium, ut quadratum B A, ad rectangulum BAM, cum quadiati B M. Ergo rursum ex aequali, erit secundum spatium adterhum, Ut rectangulum MAH, eum 3 quadrati M H , ad rectangulum BAM , cum ς quadrati MB. Sic distu ri ei etur in caeteris. Quare Patet propositum. N SCHO-
130쪽
Colligemus ergo in numeris, esse primum spatium ad secundum, ut s. ad 7. secundum ad tertium ut T. ad I9. tertium ad quartum Vt is. ad 37. Hoc ad quintum ut 37. ad 6 I. & sic discurrendo . Cum enim si primum spatium ad secundum , ut ζ quadrati AH, ad rectangulum M ΑΗ, cum ς quadrati H M: supponamus AH, esse s. Ergo M A,
erit 6 quadratum AH, erit s. eius s. rectanis gulum MAH, erit i8. ' quadrati M H, erit s. Ergo primum spatium ad secundum erit, Vt 3. ada I. nempe ut x. ad 7. Item rectangulum BAM, cum' quadrati MB, erit 37. Ergo secundum spatium erit ad tertium Vt O. ad 37. nempe ut T. ad 19. dc sic discurrendo in alijs. Diuidendo ergo erit primum spatium ad differentiam inter ipse in , & secun-dUm, ut I. ad 6. Secundum ad disterentiam inter ipsum, & tertium , Ut 6. ad I x. & sic discurrendo augendo seruper consequens senario.