장음표시 사용
31쪽
L 13. I. I9. Functio multiformis par ipsius 2 est, quae etiamst pro quo vis valore ipsius Z plures exhibeaἰ valores determinatos , tamen eosdem vatores praebet ,sve ponatur Z - Φ k ,sve Z - - k. Sit Z ejusmodi Functio multissimis par ipsius y ; quoniam natura Functionis multissimis exprimitur per aequationem inter Z & s, in qua Z tot habeat dimensiones, quot varios valores complectatur ; mani Ilum est Z sere Functionem multi rinem parem, si in aequatione naturam ipsius Z exprimente quantitas
variabilis r ubique pares habeat dimensiones. Sic , si fuerit Z' - a s Z H- bs , erit Z Functio bi .rmis par ipsius risin autem sit Z' - a s Z b c Z - ef o , erit Z Fun tio tri rinis par ipsius y; atque generatim, si P , Q , R , S , &c. denotent Functiones uni rinus pares ipsius y, erit Z Functio hi sermis par ipsius si sit δ' - P Z - - o. At Z erit Functio tri rinis par ipsius si sit Z' - 1' Ζ' Η- Q Z R
o , & ita porro. 2o. Functio ergo, sive uniformis sive multiformis , par ipsius Eerit Hugmodi expresis ex quantitate variabili Z 6' consantibus co sata, in qua ubique numerus dimensorium ipsius Est par. Hujusmodi ergo Functiones, praeter uni sermus quarum exempla ante sunt allata , erunt hae expressiones a in v bb - rt
Unde patet Functiones pares ita definiri posse, ut dicantur esse
Sic enim ponatur y R , sueritque Z Functio quaecunque ipsius i ; relli tuto ubique u loco y, erit Z ejusmodi Fui ctio ipsius r , in qua r ubique parem habeat dimensionum num rum. Excipiendi tamen sunt ii casus , quibus in expres sone ipsius, Z occvrunt v y . ac hujusmodi aliae formae, quae, facto y rs , signa radicalia amittunt. Quamvis enim sty -- M a y Functio ipsius y, tamen postO y - Π , eadem expreta. sio non erit Functio par ipsius y ; cum fiat 1 - Vay - ΗΦ t V a. Exclusis ergo his casibus , definitio ultima Functio-Diuiti sed by Corale l
32쪽
num parἱum erit bona , atque ad ejusmodi Functiones forma CAp. I. das idonea. Σr. Functio impar ipsus et est ejusmodi Functio , cujus valor ,s loco Z ponatur- Z, si quoque negativus. Hujusmodi Functiones ergo impares erunt omnes potestates ipsius y , quarum exponentes sunt numeri impares, ut f , ν' ,
etiam erit Functio impar , si ambo numeri, m & n fuerint numeri impares. Generatim vero omnis expressio ex hujusmodi potestatibus composita erit Functio impar ipsius r ; cu
b r ; &c. Harum autem Functionum natura & inventioox Functionibus paribus facilius perspicietur. 11. Si Functio par ipsus Z multiplicetur per 2 vel per ejusdem Functionem imparem quamcunque productum erit Functio impar iraruS Z.
Sit se Functio par ipsius r, quae idcirco manet eadem si l co i ponatur s ; quod si ergo in producto P i, ponatur - loco i , prodibit - P r, unde P r erit Functio impar ipsius Sit jam P Functio par ipsius r, & Q Functio impar ipsius r ; atque ex Definitione patet si loco i ponatur - ἔ, valorem ipsus P manere eundem , at valorem ipsius Q abire in sui negativum - Q ; quare productum P Q , posito - rloco r, abibit in - P Q, hoc est in sui negativum ; eri que ideo P Q Functio impar ipsius Sic cum sit a in V H- tr functio par , & f Functio impar ipsus p , erit produc
tum a in f V oa Φ ir Functio impar ipsius r ; similia
que modo ν κ ' u - ρ Functio impar ipsius. rς iῆ .. ς U . Ex his vero etiam intelligitur, si duarum Functionum P &, quarum altera P est par , altera Q , impar , altera per aureram dividatur , quotum fore Functionem imparem ; erit ergo
is itemque Functio impar ipsius r.
33쪽
Lia. I. 23. Si Functio impar per Functionem imparem vel multiphe tur , vel dividatur ; quod resultat erit Functio pari
Sint Q & S Functiones impares ipsius r ; ita ut , posito - r loco ἔ, Q abeat in - Q, & S in - S ; atque peria Picuum est tam productum Q S , quam quotum eundem
valorem retinere , etiamsi pro r ponatur - r ; ideoque esse utrumque Functionem parem ipsius Manifestum itaque porro eth cujusque Functionis imparis quadratum esse Functionem Parem ; cubum vero Functionem imparem; bi quadratum iterum Functionem parem , atque ita Porro.
24. Si fuerit y Functio impar ipsus 2 ; erit vicissm E Functio impar lasM y. Cum enim sit γ Functio impar ipsius t ; si ponatur - ἔloco r, abibit y in - y. Quod si ergo per y definiatur , necesse est ut posito - y loco γ , quoque abeat in i ; eri que ideo r Functio impar ipsius y. Sic quia, postv y - f , est y Functio impar ipsius r ; erit quoque, ex aequatione ζ - Υseu r - yy , r Functio impar ipsius y. Et quia si fuerit γ- a s -- b r', est y Functio impar ipsius r , erit vicissim , exaequatione bd Φ a -y , valor ipsius i per yexpressiis Fun tio impar ipsius y.
2 1. Si natura Functionis y per ejusmodi aequationem definiatur, in cutis sngulis terminis numerus dimensonum , quas y O Z pant conjunctim ,sit vel par ubique, vel impar ; tum erit y Futinio impar ipsus 2. Quod si enim in eiusmodi aequatione ubique loco r scribatur r; simulque - y loco y ; omnes aequationis termini vel
manebunt iidem , vel fient negativi, utroque vero casu aequatio manebit eadem. Unde patet - y eodem modo Per
determinatum iri , quo H- y per ρ r determinatur ; & hanc ob rem , si loco r ponatur - r , valor ipsius y abibit in - y , seu v erit Functio impar ipsius Sic si fiterit vel Π o y
utraque aequatione 1 erit Functio impar ipsius r.
34쪽
IN GENERE. 1316. Si Z fuerit Functio lasius Σ , O Y Funclio ipsius y, a
que Y eodem modo doniatur per variabilem y O constantes, quo Z desnitur per variatilem et O constantes p tum ha Functionea Y et Z vocantur Functiones smiles ipsarum y O 2. Si scilicet fuerit Z --bs-hcs, & a --byΦcy erunt Z & UFunctiones similes ipsarum s & y, similique modo in multisormibus, si fuerit Z' ait Z Φ b & Y'-ayy b ; erunt Z & U Functiones similes ipsarum & y. Hinc sequitur , sir & Z fuerint hujusmodi Functiones similes ipsarum y & r , tum si loco scribatur ν, Functionem Z abituram esse in Funetionem Y. Solet haec similitudo etiam hoc modo verbis exprimi, ut Y talis Functio dicatur ipsius y , qualis Funetio sit Z ipsius
Hae locutiones perinde occurrent, sive quantitates variabiles r& y a se invicem pendeant, sive secus : sic qualis Functio estay in by' ipsius y, talis Functio erit a y Φ n - - b y - - n γ' ipsius y ε n , existente scilicet i -y Φ n : tum qualis Functio est - t U ipsius ν , talis Functio erit E Uita
ipsius -- ; posito γ Atque ex his luculenter perspicitur ratio similitudinis Functionum , cujus per universam Analysin sublimiorem uberrimus est usus. Ceterum haec in genere de natura Functionum unius variabilis sufficere possent; cum plenior expositio in applicatione sequente tradatur.
De transformatione Functionum. 27. FUN TIONES in alias formas transmutantur, vel loco quantitatis variabilis aliam introducendo, vel eandem quantitatem variabilem retinendo.
Quod si eadem quantitas variabilis servatur, Functio proprie mutari non potest. Sed omnis transformatio confistit in
35쪽
alio modo eandem Functionem exprimendi, quemadmodum ex Algebra constat eandem quantitatem per plures diversas sormas exprimi posse. Hujusmodi transsormationes sunt, si loco hujus
Saepe numero autem harum plurium formarum idem significan tium una aptior est ad propositum effciendum quam reliquae , & hanc ob rem formam commodissimam eligi oportet. Alter transsormationis modus, quo loco quantitatis variabilis ralia quantitas variabilis γ introducitur, quae quidem ad damni teneat relationem, per substitutionem fieri dicitur; hocque modo ita uti convenit, ut Functio proposita succinctius & comm
dius Exprimatur, uti si ista proposita fuerit ipsius r Functio, a 4 ε 6 aa-- af Η- r ; si loco a - i mnatur y , Prodibit ista multo simplicior ipsius y Functio γ' : & , si habeatur
haec Functio irrationalis V -- Π ipsius r , si ponatur r
- - α , ista Functio per y expressa fiet rationalis M. Hunc autem transformationis modum in sequens Caput differam , hoc Capite illum, qui sine substitutionc procedit , EXposituruS. 29. Funclio integra ipsius 2 sepenumero commode in suos fa tores msolvitur, sicque in productum transformatur. Quando Functio integra hoc pacto in factores resolvitur, ejus natura multo facilius perspicitur ; casus enim statim innotescunt, quibus Functioois valor fit o. Sic haec ipsius r Functio
3 , quae proprietates ex forma 6 - 7 s in non tam facile intelliguntur. Istiusmodi factores , in quibus variabilis rnulla
36쪽
nulla occur it potestas quadrata vel altior, vocantur Pactores sim- C p. II. plices, ut distinguantur a Factoribus compositis, in quibus ipsius . inest quadratum vel cubus , vel alia potestas altior. Erit ergo in
genere 1 g forma Factorum simplicium, 'ε gr Φ h tr forma Factorum duplicium , f g -- - - is forma Factorum
triplicium , & ita porro. Perspicuum autem est Factorem duplicem duos complecti valores simplices, Factorem triplicem tres simplices, & ita porro. Hinc punctio ipsius r integra, in qua exponens summae potestatis ipsius y est n , continebit n Fa tores simplices; ex quo simul, si qui Factores fuerint vel duplices vel triplices , &c. numerus Faciorum cognoscetur. 29. Fac rores simplices Functionis cujuscunque integra Z ipsius Ereperiuntur, s Functio Z nihilo aequalis ponatur, atque ex hac requatione omnes ipsus a radices investigentur: sngula enim ipsus 2 radices dabunt totidem Factores simplices Functionis Z. Quod si enim ex aequatione Z - o , fuerit quaepiam radixi f, erit φ - divisor , ac proinde Factor Functionis Z , sic
igitur investigandis omnibus radicibus aequationis Z - O , quae sint T af, P g , h; &c., Functio Z resolvetur in suos Factores simplices , atque transformabitur in productum Z
est si lummae potestatis ipsius in Z non fuerit coussiciens - I , tum productum - - g &c. insuper per illum coefficientem multiplicari debere. Sic si fuerit Z - A ,
atque aequationis Z o radices s repertae sint; f; g; h; i;&c. erit Z I - λ I - I - S &c. Ex his autem vicissim intelligitur, si Functionis Z Factor fuerit r-s, seu I-S ; tum valorem Functionis in nihilum abire , si locor ponatur f. Facto enim g f, unus Factor -s, seu 1 - : Functionis Z , ideoque ipsa Functio Z evanescere debet. Euteri Introduc 7. in Anal. in . CDissiligod by Corale
37쪽
LIB. I. 3O. Factores simplices ergo erunt vel reales, vel imaginarii; O, s Functio Z habeat Factores imaginarios, eorum numerus semper erit par. Cum enim Factores simplices nascantur ex radicibus aequationis Z - o , radices reales praebebunt Factores reales , &imaginariae imaginarios; in omni autem aequatione numerus radicum imaginariarum semper est par : quamobrem Functio Z , vel nullos habebit Factores imaginarios, vel duos , Vel quatuor, vel sex , &c. Quod si Functio Z duos tantum habeat Factores imaginarios , eorum productum erit reale, ideoque praebebit Factorem duplicem realem. Sit enim P producto ex omni-hus Factoribus realibus , erit productum duorum Factorum ima-
ginariorum Ρ ; hincque reale. Simili modo si Functio Zhabeat quatuor , vel sex , Vel octo , &c. Factores imaginarios ;erit eorum productum semper reale : nempe aequale quoto , qui oritur , si Functio Z dividatur per productum omnium Factorum realium. 3 a. Si fuerit Q produc Tum reali ex quatuor Factoribus smpliacibus imaginariis, tum idem hoc productum Q resolvi poterit in
duos Factores duplices reales.
Φ D ; quae si negetur in duos Factores duplices reales resolv1 posse , resolubilis erit statuenda in duos Factores duplices imaginarios, qui hujusmodi formam habebunt -Σ p ε ρέ- il r Φ sv - 1- ρ- ρέ- HI -sέ- Ialiae enim formae imaginariae concipi non postunt, quarum pr ductum fiat reale , nempe in Ac - - Bf -- - D Ex his autem Factoribus imaginariis duplicibus sequentes eme gent quatuor Factores simplices imaginarii ipsius Q ,
38쪽
Horum Factorum multiplicentur primus ac tertius in se invicem, CAp. II. posito brevitatis gratia , t p μ-r, & M- 2pq - sp Crit- 'que horum Factorum productum - 2
in q v- αιεὶς re se uu)Quocirca productum propositum Q, quod in duos Factore duplices reales resolvi posse negabatur, nihilo minus actu in duos Factores duplices reales est resolutum. 3a . Si Functio integra Z ipsius et quotcunque habeat Factores simplices imaginarios , bini semper ita conjungi possunt , ut
eorum productum fiat reale. . Quoniam numerus radicum imaginariarum semper est par , sit is an ; ac primo quidem patet productum harum radicum imaginarium omnium esse reale. Quod si ergo duae tantum radices imaginariae habeantur, erit earum productum utique rea te ; sin autem quatuor habeantur Factores imaginarii, tum , uti Vidimus, eorum productum resolvi potest in duos Factores duplices reales formae Φ g Φ h. Quanquam autem eundem demonstrandi modum ad altiores potestates extendere non licet, tamen extra dubium videtur esse positum eandem proprietatem in quotcumque Factores imaginarios competere ; ita ut semper loco χn Fatiorum simplicium imaginariorum induci queant nFactores duplices reales. Hinc omnis Functio integra ipsius presolvi poterit in Factores reales vel simplices vel duplices. Quoaquamvis non summo rigore sit demonstratum . tamen ejus Veritas in sequentibus magis corroborabitur, ubi hujus generis Func
39쪽
I, 33. Si Functio integra Z , posito a , induat valorem Α , O posito Z - h induat valorem B ; tum , loco Z valores medios
inter a O h ponendo , Functio Z quosvis valores medios inter A O B accipere potes. Cum enim Z sit Functio uniformis ipsius , quicunque valor realis ipsi r tribuatur , Functio quoque Z hinc valorem
rcalem obtinebit. Cum igitur Z, priore casu ri a, nanciscatur
valorem A ; posteriore casu s b, autem , valorem B ; ab A
ad B transire non poterit, nisi per Omnes valores medios transeundo. Quod si ergo aequatio Z - A o habeat radicem realem , simulque Z - B - o radicem realem suppeditet; tum aequatio quoque Z - C - o radicem hahehit realem ; si quidem C intra valores A & B contineatur. Hinc si expressiones Z A & Z - B habeant Factorem simplicem realem , tum expressio quaecunque Z - C Factorem simplicem habebit re lem , dummodo C intra valores A & B contineatur.3 . Si in Funclione integra Z exponens maximae ipsius Z potestatis fuerit numerus impar 2 ii in I , tum ea Functio Z unicum ad minimum habebit Factorem simplicem realem.
quia valores singulorum terminorum prae primo evanescunt, fiet Z - ' - ω ; ideoque Z - ω Factorem sinapi cem habebit realem nempe s - . Sin autem Ponatur - ω , fiet Z - - ω φ' - ω , ideoque habe-hit Z ε oo Factorem simplicem realem φ -- ω . Cum igitur tam Z-oo , quam Z -- haheat Factorem simplicem realem; scquitur etiam Z Φ C habiturum esse Factorem simplicem re lem , siquidem C contineatur intra limites Φ & - ω ; hoc ε s si C fuerit numerus realis quicunque , sive assirmativus , sive negativus. Hanc ob rem , facto C - o , hahebit quoque ipsa Functio Z Factorum simplicem realem - c ; atque quantitas c. Di mod n Ooste
40쪽
continebitur intra limites H- α & - eo , eritque idcirco vel CΑp. II. quantitas inrmativa , vel negativa , vel nihil. 3s. Functio igitur integra Z , in qua exponens maximae potes tatis ipsus et est numerus impar , vel unum habebit Faciorem smplicem realem , vel tres , vel quinque , vel eptem , Oc. Cum enim demonstratum sit Functionem Z certo unum habere Factorem simplicem realem i-c; ponamus eam praeterea
unum Factorem habere r-d, atque dividatur Functio Z, in qua maxima ipsius r potestas sit ', perse-c -d ,
erit quoti maxima potestas , cujus exponens , cum sit numerus impar , indicat denuo ipsius Z dari Factorem simplicem realem. Si ergo Z plures uno habeat Factores sit plices reales , habebit vel tres, Vel quoniam eodem modo progredi licet quinque , vel septem , &c. Erit scilicet numerus Factorum simplicium realium impar, & quia numerus
omnium Factorum simpliciam est χ n - - I, erit numerus Faciatorum imaginariorum Par.
36. Functio integra Z , in qua exponens maximae potestatisi ius 2 est numerus par se, vel duos habebit Factores simplices reales, vel quatuor , vel sex , vel G. Ponamus ipsius Z constare Factorum smplicium realium nrumerum imparem 2m in I; si ergo per horum omnium prodii tum dividatur Funisti O Z , quoti maxima potestas erit set δ' - ' , ejusque ideo exponens numerus impar ; hahe hit ergo Functio Z praeterea unum certo Factorem simplicem
realem , EX quo numerus omnium Factorum simplicium realium ad minimum erit - Σm Η- Σ , ideoque par ἔ ac numerus Facto
rum imaginariorum pariter par. Omnis ergo Functionis integrae Factores simplices imaginarii sunt numero pares ; quemadmodum quidem jam ante statuimus 37. Si in Functione integra Z reponens maximae pote statis
ipsius Z uerit numerus par , atque te in is absolutus , seu constans , Anυ - asseclus, tum Eunctio Z ad minimum duos habet Factores simplices reales.