장음표시 사용
51쪽
Data proportione minoris in qualitatis, alumuenire maiorem data, qua sit numeri , quem datus numerus metiatur ad nu
merum etiamtate maιorem. . A- 39 C. T. B. 43. P D. IO. E. II. F. I . G. II. DAta sit proportio minoris inaequalitatis A, ad B, &datus numerus C, opportet alteram proportio nem inuenire maiorem data, quae sit numeri, quem tario, , - metiatur ad numerum unitate maiorem. Data proporri 'r' tione minoris inaequalitatis A , ad B, maior inueniatur, quae sit numeri D, ad numerum Ε, unitate maiorem. Si contigerit C, metiri D, constat proportionem D, ad Ε, quaesitam esse. Quod si C, non metirur D, sumatur C, toties, donec fiat maior D,& sit factus F,cui unitate agglegata fiat G. Dico proportionem F,ad G, esse 'naesi tam; quoniam F, maior est D , habet F, ad unitatem maiorem proportionem, quam D; & componendo F, ad G, maiorem, quam D, ad E; sed D, ad E, adhuc ma torem habet, quam Α, ad B; ergo F, ad G, multo malo rem habet, quam Α, ad B : inuenta est ergo pro- portio F, numeri, quem C, metitur ad G, numerum unitate maiorem, quae est maior proportione A , ad B. Quod faciendum erat.
52쪽
Vnitates denominata planis numerorum Arithmetice dispositorum ab Φnitate in
infinitum disposta, oe aggregata μης
aquales unitati denominata disserentia consequentium dispositionis Arithmetica.
Sint in A, dispositae in infinitum,& aggregarae unita tes denominatae planis Arithmetice dispostorum ab unitate, quorum differentia B; & sit C, unitas den minata per B . Dico A, aequalem esse C : alias erit A, maior, vel minor C. Sit maior; igitur in aliqua multi- CorolL tudine siuinptae a prima unitates dispositae in A , implent Py0p- C: sit huiusmodi multitudinis numerus D, qui ad iccta AY.unitate fiat Ea ergo aliquot unitates cx dispositis in A , Def. io. sumptae a prima in multitudine numeri Ε, sunt maiores C , quod est absurdum i igitur non est A, maior C. Sit Prop. 1 minor, & data proportione minoris inaequalitatis A, ad Prψp i. C, inueniatur altera maior, quae sit numeri D , quem B, metiatur ad Ε, numerum unitate malorem; metiatur autem B, ipsum D, per F; igitur F, ad D, est ut unitas ad B kunitas autem ad B, est ut C, ad unitat cm; ergo F, ad D, est ut C , ad unitatem; & D, ad Ε, maiorem habet proportionem Α, ad C ; ergo ex aequo in perturbata I. ad Ε, maiorem habet proportioncm, quam Α, ad unita, rem . Denominetur i, per E, ut fiat fractio G i ergo ut
53쪽
est l, ad Ε, ita G, ad unitatem; igitur G, ad unitatem habet maiorem proportionem quam Α, ad eamdem unitatem; ergo G, maior est A. Sumantur ex unitatibus dispositis in A, a prima totidem secundum numerum F;r & sit assumptarum extensio Hr constat quod H , est aequalis F, denominato per E, nempe fractioni Gi ergo etiam H, maior est A, pars toto, quod est absurdum rigitur A, non est minor C, sed neque maior. Ergo A, est aequalis C. Quod,&c.
CIt A, dispositio Arithmetica numerorum ab unitate, quorum consequentium differentia Bi & in C, sint dispositae in infinitum, & aggregatae unitates denomia natae planis numerorum A; & unitas denominata per B, sat D . Dico C, aequalem esse D. Sit E, aggregatum quotlibet ex dispositis in C, a prima, quarum multitudo F; & ex F, in B, fiat G, qui auctus unitate sit Het ros ia constat E, aequalem esse F, denominato per H: interdis positas in C,si I,proxime succedens aggregatis in E,&Κ, numerus ordinis eiusdem inter numeros A, cuius I, Prop ., inter unitateSC: constat etiam, quod unitatum C, quar' succedunt ab I, sumptae semper totidem secundum numerum Κ, ad singulas easdem a prima sunt ut unitas ad Κῶ ergo colligendo, omnes C. ab I, ad omnes easdcm C, a prima sunt ut unitas ad Κ; ergo conuertendo, MPeI conuersionem rationis, omnes c ad assumptas in E, sunt
54쪽
sunt ut Κ, ad excessum Κ, super unitatem: & quoniam Κ, & I, in tuis dispositionibus sunt ordinis eiusdem; est excessus K , super unitatem ad excessum consequentium B, ut multitudo aggregatarum in Ε, videlicet numerus F, ad unitatem ; ergo excessus Κ , super unitatem est a qualis producto ex F, in B, videlicet numero G; & propterea, adiecta hinc inde unitate, numerus Κ, est squalis H; igitur C, ad E, est ut H, ad G; & E, ad unitatem est ut F, denominatus per H, ad unitatem, uidelicet ut F, ad Η ; ergo ex aequo in perturbata C, ad unitatem est ut F, ad G sed quia B, multiplicando F, facit G, est ut F, ad G, ita unitas ad Bi uel unitas denominata per B, uidelicet D, ad unitatem ; ergo C, ad unitatem est ut in ad eamdem uultatem. AEquales ergo sunt C, & D. Quod,&c.
Unitatum, qua denominantur pianis Arithmetice dispositorum ab unitate,quotlibetasumpta ad succedentes in infinitum sunt, ut productus ex numero multitudinis ipsa rum, oe disserentia dispositionis Ariathmetica ad unitatem.
SInt A, numeri Arithmetice dispositi ab unitate quorum consequentium differentia B; & unitatum,quq denominantur planis A, sint assumptae a prima C , totidem, quot sunt unitates in Di &succedentes in infini-E a tum
55쪽
tum intelligantur dispositae,&aggregata in E; &ex B, in D, producatur F. Dico C, ad E, esse ut F, ad unit Prop. 13. tem. Augeatur F, unitate ut fiat Gr constat C, aequa. Prop. 17. les esse D, denominato per C , & C, E, simul aequales esse unitati denominals per B , & quia ex ductu B, in D, fit F, est unitas ad B, ut D, ad F;& unitas denominata per B, est aequalis D, denominato per F; propterea C, E, simul sunr aequales D, denominato per F; ergo C,ad C, E, simul sunt ut D, denominatus per G, ad D, deno minatum per F; uel reciproce, ut F, ad G, & diuidendo, C, ad Ε, sunt ut F, ad unitatem. Quod, &c.
Unitatum, qua denominantur planis Arithmetice di ositorum ab unitate, quotlibet assumpta a prima ad ultimam assumpta
ci rumsunt, ut productum ex numero eius
dem ordinis cum astumpta inter Arithmetice dispositos, se numero multitudinis W- sumptarum ad unitatem.
Sit in A, dispositio Arithmetica numerorum ab unitate ; di unitatum,quae denominantur planis A,sinti quot-
56쪽
quotlibet assiumptae a prima B, quarum multitudo C, &ultima D, & eiusdem ordinis inter Arithmetice disposi-tOS numerus E. Dico B, ad D, esse ut planum C E, ad unitatem. Inter numeros A, sit F, proximuβ maior E. Et quoniam E, D, sunt eiusdem ordinis in suis disposi.tionibus; constat D, aequalem eme unitati de 3ominatae Plano E F: quoniam etiam C, est multitudo B, sunt in Ordine A, numeri ab unitate ad E, totidem,& post unitatem ad F, pariter totidem Arithmetice dispositi; ergo excelsus F,.su per unitatem toties,continet differentiam consequentium, quot sunt unitates in C ; ergo C, mulistiplicando dimerentiam,consequentium producit exces sum F, super unitatem cui quidem excellui adiectav n, tale fit numerus F; unde constat B, esse aequales C, denominato per F; ergo B, ad Di sunt ut C, denominatus Prop. 13. per F, ad unitatem denomipatani per planum E F i & multiplicando terminos per planum EF, ut B. ad D. ita se habet planum C E, ad unitatem . Quod,&c.
itatum, qua denominantur planis Ariathmetice dispositorum ab unitate , qu et assumpta ad succedentes in infinitum est, ut disserentia consequeotium ad num
57쪽
rum ordinis eiusdem cum assumpta intre Arithmetice dinositos .
tate,quorum differentia B; & unitatum,quae deni minantur planis A, sit assumpta C, quam succedentes in infinitum dispositae, & aggregatae sint in D ; & eiusdem ordinis cum C, sit E, inter numeros A. Dico C, ad D, esse ut B, ad E. Sint, quae praecedunt D, aggregatae in Prop. 18. F, quarum multitudo G ; constat C, ad F, esse ut unitas Prop 7. ad planum G Ei& F, ad D, est ut planum B G , ad uni. talem s ergo ex aequo in perturbata C, ad D, est ut planum B G, ad planum G E , vel ut B, ad E. Quod,&α
Duarum fractionum minimis numeris exis presiarum, cum denominatores numerato
rum sunt aquemultiplices siverparticula
res, maior es , qua maioribus numeras ex
ponitur, S excessus est aqualis excessui numeratorum denominato per planu denomi-
58쪽
L. I. Κ.87. I. 84:SInt duae fractiones, quarum numeratorum A, B,sint aequemultiplices C, D ; & adiecta singulis unitate fiant denominatores F, G, aequemultiplices superparti culares numeratorum A, B, quibus propositae fractiones in minimis numeris exprimuntur; & sit B, maior A, per excessum H; unde fit et ia D,maior Ci addit communi unitate, G, maior F. Dico fractionem B, per G, excedere sta Aionem A, per F, numero H, denominato per planum F G. Ex B, ducto in C ,& F, producantur I, & Κ; & ex Α, in G, fiat L: quia D, C, sunt aeque- multiplices B, A, ut B, ad A, ita D, ad Ci& idem I, qui fit ex B, in C, fiet etiam ex Α, in D, igitur A, multipli-plicando G, D, facit I; & multiplicando unitatem excessum G, D, facit se ipsum A, excessum K, I: demonstrabitur eodem modo B, fieri excessum L, I: ergo exceLsus B, A, videlicet H, est etiam excessus L, Κ ; sed exces.sus fractionum B, per G-A, per F, est eXcessus L, Κ, denominatus plano G Fῆ ergo excessus fractionum B, per G, & A, per F, est H, denominatus plano G F. Quod,&ta
Vnitatum, qua denominantur planis Ariat elice dispositorum ab unitate, quotlibet
59쪽
astumpta ad Accedentes in infinitum sunt,
ut multiplex disterentia in a positionι secundum multitudinem Uumptarum ad muιtiplicem eiuUrim disterentia secundum multitudinem praceaentium a prima semper auctum unitate.
SIt A, dispositio Arithmetica numerorum ab unitate.
quorum differentia B; & unitatum, quae denominantur planis A, sint assumptae C , quarum multitudo numerus D; & sint E, quae praecedunt, quarum multitudo numerus F; & quae sequuntur sint tirin finitum dispositae, & aggregatae in G; & ex B, ducto in F, D, fiant I, H i & I, au ictus unitate fiat K. Dico C, ad G, es. se ut H, ad K. Fiat ex F, D, aggregatum L , & ex Η, Κ, aggregatum M : constat L, esse multitudinem Ε, & C, simul. Et quoniam ex B, ducto in F, D, facti sunt I, H; etiam ex B, in L, fiet aggregatum ex I, H; quod auctum unitate est aggregatum ex H, Κ, videlicet Met ergo M, P oo. i. est productum eX L, in B, auctum unitate ; & proptereae ' ' C,E, simul stit squales L,denominato per MI&E,ε qua lis est F, denominato per Κ; ergo C, est aequalis exces P 'p'i' ' sui nempe D , numero denominato pcr planum MK; ergo C, ad E,C,simul est ut D, denominatus per planum M Κ, ad L, denominatum per M ; vel multiplicam do
60쪽
do terminos per planum M B, ut planum D B, denomia natum per Κ, ad planum BL: sunt autem E , C, simul Prop. ad G, ut planum B L, ad unitatem; ergo ex aequo C, ad C, est ut planum B D, vel H, denominatus per Κ, ad unitatem ; sed est H, denominatus per Κ, ad unitatem ut H, ad K. Ergo C, ad G, est ut H, ad K. Quod,&e.
Unitates, qua denominantur planis omnium numerorum ab unitate bina a prima sunt dupla singularum unitatum, qua deno. minantur planis omnium imparium ab
SInt dispositiones omnium numerorum A,& omnium imparium B, ab unitate; & unitatum denominata rum planis A,&B, sint C,&D. Dico binas C, duplas esse singularum D , a prima. Quoniam in A, sunt omnes impares interiectis inter binos consequentes singulis paribus, concipientur singuis dispositiones Arithmeticae trium numerorum, quorum extremi impares, &medius par; igitur singula plana sub extremis impari- pbus, videlicet singula plana numerorum B, a primo sunt