장음표시 사용
131쪽
Arithmeticie. I rox QR ι ergo excessus D, A, ad productum ABCD. est ut excessus R, Q, ad planum h ; ergo excessus in, A, donominatus producto A BC D, vin licet se actio est aequalis excessui R, in denominato plano QR : similiter demon strabistitis Κ, L, M , N, a quaks excessibus S, R ;T,S , X , TI Y, X, denominatis planis RS, ST, TX, X Y; ergo colligendo I, Κ, L , tu, N, sunt aequalesiexcesssbus consequentium Q, R, S, T, X.Y, denomina. tis eorumdem consequentiu planis ; videlicet uni exceL Pr. . i. sui extremorum v, Q, denominato eorumclim extremorum plano QY: est autem Y, productum FGH;&Q, productiam ABCi ergo excessus Y, Q, denominatus plano Y , est aequalis ex Iui productorum FGH, ABC, denomina toproducto AB CFG H, videlica fractioni P: ergo I, Κ, L, M, N, compositae, & aggregatMiunt aequales P. Quod
m positis Arithmetice magnitudinibus,excessus producti quotlibet laterum a maximis extremis , supra productum totidem lau
rum a mimmis extremis, ad aggregatum productorum numeri laterum unitate mi
noris factorum ab isdem dispossitis conso
quentibus, prater primam, oe ultimam , habet proportionem compositam, tum excessui dispositionis, tum etiam numera multia
132쪽
rudinis laterum productorum excedentium
productum trium laterum FGH;&a minimis extremis productum totidem laterum AB C. Dico excessum productorum F G H, A B C, ad aggregatum productorum duorum laterum , qui fiunt a consequentibus , praeter primam, & vltimam A, H, videlicet ad compositum explanis BC, CD, DE, EF, FG, habet proportionem compositam, tum excessus B, A, tum etiam ternarij numeri multitudinis laterum F, G, H, ad unitatem. Sit E. in dispositione proposita proxima minor F: quoniam excessus H, E, ad excessum B, A, est ut 3. multitudo nuis merorum F, G , Η, ad unitatem 3 addita communi proportione excessus B, A, ad unitatem, ergo excessus H,E, ad unitatem habet proportionem composita , tum CX cessus B, A, tum ternarij ad unitatem: ducatur E, in proXLmas maiores magnitudines F, G, ut fiat EFG, productus totidem laterum, quot est FGH ; ergo planum FG, ad productum EFG, est ut unitas ad E; est autem productus EFG, ad productum FGH, ut E, ad H; & diuidem do, productus EFG, ad excessum productorum FGH, EFG, ut E, ad excessum H, E , ergo ex aequali planum FG, ad excessum productorum FGH, EFG, est ut unitas ad excessum H, E; & conuertendo, excessus productorum F G H, E F G, ad planum F G, cst ut excessus Η, Ε, ad unitatem: similiter demonstrabimus , quod singuli excessus productorum EFG, DEF,CDE, BCD,
ABC, ad singula plana EF, DE, CD, AC, AB, sunt ut
133쪽
excessus Η, Ε, ad unitatem: ergo colligendo, excessus productorum FGH, ABC, ad aggregatum planorum AB, BC, CD, DE, EF , FG, est ut excessus H, E, ad unitatem; videlicet proportionem habet compositam, tum excessus B, A, tum etiam numeri multitudinis lat rum F, G, H, ad unitatem. Quod, dici
Dispositis Arisbm lice quotlibet magnitudini'
bus, nitates denominata productis totidem: semper coosequentium, sunt aquales aggre gato productorum numeri laterum binario minoris, factorum ab ijsdem dispositis consequentibus, praeterprimam, oe ultimam, denominato per planum sub duobus ιotisdem hinc inde extremarum productis numera laterum unitate mnoras.
134쪽
duobus ternorum Iaterum hinc inde extremorum productis ABC EFG, sit M. Dico, quod H, I, Κ, L, sunt aequales M. Sumantur A, B, C, D, E, F, G , ternae; &singularum quaereroz si murius excesses Opra singulas praecedentes denominentur productis eatumdem, qua rum sunt excessiis,& intermediarum qui producti sunt singuli quatornorum laterum ut fiant fractiones is, o, P .ct, & excessus productorum a ternis hinc inde extremis EFG, ABC, denominatus omnium earumdε extre-Pr. i.3. mserum producto ABC EFG sit R; ergo O RQ, sunt aequales R: & quia N , O, P , in singuli sunt ex ςssus earum, quae ternae sumuntur denominati productis quatern rum ut excessiis D, A, denominatus plodu M ABCD, α Η, I, K, L, si uiae sunt unitates denominatae emiliter; ergo singuli N , o, P, in ad singulas H,l, K, sulit ud eXcestus D, A, ad unitatem; videlicet proportio nem habent c0mpositam excessiis D, A, ad eaecessum conlequentium B , A, & huius ad unitatem: est autem excessus D, A, ad excessum B, A, t 3.ad unitatem; ergo caecessirs D A, ad unitatem habet compositam proportionem tum excessus B , A ,tum etiam 3. ad unitatem: pr. 13. quae composita eadem est proportioni excessus produ- rum trium laterum ab extremis factorulis EFG, ABC, ad aggregatum productorum ex binis ijsdem, praeter A, G ἡ & diuidendo per productum omnium extremarum A B C E F G, eadem est proportioni R , ad M: ergo singulae magnitudines N, O, P, Q, ad singulas Η , i, K, L, sunt ut R , ad M ;& colligendo omnes, N, O, P, in ad omnes H, I, Κ, L, sunt ut R, ad Μι&permutandos
135쪽
Arithmeticae. IOTdo, quia N, O, P, Q,sunt aequales R; etiam H, I, Κ, L, sim aequales in Quod dici Q
Dispositis Arithmetice quotlibet magnitudin
nibus , unitates denominata productis to- tidem semper tu dispositione ,sunt minores, quam ut ad unitatem habeant proportionem compositam unitatis tum ad productum ex minimis numeri lateruis .nitate minoris, tum ad numerum latera eiusdem
producti, tum etiam ad exculum dispo- stionis Arithmetica.
quarum B, C, D, minimae ; & E, F, G, maximae, cum excessu H ; & unitates denominatae productis quatuor semper laterum sint A. Dico, quod Α, sunt minores , quam ut ad unitatem habeant proportionem comis positam unitatis tum ad productum BCD, tum ad 3. numerum laterum B, C, D, tum etiam ad H. Quoniam B, C, D,&c. sunt Λrithmetice dispositae , ergo Α , sunt Pr. aequales aggregato productorum duorum semper lateruex ipsis dispostis praeter B, G , denominato per pla num I O a ex
136쪽
talem sunt ut aggregatum produ ctorum duorum semper laterum ex dispositis praeter B, G, ad pIanum ex productis trium laterum BCD, EFG , videlicet proportionem habent compositam dicti aggregati produ ctorum duo. rum laterum a conscquentibus praeter B, G, ad differentiam productorum trium laterum ab extremis EFG, BCD,& huiusmodi differentiae ad eorumdem produ ctorum planum BCDEFG; aggregatum autem productorum duorum laterum a consequentibus ad differentiam pro ductorum trium laterum ab exφremis proportionem habet compositam unitatis tum ad 3. numerum laterum BCD, tum etiam ad H ; ergo A , ad unitatem habent proportionem compositam unitatis tum ad 3. tum ad H, di differentiae productorum EFG, B C D, ad productum BCDEFG : quoniam autem productum BCDEFG, maius est quam ut ad differentiam productorum EFG, BCD, eamdem habeat proportionem, quam productus BC D, ad unitatem; conuertendo, differentia productorum EFG, BCD, ad productum BCDEFG, minorem habet proportionem, quam unitas ad productum BCD ; ergo addendo communem proportionem compositam unitatis tum ad 3. tum etiam ad H, A ,siunto minores, quam ut ad unitatem habeant propor- :tionem compositam unitatis tum ad productum BCD, tum ad 3. numerum laterum BCD, tum etiam ad H. Quod,&c.
137쪽
Vnde confiat, quod unitates, qua denominantur productis totidem semper magnit dinum Arithmetice dispositaru, quotlibet assumpta sunt minores unit te denominara solido sub producto a nummis numeri laterum unitate minoris ,sub eodem late' rum numero, re Iub excessu dispostitionis.
Constat praterea, quod unitates, qua deno-P DI.minantur productis totidem semper magnitudinum Arithmetice ordinatarum, in
infinitum disposita , oe aggregata fluvi
Manisenum tandem ut, quod unitates, 36, 3.
denominantur productis totidem semper
138쪽
magnitudinum Arιthmetice ordinataru, in auq a multitudine sunt a prima, q a propositam implent extens nem minorem . extensione dispositarum earumdem in i
Dispositis Arithmetice magnitudinibus, uniatates denominata pi'ductis totidem semper , in dispositione, ordinata in infinitum, oecomposita ad unitatem tabent proportionem compositam unitatis tum ad produ-
m ex mιnimis numerι laterum unitate
minoris, tum ad numerum laterum eiusde. productι, tum etiam ad excessum dispo- . sitionis Arithmetic .
.i λ AE Agnitudinum Arithmetice dispositaru in infini-1V1 tum sint minimae ABC,&excessus D; unitates
autem denominatae productis quatuor semper laterum ordiis
139쪽
4Arithmetica. ILI ordinentur, & aggregentur in E. Dico, quod E, ad
unitatem habet proportionem compositam unitatis tum ad productum ABC, itim ad 3. numerum laterum ABC, tum etiam ad excessit in D. Alias E, maior, est vel in nor, quam ut ad unitatem habeat tamdem proportione compositam: sit maior ;& iit excessus F ; & ab E, deducto F, relinquatur G; ergo G, ad unitatem habet praedictam proportionem compositam: quoniam Ε, maior est Gi ergo in aliqua multitudine sumptae a prima magnitu' Coroll. .dines in E, dispositae implent G : sit huiuimodi multitu- prop.4.3.dinis numerus H; qui adiecta unitate fiat I . ergo magni- Def. ro. tudines in E, dispostar sumptae in multitudine I, liint maiores G i videlicci sint maiores , quam ut ad unitate habeant praedictam proportionem compositam; quod Coroll. t. est absurdum: ergo E, non est maior, quam ut ad unita' proP ε 3 rem habeat proportionem compositam unitatis tum ad productum ABC, tum ad 3. numerum laterum AB C,
Sit E , minor G; & sit desectus F i & ut F, ad G, ira fiat producti ABC , qua diatus ad Q; & ex diuis ne Q, per productum ABC, fiat quotiens M; & magnitudinis M, tamquam producti totidem laterum aequalium, quot sunt A BC, latus inueniatur, utpote radix cubica, quae sit N ;& inter magnitudines Arithmetice dispositas inueniantur tres, vel quot sunt A, B, C, tot, dem magnitudincs consequentes O, P, S maiores praedicta radice N : ergo productum P, P, S, maius est prineutio totidem laterum aequalium ips N, videlicet magnitudine
140쪽
gnitudine M; & multiplicando per productum AB C, productum ABC OPS , maius est producto ABCM, videlicet Q; est autem Q, ad quadratum producti ABC,
ut G, ad F; ergo productum ABC OPS, ad quadratum producti ABC, maiorem habet proportionem, quam G, ad F; & per conuersionem rationis , productium ABCoPS, ad excessum eiusdem supra quadratum producti ABC, minorem habet proportionem, quam G, ad Etha-PLIs. . bet autem excessus producti ABC OPS, supra quad Dium producti ABC, ad excessum productorum OPS, ABC, proportionem eamdem, quam productus ABC, ad unitatem; qua communi adiecta, productus ABCΟPS, ad excessum productorum OPS, ABC, minorem ha bet proportionem, quam composta G, ad Ε, & produ- Prop.1.3. cti ABC, ad unitatem; sed excessus productorum OPS, ABC, ad aggregatum productorum duorum laterum
consequentium inter Arithmetice dispositas praeter A,S, habet proportionem compositam tum 3.numeri laterum ABC, tum etiam excessus D, ad unitatem; qua etiam communi adiecta, productus ABC OPS, ad aggregatum productorum duorum laterum consequentium praeter A, S, habet minorem proportionem, quam composita G, ad E ,&producti ABC, ad unitatem, nec non com posita tum numeri 3,tiim etiam excessiis D,ad unitatem;& est composita tum producti ABC , tum numeri 3.tum etiam excessus D, ad unitatem aequalis proportioni vn
talis ad G; quae composita proportioni G , ad Ε, facit Proportionem unitatis ad E i ergo productus ABCOPS,