Sex priora Euclidis geometrica elementa, denuò clarioribus auctorum demonstrationibus, ... eddita , H.R. ..

271쪽

ci indit in rectam A , applicatum, deficere dicitiir pacralles Oorammo DB, ita ut DB,appelle ur desectus.l E contra vero si data recta A C , siu pra quam con- stilitatur parallelooram mum ABFE, quod habeat Iaiatus AB , maius data recta AC, ducanturqtie lineae ut supra . Paralleloorammum igitur AF, secundum reis et am AC ψ applicatum , excedere dicitur parallelogrammo DB, sicque DB , vocatur excessus. fi

PLOPOS. I. THEOR. I. Triangula, & parallelogramina, quorum eadem. fierit altitudo, inter se ita se habent, ut ba

ses.

SInt duo triangula ABC, ABD, eandem habenistia altitudinem, quorum bases sint BC, BD. Item duo parallelogramma BE, BF, eiusdem altitudinis , quorum eaedem bases B C, BD. Dico ita effrtriangulum ABC, ad triangulum ABD,Separallelogrammum

BE , ad parallelo.

grammum BF, ut est

basis BC , ad basin BD Hoc est si basis BC, statuatur

prima magnitudo , & basis BD, secunda : At triangulum ABC, vel paralleltigrammum BE , tertia ,& triangulum ABl γ, vel parallelogrammum BF , quarta, sequemultiplicia primae, ac tertiae ab aequemultiplicibus secundae, & quartae vel una deficere, vel una aequa. lia esse, vel una excedere , v- ostθnsim fuit in defin. s. lib. Ponantur enim tam triangula, quam parallel gramma inter easdem parallelas EF, GK , sici sue ud

272쪽

dictum est in defin. huius libri, triangula, & parallelogramma eandem habebunt altitudinem , cum perpendiculares ad hases demisse aequiaes existant. Ru bisex BG, sumantur miotcunque rectae s licet in nostra figura una tantumlumatura aequales ipsi BC,&sit CG: Item ex Ag, abscindantur quotcunque rectae

DH, HI, IK, aequales ipsi BD. Deinde a puncto Λ, ducantur rectae AG, AH. ΑΙ, ΑΚ. caa Erunt igitur atriangula ABC, Α G, super aequales bases, 3e inter easdem parallesas aequalia. Eademque ratione atqualia erunt triangula BAD, D ΑΗ, ΗΑI, IAx. Quam- multiplex ergo est recta GR, sectae BC, tam multiplex quoque erit triangulum BAG, trianguli 3ΑC: de quam multiplex est rea a Bx, rectae BD, tam quoque multiplex erit triangulum ΒΑΚ, trianguli BAD, quia in tot triantula aequalia sunt diuisa tota triangula ABG, ABK, in quot rectas aequales sectae fuerunt totae reet, BG, BK. Quoniam vero si basis BG,aequalis sum

rit basi EX, b necessario triangulum ABG . aequale l bat. νι. erit triangulo ΑΒΚ, ae proinde si BG, maior fuerit quam ΒΚ, necessario ABo . maius erit quam Anx, & si lminor, minus erit; proptereaque deficient una BG, recta,&triangulian ABG, aequemultiplicia primae magnitudinis BC, & tertiae ABC, ab Βx, recta triangulo BAΚ, aeque multiplicibus secundae BD, & quartae BAD, vel una aequalia erunt, vel una excedent, si ea,

quae inter se respondent, sumantur. 93 Quare quae proportio est primae BC, ad seeundam BD , basis adbafin, ea erit tertiae BAC, ad quartam BAD, trianguli ad triangulum. Sicut ditur basis ad basin , ita est tibangulum ad triangulum a quod fuit propositum. ioniam vero cd) ut triangulum ABC, ad triangu- j drium ABD, ita est parallelogrammum BE, e duplum enim est trianguli ABC, ad parallelogrammum BF, qtiod pariter est duplum trianguli A BD, unde perspicuum est ita quoque esse parallelogrammum ad parallelogrammum, ut basis ad basin. Quod tutum confirmari potest eodem argumento, quo usi:

273쪽

sta tuis in triangulis, si prius ex punctis C,G, rectae ducantur parallelae ipsi B A; necnon ex punctis H,Ι,Κ, parallelaei pli RA,&c. Triangula ia tur , de paralla- Iogramma, quorun, eadem fuerit altitudo , ita se habent inter se, ut bases, S c. Quod erat demonstran

dum.

Si ad unum trianguli Iatus parallela ducta fueritreeta quaedani linea; haec proportioiraliter ωcabit ipsius trianguli latera. Et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint, quae ad sectiones adiuneta fuerit recta linea, erit ad reliquum ipsius trianguli latus parallela.

N erlinpuIo ABC, dueatur primum recta DE, ParalleIa lateri BC. Dico latera AB, AC , festa esse proportionaliter in D, &E, hoc est,esie ut AD, ad DB, ita AB, ad EC. Ductis namque rectis CD, BE, a erunt triansula BDE, CED, super eandem hasn DE, & inter easden Iarallelas DE, BC , constituta intere aequalia. cbJ Quare ut triangulum ADE, ad triangulum DEB, ita est idem triangulum ADE, ad triangulum FDC : ca Atqui ut triangulum ADE, ad triangulum D ER, ita est basis AD, ad basin BD, cum haec triangula sint eliisdem altitudinis, ut constat si per E, p rallela agatur ipsi ABO Eademque ratione ut triangulum ADE,ad triangulum E DC, ita est basis ΑΕ, ad basin EC. da Vt igitur AD, adim, ita est AE , ad EC, c cum hae duae proporticinest eaedem sint propertioni trianguli ADE, ad trianguin - lum

274쪽

lum DEB. & eiusdem trianguli ADE, ad triangulum EDC. Quod est propositum.

Secet deinde recta DE, lateras, AC, proportio Baliter. Dico DE, parallelam euerelicitio lateri BC.Dactis enim, visa pra, rectis CD, BE, e erit ut bas. AD, ad basin DB; ita triangultim ADE,ad triangulam DEB, cum sine eiusdem altitudinis: Ponitur at

rem ut AD, ad DB, ita ΑΕ, ad EC: s a igitur erit ut triangulum ADE, ad triangulum DEA, ita ΑΕ , ad iEC: Sed e ut basis AE, ad basin EC , ita est trian-

eulum ADE, ad triangulum DEC. cum pxriter sint eiusdem altitudinis: ch) Igitur ut triangulum ADE, ad triangulum DEs,ita est idem triangulum ADE,ad triangulum DEC. i) AEqualia ergo sunt triangula EDE: DEC; ac propterea cum eandem habeant bain sin DE, λ erunt inter easdeni paralleIas constituta.

Quare parallela est DE, ipsi BC: quod est proposi. . Si igivir ad unitor trianguli latus parallela ducta fueriti &c. Quod erat ostendendum .

PROPOS. s. THEOR. s. si trianguli angulus bifariana sectus' sit, secans

autem angulum recta linea secuerit & bata; . basis segmenta eandem habebunt Iationein, quam reliqua ipsius trianguli latera. Et si basis segmenta eandem habeant rationem, quam' resiqua ipsius trianguli latera; recta linea, quae a vertice ad sectionem producitur, bisulam secat angulum ipsius trianguli . IN triangulo ABC, recta AD, secet primo angulum BAC, bifariam , Dico eas ItyΛ, ad AC, ira

275쪽

BD, ad DC. Agatur enim per C, recta CE, parallela ipsi DA, donec cum ΒΑ, pariter producta concurrat in E, puncto; debent autem coire CE, & B A, quia angvli B, & BCE, minores sunt duobus rectis: siquiisdem cum duo anguli ABD, BD Α, in triangu Io ABD. a) sint minores duobusreetis; & angulus BDA, bist aequalis linerno, dc opposito BCF, erunt etiam ductanstuli B, & BCE, minores duobus rectis: quare iuxta d fin. I; . lineae CE, BA, tandem coibunt c eritqtie angulus ECA, aequalis alterno CAD;& angulus E, externo DAB, aequalis erit. Cum igitur duo'aneuli CAD, DAB, per eum structionem aequales ponanti Gl erunt &anguli ECA & E,inter se aequales: da ade i que & rectae AC, AE, inter se aequales s se Ut igitur

EA, ad AB, ita CA , ad eandem AB. cfa Atqui veEA, ad AB, ita est CD,ad DB,ciim in triangulo EB recta AD.fit parallela lateri CE: cgJ Igitur ut CA, ad ΑΒ, ita CD, ad DB; quod fuit propositum . Sit deinde ut CA , ad AB,ita CD, ad DB. Dico rectam AD, bifariam secare angulum C AB. Prob.Quoniam enim ut CA , ad AB, ita nitiir CD,ad DB h ut autem CD, ad DB, ita est EA, ad AB, quod in triangulo CEB, recta AD, ducta sit paralisti lateri CE , . ci erit ut CA, ad ΑΒ, ita ΕΑ, ad eandem AB. ya aequal/ s igitur sunt EA, & AC , ac propterea apstuli E, & ACE, c l inter se aequales erunt cma Cum igitur angulus ACE, aequalis sit alterno CAD,& angulas F, pariter aequalis externo DAB erunt &duo anguli CAD, DAB, aequales inter se . s,od est propostum. Quare si trianguli angulus bifariam sectius sit, dic. Quod erat demonstrandum.

276쪽

Aequiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera, quae circum aequales angulos 3 &homologa sunt latera, quae aequalibus angulis subtenduntur. Sint aequiangula triangula ABC, DCEs sintque I aequales anguli ABC, DCE, & ACB. DEC, N lvAC, CDE. Dico esse AB, ad BC, ut DC, ad CE,& BC, ad CA, H CE, ad ED, & denique CA, ad Λη, lut ED, ad DC: Ita enim latera circa aequales angulos s. sunt proportionalia , ho- '' mologaque sunt ea late x ra , quae aequalibus angu cit A lis subtenduntur,hoc est, es antecedentia omnia Τ. . aequales respiciunt angu- ... - Ios, & consequentia silui- lv, ' ar liter . Constituantur la LM tera secunduin llineam rectam BE, ita ut langulus DCE, externus sit aequalis interno ABC; pariterque externias ACB, interno DEC, si aequalia: Et quia duo anguli ABC, ACB,. a) minores sunt duobus reistia: est autem anguis ACB, aequalis angulus DEC,4 erunt anguli B, & E, duobus recti a minores. b Ibi Quare retiae BA, ED, productae versus partes A, & 0,

eoibunt. Producantur ergo &conueniant in F. Ru liniam vero angulus externus DCE, aequalis est inte

no , & opposito ABC, cὶ parallelae erunt CD, & BR , εEademque ratione parat Ielae erunt CA. & ER, quod ngulus externus ACB, fit aequalia interno DEC.

277쪽

- Θ DF. Qitoniam igitur in triangulo BEF, rem δ' pirallela est lateri EF, se erit AB, ad AF, hoc ς - . est ad JC, quae aequalis est ipsi AF, ut BC, ad CE. Permutando igitur f erit AB, ad BC, ut DC, ad CE- Rursiis qRia in eodem triangulo BEF , recta. g I parallela est Iateri BF, el erit BC, M CE, Vt FD; hoc est CA, quae aeqtialis est ipsi FD, ad ED. Perdit itando igitur, h erit BC, ad Cri, ut CE, ad . . FD. Cuni igitur fit AB, ad BC, ut DC, ad CE i& P BC, ad C A. vi CE , ad ED; i)erit ex aequali ΑΒ, ad CA, ut DC, ad ED. Quod est propositum . . Aequis angulorum ergn t Iingulorum proportionalia sunt latera, &c. Quod erat demonstrandum.

Ex his patet, lineam rectam , quae in triangulo Iateri parallela ducitur, auferre triangulum πmile to- ti triangulo . Si enim in triangulo BEF, lateri BF, M. rallela ducatur CD, erit triangulum DCE, toti triangulo BEF, simile . Nam aequiangula sint, cum angu-BBFE , FRE .ca aequales fiat angulis CDE . DCE, extern s; de angulus E , communis . - Rurfilscum, uti demonstratum est habeant Iatera circa aequales angu los proportionalia, per primam defin. huius libri sta. lia erunt triangula FBE ,& DCE. .

l Si duo triangula latera habeant pr ortisti l lia; aequiangula erunt triangula, &aequales, habebunt eos angulos, si ab quibus ho-

incina latera subtenduntur. Uo triangula ABC, DEF, habeant Iatera pro i portionalia , situ ue AB, ad BC , NDE: ad ea ,

278쪽

modi triangula esse aequi an gula , anetulum sc licet A,

: demit in angulum C, angulo F. sic enim anguli aequales frespiciunt latera homologa.

His positis fiat angulus FE G, ca) aequalis angulo B, &angillus E FG , a noulo C i cqnueniantque rectae EG, FG, in G, puncto clγ eritque peliquus angulus G, re. Iiqno angulo A, a qualis et Atqui angula igitur sulit triangula ABC , EGF ; ca Quare ut AB, ad BC, ita cst GE, ad EF ; ut autem AB, ad BC, ita ponitur DE, ad EF : d) Igitur ut GE , ad EF, ita est D E , ad fF: ac propterea se aequales erunt rectar GEi Dd . Rursus quoniam si ut BC, ad C A. ita est EF, ad FG : Ut autem BC, ad CA , ita est EF, ad FD ; ga erit ut EF, ad FG , ita eadem EI , ad F D ; la) ideoque aequales erunt FD . FG. Quare clim latera EG , - , aequalia sint lateribus D E , DF, utrunque utrique, & basis EF, communis ; i) Erunt anguli G, S: D, aequales , clist ac

I ropterea etiam reliqui a figilli reliquis angu .is aequales erunt.' iamobrem eum angulus G, ualis sit angulo A , erit & angulus D , eidem angulo A, aequalis ; eodemqtie modo angulus D EF, angula B, ciangulus EFD, angulo C, aequalis erit; quod fuit propositum. Si ergo duo triangula latera habeant pro . portionalia Sec. Quod erat demonstrandum .

279쪽

si duo triangula unum angulum mi angulo aequalem, & ctrina n aequales. angulos ut ra proportionalia habuerint ; 'aequiangula erunt triangula, aequalesque habebunt am

Flos , sub quibus homologa latera subtem

duntur.

IN triangulis ABC, DEp. duo anguli B , & E . sint

inter se aequales, simque latera A B, B C, propor tionalia lateribus D E , EF, hoe est fit A B , ad B C , ut DE , ad EF. Dic' reliquos

- angulos reliquis angulis aequales esse, anguIum scilicet Α, angulo D, & angulum C,angulo F : Ita enim aequ3- res anguli homologa respi ciunt latera. Vt in antece denti demonstratione angu

Io B, fiat aequalis angulus FEGs & angulo C, angulus E FG ; quo stante, ut in antecedenti propositione dictum fuit, erit triangulum GEF, triangulo a 4 ffat. aequiangulum. Quare a 3 vr AR, ad BC , ita est GE.bII. ni. l ad EF: Sed ut ΑΒ , ad BC, ita ponitur DE, ad EF. Mi Igitur ut DE, ad FF,ita est GE, ad eandem EF ι atques s. I idcirco DE, GE, e) inpiales erunt. Itaque cum lateis ira DE, EF, aequalia sint lateribus GE . EF ,& quoque anguli ab ipsis contenti aequales c nam angulo B, citit factus est aequalis angulus FEG, aequalis est positus am. - . e gulus D EF, quare aequales ad inuicem erunt aneuliu4 DEF, GEF, dὶ erunt reliqui anguli D, & EFD, bliquis angulis G , & EFG, aequales. Cum ergo angu-ylus G, sit aequalis angulo Λι & angulus EFG , angin

280쪽

Io C s erunt etiam an rutis A, & C. aequales an uILD, M EFD ; ob idque aequiani illa erunt triangiua ABC, DEF i quod fuit propositum . Si ergo duo trian aula unum anmillim uni angulo aequalem &c. Quod erat demonstrandum.

PROPOS. 7. THEOR. 7.

Si duo triangula unum angilum uni angulo aequalem, circum autem alios angulos latera: proportionalia habeant ; reliquorum vero simul utrumque aut minorem , aut non mi- norem recto : Aequiangula erunt triangula, & aequales habebunt eos aligulos , circum quos proportionalia simi latera.

SInt duo triangula A 2C, DEF, sitque angulus A,

in triangulo ABC, a qtialis amulo D , in triantu Io DEF; de rursiis latera AB,BC,circa a noulum ABC, proportionalia lateribus

D E , E: F , circa angulum D EF, hoc est sit ut A B, ad BC , ita DE, ad EF,

hac tamen condisione, Ut quilibet reliquorum at gulotum, sit minor recto, minor. Dico ae- Et quiangula esse triangula, - . in . ἀngulos scilicet ABC.&proportionalia , R aηgulos, era , aequales esse. Prubat. Sit enim primum tam