장음표시 사용
131쪽
Spatiorum Mensura .ssdictum consequens, a rectangulum sub radiis securadi, εν tertis, ina cum ' quadrati disserentia borum , t fμ deinceps in rebruis.
Κpponamus omnia, quae in schemate superi ri , sed spatia esse spiralis quadraticae. Dicoptimum spatium ad secundum esse, ut ς quadrati AH, ad rectangulum MAH, cum ς quadrati H M. Secundum ad tertium , Ut rectangulum, ' N α -
132쪽
r oo De D imrum Spiratam M AH, cum I quadrati H M, ad rectangulum BAM, cum I quadrati MB. Et sic in reliquis. Haec propositio probabitur eodem modo, quo pro. hara fuit superior, & ex iisdem locis . Spatium enim AGH, circuli radii. AH, est, ex coroll. proposit. s. nempe est ad ipsum, ut ζ quadrati AH, ad quadratum AH. Circulus radij AH, est ad cireulum radj AM, ut quadratum AH, ad quadratum A M. Hic est ad secundum spatium , ex schol. s. proposit. 17. Vt quadratum AM, ad rectangulum M A H. cum I quadrati H M. Ergd ex aequali, erit primum spatium ad secundum,ut I quadrati A H, ad rcctangsam M A H, cum ἰ quadrati Hi M. Eodem modo demonstrabitur esse secundum spatium ad tertium , ut rectangulum MAH, cum ἰ quadrati H M, ad rectangulum BAM, cum dimidio quadrati M B. Et sic in alijs.
Sed ad assignandas in numeris horum spatiorum rationes, magi. inseruiet sequens regula. Nempe primum spatium, esse ad secundum, ut quadratum
radii primi circuli, ad quadrata ipsius , & radij s
cundi. Secundum ad tertium, ut haec quadrata, ad
133쪽
Spatiorum Memsura. I o r. M H, erunt quadrata M A, AN Quia duo recta gula M AH, faciunt duo rectangula MHA, &dsoruadrata AH; & duo rectangula MHA, cum qu ratis AH, H M, faciunt quadratum M Ar &duplum rectangi li B A M, & quadrati MB, faciunt
In numeris ergo adinveniemus, esse primum spatium ad secundura, ut I. ad 3. Secundum ad temtium , ut 3. ad s. & sic in infinitum secundum proingressionem numerorum impalium ab unitate insuruE procedentium squadrata enim AH, A M, AB, sunt ex genesi spiralium initio explicata r. x t&c in Diuidendo ergo erit primum spatium, ad dissere tiam inter ipsum, & secundum , ut a. ad L. Secundum ad disserentiam inter ipsum,& tertium,ut 3. ad a. & sic infinitum.
Iis expletis,quae ad spatiorum heIicum mensuram pertinent, in proposit. 2 r. lib. 6. Citat. Geom. Indi. pergit Caualerius considerare proportiones repertas inter cylindros, cylindricos, & conicos super circulis, & spatijs spi ratibus existentes. Non ergo rem
ingratam lectori fore arbitramur, si & nos in spatiis infinitarum spiralium exequemur illud idem, quod Caualerius in spatijs unius dumtaxat linearis spiralis adimpleuit. Sed antequam hoc aggrediamur debemus supponere illad idem, qaod ipsemet in dicta
134쪽
Ioa Infinitorum Spiralium proposita a I. ex sparsim probatis in sua geometria ἰdeducit. Nimirum . duod si exponatur es p.ralium, e r circulsrum deinceps a primis, in Datili mero subs
ratibus, sν molutis, Ilindricι, ην conici in eadem altit aene santes inteligantur constituti tamquam in basibus ,- militer ω in circulis constituti esse uelindrici, δ' cani intelligantur: obndri interse-ylindrici pariter inter se ,μώe ad curndros comparati, siue eoni intre se, stes conici inter se, siue ad conos comparati eandem rationem, quam basesba. bebunt. Huiusce asserti subiungit Caualerius probationem in quiens. Patet baee propositio, nam cylindrisi, ω conici in eadem altitudine constituti sunt interse, it bases: sunt autempradicta selidaper construmonem In eadem altitudine posita,.ergo erunt interse, it ipse bases s Vocentur autem c lindri, stre Ibndrici, nec non conici eiusdem numeri cum statiis,quibus insistunt, iden primus cylindrus, mel conus, qui est in primo circulo, secundus cylindrus, mel conus, quι infecundo circulo tamquam m basis primus ysindricos, mel conicus, qui est in spatio bebco primi circusitamquam in basi, fecundus cylindrisus, mel conicus, qui ea in spatios cuηdi circuli,stpe deinceps. Haec Cauale rius. Quibus consequenter ad nostram doctrinam adde dum videtur, non solum cylindros , conos, cylindruCOS, conicos, primos, secundos, tertios, &c. fore nuncupandos secundum numerum, a quo denominantur circuli, & spatia super quibus insistunt, sed etiam primi, secundi, tertii gradus, &c. secundum quod spatia ipsainet sunt vel lin earia, vel quadratica, vel cubica, &c. His explicatis sit.
135쪽
Primus cybndricus ad primum conicum cuiuscunque Padus es, mi triplus numerus spiralis senario auctui, aaenum rum spiralis . .
Ι Sto in schem. spiralium, spatium primum hel,
cum AGH, cum sibi circumscripto primo circulo radis AH, &super circulo intelligamus cylindrum, super vero spatio spirali conicum eiusdem altitc dinis cum cylindro . Dico cylindrum esse ad
conicum, ut triplus numerus gradus spiralis senario , auctus, ad numerum spiralis. V. g. in lineari, ut s. ad i. In quadratica, ut Ia. ad a. In cubica,ut 11. ad 3. & sic in infinitum, augendo semper antecedens
ternario,consequens vero unitate. Nam,ex coroll. Proposit, s. cylindrus super circu-
lo , ad cylindricum super spatio eiusdem altitudinis quia sunt ut bases est, Vt numerus gradus spiralis
binario auctus, ad numerum; nempe ut triplus ad triplum; scilicet ut triplus numerus senario auctus adi riplum numerum. Ergo erit ad conteum ἰ cylinci rici,ut triplus numerus senario auctus,ad numerum. Quod erat ostendendum, , PR,
136쪽
cylindrus super circulo, adeonteum elusiam altitudinis cum ipse existentem supre quolibet aliorum spatiorum a prino cuiuscunque gradus,quod comprehendit. Erit velit δε- ub triplo quadrato radi, ipsiusm disserentiam pol
natum ipsius, in radii circuli initate minoris: mel vefactum sub quadrato ipsius, o sub tripla disterentia Hucta , ad partem disserentiae potestatum radii ipsius , οἶν, circuli initate minoris duplici gradu altiorum potestate: spirabs , se habentem adgfam , mrat numerus gradus ομ, rabs, adnumerum binario auctum .
E to in schemat. . eodem quilibet circulus radii
AB, circet nascriptus cuilibet spatio MZ4BM, cuiuscunque numeri a primo , & cuiuscunque gradus, deesto AM, raditis circuli unius numeri inserioris. Dico cy indrum super circulo radij AB, est e ad conicum eiusdem altitudinis exist nicm super spatio MN ZSBM, via ut factum sub triplo qVadrato AB, & sub disserentia potestatum BA, AM, eiusdem gradus cum spirali e vel ut factum subquadrato A B, & sub tripla dicta differentia, ad partem differentiae potestatum B A, A M, duplici gradu altiorum potestare gradus spiralis se habentem ad differentiam, ut numerus spiralis, ad numerumhinario auctum. V. g. in spirali lineari, erit cyIi drus ad conicum, vel ut factum sub quadrato triplo
137쪽
hatimm . in In quadratica vero erit, vel ut factum Lb quadrato triplo A B, in differentiam quadratorum AB AMe vel ut factum sub quadrato A B, in triplam differentiam quadratorum AB, AM, ad differentiaeq 1adfatoquadratorum AB, AM. Et sic in .
138쪽
Verum, quoniam inspiralibus lineari, de quadratica assignatae suerunt peculiares rationes ad spatia; hinc est quod pro ipsis deadae sunt duae particulares propositionea.
139쪽
In spirat lineari , erit cylindrus ad conicum mim antecedenti opositione, Ni triplum quadratum radii B A, ad rectangulum B A cum ς quadrati ae M. PRopositio haec patebit faciliter, quia cum ex schol. 3. citat. proposit. II. ut etiam circulus ad spatium, ut quadratum BA, ad rectangulum B A M , cum ζ quadrati B M ; vel ut triplum, adtii plum; nempe ut triplum quadratum BA, adtrii iam rectangulum B A M, cum quadrato BMrdisiurrendo ad modum proposit. anteced. concludetur propositum .
In spirali quadratica, erit cylindrus adeonicum, it triplum quadratum B A, ad rectangulum BAM, cum Iquadratι B M.
P Ropositio patebit ex eodem scholio cit. discumrendo supeιiorum ad instar.
Posset forsitan lector in operibus eximij Torricel- id ei satu cogitare, analogiam, quam ipsemet assi-
140쪽
gnauit in propositione i . de demen. parabolae, in. ter parabolam quadi alicam, & spiralem linearem, extendi, suo modo,ad infinitas parabolas, & ad imfinitas spirales. Quia vero etiam nos hanc rem albquando contemplati fuimus, & agnouimus huiusce asserti fallitem ; ideo determinavimus in hae materia quid nobis occurrerit, manifestare. 'Torricellius ergo in loco citato, i upponens A C, in diagram. sequent. e sse radium pruni circuli ci
eumscripti primo spatio spirali AGCA; ABC,
esse parabolam quadraticam cuius basis eadem A C, diameter OB; A E, esse ipsam paraboIam tangentem ; & CB, esse parallelam OBr probauit excessum trianguli, C, super parabola ABC, a qualem esse excessui circuli super spatio; & cons quenter parabolam ABC, aequalem sore spatio A G C A . Quod quomodocunque probe t Torrices-lius, ipsum sic ostendemus. OB, occurrat Α Ε, in M. Ergo ex proposit. I 3. prim. conte. M o, erit dupla BO: α consequenter EC, dupla M o, erit quadrupla Bo. Cum ergo parallelogrammum duplum trianguli A E C, esset quadruplum parallelo. gramini circumscripti parabolae ; erit triangulam AE C. parallelogramav eircumscripti parabolae duplum; nempe erit ad ipsum , ut 6. ad sed cum ex quadratura parabolae quadraticae ab innumeris propemodum assignata, & etiam a nob s nouiter duobus modis in miscellaneo nostro hyperbolico, di parabolico, in scbol. a. proposit. 16. & in Rhot.'.