장음표시 사용
51쪽
tut ratio illa per longitudinem quamvis SAL y Deinde per DE M computationem, ex longitudine illa assumpta D P, inveniantur'
longitudines D F, Df, ac de ratione per Calculum imen ta, auseratur ratio eadem per experimentum inventa, dc expor
c y . Deinde pre rom ---ἰData enim D P longitudine & positione , dantur C P dc D C, & data ratione resistentiae in D ad pravitatem dantur D A& Α C per eonlinietionem problematis istici: His autem datis, curva Dr a Fc vide fis ras iuperi om) destribi potest, &hinc invenitur amplitudo horizontalis D Fconstructione per hyperbolam vel per i garithmicam ss . Si autem rem voluerimus calculo tractare, uti poterim aequationea F-a. L. M sit x α D F, ponenda est o, & πι
gressum serieram, vel per asias approximationes invenietur x per g Sce, seu D F. per R C & D Q
Σ σy. Aiseratare rario eadem p ex perimentum insema & si nihil eit residui, rectε assumpta fuit ratio resistentiae ad .gravitatem; si quid relides fuerit , expona tur disserentia per M N. Nam si rectὰ ἀ- tipta suit ratio resistentiae ad gravit - tein, curva D raF per constructionem vel per computationem descripta similis est trajuctoriae quam corpus in medio resisten
52쪽
D2Μo- exponatur differentia per perpendiculum M N. Idem sic ite-,bkbe ruim ac tertio, assumendo semper novam resistentiae ad gravi-& colligendo novam differentiam M M saeuus. Ducantur autem dicterentiae a malivae ad unam partem rectae.
SM, dc negativae ad alteram; & per puncta N, N, N aga tur curva regularis N N N secans rectam S M M M in X, oc erit S A vera ratio resistentiae ad gravitatem , quam
in ivis curvis linearum debet esse ratio cte assumpta fuit et quare disseremia tota data. Determinatur enim trajectoria ve- inter veram trajectoriam dc curvam hocra ex velocitate & angulo projecti ix ae- modo per constructionem descriptam est quali P PC vel pDC, atque ex ratione in magnitudine lilaearun, homologarum , resistentiae ad gravitatem datam ; & curva quarum ratio est eadem in utraque Curva. per constructionem delineata determinatur Curvae igitur illae similes simi. Per longitudinem assumptam D P vel D p, a 46. Et eris S x vera rario resis-- quae velocitatem datam temper Irateli exhi- triae ad gravitatem. Nam ubi Μ N seu dis bere, per angulum PD C vel pD C, & - . F fPer rationem linearum D Α, A C, seu ις ia a rationum i quR Per computa-
53쪽
invenire oportuit. Ex h hac ratione colligenda est lon- DE MO-gitudo D F per calculum ; & longitudo quae sit ad assump- TU C 'tam longitudinem DP, ut longitudo D F per experimentum cognita ad longitudinem D F modo inventam, erit Veragitudo D P. Qua invenia, habetur tum Curva linea Dr a FSEN. I
quam corpus describit, tum corporis velocitas & resistentia in PR . IV. locis singulis. PRO L. H,
Caeterum, resistentiam Corporum esse in ratione velocitatis ' hypothesis est magis mathematica quam naturalis. In mediis, quae rigore omni vacant, resistentiae corporum sunt in du-
tionem & per experimentum inventae sunt , nulla est , ratio resistentiae ad gravitatem recte assumpta fuit 6s . Quare ciun SΜassumptam illam rationem exponat , &evanescat M N ubi S Μ fit S X , patet iahoc casia rationem resistentiae ad gravi tem recte exponi per lineam S X. Itaques innumerae abscissae S Μ assumptae salsent, di innumerae ordinatae N Μ per experime. a deierminatae , curva quam punctum N perpetub tangit, rationem accuratam resistentiae ad gravitatem determinaret pernus intersectionem X tum linea S Μ; ideoque si multa fiunt tentamina , sicque plura obtineamur puncta di , & per ea ducatur curva regularis N N X N , illa quam proxime punetum X quaesitum determinabit ι methodum autem ducendi curvam regularem per plura puncta data mox in Scholio sumus tradituri.
b) Ex Mι ναione colligenda es cte. Sit, exempli causa , ratio assumpta re. stentiae ad gravitatem I ad Io, seu S inventa autem sit S X a SM ,ε α ἔ ;erit resistentia ad gravitatem ut I ad Ex hac ratione & assumpta longitudine D P colligenda est longitudo DF seu amplitudo jactus 64 , & quoniam inventa vera
ratione resistetitiae ad gravitatem , traj ctoria per calculum vel per constructi nrm inventa similis est trajectoriae quam corpus in medio resistente, revera descri-
Ium inventa ad amplitudinem D F per experimentum cognitam , ut assumpta longitudo DP ad veram longitudinem D P pro trajectoria in medio resistente descripta. Hac autem longitudine Inventa, habetur c Per eor. 4. tum curva linea D r a Fquam corpus reipsa describit, tum corporis velocitas & resistentia in locis singulis c per cor. 3. ε . Ex supra demonstratis determinari possent motus eorporis in medio quod resistit partim uniformiter , panim in ra tione velocitatis. Et quidem si corpus sola vi insita in hoc medio seratur, pars illa resistentiae quae est uniformis , tanquamvis constans gravitatis qua corporis ascen demis motus tetardatur, consideranda ess, di in superioribus constructionibus pro corporis ascensu, non gravitas, sed ea resiste tia uniformis data per lineam AC, vel per rectangulum Α Η exponi debet. si vero corpus in praedicto medio vi gravit iis etiam urgeatur, linea A C gravitatem de resistentiae partem uulsormem simul junctas, si corpus astendit, & excessiun gr vitalis supra eam resistentiae partem un- formem, si corpus descendit, exponet. Qua ratione caeteris manentibus , determininuise in motus eorporis tum sbia vi insita moti , tum vi gravitatis urgente ascendentis tu descendentis in medio quod resistit partim in ratione data, partim in ratione v
54쪽
DE Μο-plicata ratione Velocitatum. Eterrim actione corpo is velo- TU COR 'cioris communicatur eidem medii quantitati, tempore minore , motus maior in ratione maioris Velocitatis; ideoque temporesgeb, s. aequali, Ob maiorem medii quantitatem perturbatam, commus Acm. I. nicatur motus in duplicata ratione maior; estque resistentia prePROP. IV. motus Iez. m. & III. ut motus communicatus. Videamus dur Q - ii sequales oriantur motus ex hac lege resistentiae.
tur huius curvae per Logarithmiram satis elegans construetio, qua usi sunt Vario mus 3c Hermari . tam hic expotiemus breviter. Deinde elim in superioris propositionis eorollario ultimo & alibi pinea describenda sit curva regularis quae per data puncta transeat, hoc problema, quod NEWTouus in Epistola ad OI Murgum anno 1676. data unum sere ex pulcherrimis dicit quod solvere desideraverit, solvemus.'sy. Iisdem positis quae iii aperiori eo structione NE.roui, sit D P α ι, D V α ι, V r mae , & D P ad a ut velocitas proj ctionis ad velocitatem terminalem; dc erit, avc ae a. L. - . oportet cur-ώ-υ hvam Dra Fev hae aequatione pet GDH-thmicam construere. In recta PQ ad DP normali capiatur PT a, asymtoto Podc sub tangente P Z describatur per punctum D Logarith ea D H Ο, cujus D Z erit tangens, εc per punctum quodvis Vin linea D P agatur V H parallela P ΟLogarithmicae oecurrens in H εc languina D Z in L , eapiaturque vertitatis V R pars V r anualis II L. Punctum e erit in tr lectoria quaesita D r a F. Nam ducto mΗ ad P O perpetidiculo H X , erit s perci bus. VPα HXαώ - v, PT M
- i x Vr. Q. E. D. o. C . et 2 Si per punctum A NE .. TOul eonstructione determitiatum erigatur verticalis A B secans D P in B , & per Berigatur ad D P perpendiculum B G secans D Z in Ε dc Logarithmi eam in G , capiaturque B a aequalis G Ε, erit A a
maxima altitudo Iactili. II. Gr. 1. Punctum r quo trajecto
ria rectam D e ex D ductam ad P C, s eat , invenitur , si in lineae Z Ο capi eur Z Q aequalis P e , jungatur D Q l garithmicam secans in I , demittatur ex
55쪽
ad DC aerpendiculum V R , quod rectam D c secabit in puncto quaesitor, atque hinc determinatur etiam limi rontalis amplitudo D F, eapiendo Z Q aequalem P C, & reliqua petiiciendo ut modo diximus. Nam
72. Ex demonstratis iuvenἰri potest a aulus elevationis P D C, sub quo eorpus datii velocitate D P projectum transibit per punctum r in verticali U R datum. Dicam tur D R me, R r m e, D Z f, DL π a , H L α V e , V Rαa- -eαν; & ob triam
angulum D RV rectum D DR 5b x xVR Me ee - ν', a quatio ad hyperbolam , cuius diameter trans versa est , diameter conjugata Le, abscissa 1 centro sumpta x, & ordinata risu x in e o ut calculo inito liquet. Inde autem deducitur haee constructio. Perpunctum D dueatur infra lineam D P r cta D E parallela P Z & aequalis R r, per E agarur Ε Κ parallela D Z secans H Uin M ; & erit LM DE T Rrettae, ideo- que H Μαα-μe 3, atque E Μ α D Lmae , & proinde centrum hyperbolae est in E ;eamque semidiameter transversa sit α
que Ε Τα-- , dc propterea msemidiameter transversa , Ε Μ abscissa, dc Μ H ordinata hyperbolae T Η o , cujus semidiameter conjugata aequatur D R. Haec itaque hyperbola occursu suo cum Log tithmica DΗ o determinabit punctum H , ex quo si demittatur ad D Ρ perpondiculum
PROBL. Id Η L aequalis V r, id ue dabitur etiam VR α Ur - Rr. His autem datis, Gotar angulus elevationis P DC, cujus sinus est V R, posito sinu toto D V. 3. Si vero quaeratur angulus proiectionis P DC, ut corpus per punctum B in I, rizontali D C datum transeat, fiet R r me o, & aequatio ad hyperbolam evadetbb xx c c - τα, μν α E-e E. Iaconitructiorie vcrb coincidet punctum Eeum puncto D, & T cum t , meteris manentibus ut supra. Et quia si per hyperbolae dc Logarithmicae littersectionem Hducatur recta D H secans P o in Q, est Q Z mPC r. 3; liquet in eo casu esse Q Z sinum ansuli elevationis ΡDC, exi. sume radio seu sinu toto D P. observandum porro est, quod si in his e mu-
56쪽
attingat , problema est i omila; quod si eam bis secet , anguli duo sitis
racium. Patet quoque datam semper esse rationem diametrorum hyperbolae , ubi- eumque situm fit punctum e , vel R; est
enim D R ad -- in ratione data D P ad D T. . Angulus elevationis P D C maximae omnium amplitudini horizontali comveniens ita determinatur. Per punctum D ducatur D X ipsi D P perpendicularis quae sit ad D P ut est D P ad P Et jung mr Z X L artihmieam seram in II, &ex D per H ducatur recta Dis seram Poan Q; erit Q T sinus anguli quaesti , exi aerite sinu t uo D P. Sit enim D R --plitudo horizontalis maxima me, DV πω, VR Vr α a, dc erit ob ansulum
Punctum I per aequationem ax α ι , - bvdeterminatum perpetuo tangit lineam rectam X Z ; -que idem punctum in Logarithmica esse oporteat ut determinetur
maxima amplitudo D R , si per intersecti nem Η tectae X Z ει Logarithmi eae D Η oducatur recla D Q secans P o in Q , h-bebitur Q T sinus anguli P D C
maximae amplitudini D R convenientis Q. E. D. 7s. I iam si oporteat curvam regularem describere , per data quotlibet puncta trans. euntem, uti possumus genervii methodo, quam NEvTovus in Arithmetica universali tradidit, quamque deinde in Problematis 3 ,
57쪽
PROMIL38 3c st. adhibuit. I e sent Iisus verba r. Cum curva non datur specie, sed dete is minanda proponitur, misisque pro arbitrio
is aequationem fingere quae naturam eius ge- , ne aliter contineat, & hane pro ea desig- ω nanda tanquam si iuuetur assianere, ut exis ejus assumptione quomodocumque peris veniatur ad aequationes ex quibus assiminis in tandem determinetur. Si itaque curva, Urieris dati per data puncta delineanda. ut, assumatur generalia ad curvam illamis aequatio cum terminorum coefficientibus is indeterminatis , dc eurva ad rectam aliis quam positione datam relata , ex singulisis punctis datis in rectam illam demittanturis perpendiculares aut rectae aliae inter se pa- ω, rallelae, quae datae erunt ut dc earum ab ,, tassae a dato in recta illa puncto compu- ,, ratae ; deinde in assumpta aequatione loco se abii ista variabilis x & ordinatae etiam va- ω riabilis 3 scribantur abscissae & ordinataeis per puncta data determinatae, & tot inde is obtinebuntur aequationes quot sunt puncta, data per quae curva transire debet, atque exis illis aequationibus, generalis aequationis is assumptae e ficientes determinabuntur. Hujus methodi exemplum sit Iblutio Lemmatis q. lib. 3. Principiorum , quod ita propositum est et invenire eum am generis parabolici quae per data quetcumque puncta transibit ; cujus Lemmatis solutionem dedit ibidem NgwTovus , sed sine demo stratione, quae tamen ex ejusdem auctoris
dii serenitali methodo cestigi potest 76. L Samo puncta ilia Α, Β, C . D, E, F, &α oc ab itaem ad rectam
quamvis positione datam H N demittantur Perpendicula quo eumque R Η , BI, CK, D L , E Μ, F N, 3ce. ; posititque abscisia variabili Hs απι&ordinata RSαν, insumatur generalis ad parabolam A B D EFaequatio ν - Α- -Bx--Cx Φ Dαν - - Ε κ &ci, simque A, B, C, D, E, dce cum suis signis indeterminatae. Dicantur ΑΗ α a, BI fCK α g, DLm i, ME
δc ita de caeteris. Prodibunt aequatio: es se
58쪽
Simili modo capiantur adhuc aquationum istarum differentiae, & dividantur per intervallum inter duas ordinatas intereeptum ΗΚ, IL, ΚΜ,& differentiae sie di- vita dicantur c, xc, 3e, ut hic famam videtur. IV. c α -- -- D D m EI
Si plura suiment puncta data, pluresque ideα tuissent aequationes, eodem modo per nendum esset usque ad differentiam ultimam e quae hic est differentia quarta, dc sic ε/ndem pervenitur ad valorem cociscientis ultimi termini aequationis generalis assiimpiae, & deinde tetrogrediendo inveniuntur valores ullarum coefficientium D, C, B, & Α hoe modo. VII. Quoniam eΣΣΕ, de V dα IJ-ΕΙ-Em-E n , erit Dα-d-el
VIII. Clim igitur sit c II. Α m a
59쪽
SECUN D. M . I. Hop. IV. PROEL. II. qualibet abstin il s , invenietur valor oris dinatae correspondentis S R , singulaque parabolae puncta determinabuntur. Si vecoin .Ruatione ponatur a o , & deinde quaeratur valor abscissae x , cognoscetur punctum X quo parabola rectam H N interlecat. 7. XI. Si perpendieulorum ΗΑ, IB, KC, I. D &α aequalia sunt intervalla HI, IK, K L Sce. ; caeteris ut si a s I nominibus servatis , positoque intervallo H I α ι α t , erant HΚ na 2,ΗLmn 3, Η Μ μι- 4, RG dc perpendiculorum diueremiae per intervalla, per intervalla bina , terna, quaterna, & iuvisae erunt III, IV, V, VI quae sequuntur. Di fierentiae primae per intervalla divisae, b a-s, 1 b f-ς 3b g - , b α h- - A. Differentiae secundae per intervalla bina
Differentiae tertiae per intervalla tema
te si hi valores subst tuaintue in aequatio supra VIII. inventa, ν a in b. - x γ
. H. Pin Maes 'in a - - 1, dc ita ιγ 3 κ ἔ. pergatur ad usque perpendiculum penultimum, erit 3 - a -- ερ-- &c. ut NEH us in casu primo Lemmatis V. lib. III. determinavit. De hoe problemate Lector eo luat elatissimos auctores , Hermarimum in Appendice ad . Phoronomiam , Craitium in Tractatu de Calculo stuentium , maximὸ vero Stirlingin libro de Interpolatione serierum , in quo totam hane materiam copiosὸ dc sa-
60쪽
Live R De motu corporum quibus resistitur in duplicatdsster I. ratisne Delocitatum.
insiti per medium similare movetur , tempora vetasionantur in pn gressisne geometrita is minoribus terminis ad majores pergenter di- eo quod υelocitates initio singulorum remporum Iunt in eadem prope sone geometrica inmersὸς re quod spatia sunt aequalia , quae
s ulis temporibus describuntur. Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis Ec resistentia medii, dc si resistentiae proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras aequales dividatur , quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem disserentiis proportionalia. Sunto temporis particulae illae KL, Liu, dcc. in recta CD sumptae, oc erigantur perpendicula AB, Kk, Ll, Mm, dcc. hyperbolae Bhιm G, centro Casymptotis rectangulis C D, C H descriptae, occurrentia in B, A, I, m , dcc. dc φὶ erit AB ad Κ ἡ
dentur, erit AB-xk ut ABκκώς dc ultimo, ubi coeunt AB & xk , ut A B q. Et simili argumento erunt Kk - Ll, LI - um, occ. ut x k quad. Lι quad. Occ. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mni quadrata sunt ut earundem disserentiae si , dc idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum dii 'e-