장음표시 사용
41쪽
Posito suod vir gramitatis in medio aliquo similari uniformis sit, ae PQR 'tendat pe pendiculariter ad planum horirantis; definire morum Iectilis in eodem, rementiam velocitatis proportionalem parientis, se . I. Ciatur projectile secundum lineam quamvis rectam DP, dc per longitudinem D P exponatur ejusdem velocitas sub initio motus. A puncto P ad lineam horizontalem D C demittatur perpendiculum P C, & secetur
DA ad AC ut resissentia medii , ex motu In altitudinem sub initio orta, ad vim gravitatis ;
ut resistentia tota sub inia Elio motus ad vim graVi
tatis. Asymptotis D C, o C P describatur hyperbo la quaevis GTBS secans
spatrum totum tempore A BlN descriptum,
dc quoniam D P exponit velocitatem proiecti dinis, CP exponet vel otitatem verticalem, dc D C velocitatem horizomalem, per Ieg.
cte. , aut , quod idem est per cor. r. Wop. LII. ut sit D A ad R C ut vel citas verticalis C P ad velocitatem maximam leu terminalem.
42쪽
per pendicula D G, A B in G dc B; dc compleatur para llelogrammum D GK ccuius latus G Κ secet A Bin Capiatur linea N
in ratione ad V B qu D C sit ad C P ; & ad
rectae D C punctum quodvis R erecto pcrpendiculo R T, quod hyperbolae in T, dc rectis Ε H, G Κ,
pervcniet ad punctum rν. describens curvam lineam G DraF, quam punctum r semper tangit, perveniens R A Fautem ad maximam altitudinem a in perpendiculo dc pomeλ semper appropinquans ad asymptoton P C. Estque velocitas vjua in puncto quovis r ut curvae tangens rL. O. E. L
ut velocitas tota projectionIs ad veloest lem verticalem , ac proinde ex lege resilietitiae ut resistetitia tota siub initio ad resilientiam ex motu in altitudinem, & cumiit D A ad A C ut resilentia medii ex m tu in viritudinem ad vim gravitatis perint,6 , erit per compositionem ra tionum & ex aequo D Ακ DP ad ACM C P ut resistentia tota ex motu prole et ionis ad vim gravitatis.
43쪽
ponatur jam tempus per aream RD GT, dc per legum c p .heu rol. 2. distinguatur motus Corporis in duos, unum ascensus, alterum ad latus. Et cum relistentia sit ut motus , ς distinguetur etiam haec in partes duas partibus motus proportionales di contrarias: ideoque longitudo , a motu ad latus descripta ,
DRκAB -DRκ AsN tunc est ad D R ut/B Astu si si ad N, id est, ut CP ad D C; atque ideo ut motus in altitudinem ad motum in longitudinem sub initio. Cum igitur R r semper sit ut altitudo, ac D R semper ut longitudo , atque R r ad D R sub initio ut altitudo ad longitudinem: necesse est ut R ν semper sit ad D R ut altitudo ad longitudinem, oc
In ea, quam tractamus , resis mitiae hypo thesi motus eom nere aa dividere licet eodem modo quo comi onuntur 6c dividuntur in vacuo ; quod in aliis resistet nae hypothesibus fieri non potest. Clamen in resistentia velocitati proporitonalis 'ν ii)dtia veloeitatibus separatis di comtunctis eodem temporis momento delat benda vi resistentia, minuuntur in eadem quam habetit inter te ratione. d Ui linea D R. Exponitur eismcorporis velocitas hori Eontalis sub moria initio per lineam D C. Unde temptri exponi poterit per aream hyperbolicam D R G T, dc spatium hoc tempore dein scriptum per lineam D R, per cor. prop. I I. hujus.
datum N , Rr ut DR κλB-RDGT, erit altitudo ut R r. AEqualis es re ungula die. Nam eoincidente puncto i cum G , evanescit T tres pectu R i seu R Q , fitque area evanesi
44쪽
DEVo propterea ut corpus moveatur in linea Dr a F, quam puninim Tu C M -r f g perpetuo tangit. O. E. D. Co-
D A B G per Prop. III. huius ) , quo
etiam tempore percurrit corpus longit dinem D Α, ct ideo ad maλimam tuam altitudinem a perveniet ubi erit in perpendiculo A B a, & postea temper appropinquat ad al)mptoton P C per Cor. Pr p. II . Per punctum quodvis trajectoriae r agatur e T hori Zontali D C p tallela & verticali C Ρ occurrens in T , veritealis Μ m ipsi R r infinite propinqua in secet rT in n & tangentem r L seu tu ce
vam in m e & quoniam motus corporis in loco r per arcum r m dividi potest in m tum horimntalem r n & verticalem n m , erit velocitas hor ontalis ad verticalem ut r n ad n m, & ad obliquam secundlimi sentem curvae uir n ad r m. Sed ob similitudinem triangulorum rnm, rTL,inrn: mn α r T vel RC: TL, &rnrr m α R C : r L. Quare cum R C sit ut velocitas horiEontalis eorpori in loco eresidua ex velocitate D C quam sub initio motus habebat in loco D per Cor. PriP. II. h erit T L ut velocitas verti- ealis corpori residua ex velocitate initiali C P, & r L ut velocitas obliqua in arcur m ex duabus rT, & T L composita. Est itaque velocitas 3c proinde resistentia eorporis in puncto quovis trajectoriae r ut curvae tangens r L. ss. Hinc per datum traiectoriae punctumr duci potest tangens r L. Nam velocitas verticalis L T in loco r est ad velocitatem verti talem C P in loco D , ut rectanguin
45쪽
c o . Quare erit -- a. L. e - π-- Z Et quia evanescente ν , evanescit quoque x , invenitur constans g
46쪽
propterea , ob datam', X r ut area R D G T , idecriue ut temp quo cor pus ex loco D pervenit in locum r. i In progressona artihmniea. Nam 38O. lib. t.) temporibus leuareis R DGTIn progressione arithmetica crescentibus , abscissae R C in progressione geometrica decrescunt , & vice versa. Quare vertiis talibus X r, quae sunt ut areae R D G T , in progressione arithmetica crescentibus , correspondentes abscisi e R D decretcent in progreisone geometrica, & coutra. sed ob triangaeorum DRX, DCZ simili in-dinem , est D C ad D Z ut D R ad D X,& divisim ut R C ad Z X et quare ob da tax D C & D Z, inst Z x ad R C in data ratione , & ideo Z X crescit vel decresicit in eadem ratione eum R C. λὶ 38. Per tabulam Logaris strum fa-elle delineatur. Dicantur enim, ut i Fr,n. s. DC DCP-I, AC - g, a
Verum cum P Z. L. st Iingam ius rationis D C ad R C in Logarithmica cujus sub tangens est a sive P Z , dicendo ut si
tangens tabularum ad P T. ita L. e t lis delii plus ad ejusdem quantitatis L garithmum in Logarithmica cujus subtangem in P Z. Invenietur itaque P Z X L. Ope
47쪽
PRINCIPIA MATHEMATICA. 33sistente describat parabolam. Nam h latus rectum parabolae Da bini huius, ru
PORUM. ope tabulae vulgaris LMarissimorum , scinde obtinebitur R r ordinata ad trajectoriam D t a F , & sic punctum quodlibet rin illa determinabitur.3 ρ. Ex his simplicissima deducime traiectoriae D r a F per Logarithmicam in structio. Iisdem enim positis quae in corollario l. hujiu praescripta sunt, asymytoto C Z & subtaligente P Z describatur per punctum D Logarithmica D Κ λ G s cans R X in K. Capiatur X r α R Κ , sea R r m X Κ, & punctum e erit in trajecto. ria quaesita D r a F. Nam si ex puncto Κducatur ad C E perpendiculum Κ E, erit
RX - Rr X r. Q. E. D. ε . Haec constructio hoc etiam commo.
di habet , quod statim inveuiantur altitudo maxima Α a & horizontalis amplit do D F. Est enim Aa Yh;&si expuncto G intersectionis Logarithmicae eum linea D Z demittatur ad D C perpendi culum G F , erit D F amplitudo Iactus rnam coincidente X eum G fit X Κ se. R r m o, & ideo eoincidit punctum r cum R in horia tali D C. Pariter punctum T , quo traiectoria D r a F rectam quamlibαμ e ex puncto D ad C Z din.im secat . venitur , si eapiatur C H aequalis e T , iungatur D Η Logarithmi eam lecatis in Κ, α ex puncto K demittatur ad D C pe pendiculum X R, quod lineam D c set bit in puncto quaelito r ; erit enim R Κ eCH seu Te m Dre De Xr: Zc, ide que Xr α RΚ.6I. Quoniam vel Itas proiectionis est ad velocitatem terminalem , quae data est , ut DP ad PE s8 ; si manet velocitas projectionis & linea D Ρ , mancbit quoque Logarithmicae subtangens P Z ; & ideo una eademque L arithmicae spe Aes d scribendae trajectoriae D r a F sinciet, utcumque mutetur projectionis angulus P DC. l σι. Lariu recitam raraisa hujus erc. Est enim V t spatium innnit ε parvum quode psis vi gravitatis descendendo describit in medio resistente , quodque eo πη te; r
pusculo dato des beret in medio non Pi. resistente ε . Sed corpus in medio non resstente proiectum vi gravitatis destri
beret arcum parabolae D r , cuius tangens
paralesa lib. I. rectangulum sub Iatere
48쪽
Tu C , - hujus, ipso motus initio, est
DPMDA ad CPκα; g hoc est, ut resistentia ad grauitatem .s.E.D. corol. 4. Unde si corpus de laco quovis D, data Cum velocitate , secundum rectam quamvis positione datam D P proiiciatur ; & resistentia medii ipso motus initio detur, inveniti potest curva D r a F, quam corpus idem describet. Nam ex data velocitate ' datur latus rectum parabolae, ut notum essi
CK AC p me es, ut molemiat M gr. tatem, per construa. Probi. II. q Datuν ianis rectum paealesae dic Data velocitate secundum directionem tangentis D P , datur ium spatium finitum in medio noli resiliente tempore dato mquabiliter descriptum, tum ex effem c suit p. gravitatis in tempore dato. ha lux
49쪽
Et sumendo a D P ad latus illud rectum, ut est vis gravitatis Da Μο- ad vim resistentiae, datur D P. Dein secando D C in A, si1t CP κ AC ad DPκDA in eadem illa ratione gravitatis ad resistentiam, dabitur punctum A. Et inde datur curva DraF. saeu,n.
Corol. s. Et contra , si datur curva DraF, dabitur 6c velocitas Cor
poris & resistentia medii in locis singulis r.
Nam cx data ratione CP, AC ad DPκD A, datur tum resistentia medii sub initio motus, tum latus rectum parabolae: dc inde datur etiam velocitas sub initio motus. Deinde ex longitudine tangentis r L, datur & huic proportionalis velocitas, & Uelocitati proportionalis resistentia in loco quovis r.
latus rectum parabolae ut stgravitas ad resistentiam in D ; & ex aucta Velo' GCitate augeatur resistentia 'RA. F 'micae si tangens P Z erit etiam ad D Put et I P ad latus rectum parabolae. Nam ex data ratisκe C PM AC ad D P κ D A , id est pet constr. rati
ne gravitatis ad resistetat iam totam submotus initio , dabitur resistentia, ob datam
gravitatem svr hyp. γι Sc quia C P κ A Cesi ad D P κ D R ut 2 D P ad latus rectum parabolae per cor. I. , dabitur illud latus
rectum. t st. Ei inde datur etiam velocitas sub initis maea. Nam dato latere recto E 2 - Par '
tur spatium verticale finitum V r eodem tempore vi gravitatis deicriptum, id est , dantur ordinata & abscissa parabolae, quihus datis datur illius latus rectum per theor. I. de parab. r D inde datur evrva D r a F , non solum e liructione per layperbolam , sed etiam constructione illa quae per LOga rithmicam absolvitur s. in Nam inventa D Ρ, sumenda est Logarithmicae subtangens P Z ad D P in ratione gravitatis ad rellen
50쪽
DAMQ- in eadem ratione, R at latus rectum parabolae augeatur in ra-TVCψR tione illa duplicata: patet longitudinem a D P augeri in ra- ita, hk simplici, ideoque velocitati semper proportionalem es-Sεcuso. neque CX angulo CDP mutato augeri vel minui, nisi mute-
PRO . IV. Grol. 7. Unde liquet methodus determinandi curvam DraFη φημ' ki 'phaenomenis quamproxime, & inde colligendi resistentiam re Velocitatem quacum Corpus projicitur. Projiciantur Corpora duo, similia oc aequalia eadem cum velocitate , de loco D, secundum angulos diversos CDP, CD dc Cognoscantur loca F
f, ubi incidunt in horizontale planum D C. Tum, assumpta quacunque longitudine pro D P vcl Dp, fingatur quod resistentia in D sit ad gravitatem in ratione qualibet , oc expona
parabolae D r T, quam grave in medio noni resistente describit, & data positione tangentis D Ρ cum diametro DE, parab la describi potest; datur autem in singulis locis velocitas corporis grav parabo lani datam deseri mist Sit enim abscissa D M verticali V r aequalis N parallela, di ordinata Μ r ei iam aequalis re parallela tangenti D V ; datur tum velocitas quam corpus grave 8 puncto V cadendo per altitudinem datam V r habet in r , Ium tempus quo altitudinem illam describit, & hine datur tempus idem quo mo tu matbrmi describit spatium datum D Vt Ao. lib. I. ) , ideoque datur velocitas uniformis per tangentem D Ρ , quae eit ipsa velocitas proiceiicias in D. v j si latus remim parabolae amgeasur. Nam clim veIocitas secundiam tangi mem D V uniformis supponatur go: 1. ; si, dato tempore quo dein scribitur D V , velocitas illa crescat, creiaeet D V in eadem ratione , manente spatio verticali V r hoe eodem tempore da to descripto led latus rectum parabolae
-- manente V r, erescit ut D VQuare lanas rectum parabolae D r Z auget ut tu ratione duplicata velocitaui.
Gravitas dicatur G, resistentia initio m tus R . latus rectum parabolae a ut supra,
esi ut velocitas, seu ut D V. , erit etiam 1 D P ut D U, sive ut velocitas portanis eriorem λ