장음표시 사용
41쪽
Functio ergo Z, de qua hic sermo est , hujusmodi formam
- A. Si jam ponatur oo , fiet, uti supra vidimus, 2. - - έ atque , si ponatur o , fiet Z - - A. Habebit ergo Z - eo Factorem realem - , & Z ε A Factorent ν - o : unde cum o contineatur intra limites - ω &-A ,1 equitur Z in o habere Factorem simplicem realem r- c, ita ut e contineatur intra limites o & oo . Deinde , cum positor - - oo , fiat Z - oo , ideoque Z - eo Factorem habeat s Φ eo , & Z ε A Factorem φ - - o , sequitur quoque Zin o Factorem simplicem realem habere r H- d ; ita ut d intra limites o & eo contineatur ; unde constat propositum. Ex his igitur perspicitur si Z talis fuerit Functio , qualis hic est descripta , aequationem Z o , duas ad minimum habere debere
radices reales, alteram affirmati, am , alteram negativam. Sic
radices reales, alteram affirmativam, alteram negati Vam. 8. Si in Functione fracta, quantitas variabilis 2 tot velplures habeat dimenseones in numeratore , quam in denominatore ς tum Vla Functio reselui poterit in duas partes , quarum altera es Functio integra , altera fracta , in cujus numeratore quantitas variabilis Σpauciores habeat dimensiones quam in denominatore. Si enim exponens maximae potestatis ipsius r minor fuerit in denominatore quam in numeratore ἔ tum numerator per denominatorem dividatur more solito , donec in quoto ad exponentes negativos ipsius y perveniatur; hoc ergo loco abrupta divisionis operatione quotus conflabit ex parte integra atque fractione , in cujus numeratore minor erit dimensionum numerus ipsius quam in denominatore ; hic autem quotus Funetioni propositae est aequalis. Sic , si haec proposita fuerit Functio
, ea per divisionem ita resolvetur :
42쪽
EAtque rr - 1 ε - . Huiusmodi Functiones fractae, in quibus quantitas Variabilis r tot vel plures hahet dimensiones in numeratore quam in denominatore , ad similitudinem Arithmeticae vocari possitnt fractiones spuriae, vel Functiones fractae spuriae, quo distinguantur a Functionibus fractis genuinis, in quarum numeratore quantitas variabilis r pauciores habet dimensiones quam in denominatore. Functio itaque fracta spuria resolvi poterit in Functionem integram , & Functionem Dactam genuinam ; haecque resolutio per vulgarem divisionis operationem absolvetur.39. Si denominator Functionis fractae duos habeat Factores inter se primos ; tum ipsa Functio fracta resolvetur in duas fractiones , quarum denominatores snt illis binis Factoribus respective aequales. Quanquam haec resolutio ad Functiones fractas spurias aeque pertinet atque ad genuinas, tamen eam ad genuinas potissimum accommodabimus. Resoluto autem denominatore hujus modi Functionis fractae in duos Factores inter se primos, ipsa Functio resolvetur in duas alias Functiones fractas genuinas , quanim denominatores sint illis binis Factoribus respective aequales ; haecque resolutio , si quidem fractiones sint genuinae, unico modo fieri potest ; cujus rei veritas ex exemplo clarius quam per ratiocinium perspicietur. Sit ergo proposita haec Functio
1 actio proposita in duas fractiones resolvetur, quarum alterius denominator erit I εχ r Φ ΣΗ, alterius 3 - χῖ --: ad quas inveniendas, quia sunt genuinae, statuantur numerato ves
ultus - α Φ c r, hujus - γ - δ r , eritque per hypothesin
, cujus denominator I in cum sit
43쪽
tur actu hae duae fractiones , eritque summae Numerator Denominator Φ α - χ α ς ε 2 α
I ε 'Cum ergo denominator aequalis sit denominatori fractionis propositae, numeratores quoque aequales reddi debent: quod , ob tot litteras incognitas α, c, γ , δ, quot sunt termini aequales' efficiendi, utique fieri , idque unico modo poterit : nanciscimur scilicet has quatuor aequationes
Simili autem modo facile peria Proposita
picietur resolutionem semper iuccedere debere: quoniam semper tot litterae incognitae introducuntur, quot opus est ad numeratorem propositum eliciendum. Ex doctrina vero fractionum communi intelligitur hanc resolutionem succedere non posse ,
nisi isti denominatoris Factores fuerint inter se primi. o. Functio igitur fracta se in tot fractiones simplices formae --- resolvi poterit, quot Factores simplices habet denominator N inter se inaequales. Repraesentat
44쪽
Repraesentat hic fractio - Functionem quamcunque fractam cΑ genuinam , ita ut M & N sint Functiones integrae ipsus r, atque summa potestas ipsius r in Μ minor sit quam in N. Quod si ergo denominator N in suos Factores simplices resolvatur, hique inter se fuerint inaequales, expressio M in tot seactiones resolvetur , quot Factores simplices in denominatore N contine tur ; propterea quod quisque Factor abit in denominatorem fia tionis partialis. Si ergo p - qs fuerit Factor ipsius N, is erit denominator fractionis cuju1dam partialis , & , cum in numeratore hujus fiactionis numerus dimensionum ipsius r minor esse debeat quam in denominatore p-qς , numerator necessario erit quantitas constans. Hinc ex unoquoque Factore smplici p - denominatoris N nascetur Bactio simplex ---; ita ut summa omnium harum fractionum sit aequalis
Sit, eXempli causa , proposita haec Functio fiacta si et quia Factores simplices denominatoris sunt , I - . &I H- s, ista Functio resolvetur in has tres Bactiones simplices
A, B, dc C definire oportet. Reducantur hae seactiones ad communem denominatorem , qui erit r - ἔ at te numeratorum summa aequari debebit ipsi I --, unde ista aequatio
Euteri Introduci. in Anal. insen. D
45쪽
LIB. I. quae totidem comparationes praebet, quot sunt litterae incog-
nitae A , B , C ; erit scilicet,
- I. Functio ergo proposita resolvitur in hanc se mam - - - . Simili autem modo intellicitur .. a o quotcunque habuerit denominator N Factores simplices inter se inaequales , semper fractionem v in totidem fractiones simplices resolvi. Sin autem aliquot Factores fuerint aequales inter se, tum alio modo post explicando resolutio institui debet.
I. Cum igitur quilibet Factor simplex de nominatoris N si peditet fractionem simplicem pro resislatione Functionis proposue ; ostendendum egi quomodo ex Factores lice denominatoris Νcognito , fractio simplex. respondens reperiatur. Sit p-qt Factor simplex ipsius N, ita ut sit N p t S atque S Functio integra ipsius r ; ponatur fractio ex Factore
est ut M-AS sit divisibile per p - qr ; quoniam Functio integra P ipsi quoto aequatur. Quando Vcro p - q r Divisor existit ipsius M-AS , haec expresso posito eVaneiacit. Ponatur ergo ubique loco i hic valor constans - in M.
46쪽
FINCTIONUM. 27& S ,. erit M- AS - o , ex quo fiet A I ; laocque ergo
modo reperitur numerator A fractionis quaestae ' -- ; atque si ex singulis denominatoris N Factoribus simplicibus , dummodo sint inter se inaequales, hujusmodi fractiones simplices formentur , harum fractionum simplicium omnium summa erit aequalis Functioni propositae
Sic , si in Exemplo praecedente ' ubi est M- i Φrs ,& N- ς - , sumatur pro Factore simplice , erit S
x --, atque seactionis simplicis hinc ortae erit numeratori qA I posito O , quem valorem obtinet si ipse hic Factor simplex r nihilo aequalis ponatur. Simili modo si pro denominatoris Factore sumatur I - , ut sit S rerit M - - , facto I - ἔ - o , unde erit A I , &ex Factore I - r nascitur fractio i . Tertius denique satator I in q, ob S r --, &A - , Posito 1 ε r- o , seu r - - I , dabit A - - I , & fractionem smplicem Quare per hanc regulam reperitur J
47쪽
Quoniam maxima potestas ipsius r in P minor est quamis, erit , ideoque P hujusmodi habebit formam:
existente terminorum numero n , cui aequari debet numerator summae omnium fractionum partialium , postquam singulae ad
litterae incognitae A, B, C , Κ . quarum numerus est n , quot sunt termini congruentes reddendi. Quaminhrem litterae constantes A, B , C, &c. ita definiri poterunt, ut fiat Functio fracta genuina ρ - qar
- --. Ipsa autem horum numeratorum inventio mon .st n. facilis UCrietur.
43. Si Functionis fractae u denominator N Factorem habeat p - qa , sequenti modo fractiones partiales ex hoc Factore
Cujusmodi tactiones partiales ex singulis Factoribus denominatoris simplicibus, qui alios sibi aequales non habeant, orian tur , ante est ostensum : nunc igitur ponamus duos Factores inter se esse aequales, seu, iis conjunctis, denominatoris N Factorem esse p - ρ '. Ex hoc ergo Factore per g. praeeec duae nascentur fractiones partiales hae -- -:p -- η Sit au- ρ - qt '
48쪽
η - , denotante - omnes fractiones simplices junc
Functioni integrae. Debet ergo M-AS - Γ p - A S divisibile esse per p-qt ' : sit primum divisibile perp-gr , utque tota expressio Μ-AS - B p - qs S evanescet, posito p - q O, seu i T; ponatur ergo ubique loco i, eritque AS o, ideoque A - ', scilicet fra so , si loco r ubique ponatur T, dabit valorem ipsius Aconstantem. Hoc mVento quantitas Μ-AS - B p- Setiam per p - ρ ' diuisbilis esse debet , seu BS denuo per ρ-qs divisibile esse debet. Posito ergo ubi
visibile sit per ρ-qr, hanc divisionem prius institui debere , quam loco r substituatur l. Vel ponatur -, -- - - T,
Sit haec proposita Functio fractati erit , ob d
49쪽
1 - Sint fractiones partiales ex ortae - - - , erit
A - . - SS, posito Factore o ; hincque A - I. Tum erit 31-AS - - ΣΠ quod divisum per Factorem simplicem i, dabit T--H, hincque B ' , P sto o ; unde erit B - o ; atque ex Factore denominatoris Π orietur unica haec fractio partialis Ex EΜPLUM II. Sit haec proposita Functio sed ad b- ps , T , ςVjμβ , ob denominatoris Factorem quadratum I-r ', fractiones pamtiales sint --. Erit ergo M c & S
50쪽
, evanescere debet, eritque adeo M - AS o , ideoque A i , posito r Invento hoc pacto A , erit M AS divisibile per p-qr ; ponatur ergo T, a quo T-BS - C p --- S adhuc per p - ρῖ ' erit divisibile ; fiet ergo o , posito p - Τ O ; ex quo prodit B - posito Sic autem invento B erit T-BS divisibile per ρ - ρ . Hanc ob rem , posito superest ut CS divisibile fit per ρ - qr ; eritque ergo V- CS- o , posito p - qῖ - O , atque C - M , positor - Inventis ergo hoc modo numeratoribus A, B , C , fractiones partiales ex denominatoris N Factore p - qry