장음표시 사용
111쪽
omnia spatia spiralia successive inscripta in 'ibuslibet cim eulis simul sumpta , mna emm quolibet segmento spatij
reuolutionis initate maioris inseripto in issectore, fine ad tot lutegros circulos foris quotus est o merui sp tiorum integrorum, et natum se sectore, Cis numer gradusspiralis adnumerum binario auctum.
IN schematibus proposit. anteced. suppo mus circulum radii AG, esse circulum circum stri, lptum spatio spirali cuiuscumque reuolutionis, V. g. secundae, ita ut intra ipsum intelligendus sit circulus primus circumscriptus spatio primae reuolutionis: sit etiam circulus radij A B, circumscriptus spatio te riae reuolutionis: & centro A, interuallo quolibet AE , intelligatur sector MAE, circumscriptus M AG, sigmento spatij tertiae reuolutionis. Dico omnia spatia spiralia successive s nempe in casu nostro primae, & secundae reuolutionis una cum segmento MAG, esse ad tot in t gros circulos radii A E, quotus est numerus spatiorum integrorum . nempe in casu nostro ad duos in una cum sectore M A E, ut numeius gradus spiralis, ad numerum hia
. Supponamus enim trilineum cepe dictum CBA, ω C. esse talis indolis, ut A B, sit aequalis AE, inspuali. N BF, sit atq alis A G: itam AD, si aequa
112쪽
8 ω De Infinitorum Di aum lis duabus circumferentijs radij HE, & CD, sit aequalis circumferentiae EM. Facile patebit, triangulum CBD, aequale esse sectori MA E; & totum triangulum CBA, aequale essedcobus circulis radii A E, & sectori MAE : item ex proposit. antecod. f. cile patebit, in trilineo trilineum mixtum CGED, aquale esse in spirali trilineo G ME: & CBEC, in. trilineo, aequale esse M AG, in sectori. Pariter ad modum proposit. I 8. patebit, spatium EB, in trilineo aequale esse alijs duobus spatijs spiralibus in- esu iis intra circulum radij AG,& alium ipsi inclusum s licet enim schema non exprimet, facile hoc percipietur si consideremus circulum radij A G, in praesenti gerere vicem circuli radi, AM, in dicta propositi i8.3 Quare manifeste patebit, duos circulos radi j Α Ε, una cum sectore A ME, esse ad primum,& secundum spatiam spirale , Vna cum segmento MAG, ut triangulum C BA, ad excessum ipsius supra trilineum. Nen pe ex saepe dictis, ut numerus gradus spiralis binai io auctus, ad numerum. Nempe vr circulus circum scri plus primo spatio ad ipsum . Quare conuertendo,patet propositum. inod &c.
Si in Datio anteced proposit. semidiametro minori linea h I batorsector S A X. Erit RIS, trilineum, excesses sectoris maioris se pra spatium, ad SI X, trilineum,excessumspatij supra minorem sectorem, mi excessus facti sub
113쪽
θatiorum meusura. Db disserentupote Livium V A, O S, erusAn p- cum spirali, in quadratum R A, supra talea paries . Grentiae potestatum EA, SA, dupbeι gradu altiorum pote frate spiralis , quae se habeant ad dictam iusseremtIaw, 'Ut numerus Dirases ad eundem numerambinaris auctum, ad excessum praedictarum partium disserentiae potestatum E A , S A, duplici gradu altiorum potestate spirabi, supra factum sub inferentia potestatum R A, AS, eiu emgradus cumspirabun quadratum Sa
posit. i s. quae ideo ex ipsa petenda est. itio Omnia compendia deducta in sc l. eiusdem, ps terimus duducere etiam in praesenti . Verum ergo L etiam
114쪽
s , et e Infinitorum Spiralium etiam erit nune, esse in spirali lineari, RIs, ad SI X, ut RA, cum ' RS, ad SA , cum ἰ RS. Item in spirali quadratica, R IS, SI X, squalia esse. Et in alijs spiralibus poterimus sorsitan reperire alia compendia , quae lector poterit proprio Marte eracogitare .
Primi cireuli spatium belicum cuiusunque gradus, ad spatium belicumsecundi circuli, ea itfactum Fub tali parte quadrati radii primi curculi, quae se habeat ad ipsem, mi numerus spiralis, ad numerum binaris auctum , ω subdifferentia potestatum radiorum primi, Oe secundi circuli, eiusAm gradus cum spirab, ad tales partes disserentia potestatum horum radiorum dulicr gradu astiorum potestate spiralis, quae se habeant ad lsam, συι numerus spiralis ad numerum binario auctum. Dattum vero secun-
di circuli ad spatium tertium, es ut factum ex hoc se eundo facto, er ex disserentia potestatum radiorum teratῆ , secundi circuli eius m gradus cum spirabi, ad mmis factum seb simili parte dilferentiae potestatum radiorum secundi, fν terti, circuli, duplici gradu altiorum potestate spiralis, tu seub disserentia ra iorum primi, es secundi circuo eiusEem gradus cum spirali, er sic dei ceps in reliquis.
Sit primum spatium helicum cuiuscunque gradus AGH, cum primo circulo radij AH:
115쪽
item secundam spatium H R P M H , cum secundo. cireulo radii A M: item tertium cum tertio circulo radij AB. Dico primum spatium AGH, esse ad secandum spatium H R P M H , ut factum sub tali - parte quadrati A H, quae se habeat ad ipsum, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctam, di subi differentia potestatum M Α, AH, eiusdem gradus j eum spirali, ad talem partem digerentiae potesta
' tum M A, AH, duplici gradu iniorum potest te
116쪽
s De I uitarum Diratam spiralis, quae se habeant ad ipsam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. Spatium secundum ad spatium tertium M NE L S B H, ut factum sub hoc secundo facto, & sub differentia potestatum
B A, A M, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub simili parte differentiae potestatum B A, A M,dqplici grada altiorum potestate spiralis, & sub differentia potestatum M A, AH, eiusdem gradus, cum spirali. Et sic in infinitum . v. g. in spirali lineari erit primum spatium ad secundum, ut factum
sub O qtadrati AH, in F M, ad ἰ differentiae
cuborum Liri, A M. Secundum vero spatium ad tertium erit, ut ia tum sub ζ differentiae cuborum
rentiae cuborum A M, A B, & sub H M . In labrali quadratica, erit primum spatium ad secundum, ut factum sub ' quadrati A H, in differentiam quadratorum AH, AM, ad i differentiae quadrato quadratorum AH, A M. Secundum spatium erit ad tertium,ut factum sub dicta parte differentiae, &sub differentia quadratotum AB, AM, ad factum sub ἰ differentiae quadrato' quadratorum A M, A B; & stib differentia quadratorum M Α, A H; &sic in alijs. Primum 'enim spatium AGH, adse- eundum spatium H RPMH, habet rationem compositam ex ratione ipsius ad primum circulum radii Alri; huius, ad secunda nc culum radii A M; Mhuius, ad sesundum spatiunt primam spatium ad Primum circulum est, vanumerus gradus spiralis ad
117쪽
numerum binario auctum ex coroll.proposit.ς. ne pe ut talis pars quadrati AH, quae sς habeat ad ipsum , ut numerus spiralis ad numerum binafio auctum , ad ipsum quadratum AH . Circulus radii AH, ad circulum radij A M, est ut quadratum ΑΗ, ad quadratum radij A M. Circulus radij AM, est ad spatium feeundam helicum, quod comprehendit, ex schol. a. Foposit. II. ut fastum sub quadrato. Δ M, indifferentiam potestatum , AH, elusedem
118쪽
8s De I latorum I ea umdem gradus cum spirali, ad talem partem disserentiae potestatum M A, AH, duplici gradu a litorum potestate spiralis, quae se habeat ad ipsain differentia iii,
ut numerus spiratis,ad numerum binario auctum. Ergo primum spatium helicum ad secundum habet rationem compositam ex omnibus his rationibus. Sed ex rationibus partis quadrati A H, quae se habeat ad ipsum, ut numerus spiralis ad numerum binario a
ctum, ad quadratum AH, & huius ad quadratum Λ M, eomponitur ratio praedictae partis quadrati AH, ad quadratum A M. Ergo ratio primi spatij
ad secundum, erit tantum composita ex ratione dictae partis quadrati A H, ad quadratum A M, & facti sub quadrato AM, in differentiam potestatum A M. AH, eiusdem gradus cum spirali, ad partem differentiae potestatum AM, AH, duplici gradu altiorum potestate spiralis, se habentem ad dictam
differentiam, ut numerus spiralis ad numerum binario auctum. Sed ex dictis rationibus componitur ratio facti sub dicta parte quadrati AH, in fact- , sub quadrato AM, in disserentiam potestatum
AM, AH ,eliisdem gradus cum spirali, a d factino sub quadrato AM, in dictam partem differentiae potestatam AM, A H, duplici gradu superiorum potestate spiralis. Ergo primum spatium erit ad is.
cundum in prafata ratione. Sed cum in ambobus terminis proportioniS reperiatur quadratum A M, si potestates terminoram deprimantur , erit primum
119쪽
Spatiorum Mensura. 87 : irati AH, in differentiam potestatum M A, AH, eiusdem gi adus cum spirali, ad' siniIem partem dic , ferentiae potestatum A Η, A M, duplici gradu supNriorum potestate spiralis. Quod primo erat osten
Quod vero ratio secundi spatij ad tertium sit ea, quae supra dicta fuit, probabitur fere eodem modo. Nam ratio secundi spatij ad tertium componitur eπratione ipsius ad secundum circulum ; huius ad te tium 3 & tertii circuli ad tertium spatium . Ratio secundi spatij ad secundum circulum est, ut pars differentiae potestatum AH, A M, duplici gradu superiorum potestate spiralis, se habens ad ipsam disterentiam,vi numerus gradus spiralis ad numerum binario auctum, ad factum sub quadrato A M, indifferentiam potestatum AM, AH, eiusdem gradus cum spirali, ex schol. a. propost. I . Ratio circuli r/dij AM, ad circulum radi j A B , cst ut quadratum A M, ad quadratum AB. Ratio circuli radis AB, ad tertium spatium est, ut factum sub quadrato A B, in differentiam potestatum A B, AM, eiusdem gradus cum spirali, ad partem differentiae potestatum A B, A M, duplici gradu superiorum potestate spiralis, se habentem ad dictam disserentiam, ut numerus ad numerum lanario auctum ex schol. citat. Ergo ratio secundi spatij ad tertium componetur ex omnibus iatecedentibus ad omnia consequentia: nempe erit, ut factum sub omnibus antecedentibus ad factum sub o nibus consequentibus. Sed tam in facto ex
120쪽
ss De Infinito um Spiratum omnibus antecedentibus, quam in facto ex omnibus consequentibus reperitur factum sub quadratis Am AB. Si ergo tam factum sub omnibus antecedentihus, quam factum sub omnibus consequentibus deprimatur , nerrpe auseratur ab ipsis sacta sub qua-dtatis A M, AB, nihilominus seruabitur eadem. proportio. Erit ergo a primo ad ultimum, secundumi patium ad tertium t patium, ut factum sub parte differientiae potestatum ob , δε M, duplici gradu superiolum potestate spiralis, se habente ad ipsam disserentiam, ut numerus spiralis, ad numerum binario auctum, & sub differentia potestatum ΒΔ, Λ M, eiusdem gradus cum spirali, ad factum sub parte sin ili priori differentiae potestatum duplici gradu altiorum spirati,ipsarum B A, A M, & sub disserentiaotestatum M A, AH, eiusdem gradus cum spirali. uod secundo erat ostendendum.
Etiam in praesenti harum proportionum sunt reperibilia compendia. sed quia p: oportio spatiorum spiralium inter se potest expiscari iucundiuS ex ana-lcgia reperta inter dicta spatia, & trilinea paraboliaca, ideo haec explicanda prius sunt , pus ea ipsa compendia assgnabilTus.