Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum : Petri Mengoli

121쪽

LI: fiat ipsius F, quadratum Hr constat R , esse aequales Pr. L, denominato per duplum G, auctum duplo H ;& ag Prigregatas R, S, aequales esse unitati denominatae per du.plum I; Ergo R , ad aggrcgatas R, S, ita se habent ut L, denominatus per duplum G, auctum duplo H, ad unitatem denominatam duplo I; & multiplicando per a. ut L, denominatus per G, auctum H, ad unitatem denomin tam per I; & multiplicando per I, ut productum L I, videlicet G , denomina ius pcr G, auctum H, ad unitatem;& multiplicando per G, auctum H, ita se habent R,ad aggregatas R , S, ut C , ad compositum ex G , H ; & d, uidendo, R , ad S , ita se habent ut G, adH; uidelicet ut planum F E, ad quadratum F;& diuidendo per F, suntl , ad S, ut E, ad F. Quod,&G

Theor. 23. Prop. 21.

Productus duorum laterum est maior, quam ut ad eorumdem disserentiam sit, ut minustatus ad unitatem ; π excessus est minorisi lateris quadratus.

A. F. C. 3. B. 2.

SIni duae magnitudines A, B; quarum sit B, minori& differentia C. Dico quod productus AB, minutus quadrato B, ad C, est ut B, ad unitatim. QuoniaA , aequalis est aggregato C, B; productus AB, est aequalis aggrcgato producti CB, di quadrati B; ergo productus

122쪽

ctus AB,minutus quadrato B,est aequalis producto C B; est autem productus CB,ad C , ut B, ad unitatem ι ergo productus AB, minutus quadrato B, ad C, est ut B, ad unitatem. QI'd,&c.

- Theor. 24. Prop. 26.

Unitatesodenominata solidis numerorum Arithmetice dispositorum, quotlibet asisumpta sunt minores unitate denominata

selido sub duplo excessu, ου minimis nu

meris .

F. I D. 6.SInt in A , dispositae quotlibet unitates denominatae solidis Arithmetice dispositorum; quorum primus B; secundus C;&duplus excessiis consequentium D. Dica A , minores esse unitate denominata solido BCD. Arithmetice dispositorum , qui adhibentur in denominatione unitatum A, sint penultimus E,&υltimus F: ergo A, sunt aequales aggregato ex intermedijs, praeter B, F, denominato per plano planum BCEFi ergo A,ad unitatem sint, ut aggregatum ex intermedijs praeter B, F, ad planoplanum BC EF i videlicet proportionem habent composita ex proportiori bus intermediotu praeter B, F, ad excessum planotum EF, BC, & huius excessus . ad planoplanum BCEF: cst autem proportio intermediorum praeter B, F , ad excessum planorum E F, B C, eadem

123쪽

eadem proportioni unitatis ad D proportio ex cessus Pnas.r. planorum EF, BC, ad planoplanum BCEF. minor pro portione unitatis ad planum BC; vel multiplicando per D, minor proportione D , ad solidum D B C , ergo ex aequo proportio intermediorum prester AF,ad planopiamini BC EF, minor est proportione unitatis ad solidum DBC ; & aggregatum intermediorum pi aeter B, F, deno minatum planoplano BCFF, videlicet A, minor est vii, tale denominata solido DBC. Quod,&c.

Corollarium Primum.

Vnde constat Unitates denominatas solidis numerorum Arithmetice dispositorum in

infinitum distositas, ου aggregatas esse

nita extensionis.

Corollarium Secundum.

etiam, quod unitates denominata seli. dis numerorum Arithmetice dispositorum tin aliqua multitudine sunt a prima, qua implent propositam extensonem minorem

I Theor.

124쪽

Theor. 23. Prop. 27.

Unitates denominata solidis numerorum Arithmetice dispositorum in infinitum disposita, oe Glregata siunt aquales unitati

denominata solido sub duplo excessu , cr

minimis numeris.

A. a. B. F. C. 3. D C. AH-Κ -- Sint numerorum Arithmetice dispositorum miniminumeri Λ, B; quorum excessus C;& unitates denominatae solidis eorumdem in infinitum dispositae ,& aggregatae sint in D; & unitas denominata solido sub duplo C. & plano AB, sit G . Dico D, esse aequalem G . Coroll. 1. Alias erit D, maior, vel minor G: sit maior; igitur in ali-P qua multitudine sumptae D , a prima implent G : sit huiusinodi multitudinis numerus Α, qui unitate adiecta Desio. fiat Κ ; ergo aliquot dispositae a prima magnitudines D , Pr. 16. a. sumptae in multitudine numeri Κ , sunt maiores G, quod est absiurdum: non est igitur D, maior G. Sit D, minor G;&sit desecius I &viI, ad G, ita fiat plani AB quadratus ad ex diuisione per planuri A B, fiat M ;& inueniatur numerus N, qui multiplicando se ipsum auctum numero C, producat numerum non minorem

125쪽

minorem M ; & inter Arithmetice dispositos inueniantur

duo numeri consequentes O, P, maiores numero N;ergo etiam planum O P, maius emplano numeri N, ducti in seipsum auctum numero Ci& multo maius est,quam M;

O nultiplicando per planum ΑΒ, planoplanum ABOP. maius est solido AB M , videlicet numero Q; est autem numerus Q, ad quadratum plani A B, ut G , ad I i ergo planoplanum ABOP,ad quadratum plani AB, maiorem

habet proportionem,quam G, ad I, & per conuersionem rationis, planoplanum ABOP, ad excessum eiusdem supra quadratum plani AB,minorem habet proportionem, quam G, ad D ; habet autem excessus planoplani ABO Pr. rs. a. P, supra quadratum plani AB, ad excessum planorum O P, A B, proportionem eamdem, quam planum A B, ad unitatem; vel eamdem, quam unitas ad unitatem denominatam plano AB; vel diuidendo per duplum C, eamdem, quam unitas denominata duplo C, ad unitatem denominatam solido sub duplo C, & AB, v, delicet ad Gueergo ex aequali in perturbata planoplanum . . ABOP, ad excessum planorum o P, A B, minorem habet proportionem , quam unitas denominata duplo C, ad Di& conuertendo excessus planorum OPAB, ad planoplanum AB OP, maiorem habet proportionem, quam D, ad unitatem denominatam duplo Ctest autem aggregatum intermediorum numerorum Arithmetice dispositorum inter A, P, ad excessum planorum o P, AB, ut unitus ad duplum C ; vel ut unitas denomina-

126쪽

ta duplo C, ad unitatem tergo ex aequali in perturbata aggregatum intermediorum inter A, P, ad planoplanum AB OP, maiorem habet proportionem, quam D, ad unitatem & aggregatum intermediorum inter A. P. denominatum pia plano AB OP, ad unitatem habet maiorem proportionem, quam D, ad eamdem uni tatem; Ergo aggregatum intermediorum inter A, P, denominatum planoplano ABOP, maius est quam D tA. a. B. s. Ο --

quot autem sunt inter A, P, intermedij, totidem amrmantilr a prima earum unitatum , quae in infinitum dispositae,&aggregatae sunt m D; quarum assumptarum aggregatum sit R : constat R, esse partem, vel portio. Pr. i. nem ipsius & constat etiam R , esse aequalem aggregato intermediorum A, P, denomina. ro per planoplanum A B O P; ergo R, est maius D, pars toto, quod est abliui dum et non ergo D . est minor G, neque mais

ror; ergo D, est aequalis ipsi G . Quod,&c.

Theor.

127쪽

Vnitates denominata solidis numerorum rithmetice dispositorum, quotlibet assumpta ad succedentes in infinitum siunt, ut excessus plani, fit a maximis numeris adhibitus in denominatione assumptarum supra planum, sit a minimis, ad nsem planum a minimis contentum.

2. B. y. 8. C. II. D. Iq. E. a.

NVmerorum Arithmetice dispositorum sint A, B, minimi cum excessii E; & sint F, quotlibet a G1umptae, & aggregatae unitates denominatae solidis numerorum dispositorum Arithmetice ab A, B ; & in ipsarum F, denominatione sint adhibiti numeri C, D, maximi ; &ipsis F, succedentes in infinitum dispositae,& aggregatae sint G. Dico F, d G, esse ut excessus planorum CD, AB, ad planum AB. Quoniam F, sunt Pr. aequales aggregato intermediolum Arithmetice dispositorum inter A, D, denominato per planoplanum ABCD i& G, sunt aequari unitati denominatae solido sub Pr. duplo E,& plano C D 3 igitur F, ad G , sunt ut aggregatum intermediorum inter A, D , denominatum pia N a noplano

128쪽

E. 3 noplano A B C D, ad unitatem denominatam solido sub duplo E , & plano CD & multiplicando per planum CD, iunt ut aggregatum intermediorum A, D, denominatum plano AB, ad unitatem denominatam duplo E;& multiplicando per duplum E, ut excessus planorum C D, AB, est enim excessus huiusmodi multiplex aggregati intermediorum inter A, D, ut duplum E, unitatis denominatus plano, A B , ad unitatem a & multiplicando etiam per planum AB, sunt F, ad G, ut excessus planorum

CD . AB, ad planum AB. Quod,

Tinis Libri Secundi .

129쪽

QUADRATVRAE

ARITHMETICAE

De Additione Fractionum

LIBER TERTIUS,

In quo eorum, quae superioribus Libris demonstrata sunt, generaliora traduntur principia.

Theorema i. Propositio 1.

Dispositis quomodolibet magnitudinibus , ut assumptis totidem semper secundum ali-' quem numerum, singula excedantsingulas pracedentes pariter totidem sumptas ordia nis eiusdemi ex denominatione huiusmodii excessuum magnitudinum ordinis eiusdem per productum tum ex magnitudinibus, i quarumunt excessus, tum ιιiam ex intem

130쪽

mediis sunt fractiones, quarum aggregatum en excelus productorum totidem ta-

rarum ab extremis hinc inde, denominatus

per productum dupli numeri titerum asijsdem extremis .

DIspositis quomodolibet magnitudinibus A, B, C,

D, E, F, G, ut assumptis totidem semper secundum aliquem numerum, utpote singulae D, E, F, sup rent singulas totidem sumptas praecedentes A, B, C, &similiter E, F , G, superent B, C, D,& sie deinceps; ex denominatione excessiis D, A,per productum earumdem excedentium D, A ,& intermediarum B, C, fiat fractio I; & similiter ex denominatione excessuum E, B; F, C G, D; H, E, per productos BC D E, CDEF, DEFG, EFGH, fiant fractiones Κ, L, M, N; & quot sunt A B, C, vel D, E, F, &c. totidem sint extremae maximae F, G , H,& minimae A, B, C & ex denominatione e cessus prodii cti extremarum hinc inde F G H, A BC, per productum omnium earumdem extremarum ABCFG H , fiat fractio P. Dico I, Κ, L , M, N, aggregatas aequales esse P. Ex totidem semper consequentibus A BC, BCD,&c. fiant producti Q. R, S, T, X, Yοῦ quo niam Q, est productum ABCi& R , productum BCD pl. nim , est produoum ex productis ABC, BCD, ergo A, D ,& productus A BC D, si ni homologi rationis eiusdem laterum Q, R,& eorumdem lateium plani