장음표시 사용
21쪽
sumitur vis gravitatis , & per punctum V , in eurva V ΡΖ datum , duratur recta V C directioni gravitatis P C perpendicularis , dicanturque ut iis praV Pαι, Pp dν , C P F, p r d F, vis tota gravitatis in Ρ g, resistentia ν, velocitas corporis ibidem α υ , dc erit ut in corollario g dy- νdια-υdv. 29. Cc, II. s. Si in Hypothesi corollarii 1 . dicantur radius osculi in P α R, vis normalis α Mabscissa VC x, & Ceseu P r m d x, erit ob triangulorum P p r ,
v d v, hoc est, ob daddγ- did di iv d. sv d mm ----- ν d σ.d 33r. Sehesion. In superioribus quinque Iemmatis ipfbrumque corollariis, sere complexi sumus principia omnia, quibus & adinventionem & ad demonstrationem motuum in mediis resistentibus usi sunt Clarissiviri NEWT. in hoc Libro ; Vari Montiu in Monumentis Academiae Regiae an. 17 7. ITO8.17 9. ITIO. III r. Ioannes BernotιμIi ibid. an. irii. & in Achis Eruditorum Lips an. 17 II.& I9. Hemanni Lib. 1. Phoronomia 3c in Commentariis Academiae Petropolitanae, ae Euterus in micae proprietatibus, & de methodo maximorum & minimorum quae ad doctrinam motuum in mediis resisteruibus exriplicandam spectant, subjuirgenda sunt,
LEMMA praecipuas Logarithmiece proPrieta
res exponerv. III. Hugenius de hae ipsa Newtoni mi operis parte loquens , in qui agitur de corporibus in mediis resistentibus motis, quam summa cum voluptate se vidisse testatur ait se notasse lineam curvam quam Logarithmicam aut Ingisticam nuncupat, flammae utilitatis esse in hoc negotio, & quaedam de ea Theoremata indicat quorum demonstrationem Guido Grandus postea evulgavit; Hujus ergo curvae proprietates ab initio explicare , scopo austro alienum non duximus. 3α De
22쪽
3et. De . Sit linea recta N A O s
eundum quam seratur perpendicularis M P motu uniformi Sc sibi parallelo, dum in ea perpendiculari Μ P mobile P velocitate variabili movetur secundum hanc Lesem, ut eius velocitas sit temper proporia alit distantiae ejus 1 recta N Α Ο , curva ab illo pulicto P descrii ita dicetur Lo rutinisa veI Logisti . Linea N A O secundum quam per pendicularis P Μ motu uniformi & sibi parallelo sertur , dicitur Axis Logariιhmirae,& lineae Ρ M , Q N perpendiculares in Axem sunt ejus ordinatae. Si quaedam ex ordinatis Iaegarithmicae, ut A B , sit aequalis unitati , punctum axeos A eui insistit celisetur abscissarum origo, dc abieissae a parte Α Μ sumptae , sunt positivae, a parte A O negativae Nabs ista pertinens ad ordinatam Α Β sive
ad unitatem est ipsum O. Coroll. l. Differentia quamminima o dinatarimi Logarithmica agitaIibur remptificultu genitae, Ium in illa redinata. In quovis enim puncto Logarii fimicae v Iocitas axi perpendicularis qua ordinatae crescunt vel decrescunt , eli ordinatae proportionalis ex Def. , sed durante tempulculo infinit E parvo illa velocitas uniformis est centenda , dc inaualibus tempulcul Is in rementa vel decrementa linearum liant ut velocitates uniformes quibus gener ur , ergo inerementa ves decrementa ordin tarum h. e. earum differentiae aequalibus tempusculis genitae Iulit ut illae ordinatae. Coroll. 2. Sim ordinata quaevis PM,2 N , ducantur dua alia orrinata p m , q niplis quamproxina ct at iis aequaliser di Hημι , p m O qn erum prioribus ordiri tis proportionates: Velocitas enim qua ordinata' motu sibi parallelo fertur , est uniformis , idemque eodem tempore ordina
ob aeaa.iles distantias, ergo , per Cor. I. disserentiae ordinatarum P Μ & Q N dum perveniunt ad p in & q n erunt iis ipsis ordia natis proportionales , sed adjictis vel detractis iis di fiet eniti, a lineis Ρ Μ & QN fiunt ordina ae p m , q n, dc adjectis vel detract s ex terminis rationis cuiusvis, corres pondentibus terminis rationis ipsi aequalis non mutatur prior ratio, ergo ordinarae p m& q n erunt inier se ut P M ad Q N , Ecetiam alternando PM: pm m QN: qn. Coroll. 3. Si sumamur in axe pt-cta C, D , E, F ad distantiar aqua .r
quantinoximae & axiualiter distanteη , est per Corollarῖum prae edens GC: H D αΗ D : Κ E, eadem r itione i ii H D: Κ Εα ΚE: LF, sicque deinceps , utide liquet ordia
23쪽
progressione Geometrica. Theor. I. Sumamur in axe Iogaritimi a quatuor pundia , ita us dim priora aeque a Ie mutuo dissem ac duo pseriora , amara in tu princtu erecta erum in pro
Eis sumamur in axe quωibet puncta inque autumia ordine comi mio , ordinatae iis inuis es erum in progressime Geometrica. Sumamur in axe duo uuncha quaevis A ME, N alia duo hi x K talia ut sit Κ Ε α Η K, erigariturque ait illa puncta ordinatae A I., L Ρ, Η Κ Γ, dato illas ordinatas iore in
Dividatur tam A E quam Η Κ , in partes finite parvas aequales inter se, totidemerum divitiones in uir que intervas Io, crigantur in illa puncta ordinatae, fient duae pro gruisiones Geometricae, in quibus totidemerum termini, α rata. nes terminorum successivoruni ae'uales erunt , quia ordinatae in
utraque progrelfione aequaliter distant ; Ergo e X aequo, primus terminas A L prioris prcgressionis erit ad Ε Ρ ultimum terminum ejus progressionis, ut H 8 primus terminus alterius progressonis ad ejus altimum terminum K I . Q. E. D. Et si lumantur in axe plura puniata aequὰ distantia ordine continuo sibi iuccedentia, ordi ratae in iis punctis erectae erunt in progressione geometrica et Probatur ut in Cor. 3. di fin. Coroll. E converse , s in linea qussissumantur plura puncta , inque distantia ordine continuo , ct in lis erigamur perpendiculari 1 qπα sm in prograsione Geometri es, giaris,mica aliquis Fer earum perpendicu
Sint enim R, D, G dcc. ea puncta aeque distantia dividamurque eorum intervalla in partes aequales quamminimas, totidemerunt in quovis intervallo, assumantur mediae proportion tes inter perpendiculares
etis erisamur perplndiculi res iis mediispmportionali 3 ordine s umptis aequales ;Denique curva tangat tam surpetidi mi a- res datas ΑL, DO, GR quam hasce medias, dico eam curvam e Gu Logariti,
5ce. ει totidem mediae proportionales asa -Coa mantur inter A L & Ι Ο, quot assumantur inter D Ο & G R , sicque deinceps, sor- mari progressonem continuam constant m l IBERex omnibus illis perpendicularibus tam datis S CUND. qu m inventis , ideo quamlibet ex illis , ut SΕcTIO I.
A L , esse ad sibi proximam B M , ut alia quantis Do, est ad proximam P Ea uadς 3 3. dividendo, est A L ad suam disserentiam
a proxima, ut est etiam D O ad Idam eis. serentiam 1 proxima , ideo iue perpendicularium proximarum dii serentiae erant ubiisque eis perpendicularibus proi ortionales ἡEvanescentibus ergo punctorum in axe sumptorum intervallis , re Iaerpendi calaribus ad vicinas aequali ubique celeritate latis N aequali tempulcaeo ob aequalitatem intervallorum , velocitates quibus eres cunt vel decrescunt perpendiculares eruntiis ipsis perpendicularibus proportionales , Ergo ex definitione Logarithmicae ) ea curva quae tanget eas perpendiculares crit Logari: limica. 4. Theor. II. Abscisa axis Logarithmicae , sιnι Logari: imi ordinatarum in
earum extremo iiiij cmium. Fenantur hinc inde ab origine axis partis aequites quJmniininiae, iti cxtremo singularum er gantur ordinatae, illae oriurus ordinatae constituent propracssionem Gec metricam inter cujus terminos occurrit unitas i earum vero ab cissae erunt in progrestiolae Arit timeti. a propter paritum in axe sumpta- ruat aequalitatem, dc abstitia quae unitata respcui det est O ; Iam autem cum terminini progressionis Arithmeticae inter qucs , est o ita apt ntur terminis I rogressiotria GυOinetricae ut O reIpondeat unitati, & re-
24쪽
De termini sibi respondeant , eum te - mini progressionis Arithmeticae sunt Logarithmi terminorum correspondentium PDRUM progressionis Geometricae ; Ergo abscissae L BER Logarithmicae, sunt Logarissimi ordimi SECUN D rum eorrespondentium. SecTio I. Corol. 3. Pmio axis qua mere; pinor
inter duas ordinaras es Logarithmus ratio. uir qua inter dit inur ilias O dinatas. Quo tiens enim duarum quantitatum exprimit ratione .n quae inter illas intereedit , dc differentia Logarithmorum earum quantitatum , est logarithmus quotientis earum ,
sed abicissae Ilitu Logarissimi ordinatarum.& ponio axis quae intereipitur inter duas
ordinatas est disseremia abscissarum sive lingarithmorum ad eas ordinatas pertine eium , ergo illa portio est Logarithmus quantitatis quae exprimit rationem quae in ter ordinatas inter edit. Coroll. 1. Si dentur duarum aut Furium quamitatum DraFithmi, O a puncto dato recta alieujus sumantur longitudines eis Logarithmis aquales , ct in earum exire mo erigantur perpendicularer quantitardua quarum sumunt:ιν Logarithmi aequales, Lo. garithmica aliqua per earum perpendi uinritim extremitates transibis.
In rem O A N sumatur punc tam Α In quod erigatur perpendicularis Α Β unitati aequalis , sitque ΑΜ logarithmus quantit iis cui aequalis est perpendicularis Μ Ρ ,st A a disserentia progressionis Arit,
meticae ex qua desumuntur togarithmi , quae ideb accuratE continebitur in intervallo A Μ toties quot sunt termini in prointressione Geometrio ex qua dellimum Lur quantitates quarum habentur Logarithmi, quaerantur tot mediae proponi ,-Ies inter A B S M Ρ quot sium divisi Iurari puncta inter Adc M , & in illa puta haerigantur perpendiculares illis mediis proportionalibus ordine aequales; fiet progresso Geometrica , quae est ipsa progrei quasvitatum quarum abici me paeae O A Nquantitate Α a sileresve auctis sum Lot rithmi , siquidem in utraque progressio occurrum termini Α Β & Μ Ρ eodem imtervallo in uitaque dissili r sed ii in pu ctis aequidistantibus lineae cujusvis eriga
tur perpendiculares in progressione Geometrica, Logarithmica aliqua earum verti ces tanget Cor. Theor. I. ὶ Ergo si de tur numeri cum luis Logarithmis , concipitem; er poterit Lorarithmica cujus abicis iae sint illi Logarithmi & cujus ordinatae
sint quantitates quibus rei trandent. 3,. Theor. III. Axis Iogartihmica es ejus ADNroitu ad quam ab stirά pane asecedis Πτι tu data quavis piantuate, num quam tamen eam utringis, CV a qua ab alterd
25쪽
Sῖα dirae ordinatae Α Β , Μ Ρ quarum una sit alterius dupla vel plusquam dupla, seratur portio axis Α Μ hine inde secundum axem sine fine, ordinatae in ea puncta erecta creticent ab una parte, & ab altera decrescent in ratione dupla vel plusi quam dupl1 per Cor. Theor. I. sed ex Principiis AEnchimedela quantitas crescens in progressone dupla vel plusquam dupla
omnem quantitatem datam tandem excedet , & ex Principiis Mellaeis quantitas quaevis decrescens in ratione dupla vel plusquam dupla minor fit quavis quantitate data 1, Ergo Logarithmica longius ab axe recedit, aut propius ad eum Meedit quavis quantitate data , numquam tamen eum attinget , attingat enim eum si fieri potest in quodam puncto X, serendo distantiam Α Μ lecundum axem, fiet tandem ut eadat proximὰ citra X, put, in Y, tum proximὰ ultra , ut in Z ; in puncto Y nondum attinget axem ex Hypothesi ,
dc aliquo iniervallo Y V ab eo distabit , sed quia Y Zα Α Μ debebit esse A B : MΡα Y V ad ordinatam in T, qua ideb dabitur , ac per consequens Logarithmica nomeum attinget axem in T, nedum eum attigerit in X. Q. E. D. 36. Theor. IV. Subiant m Logaris. mua es eoUa M. Capiamur enim ubivis in axe paniculae aequales quamminimae Μ m, N n, erectisque ordinatis M P, m p, & NQ, n q, per puncta P & Q concipiantur tangentes P T, Q t axi occurrentes in T, t ; da- cantur etiam rectae P r, Q s, ordinatis m m. q perpendiculares. Evanescentibus ordinatarum distantiis M m , N n, triangulum
Q. E. D. . r. mne eum ordinara D at futiam Centem consa=-m ut surio ordinatae ad su-xi tm abhidia, obtinetur Logarismica -
Iiis Casuti Minor E duabus ordinatis SECUND. sit ipsa unitas G R, altera verb ordinata SEcTIO I, L A dicatur ν, &, ad vitandum series minin commodas, fingatur quantitas
reductisque s actioni----- d am
d 3. Clim ergo aequatio ad Logarithmi- eam sit re Nisor. IH γ ν d x α 3 d F. insertis in hac aequatione valori bra ν αήν, illa evadit
-- d a 3 redueatur in seriem iste
26쪽
, quaeratur per hujus Problematis casum primum portio axeos intercepta inter ordinatam G R unitati aequalem Sc cr-clinatam 3 sive - , & erit ea portio a ualis B D sive portioni axeos interceptae inter ordinatas O D & M B , smopter pre--rtioni m Geometricam quae est inter o D, B , unitatem dc ordi iratam y , ut patet ax Thecr. I. n . φῖ. aut Casus. Si ordinata S H sit unitate minor & quaeratur portio axeos intercepta inter illam dc uilitatem G R , dicatur eae id nata S H p , fiatque ut p: I :
I, erit y - - quantitas unrtate major ι quaeratur per I rimum cassim hujusce Problematis valor pertionis axem interceptae inter G R & ordinatam y, & ex pracedent: s casas demot stratione , liquet eum ipsum fore valorein ablelisae G H , ted quoniam punctum G unitati restisndcns , een: etur axeos cri ro , portio axis inier G& ordinatam y intercepta positiva est , dum portio axis a puncto G ad ordinatam S Η, negativa censuri, dc negari vo ligno 'asiel de et .gur Casiis. Si denique duae ordinatae S Η , T K sint singulae unitate minores , quaeraturque portio axeos inter ambas intercepta, fiat ut prius S H: T Κ zz i: y , &Fortio a ceυ3 intercepta inter G R A cladi natam y erit aequalis illi quae intercipitur ii iter S Η & T K.
Cor. I. Si tina ex ordinatu sa unito portio axu qt asita X erit alii rius ordinaraia'scisa, i ritie egus erat Logartihmio, P sitivus quidem si ea ordinata sit untiat major , negativus vero si unitate sit minor. Si vero dua ordinara ab imitare diss r. nt, yrtio axu intercepta x, era ratisnis im-ter eas ordinatiu exi . Mis LVarithnatu: Iro sitivus quidem , si majr ordinata num ratorem , fractionis rationem exl rimentis, constituat; negativus vero si minor ordi nata numeratoris sedem occupare censitatur. Cor. I. Sit ιιι in primo east ordinata G R-x, O dinata L A m y si a Iubiavera Logarulimica L RT si eιiam unitas , in et nitur G A , sue x , Logaruhmux nempe πω meri binarii az . 693 - 1 dcc. Nam in v
27쪽
dito iterum Logarithmo binarii , habetur DE M
Logarithmus denarii , 2. Couinis. Theor. V. Sint Δμ D LVari o di thmica, in utraque sumantur ordinata ier a alc Oe illis ordinaris correspondim i in L B E Rmiac ue Logaris antea ertim ut earum M- SECUND. garιι micarum stillangentis, adeoque in com SECTIO Lsumi ratione.
in utraque lum etae sint aequalis dicanturque a , sint ordinatae B Α & D C aequales unitati ; abiaissa Α M dicatur x , αC Q , E i dico sore 3 : ae: E. Id enim patet ex forma seriei quae ex.hibet abicissae valorem ; Nam , si in L g rithmica P B quaeratur valor x pro ordin ira γ, ha bitur , per calum primum
--- , --, &e. Et si in Lo. garithmi a R D quaeratur valor abscissis a pro ordinata ν habebitur , per eundem
series quae exprimunt valorem abscissarum x S E iisdem terminis constent, ductis in priori serie per χ s , in altera terie per x t ; liquet esse ae ad x ut 2 S ad 2 t , sive se t m κ: E. Q. E. D. r. I. 1 ine liquet quod manente unitate logarithmicae quarum in em erunt bubiangentes , in omnibus erunt aequales , quip: e si lumantur in iis inluales ordina' lae , abieissae etiam aequales erunt. r. 2. I Ogarithmicae veris diversiae spe- ei et clitemur, quarum i tangenies erunt divertae; & Logarithmi diveriae iis ei dicemur , ubi eis lem quantitatibus Logarithmi diversi reii,clidebunt, unde etiam L .garithmi ae ad quas pertinent divellae illae Lez illimorum speciis , habebunt diverinsas lubia entes ' rhoe Theor. J ideoque erunt divertae si eteici. ι r. a. Daris Logarithmis mju is se
28쪽
. tangentes utriusqtia speciei , Hine si demur Logarithnii qucrunt subtangens est unitas
qui Hypetbolici dicinii ) , sitque data
subtai Rei s alius speciei 434r944 multipli-eentur IAEgati thmi dati per hunc numerum, habe hunturque eorumdem numerorum L .garithmi in hac altera specie, ut liquet ex hoe Theor. Id que in posterum per hanc expr gionem L. ar, intelligemus Logarithmum Hyperbolicum quantitatis x, qui si multiplicetur per quantitatem quamlibet uta, a Iia x exprimet Logartihmum x ex eal pecie depromptum quae habet a pro sub . tangente , eli enim I et a zz L. x ad eum Logarithmum qui ergo erit a L. x. 39. Probi. II. Data ordiruus Logarit,
C Q & ordinata QR , quaeritur hujus
garithmicae latangens et Quaeratur primum abscissa quae in Logartihmica Ρ Bret ponderet ordinatae aequali Q R , per Probi. I. sitque ea A Μ , fiatque ut A Mad C Q ita subtansens data ad quaesitam. Exempl. In tabulis Logarithmorum, L garii limus numeri 2. est . 3 io3 . si ergo concipiatur Lorarithmica cujus abscissae sint Logarithmis tabularum aequites , & cujus o ordinatae sint aequales numeris eis Logarithmis correspondentibus, quaeraturque ejus L artihmicae subtangens I invenitur in alte ora Logisthmica cuius subtangens est invias abscisi.i respondeira ordinatae quae sit unitatis dupla Cor. a. Preb. I. quae est
.fis 3 1471.fiatque ut. 69II 472. ad. 3O IOIω. Ita unitas ad tubtaneentem Legarithnu tabularum quae invenietur. εχ 4 2946. Coroll. Ilina dato Logarithmo altem ius numeri desumpto ex Logarithmica cu- iis stibi angens data est, habebitur ejus numeri Log. rithmus in tabulbs , direndo ut subtangens data ad . 434is 44. ita Logarithinus datus ad ejusdem numeri Logarichnuim in Tabulis. s. Probi. III. Sit quantisas votis Iis, cujus Logarithmvs etiam variabilis est, ex Dus quantitatis et arrabuiι stixione, μι-xwmm ejtu Lorarithmi determinare. Concipiatur Logiarithmica ad quam pertinet species Logarithmi quae assumitur , sit a ejus subta ngens, sitque ν variabilis proposita, quae consideretur ut eius Logarithmucae ordinata , sitque x ejusdem Logarith cae abscissa ei ordinatae 3 re hondens, erit per naturam Logarithmicae α 36 3 dx ad
& d x --, sed ae est Logarithmus o dinatae 3, ergo d x est ejus fluxio , ergo
d L. να -- hoe est, si io Logarithmi est aequalis fluxioni variabilis propositae divisae per ipsam variabilem, dc taliae in constantem quae sit subtangens Logarithmicae ad quam pertinet species Logarithmi assumpti. Et ἡ eo eris , si habeatur haee fluxio
-- , eius fluens in Logarathmus ipsim quantitatis ν ex ea Logarithmica desit tus, cujus ludiangens est a. in Mot. Theor. VI. Spatium Loga rhinrisum A BP Ad duabus ordinaias AB , P arcu
Dum enim per putastam P tangente P T , compleatur rectangulum T F Ρ M , agatur per B recta E Q, parallela T M , seram TF in E & MD in Q; per m ot-dinata m p alteri H Ρ infinite propinqua ;& per p recta f r parallela T Μ, occurrens
α P Μ: M T , seu P F , ideiriue rectangulum M m p r aequale erit rectangulo P F f r. Quare si area lcg rtihmica AB ΡΜ dimi-ia intelligatur tu rectangula inaumera ut
29쪽
,otidem rectangula in F r correi ponden- iliis horishmuum B P C eris in B I inieν-Co tibus Μ p , aequalia, & proinde area lo- logarishmieam ct tangentem inserereta. Nam sarithmira Α Β Ρ M aequalis est rectangu- ob iriangulorum T F Ρ, IC P, similitudi- - '
Cor . 2. Tangem P T producta si Agatur eni in altera g p ipsi Q P in iis propin M, ex punctis p, P demittamrad axem C T perpendiculum p m secansu P in ν & perpendiculum P Μ , P T
su recta N Ρ prodisio ordinata 2 N, inirealympiorum hyperbola C D Iogarissimicam
30쪽
Tu COR - .ae deleriptionem organicam, pro ingenii sui sagacitate invenerit, ut curva illa lec-PO V iionibuι conicis haud dissicilius construatur , LIBεR cumque logarithmica per lineas rectas id SEc D praestet quod hyperbola per lectores vel qua- SA caelo I. se; latera tua, in problematum conitructionibus quae per areas hyperbolicas absolvuntur, loco hyperbolae non malὸ us,rparet arlogarithmii a , qu inavis si letobL ma ad meis rum Calculum 1educatur , aequeb nὸ pol Eatutur ari spatia hyperbolica , quam abi istae log .irithmicae. Quoi nodo autem constructiones quae per spatia hyicrbolica fiunt , ad logarithmicam trans servitur, pluratare exemplis ostendemus deinceps.
finitd propinqua, S per punctum P recta P r G.cissae R P parallela Iecans p m in r,
ratio inerimensi etes decrementi manes intis pr Orsι nata P M , ad incrimentum eva
ordinata M P omnium maxima tia minima emadi ι, infinita es vel nulla. Per punctum l ducatur 1 T tangens turis
s. Cona I. Ut ex data aequatione inter ab .ciliam A M N ordinatam M P , inveniatur valor abscissae A E cui maxima vel minima applicata L I crdinatur, 14- menda est aequationis fluxit , 5e ratio fluxionis ordinatae ad fluxionem alit cisae, leuratio p r ad M m , eaque vel infinito vel nihilo aequanda uit , aut quod i 'em est, facta V m cc nitanie , fluxio rdinatae vel
infinito vel nihilo aequalis tu in .rienda. 49. Corol. 2. Fi qu mi uaa v.itiabilis euias maximum vel irranimum quaeritur non sit ordinata curvae , iotest illa myp ni aeques is ordinatae curvae alii ujus indarum Mamitatium ductae, uti s proposita