장음표시 사용
141쪽
, orithmetice . II 3 ad aggregatum productorum duorum laterum cons quentium praeter A, S, habet minorem proportionem, quam unitas ad E: sed prodictus ABC OPS , ad aggre. gatum productorum duorum laterum consequentium praeter A, S, est ut unitas ad aggregatum prodii istorum duorum laterum consequentium praeter A , S, denomi. natum producto ABCOPS, quae quidem fractio voco tur R ; ergo unitas ad Ru habet minorem proportionem; quam ad E; & propterea R, est maior E et tandem quot sunt producti duorum laterum consequentium praeter A, S, totidem assumantur a prima earum unitatum, qua in infinitum ordinatae sunt,&compositae in E: constat Prop.r.3. R, esse aggregatum huiusinodi assumptarum ;& propici rea R, esse portionem extensionis E, maiorem, minoris; quod est absurdum: non ergo E, minor est, neque maior; ergo idem est, quod ad unitatem habet proportionem compositam unitatis tum ad productum ABC, tum ad 3. numerum laterum ABC, tum etiam ad excessum D.
ra facta dispositione continua magnitudinum procedentium in in tam, Horentia den minata planis disposita, re aggregata infinitasunt aequales unitati denominata magnitudine , qua est principium di postionis.
SIt dispositio continua magnitudinum procedentium in infinitum ab Ai& differentiae denominatae planisi ' O P in
142쪽
in huiusmodi dispositione ordinentur in infinitum, &componantur in B. Dico quod B, sunt aequales unitati denominatae per A. Sunt enim B, extentionis finitar rnam assumptis quotlibet a prima, & in denominatione ultimae assumptarum adibita C, una ex dispositis ab Atri. m. constat assumptas aequaIes esse disserentiae C, Λ, deno. minatae plano CA; & ad unitatem se habere ut differemtia C, A , ad planum C A ;& conuertendo, unitatem esse ad assumptas ut planum C A, ad differentiam C, Arsed maiorem habet proportionem planum C A , ad diste rentiam C, A, quam Α, ad unitatem; vel maiorem quam unitas ad unitatem denominatam per A; ergo unitas ad assumptas maiorem habet proportionem quam ad uni. talem denominatam per A;&propterea quotlibet aGPtar s. i. sumptae sunt minores unitate denominata per A: ergo B, sunt extensionis finitar. Igitur si B, non sunt aequales unitati denominatae per Λ, πcessario Inaiores erunt, vel minores: ponantur maiores ; & quoniam B, sunt exten-priis. . sionis maioris unitate denominata per A sumi possunt in aliqua multitudine a prima, ut impleant unitatem donominatam per A ; sit huiusmodi multitudinis numerus Dos tu. D, qui adiecta unitate fiat E; ergo B, sumptae in multi tudine numeri Ε, siunt maiores unitate denominata perA; quod est contra ea, quae superius demonstrata sunt: hon ergo B, sunt maiores unitate denominata per A . Supponantur minores ; & sit desectus F;& ut F, ad unitatem denominatam per A, ita fiat A, ad G ; & inter numeros dispositos ab A , inueniatur C, numerus maior G; ergo C, ad A, maiorem habet proportionem quam G, adi
143쪽
G, ad As uel quam unitas denominata per A, ad F;&per conuersionem rationis, & cynuertendo, excessus C, A, ad C, maiorem habet proportionem quam B, ad unitatem dcnominatam per Λῶ sed C, ad planum AC, est ut unitas ad Λ , uel ut unitas denominata per A, ad unitatem; ergo ex aequali excessus C,A,ad planum AC,mai rem habet proportionem quam B, ad unitatem: est auic excessus C, A, ad planum A C, ut excessus C, Α, den minatus plano A C, ad unitatem; ergo excessus C A, denominatus plano AC, ad unitatem habet maiorem Proportionem, quam B, ad unitatem et Assiimantur ex fractionibus dispositis in B,tot ut inter assumptas habeatur ea, in cuius denominatione adhibetur magnitudo C;& assumptarum sit aggregatum Hr constat H, esse portionem B;& esse aequalem excessui C. A, denominato plano AC ι & propterea H , ad unitatem habere propnr tionem maiorem quam B; & H, maiorem esse Β, partem totos quod est absurdum: non et go B, sunt mino S unutate denominata per Αι sed neque maiores: ergo B, sunt aequales unitati denominatae per A. Quod, &c.
Dypositis quomodolibet magnitudinibus pro
cidentibus in infinitum, ut Uumpsis toti rim sem'r secundum aliquem numerum sngula excedant singulas pracedentes pariter totidem sumptas ordinis eiu im Imrino natione huiusmodi exces uum m
144쪽
gnitudinu ordinis eiusdem per productum tum ex magnitudinibus, quarum funi excessus , tum etiam ex intermedijs sunt
Iractiones, qua in infinitum distosita, oe
gregata fiunt aquales unitati denominata producto totidem magnitudinum, qua
sunt in principio dispositionis.
SIt A, dispositio magnitudinnm in infinitum proce
dentium, ut sumptis exempli gratia ternis quibusli bet , lingulae excedant singulas praecedentes ordinSeiusdem ;&sint primae tres B, C, Di & quarta sequens E; & sit F, dispositio infinitarum fractio num, in quibus praedicti excessus denominantur productis ex magnitudinibus tum excedentibus, tum intermedijs; quarum fractionum prima est excessus E, B, denominatus producto BCDE. Dico quod F, aequalis est unitati denominatae producto BCD. Est enim F, extensionis finitae: nam assumptis in F, quotlibet a prima in denominatione ultimae assumptarum adhibeantur O, p, R, S, magnitudines in A,dispositae;& ex ternis consequent ibit BCD , DE,
alijsq; deinceps dispositis in Ai utpote etiam' ex P.R S , fiant producti G, H, & deinceps alu , utpote etiam V ,hi. 1.3. quorum dispositio in infinitum sit I ι constat assumptas aequales esse differentiae V, G, denominatae plano V, G,& ad unitatem se habere ut differentia V, G, ad fanum
145쪽
G V ; & conuertendo , unitatem esse ad assuinptas ut Pros. i.
planum G V, ad differentiam V, G : sed Maiorem habet proportionem planym G v, indifferentiam V,G, quam
G , ad unitatem P vel quam unitas ad unitatem denominatam per G; ergo unitas ad assiumptas maiorem habet proportionem quam ad unitatem denominatam per G , es propterea quotlibet assumptae sunt minores unitate denominata per G : ergo F, est finit ae extensionis. Prae- Pr. is. .
terea differentiae denominatae planis in I , disponamur in serie Κ, quarum prima est excessus H , G, denomina-rbs plano cH: & quoniam magnitudineae A, procedunt in infinitum; etiam producti earumdem L, procedunt in infinitum; ergo Κ, est extensionis finitae; & aequalis est unitati denominatae per G : & cum G, sit productum
B, in QD ι & Η, productum Ε, in C D 'erii planum GH, productum B C D E, in C D: ergo GH, α planum G H, funt homo toga rationis eiusdem B, E ,&
146쪽
Datis extremis inaequalibus, intermediam inuenire , cuius , si unius extremarum
disserentia plano denominata sit aqualis alij data magnitudini, qua sit minor dis-rentia extremarum plano denomιnata.
DArae sint inaequales extremae A, B ι quarum dissorentia plano denominata sit C; de data sit alia magnitudo D, minor C. Opportet extremas A, B, intem mediam iliuenire; cuius, & A , differentia plano den m nata sit aequalis D. Vel est A, maior B; vel minor: sit maior ; & ex multiplicatione DA, fiat E; qui auctus unitate sit Fi & per F, diuidendo A, fiat quotiens G. Dico, quod G, est intermedia A, B, di quod excessus A, G, plano denominatus est aequalis D. Quoniam G, multiplicando F,producit A;& multiplicando aggregatum Ε, & unitatis producit aggregatu plani GE,&C;est autem F, aequalis E,& unitatu igitur Λ, est aequalis plano GE,& G ι &.A, est maior G ν ergo communi ablata G, excessus A, C, est aequalis plano GE;&diuidendo per G, excessus A, G, denominatus per G. est aequalis E , videlicet plano DΑ ; & diuidendo per A, excessus A,G, plano denominatus est aequalis Dinon est autem G, aequalis, neque minor B , nam excessus A, G, plano do
147쪽
Arιιhmeticae. I Is nominatus, videlicet D, aequalis esset vel maior C,conintra hipothesim; ergo G, est intermedius A, B; & exceΩsus A, G, plano denominatus est aequalis D. Sit A, munor B; & conuertendo, B, maior Λ; & quoniam D,est minor C sit defectus Η ,& inueniatur E, intermedius B, A, ut excessus B, E, plano denominatus aequalis fiat Hr quoniam A,E,B, sunt magnitudines continue dispo. sitae; aggregatum differentiarum A, E; B, B,planis denominatarum est aequale C i videlicet aggregato D, Η 3 est autem differentia E, B, plano denominata aequalis H, ergo residua differentia, videlicet desectus , E, plano denominatus est aequalis D. Quod, &c. '
ra continua dispositione magnitudinum infinitarum inter extremas qua piam magnitudines ab una ad alteram procedentium, disterentia planis denominata disto sta in ivnitum, oe aggregata, sunt aquales voi disterentia extremarum plano δε-
SInt dispositae quomodolibet magnitudines infinitae in continua dispositione procedentes inter eXtr
148쪽
mas A, B, ab A , quae sit in principio dispositionis ad B;& infinitae differentiae planis in dissipositione denominate aggregentur in C ; & sit L, differentia A, B; & ex denominatione L, per planum A B, fiat H. Dico, quod C ,
est aequalis H . Est enim C , extensionis finitae: nam aGsumptis in C, quotlibet a prima in denominatione viti. mae assumptarum adhibeantur D, E, magnitudines inter Prop. . r. A, B , dispositae e constat, quod assumptae sunt aequales Prop.7. 3. differentiae denominatae plano AE; est autem differentia denominata plano AE; una cum differentia denominata plano E B, aequalis H; ergo differentia denominata plano A E, minor est H; & propterea quotlibet assumptae pnis, I, sunt minores Hr igitur C, est finitae extensionis. Iam si C, non est aequalis H, necessario maior erit, vel minore sit maior; & quoniam C, est maioris extensionis H ; sumi possunt ex magnitudinibus dispositis in C, aliquot a Prima, ut impleant H: sumantur, & sit ipsarum multi Desis. tudinis numerus F; qui unitate adiecta fiat G; ergo C, sumptae a prima in multitudine numeri G, sunt maiores H ι quod est contra superius demonstrata: non est ergoc, maior H. Sit minor ;& inueniatur D, intermedia extremas A, B ; ut differentia A,D, plano denominata sit Prop. . a. aequalis C, ergo disserentia A, D, est minor L:& quoniaa,A ad B, sunt dispostae magnitudines infinitaei etiam' different irin ea dispositione sunt infinitae; &smul compositae sunt aequales uni differentiae extremarum L; ergo vel prima ex huiusmodi differentijs est maior differentia Pr. 16.ta A, D vel si minor plures a prima sumptae secundum ali, quem numerum implen; disterentiam Α, D; qui numerus
149쪽
' inrithmetica. I 2Iunitate adiecta fiat Niergo differentiae in dispositione A, ad B, semptae a prima secundum numeru N, sunt maiores differentia Λ, D: sumantur igitur secundum numerum N, magnitudines ab A, dispositae ad B, praeter A ;& assumptarum sit ultima E; totidemque sumantur ex fractionibus dispositis in C quarum aggregatum sit Petconstat P, esse portionem ipsius C,& differentiam Α, Ε, maiorem differentia A, D ; & propterea disterentiam A, Prop.ν. E, plano denominatam, videlicet P, esse maiorem differentia Λ, D, plano denominata videlicet C; ergo portio est maior toto ; quod est absilrdum: non est ergo C, minor H;sed neque maior: ergo C,est aequalis H. Quod,&
In continua dispositione magnitudinum in- fritarum inter extremas a prima ad vitiagnam procedentium, disserentia istarum, qua distant aquali ordinis interuallo denominata productis tum earumdem, qDarum fiunt disterentiarium etiam intermediarum,
disposita in infinitum, re aggregata μης
i quales digerxntia ιnter producitim nume- ri titerum unitate minoris ab Vs, qua sunt
in principio dipositionis, oe homogeneam pote natem ab ultima , denominata plano
sub jIrim producto, π pote Ilate.
150쪽
SInt dispositae quomodolibet magnitudines infinitar
in continua dispostione procedentes inter extremas
A, B, ab A, l, Κ, M, Ο, quae sint in principio dispositionis ad B;& infinitar differentiae illarum , quae distant aequali ordinis interuallo, utpote semper binis relictis disserentiae A, M; I, O , &c. denominatae productis AiΚM , IKMO, &c. aggregentur in C ; & sit Q dispositio productorum numeri laterum unitate min*is Al Κ, IKM , UMO, &c. in qua quidem dispositione sit V, productum AIΚ;&R , potestas totidem laterum a B; diffcrcntia velo R, V, sit L; ex cuius denominatione perplam num RV, fiat H. Dico quod C, est aequaris Η. Est eniim C, extensionis finitae; nam assumptis in C, quotlibet a prima , in denominatione ultimae assiimptaru adhibeantur S, T, D, E, magnitudines inter Α , B, dispositaei, in dispositione Q, sint X. producta STD, T DE: constat, quod assumptae sunt aequales disserentiae denominatae plano VZ; est autem differentia denominata plano VZ, una cum differentia denominata plano Z R, aequalis H sergo differentia denominata plano V Z , minor est H , &propterea quotlibet assumptae a prima ex dispositis in C, sunt minores H: igitur C, est finitar extensionis. Iam si C , non est aequalis Η; necessario maior erit, vel minor rsit maior; & quoniam C, est maioris extensionis H; sumi possunt ex magnitudinibus dispositis in C, aliquot a prima, ut impleant H: sumantur, & sit ipsarii multitudinis numerus F; qui unitate adiecta fiat G, ergo C, sumptae a prima in multitudine numeri G,sunt maiores I quod est