장음표시 사용
31쪽
ωporis , eui res litur in ratione velocitaris , morus ex resistentis LIBERanvssus, est ut sparium movendo confeci-- fides ' ΝΑΜ cum motus singulis temporis particulis aequalibus
amissus sit ut velocitas, hoc est, ut itineris consecti particula , erit, componendo, motus toto tempore amissus, ut iter totum. E. D.
Corol. Quare si corpus gravitate omni destitutum, in in spatiis liberis sola vi insita moveatur; ac detur tum motus totus sub initio , tum etiam motus reliquus post spatium aliquod consectum : ς dabitur spatium totum quod corpus infinito tempore describere potest. Erit enim spatium illud ad spatium iam descriptum , ut motus totus sub initio ad motus illi
Euantitares disserentiis suis proportionales simi tantinia proportis
ea esset quantitas variabilis a x ae i in qua a data est, x indeterminata, poneretur a πη - x3'bbν, quae est aequatio ad curvam cujus abscissa est x, & ordin rar, EM hine , sumptis fluxionibus, soleta a x d x-3 x d xra b dr, & x a x-3 x
d aea ' γ a. Si itaque loco a substituatur , ain quantitate proposita , obtinebitur maximum ejus r a 3 --a a 3. Idem inventum fictet brevius , si nulla iacta suppositione , fiurio variabilis propositae videlicet 1 ax dx - 3ω dae, nihilo disset sequata. a me es , in ulneris co ecti pa iamia iE datum temporis momen
rim. II. quibus nullum aliud est obstaculum praeter medii resistentiam velocitati proportionalem. e Dabiων spatium a m quod eo pur infinito rempore describere potes , hoc
esto usque ad motus exstinmonem. osten detur autem infra, in nota f, infinitum tempus requiri ut motus omnis extinguatur aquando resistitur motui in ratione vel 'tatis , Clim ergo motus ad exstineti nem usque amissus, sit ipse motus totus& motus amissi sint ut spatia movendo consecta per Theor. erit motus totus ad motus partem amissam post datum sp rium deseriptum , ut spatium ad exstincti nem usque motus deseriptum ad illud d tum spatium. Unde liquet, spatium , quod corpus ad motus usque exstinctionem doseribit, finitum esse , eam datam habeat rationem ad spatium finitum. . .
32쪽
LIA E R Si corpori resistitur in ratione vehetraris , ct idem sola mi insitd
Sac UND. per medium similare mobeatur , simantur autem rempora aequa
CU. I. Dividatur tempus in particulas aequales; & si ipsis particularum initiis agat vis resistentiae impuliu unico , quae sit
ut velocitas : i crit decrementum velocitatis singulis temporis particulis ut eadem Velocitas. Sunt ergo Velocitates di ferentiis suis proportionales, & propterea sper lem. I. lib. II. continuἡ proportionales. Proinde si ex aequali particularum numero componantur tempora quaelibet aequalia, erunt Velocitates ipsis temporum initiis, ut termini in progressione con
tinua , qui per saltum capiuntur omita passim aequali termi-
d Tris decrementum velocis in ut resistemia ob datum temporismon .entum , ideoque per ' p.) ut ve-
nea rect i A Z in particulas aequales A B, B C. C D dcc. divita , exponat tempus, &perpendicula A L , Η Μ , C N &e. Expo. nam velocitates ipsis fingatorum temporum AB, B C, C D &α initiis , erum ex Dem. vel itales illae in continua proinpres .ine geometrica deTrescente. Proin-dὁ si ex aequali particularum numero componantur tempora quaelibet aequalia, ut A C, LIL II K &e. erunt velocitates AL , EP, HS dcc., ipsu temporum initiis ut termini qui ἡ progreIsione geometrica per saltum captu Murr , omisis passim aequaliterminorum intermediorum B Μ, CN dcc.&FQ, GR Sc. numero. Compotruiat autem horum terminorum A L, E P, Η S
εce. , rationcm ex aequalibus rationibus te ininorum intermediorum repe
litis , nimirum ratio A L ad C P, componitur ex rationibus A L ad B M , Η Μ ad CN dcc., quae tum magnitudineu iam numero aequales siuit rationi , E P ad F Q, F Q ad G R &α ex quibus componitur ratio E P ad S H , bc ital pore, uuar/ratio A L ad EP aequalis est rationi ΕΡad Η s, & haec aequaIis' ratiniiii H S ad K T. M aiiestum aurum est curvam L Μ N b T , ad quam terminantur popem dicula omnia A L , B Μ , C N dce. i. ess. Pristi canu.
33쪽
norum intermodiorum numero. Componuntur autem horum DB Μο- terminorum rationcs ex rationibus inter se iisdem terminorum C R intermediorum aequaliter repetitis, & propterea cae quoque rationes eompositae inter se eaedem sunt. Igitur Velocitates , t i. ter seeu,n. minis proportionales, sunt in progressione geometriCa. Minuan- SpeT. I. tur iam aequalos illae temporum particulae; re augeatur earum l'ROP. v numerus in infinitum, eo ut resistentiae impulsus reddatur con-ytinuus;& velocitates in principiis aequalium temporum, semper continud proportionales, erunt in hoc etiam casu continue proportionales. G. E. D. Cas. a. Et divisim velocitatum differentiae, hoc est, ea- tum partes singulis temporibus amissae, sunt ut totae r spatia autem singulis temporibus descripta sunt ut velocitatum partes amissae perprop. I. lib. it. dc propterea etiam ut totae. E. D. Corol.
st. Si asymptoto R T descripta sit --
garithmi ea quaevis L S T, ad asymptiviunversus E accedens , & ordinata A L exponat velocitatem corporis initio παει , abscisaeque ΑΗ, Α Κ , exponant tem p ra , erunt ordinatae S, K T , ut velocitates residuae elapsis temporibus ΑΗ ,Α Κ , di ideb eum per punctum L recta L Q , asymptoto A Z parallela, & --dinatas produe M H S , Κ T serante In
P, Q , erum P S , Q T ut velocitates amissis, atque etiam ut spatia descripta , rem oribus Λ Η, ΑΚ , vel LP, L Ducta orditiata, hs, alteri HS, infiiuidpropiriqua , spatium vel irate uniformi A L, tempus ulo h H descriptum in v cuo , erit ad spatium eodem tempore cum velocitate H S, confectum in medio resistente , ut rectangulum H P κ H h, ad re
particulas innumeras ui h H divisum sit, erit spatium cum velocitate A L , in vacuo descriptum uno tempore Α Η , ad spatium eiam tempore percursum in In dio resistente ut revingulum A P ad aream Logarithmi eam A L S H; sed αtea. A L S H , ae vialis est rectangulo subtan-
gemit ia artihmicae in PS, re i bsi assumpta st A L subtangenti aequalis , est area A L S Η , aequalis rectangulo A L κ PS , Qua τε in hae hypothesi , eruspatium Frius ad posterius ut L P . ad P S.
34쪽
DE MO- Corol. Hinc 'si asymptotis rectangulis Tu c0M AC CH describatur hyperbola B G, sint-ὴ κ κ β , D G ad asymptoton A C pcr-
SEc n. pendicularCS, & exponatur tum corporis SEcr. I Velocitas tum resistentia medii, ipso mo-PROP. II, tus initio , per lineam quamvis datam
X Q A c , elapso autem tempore aliquo per lineam indefinitam DC: exponi potest tempus per aream ABGD,& spatium eo tempore descriptum per lineam, D. Nam si area illa per motum puncti D augeatur uniformiter ad modum temporis, decrescct recta D C m ratione geometrica admodum velocitatis , & ε partes rectae/C aequalibus te Poribus descriptae decrescent m eadem ratione.
μάλ D sive ordinatae D G augeatur ami- formirer ad modum remporis , exhibeatque proinde teminu, durescis recta DC, ira να-- geometrica 3 3o. lib. I. ad modum υ Devaris, ct ideo velocitatem poterit e
ponere per Cas. 1. Dem. & quia re A C exponit velocitatem ipse nisitis initio , & D C , velocitatem residuam elapse tem ore A B G D erit A D ut velocitas anuisa, atque ideo in spatium deleriin im per Pop. I. Mitur P. Quia verb incidentibus punctis D & C, area ABGDinfinita evadit , manisestum est tempore infinito finitum spatium Α C describi. e Ei parier recta A C aequali a semporibus deseripta deo rem m eadem ratumne em. Nam si area A B G D ductis ordinatis F E , L Κ in partes aequales A B F E , EF LX, Κ LG Ddivisa sit, erunt lineae CA, C E , C Κ, C D in progressione geometrica decreicente 38o. lib. i. ) hoc est
Decrescunt ergo partes rectae A C in rati ne velocitatis. Exponent igitur te Α Ε , E Κ, Κ D dic. , spatia temporibus A B F E,EFLΚ, Κ LGD, deicripta, α Iola TeC-ta A D lpatium toto in ore AB GD dedii ipeum. a
35쪽
Corporis , evi, dum in medio Dilari recta ascendit vel descendit, LisgRresistitur in ratione υelocitatis , quodque ab uniformi graυitare SECUN D.
Nore ascendente, exponatur gravitas per datum quod.t, y rectangulum BACH, & resistentia medii initio ascensus per rectangulum B ADE sum' tum ad contrarias partes rectae AB. Asymptotis rectangulis AC, CH, per punctum B describatur hyperbola secans perpendicula DE, d e in G, g& corpus as- Cendendo tempore D Ggddescribet spatium EG se, tempore D G B A spatium ascensus totius Ε GB; tempore spatium descensus BFG atque tempore I xki spatium descensus 6c Velocitates corporis resistentiae medii proportionales in horum temporumperiodis erunt ABED, AB.d , nulla, AB FI, ABD respective ἱ atque maxima velocitas, quam corpus descendendo P test acquirere , erit B A CH h) Resolvatur enim rectan-Mlum B A C H in rectangula tinnumera A k, Κ ι Lm, tun,
dic. quae sint ut incrementa Velocitatum aequalibus totidem temporibus secta ; & erunt nihil , Ak , Al, Am, An, &C. ut
velocitates totae , atque ideos per hypothesin γ ut resistentiae medii principio singulorum temporum
36쪽
χχ PHILOSOPHIAE NATURALI smΜ0-porum aequalium. Fiat ad AK vel ABHC ad auCJ ABklic ut vis gravitatis ad resistentiam in principio temporis L , secundi, deque vi gravitatis subducantur resistentiae, & mane
Saer. I. absolutae quibus corpus in principio singulorum temporum ur-PROP. III. gctur, atque ideo per motus legem II. ut incrementa ve- η φη in locitatum , id est, ut rectangula Ak , Κι, Lm, M n, occ. & propterea per lem. r. lib. D. in progressione geometrica. Quare si rectae x k, Ll, At ni, Ν n, &c. productae Occurrant hyperbolae in r , s , r, dcc. erunt areae A B q V Kor LLrs M, M si Ν, dcc. I) aequales , ideoque tum temporibustum viribus graVitatis Pinper aequalibus analogae. Est autem area ABqκ per corol. 3. l . VII. & lem. vri l. lib.
hoc est , ut vis gravitatis ad resistentiam in medio temporis
ΑΒΗ C seu ΑΚ ad AC, ut resistentia illa ad gravitatem , rech ingulum A Η e ponet vim gravitatis datam , & simili m do , cum sit A l , ad Α h, ut reii sientia initio temporis tertii ad rosilientiam initio temporis se. undi , erit , ex V ao perturbare R I ad A H , seu A L ad A C, ut resistentia in principio temporis tertii ad gravitatem , & it, deiiκeps. Quoniam
ver5 gravitas motum eorporis cadentis accelerat quem resistentia retardat, de vi vitatis auferenda eli via resistoitiae ut abeatur vis absoluta qua corpus deorsum
Et &α is proportionalia, erunt in progres, ne geometries c per I em. I. Iib. 2.
.3. Lem. VII. O Iem. VIII. lib. i. ad aream B kq iii K q ad Γλ, qseu vi A C ad , A R. Etenim per ea Lemmia has areas PIO remeti linei, sumi posse e stat , efigatur In mellio partis A K perpendicularis a e ad Hyperbolam usque , fagile constabit ex Eleniemis trapeaium ABqΚ fore ad Triangulum B k q ut tota ea pernendicularia a c pro qua Κq sumi poterit ad pomtionem ejus b c intra Ttiangu iam comprehensam, quae erit ex eo L ct et . m. Elear. , k q , est verb ex natura Hyperboles ea perpondicularis a C pd
.& iiividendo , est ea perpendicularis a Gad ae - ab sive b c quae est , hq ut AC
go area ABqΚ est ad areani Bq h ut A Cad j A K, sive ut Rectangulum A B CH ad Rech. , A B k Κ , seu in vis gratararis quam exponit Rectang. A Η ad ν Memiam
in medio t. mis primi quam exponit --eta g. Α h. ciun enim sit A X ut velo. ἐ-- eas tego primo tempore acquisita, ὲ Κ ut velocitas in medio temporis primi aequisita ἱ resis lemue autem sunt τHocitati ias analta
37쪽
areae qxLr, rLMs, suΝt, Sc. sunt ad areas qklti rims, smnt, &C. ut Vires gravita- Utis ad resistentias in medio te poris secundi, tertii, quarti, &C. BProinde cum areae aequales
rim, smnt, &C. resistentus in mediis singulorum temporum,
hoc est per hypothesim velocitatibus, atque ' ireo de
scriptis spatus analogae. Sumantur analogarum summae, & erunt arcae Bk q, Bir, Bms, B nr, &c. spatiis totis descriptis analogae; necnon areae 'Bqic, AB rL, AB su, &C. temporibus Corpus Igitur inter descendendum, tempore quoViS
natura Hyperbolae ea ri--- . . φδ iems conflans ergo est eoriunt
.. . a dividendo. est ea perpem tempustulis quibus respondera deseripta. ucinaris x y ad ejus panem Z v se a B re. Ioa- r
38쪽
corol. I. Igitur velocitas maXima , quam Corpus cadendo potest acquirere , est ad Velocitatem dato quovis tempore acquisitam , ut vis data graVitatis, qua corpus illud perrimo urgetur , ad Vim resistentiae , qua in fine temporis illius impeditur.
citates totae amissiae in principio singulis, tum temporum aequalium. Quia igitur totum reringulum D B , eκponit γνωρ velocitatem corporis & resistentiani medii velocitati proportionalem initio asicentiis, rectangula RE, Ah, At, Am, Α n &c., exponent velocitates residuas , resistentiatque medii initio singulorum te porum aequalium. Fiat A C, ad Ah, sive Remng. Α Η ad Rectans. Α λ , ut vis gravitatis ad resistentiam principio temporis secundi, & vi gravitatis addatur resistentia quod gravitas & resistentia corporis alcendentis motum retardent dcerunt D ΕΗ C, ΚλΗC, L IH C, Μm H C &e. , ut vires absolutae quibus corpus in principio fingulorum temporum retardatur , atque ideδ per mM. Ieg. 2. vel per νε- rg. ut decrementa velitatarum , id est , ut rectangula D k , Κ l , Lm, Μ n&α, &proptere, ter Lem. I. Lib. 2. in progressione geometrica. Qua-εὸ si tectae Κ λ , L I, M M N n dcc. , o currant hyperbolae in q,r, sita &c. erunt areae DGqλ, hqr L, Lus Μ, Μ s t N &α aequales , ide6que tum tem poribus , tum viribus gravitatis semper aequalibus analogae. Digatur in medio partis D K perpendicularis usque ad Ε Β , erit area D G q Κad aream G E h q ut para eius perpendicularis ad Hyperbolam ordinata ad eius partem reliquam usque ad E B , sed c νεν eor. 4. de Ηνperbola , ea ordinata ad Hyperbolam est ad AB sive ad totam pedipendicularem , ut A C ad ejus ordinatae abstassis , ideoque dividendo, est ea ordina in ad perpendicula ist partem reliquam usique ad lilaeam E B, uve est area D G q Κad aream G Εhq ut AC ad portionem abscissae inter A & 'ndicularem, dc assi sumpta commuta altitudine R B, ut Rectangulum Λ Η ad Rectangulum lub AB& portione abscissae inter A Ac perpendicularem, ideoque area DGqΚ ad aream GEhq ut vis gravitatis ad resistentiam sive velocitatem residuam in medIo tempe ris primi, elunque vis gravitatis sit ubique eadem & areae DGqΚ, qΚLr, ubique aequales, areae G Ehq, hqri, &c. erunt semper, ut resistentiae in singulis temporibus
sive ut velocitates, ideoque ut spatia si gulis tempusculis descripta, ac per cons quem areae totae G E n t, erunt ut spatia toto tempore G D N t descripta, dum areae A B N n erunt ut velocitates in fine eorum temporum residuae.
Est enim velocitas dato tempore , Α Β r Dacquisita, ad vel ratem alio quovis temp.
MABt N acuuisitam, ut rectangulum Aiad
39쪽
' Corol. 2. Tem p re autzm aucto in progresssione arithmetica, DEMO summa velocitatis illius maximae ac velocitatis in ascensu, atque
eriam earundem differentia in descensu decrescit in pro
gressitone geometri a. SECUN D.
Corol. 3. Sed & differentiae spatiorum, quae in aequalibus se . I.
rectangulum An, sive ut linea data A L, ad cs Sed er disremia θαiγιιin. lineam AN, ex dem. , & ideo velocitas Nam si in ascenIia corporis rapiantur tem- corporis cadentis cum area A BlN, seu cum pora DGq Κ , Κqr L , Lis Μ, M s t Ntempore eini inuo creficit. Sed coinciden- &e. aequalia , erit spatium primo tempotibus puncto N eum pun: o C & ordinain re deIeriptum ut G Ehq DKκDENt cum asymptoto C H , area ABtN -DGqΚ; spatium tempore secundo des infinita evadit , hoc est, tempus fit infi- eriptu:n ut qhir α ΚLκDΕ - Κqr L. nitum dc velocitas maΝima; Quarὸ veloci- sive quia Κqr -D G q Κ KLκDE-tas maxima quae etiam rei inalis dicitur, DGqΚ, 3c ita de caeteris. Quar/ diffe- est ad vel oditatem dato quovis tempora rentia spatiorum primo Sc secundo tem- AB rL, acquisitam ut C ad A L, seu pore deseriptorum est ut D Κ κD Ε - Κ Lut rectangulum Α Η, ad rechangulum AI, N D Ε, id est, ob d.itam DE, ut D X
hoc est, s ex dem. in ut vis gravitatis ad Κ L ; & simili argumento disti rentia sp vim resistentiae in fine temporis A B r L. tiorum secundi α tertii temporis est ut r) Demsis in progressisne geome
retea. In alcentu corporis temporibus
DGqh, DGri , DGrΜ &e. in ariathmetica progressione crescentibus, abs ei liae C D , C Κ , C L, &c. in progressione eometrica deciescunt 38o. lib. r. sed ligulae abicissae illae sunt ex dem. ut
summa velocitatis maximae quam expoliti linea CA, & velocitatis residuae quam eri.
ponit linea AIc vel A L, vel Α Μ &e., in fine temporis DGqh, vel D G r L, vel D G s 11 dcc. Quarὰ tempore aucto in progressione arithmetica , sunma velocitatis maximae ae velocitatis in ascensu residuae decreteit in progressione geometria ea. Simili modo in descensu corporis patet quod crescentibus temporibus vid. M. notae super. A Bq h, A Br L, ABs M&c., in progressione arithmetica, abscisis C Α, Κ L --I. Μ; disserentia spatiorem tertii &C Κ, C L, C M 3ceo decresciant in progres, quarti temporis in I. M - Μ N. Erunt sone geometrita sso. Id. r. , sed abscissae igitur differentiae spatiorum quae in aequa- illae sunt ut disterentiae velocitatis maximae libus temporum di fierentiis describuntur quam exhibet linea A C & velocitatis ae- ut disterentiae DK - KL, KL - I. M, quisitae quam exponit linea A Κ , vel AL, L Μ - ΜN &e., sed ex dem. in termini vel Α Μ dce., creicente igitur tempore in DK, KL,LΜ, ΜN Sce. , decrescunt progressione arithmetica , differentia ve- ut termini progressionis geometricae D C, Iocitatis maximae, & velocitatis dato quo- XC, L C, M C 6ce. Ergb rufferentiae vis tempore in deseensu acquisitae , d DΚ - XL, KL - LM, L M - M Nerescit in progressione geometrica. sine &α, decrestu: . ut D Κ, Κ L, L Μ, Μ Ns summa illa in ascentu Sc differentia in &e. , seu ut termini progri monis geome descensu numeris exprimantur, erunt tetm tricae DC, KC, L C, MC dce. Eadempora ut eorum minerorum Logarulanii est demonstratio pro .descens Iom. IL D
40쪽
Da Μο- temporum differentiis describuntur, decrescunt in eadem prori
Ligkk cst Ol. q. Spatium Vero a corpore descriptum dimerentia est Si cuso. duorum spatiorum quorum alterum est ut tempus sumptum ab Secet. I. initio descensus, & alterum ut velocitas, quae etiam ipso P III. v descensus initio aequantur inter se. PRO-
t steriis ut velocitas. Nam sp tium tempore quovis A B t N , in deice su deicriptum, est ut area B t n, et 1 a tem area Bin α ΑΒ tN - ABn N, &ast A B n N ut velocitas tempore A B t Nacquisita. u Dgremus inhio aqvantur. Descensus initio est area nascens A B q Kaequalis rectangulo Α Β Κ λ.
1. Scholii . Ex demonstratis non sinium corporis ascendentis aut e quiete des cendentis motus determinatur , sed etiam motus eiusdem data eum velocitate deor
sum projecti iacile inveniri potest. Nam
velocitas projectionis vel aequalis est velocitati maximae , quam in figuris superiori hus exponit linea AC, sive rectangulum
AH, aut velocitate maxima minor est, aut ea major. Si is . motus corporis deorsum verticaliter projecti aequabilis est , ob resistentiam gravitati aequalem dc contrariam. Si χum. in linea A C iid. M. pro p. 3. capiatur A L , ad A C , ut velocitas i rotetiionis data ad maximam, sive ut resistentia ad gravitatem, & tempore quovis L r t N , corpus describet, spatium I rin, & in fine illivi temporis habebit velocitatem Lin N , eodem modo ac si e quiete cadendo tempore A B r L , aequi liviiset datam projectionis velocitatem a B IL , & deindὲ in motu perseverasset. m. Veram si velocitas projectionis maior sit velocitate maxima quam corpus dendo acquirere potest, mutanda erit NEWTONI constructio. Caeteris enim manenti hus ut in eonstructione pro corporum de GCensit , producamur rectae AC, & B Η , ad a & b , ut sit reclangulum Λ B b a ad recitangulum Cli ba, ut reiistentia tota initio mittas ad vim gravitatis e velocitas rojectioiiis exponi pinc ' per rec . ng Ium L Bba, cum resistentia sit ipsi lem. Per proi ortio tulis , S corpus deicendendo
habebit Nnba, ec tempore infinito deIcribet spatium infinitum, velocitatemque habebit aequalem terminali sive maximae velocitati quam corpus E quiete cadendo acquirere potest. Relolvatur enim rect ingulum A Han rectangula innumera Ah, Kl, Lm, Μ n, &e. quae sint ut decrementa veloci latum aequalibus totidem temporibus iacta. clim enim resistentia gravitatem sup ret, velocitas decrescit dc erunt, nihil Αλ, At, Am, Au, &c. ut velocitates amissae , dc ideb rectangula a B , a k, a l, a m , an, dcc. , ut velocitates residuae rem stentiis proportionales, principio singulorum temporum aequalium. Quoniam verb gravitas motum accelerat quem resistentia re tardat , de vi resistentiae sutQueatur graviatas C H b a, & manebunt rectangula A C. Κhi C, I. IH C, MmΗC, dic. in vires abiblutae quibus eorpus in principio sinis gulorum temporum aequalium retardatar , atque ideo ut decrementa velocitatum, id est, ut rectangula Α Ε, Κ l, Lm , Μ n, dc proptere. per Lem. I. Lib. 2. in progres.sione geometrica. Quare ἶSo. lib. i. erunt areae ABqΚ, Κq rL, Lrs Μ, Μ s t N , &e. aequales , ideoque temporibus temper aequalibus analogae. Elapis igitur tempore quovis AB i N, eorporis velocitas residua erit ut ructangulum Nnba, sive ut tecta Na, sed spatia sunt ut verittas tempus coniunctim,