Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

11쪽

torum tractantur : quo facilius deinceps utriusque Methodisumnius consensus eluceat.

Dii ili hoc opus in duos Libros, in quorum priori, quae ad meram Analysin pertinent, sum complexus : in posteriori vero, quae ex Geometria sunt scitu necessaria, explicavi, quoniam Analysis infinitorum ita quoque tradi solet, ut simul ejus applicatio ad Geometriam ostendatur. In utroque autem prima Elementa prael amisi , eaque tantum exponenda duxi, quae alibi, vel omnino non, vel minus commode traetata, vel ex diversis principiis petita reperiuntur. In primo igitur Libro, cum universa Analysis infinitorum circa quantitates variabiles earumque Functiones versetur, hoc argumentum' de Functionibus imprimis fusius exposui; atque Funditonum tam transformationem, quam resolutionem& cvolutionem per series infinitas demonstravi. Complures enumeravi Functionum species, quarum in Analysi sublimiori Praecipue ratio eli habenda. Primum eas distinxi in algebraicas& transcendentes ; quarum illae per operationes in Algebra communi usitatas ex quantitatibus variabilibus sormantur , hae vero vel per alias rationes componuntur, vel ex iisdem op rationibus infinities repetitis efficiuntur. Algebraicarum sun tionum primaria subdivisio fit in rationales & irrationales , priores docui cum in partes simpliciores, tum in factores resolvere; quae operatio in Calculo integrali maximum adjumentum affert; posteriores vero , quemadmodum idoneis substitutionibus ad formam rationalem perduci queant ostendi. Evolutio autem per series infinitas ad utrumque Senus aeque pertinet, atque etiam ad Functiones transcendentes summa cum utilitate applicari solet; atquantopere doctrina de seriebus infinitis Analysin sublimiorem amplificaverit , nemo est qui ignoret. Nonnulla igitur adjunxi Capita , quibus plurium serierum in sinitarum proprietates, atque summas sum scrutatu S; quarum quaedam ita sunt comparatae , ut sine subsidio

Analysis infinitorum vix investigari posse videantur. Hujusmodi serie Diqitigod by Corale

12쪽

inem ures

, liae

lio di

series sunt, quarum summa exprimuntur, vel per Logarithmos vel Arcus circulares: quae quantitates cum sint transcend cutes, dum per quadraturam Hypcrholae & Circuli ex-hil eratur , maximam partem demum in Analysi infinitorum tractari sunt solitati Postquam autem a potestatibus ad quantitates CX ponentiales essem progrcssiis, quae nil aliud sunt nisi Potestates , quarum exponentes sunt variabiles ; eX carum CCnVersione maxime naturalem ac foecundam Logarithmorum ideam sum adeptus : unde non solum amplissimus eorum usus sponte eis consecutus, sed etiam ex ca cunctas series infinitas , quibus vulgo istae quantitates repraesentari solent, elicere licuit: hincque adeo facillimus se prodidit modus Talbulas LOgarit limorum construendi. Simili modo in contemplatione Arcuum circularium sum versatus qCod quantitatum genus , clii a Logarithmis maxime est diversum , tamen tam arcto vinculo est connexum, ut dum alterum imaginarium feri videtur in alterum transeat. Repetitis autem ex Geometria quae de inventione Sinuum & COsinuum Arcuum multiplorum ac submultiplorum traduntur, ex Sinu vel Cosinu cujusque Arcus expressi Sinum Cosinumque Arcus minimi & quasi ovanescentis, quo ipso ad series infinitas sum deductus : unde, cum Arcus evanescens Sinui suo sit aequalis , Cosinus vero radio, qucmvis Arcum cum suo Sinu & Cosinu ope serierum infinitarum comparavi. Tum vero tam varias expressiones cum finitas tum infinitas pro hujus generis quantitatibus obtinui , ut ad earum naturam perspiciendam Calculo infinitesimali prorsus non amplius csset opus. Atque quemadmodum Logarithmi peculiarem Algorithmum requirunt, cujus in universa Analysi summus extat usus , ita quantitates circulares ad certam quoque Alg tithmi normam perduxi; ut in calculo aeque commode ac Logarithmi & ipsae quantitates algebraicae tractari posscnt. Quantum autem hinc utilitatis ad resolutioncm difficillimarum quaestionum redundet, cum nonnulla Capita hujus Libri lucim lenter declarant, tum ex Analysi infinitorum plurima specia. .

13쪽

mina proferri possent, nisi jam istis essent cognita & in dies

magis multiplicarentur. Maximum autem haec investigatio a tulit adjumentum ad Functiones fractas in factores reales resol-Vendas . quod argumentum, cum in Calculo integrali sit pro sus necessarium , diligentius enucleavi. Series postmodum infinitas, quae ex hujusmodi Functionum evolutione nascuntur& que recurrentium nomine innotuerunt, examini subjeci ;ubi earum tam flammas quam terminos generales, aliasque

insianus proprietates exhibui: & quoniam ad haec resolutio in s. flores manufluxit, ita vicissim, quemadmodum producta ex pluribus, imo etiam inlinitis, factoribus conflata permultiplicationem in series explicentur, perpendi. Quod negotium non solum ad cognitionem innumerabilium seriurum viam aperuit, sed quia hoc modo series in producta ex infinitis

saetoribus constantia resolvere licebat, satis commodas invenieXprcssinaces numericas , quarum ope Logarithmi Sinuum, Cosinuum & Tangentium facillime supputari possim t. Praeterea quoque ex eodem fonte solutiones plurium quaestionum, quae circa partitionum numerorum proponi possimi, derivavi; cujusmodi quaestiones sine hoc subsidio vires Analyseos superare videantur. Haec tanta materiarum diversitas in plura Volumina facile excrescere potuisset ; sed omnia , quantum fieri po*uit, tum succincte proposui, ut ubique sundamentum claris imo quidum er plicaretur , uberior vero amplificatio industriae Lectorum relinquetretur; quo habeant , quibus vires suas exerceant, finesque Analyseos ulterius pro-moVcant. Neque enim vereor prosteri, in hoc Libro non solum musta plane nova contincri; sed etiam sontes csse detectos, urse plurima insiginta inventa adhuc hauriri queant. Lodem instituto sum usus in atruro Libro, ubi , qLae Vulgo ad Geometriam sublimiorum referri solent, pertractavi. An t quam autem de Sectionibus Conicis, quae alias fere solae hunc lCcum occupant, ager m ; Theoriam Linearum Cur-xarum in genere ita proposui, ut ad scrutationem naturae

14쪽

quarumvis Linearum Curvarum cum utilitate adhiberi pol Iet. Ad hoc nullum aliud subsidium affero . praeter aequationem , qua cujusque Lineae Curvae natura exprimitur . EX eaque cum figuram , tum primarias proprietates deducere doceo: id quod potissimum in Sectionibus Conicis praestitisse mihi sum visus; quae antehac vel secundum solam Geometriam vel per Analysin quidem , sed nimis imperfecte ac minus naturaliter , tractari sunt solitae. Ex aequatione scilicet generali pro Lineis secundi ordinis primum

earum proprietates generales explicavi, tum eas in genera seu species subdivisi; respiciendo utrum habeant ramos in infinitum excurrentes, an vero tota Cum a finito spatio includatur. Priori autem casu insuper dispiciendum erat , quot sint rami in infinitum excurrentes, & cujus naturae sint singuli ; an habeant Lineas rectas asym totas , an minuS. Sicque obtinui tres consuetas Sectionum Conicarum species ;quarum prima est Ellipsis , tota in spatio finito contenta . secunda autem Hyperbola , quae quatuor habet ramos infinitos ad duas rectas asymptotas convergentes; tertia Vero species prodiit Parabola duos hahens ramos infinitos asyni totis destitutos. Simili porro ratione Lineas tertii orbinis sum persecutus, quas, Post eXpositas earum proprietates generales , divisi in sedecim genera; ad eaque omnes se tuagenta duas species NEWTONI revocavi. Ipsam vero methodum ita clare descripsi , ut pro quo is Linearum O

dine sequente divisio in genera facillime institui gueat ;cujus negotii periculum quoque seci in Lincis quarti ordinis. His deinde, quae ad ordines Linearum pertinent , eXPeditis , reversus sum ad generales omnium Linearum a festiones eruendas. Explicavi itaque methodum desiniendi tangentes curvarum, earum normales , atque etiam ipsam Curvaturam, quae per radium osculi estimari solet: quae

etsi nunc quidem plerumque Calculo disserenitali absolvuntur, tamen idem per solam communem Algebram hic

15쪽

praestiti , ut deinceps transitus ab Analysi finitorum ad Analysin infinitorum eo facilior reddatur. Perpendi etiam curvarum puncta flexus contrarii, cuspides, puncta duplicia , ac multiplicia; modumque exposui haec omnia exaequationibus sine ulla difficultate definiendi. Interim tamen non nego, has quaestiones multo secilius Calculi differentialis ope enodari posse. Attigi quoque controversiam de cuspide secundi ordinis , ubi ambo arcus in cuspidem coeuntes curvaturam in eandem partem vertunt; eamque ita

composuille mihi videor , ut nullum dubium amplius superesie possit. Denique adjunxi aliquot Capita , in quibus Li-Neas Curvas , quae datis proprietatibus gaudeant, invenire docui ; pluraque tandem Problemata circa singulares Circuli sectiones soluta dedi. Quae cum sint ea ex Geometria, quae ad Anal, sin infinitorum addiscendam maximum adminiculum asterre videntur, Appendicis loco ex Stereometria Theoriam solidorum eorumque superscierum per Cal. culum proposui & quemadmodum cujusque superficiei natura per aequationem inter tres Variabiles expoui queat ,

ostendi. Hinc, superficiehus instar linearum in ordines digestis , secundum dimensionum quas variabiles in aequatione constituunt numerum, tu primo ordine solam superficiem planam contineri ostendi. Superficies vero secundi ordinis . rationu habita partium in infinitum expansarum, in sex genera divisi ; similique modo pro ceteris ordinibus divisio in titui poterit. Contemplatus sum quoque intcrsectiones duarum supersicierum ; quae cum plerumque sint curvae non ita eodem plano sitae, quemadmodum aequationibus comprehendi queant, monstravi. Tandem etiam positionem planorum tangentium , atque rectarum, quae ad supersicies sint normales,

determinavi. De cctero, cum non paucae res hic occurrant ab aliis jam tractatae, veniam rogare me oportet, quod non υhi

16쪽

xm tenere elaborarunt, fecerim. Cum enim mihi propositum esset omnia quam brevissime pertractare , Nistoria cujusque Problematis magnitudinem operis non mediocriter auxisset. Interim tamen pleraeque questiones , quae alibi quoque solutae reperiuntur, hic solutiones ex aliis principiis sunt naetie; ita ut non exiguam partem mihi vindicare possem. Spero autem cum ista , tum ea potissimum , quae prorsus nova hic proseruntur , plerisque, qui hoc studio delecta tur, non ingrata esse futura.

17쪽

INDEX CAPITUM

TOMI PRIMI

p. I. De Functionibus in genere. Past. 2CΑΡ. II. De transformatione Funetionum . CAP. III. De transformatione Funetionum per substitutionem, 36 CAP. IV. De explicatione Funetionum per strics infinitas. 46 CAP. U. De Functionibus duarum pluriumve variabilium , εο CAP. VI. De Ouantitatibus exponentialibus ac Logarithmis , 69 CAP. VII. De quantitatum exponentialium ac Logarithmorum per series explicatione , 8sCAP. Vili. De uuantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis. CAP. IX. De investigatione Factorum trinomialium, IOICAP. X. De usu Factorum inventorum in desiniendis summis Serie

rum infinitarum, Ia8

CAP. XI. De aliis Arcuum atque Sinuum expressionibus infinitis, I sCAP. XIL De reali Functionum fractarum evolutione. 16

C p. XIII. De Scriebus recurruntihus, I ς CAP. XIV. De multiplicatione ac divisione Angulorum. I98CAp. XV. De Scriebus ex evolutione Factorum ortis. 22 CAP. XVI. De Partitione numerorum, II CAP. XVII. Dc usu serierum recurrentium in radicibus aequationum indagandis, 276

CAP. XVIII. De fractionibus continuis, 29sDisiti reo by Cooste

18쪽

INDEX CAPITUM

TOMI SECUN DL

Ap. I. De lineis curvis in genere, Pu. CAP. II. De Coordinatarum permutatione , 24 CAP. III. De Linearum curvarum algebraicarum in ordines di via

siones

CAP. IV. De Linearum cujusque ordinis praecipuis proprietatibus , CAP. V. De Lineis secundi Ordinis, CAP. VI. De Linearum sucundi ordinis subdivisione in genera , CAP. VII. De ramorum in infinitum excurrentium investigatione , e

CAP. VIII. De Lineis Ahmptotis , ' sis CAP. IX. De Linearum tertii ordinis subdivisione in species, et .

CAP. X. De praecipuis Linearum tertii ordinis proprietatibus , tr. CAP. XI. Dc Lincis quarti ordinis, LUCAp. XIl. De invcstigatione figurae Linearum Curvarum, II CAp. Xlli De Assectionibus Lincarum Curvarum , L CAP. NIU. Dc curvatura Lincarum Curvarum , CAP. XU. De Curvis una pluribusve Diametris praeditis, LRI CAP. XVL Dc inventione Curvarum ex datis Applicatarum pro- prictatibus, 19 CAp. XVII. De inventione Curvarum ex aliis prDprietatibus , a. laCAp. XVIII. De Similitudinc & Ais .itate Linearum curvarum, 135 C p. X X De intorsectione Curvarum, avCAp. XX. De Constructione aequationum , a stCAP. XXI. De Lineis curvis transcendentibus. 28 CAP. XXII. Solutio nonnullorum Problematum ad Circulum pertiuentium , 3O

19쪽

CAp. I. De Superficiebus Corporum in genere, pag. 3ώιCAp. II. De Sectionibus Supcrficierum a planis quibuscunque factis, 337 CAP. III. Dc Sectionibus Cylindri, Coni & Globi, 3 3 CAP. IV. De Immutatione Coordinatarum, 36sCAp. V. De Superficiebus secundi ordinis, 373CAP. VI. De Superficierum intcrsectione mutua, 381

20쪽

INTRODUCTIO

LIBER ΡRIMUS,

CONTINENS Explicationem de Functionibus quantitatum variabilium ; earum resolutione in Factores , atque evolutione per Series infinitas : una cum doctrina de Logarithmis , Arcubus circula- .ribus , eorumque Sinubus & Tangentibus ; pluribusque aliis rebus , quibus Analysis infinitorum non mediocriter adju

vatur.

ADiuitiaco by Corale