장음표시 사용
22쪽
o AN τ 1 r As eonstans est quantitas determinata , perpere M eumdem valorem servans. Ejusmodi quantitates sunt numeri cujusvis generis, quippe qui eumdem , quem semel obtinuerunt, valorem constanter conservant : atque si hujusmodi quantitates constantes per characteres indicare convenit, adhibentur litterae Alphabethi initiales a, b , e , &c. In Analysi quidem communi, ubi tantum quantitates determinatae considerantur, hae litterae Alpha hethi Priores quantitates cognitas denotare solent, posteriores vero quantitates incognitas; at in Analysi sublimiori hoc discrimen non tantopere spectatur , cum hic ad illud quantitatum discrimen praecipue respiciatur, quo aliae constantes , aliae vero variabiles statuuntur. Α λ Di9jtizeo by Go le
23쪽
L 1 a. I. a. Quantitas variabilis est quantitas indeterminata seu universa -lis, quae Omnes Omnino valores determinatos in se complectitur. Cum ergo omnes valores determinati numeris exprimi queant, quantitas variabilis omnes numeros cujusvis generis involvit.. Quemadmodum scilicet ex ideis individuorum formantur idear specierum & generum ; ita quantitas variabilis est genus , sub quo omnes quantitates determinatae continentur. Hujusmodi autem quantitates variabiles per litteras Alphahethi postremasi, y, π, &c. repraesentari solent. 3. Quantitas variabilis determinatur, dum ei viator quicunque determinatus tribuitur. Quantitas ergo variabilis innumerabilibus modis determinari potest , cum omnes Omnino numeros ejus loco substituere liceat. Neque significatus quantitatis. variabilis exhauritur, nisi Omnes valores determinati ejus loco fuerint substituti. Quantitas ergo variabilis in se complectitur omnes prorsus numeros, tam Riu malivos quam negati Vos, tam integros quam fractos, tam rationales quam irrationales & transcendentes. Quinetiam Cyphra& numeri imaginarii a significatu quantitatis variabilis non e cludunturia . Functio quantitatis variabilis , est expressio analytica quom docunque composita ex illa quantitate variabili, O numeris seu quantitaribus con stantibus. omnis ergo expressio analytica, in qua praeter quantitatem variabilem omnes quantitates illam expressionem componentes
5. Functio ergo quantitatis variabilis ipsa erit quantitas variabilis., Cum enim loco quantitatis variabilis omnes valores determinatos substituere liceat, hinc Functio innumerabiles valores determinatos induet; neque ullus valor determinatus excipietur, quem Functio induere nequeat, cum quantitas variabilis quoque valores imaginarios involvat. Sic etsi haec Functio v Ῥ- , numeris realibus loco substituendis , nunquam Valorem terna
24쪽
no majorem recipere potest ; tamen ipsi r valores imaginarios chp. I. tribuendo ut 3 v-I , nullus assignari poterit valor determinatus quin ex sormula V 9-N clici queat. Occurrunt autem nonnunquam Functiones tantum apparentes , quae , utcunque qua titas variabilis varietur , tamen usque eumdem valorem retinentis ut '; I ; μμ ', quae, etsi speciem Functionis mentiuntur, tamen revera sunt quantitates constantes. 6. Praecipuum Functionum discrimen in modo compositionis,
quo ex quantitate variatili O quantitatibus constantibus formantur, postum est. Pendet ergo ab Operationibus quibus quantitates inter se componi & permisceri possunt : quae Operationes sunt Additio &Subtractio ; Multiplicatio & Divisio Evectio ad Potestates &Badicum Extractio; quo etiam Resolutio AEquationum est res renda. Praeter has operationes , quae algebraicae vocari solent . dantur complures aliae transcendentes, ut Exponentiales, Logarithmicae, atque innumerabiles aliae, quas Calculus integralix suppeditat. Interim species quaedam Functionum notari possunt; ut mul
' &c. quae, uti ex unica operatione sunt desumtae , ita expressiones quae ex operationibus quibuscunque nascuntur ,. Functionum nomine insigniuntur. 7. Functiones dividuntur in Algebra s O Transcredentes illa sium , quae componuntur per operationes algebraicas solas ; vem , in quibus operationes transcendentes in Ont. Sunt ergo multiplar ac Potestates ipsius r Functiones algebra cae; atque omnes Omnino opressiones , quae per operationes algebraisas ante memoratas formantur, cujusmodi est Quinetiam Functiones algebraicae saepenumero nequidem explicite exhiberi possunt , cujusmodi
Functio ipsius est Z , si definiatur per hujusmodi aequationem κ' di arrZ'-bs Z' Φ ef Z-I. Quanquam enim haec
25쪽
L 1 8. I. aequatio resolvi nequit; tamen constat Z aequari expressioni cui--piam ex variabili r & conflantibus compositae ; ac propterea fore Z Functionem quamdam ipsius Caeterum de Functionibus transcendentibus notandum est, eas demum fore transcendentes , si operatio transcendens non solum ingrediatur, sed etiam quantitatem variabilem assiciat. Si enim operationes transcendentes tantum ad quantitates constantes pertineant, Funetio nihilominus algebraica est censenda : uti si c denotet circumserontiam Circuli, cujus radius sit - I , erit utique c quantitas transcendens, Verumtamen hae expressiones c - - ἔ ; cr'; φύ &c. erunt Functiones algebraicae ipsius Parvi quidem est momenti dubium quod a quibusdam movetur, utrum ejusmodi expressi nes r Functionibus algebraicis annumerari jure possint, necne ; quinetiam Potestates ipsius r, quarum exponentes sint numeri irrationales, uti s nonnulli maluerunt Functiones inte scendentes quam algebraicas appellare. 8. Functiones algebraicae siubdividuntur in Rationales O Irratio nates r illa siunt, si quantitas variabilis in nulla irrationalitate involvitur , ha vero , in quibus signa radicalia quantitatem variabilem assciunt. In Funmonibus ergo rationalibus aliae operationes praeter Additionem , Subtramonem , Multiplicationem , Divisionem, &Evectionem ad Potestates, quarum exponentes sint numeri i tegri , non insunt : erunt adeo a in a- , ai; ἰa ζ-bi &c. Funetiones rationales ipsius At hujusmodi
ρο - erunt Functiones irrationales ipsius Hoe commode di*nguntur in Explicitas O Implicitas. Explicitae sunt, quae per signa radicalia sunt evolutae , cuju
modi exempla modo sunt data. Implicitae vero Functiones irrationales sunt quae ex resolutione aequationum ortum habent.
Sic Z erit Functio irrationalis implicita ipsius s, si per hujusmodi aequationem Z - a s Z' - bc definiatur; quoniam valorem
26쪽
e sic tum pro Σ, admissis etiam signis radicalibus, exhibere C p. I.
non licet; propterea quod Algebra communis nondum ad hune persectionis gradum est evecta. s. Functiones rationales denuo subdividuntur in Integras OFractas. In illis neque s usquam habet exponentes negatiVos, neque expressiones continent fractiones, in quarum denominatores quantitas variabilis ingrediatur : unde intelligitur Functiones fractas esse , in quibus denominatores continentes , Vel exponentes negativi ipsius r occurrant. Functionum integrarum
haec ergo erit Formula generalis : a Φ ε ef Φdf Φ e - r' ε &c. nulla enim Functio ipsius integra excogitari
potest, quae non in hac expressione contineatur. Functiones autem fractae omnes, quia plures fractiones in unam cogi pota sunt. Continebuntur in hac Formula :
ubi notandum est quantitates constantes a, b, c , d, &c. α, c , γ , δ', &c. sive sint affirmativae, sive negativae, sine integrae sive seactae, rationales sive irrationales, sive etiam
transcendentes , naturam Functionum non mutare.
Io. Deinde potissimum tenenda es Functionum divisio in Unia formes ac Multiformes. Functio autem uniformis est , quae si quantitati variabili rvalor determinatus quicunque tribuatur, ipsa quoque unicum valorem determinatum obtineato Functio autem Multiformis zst, quae, pro unoquoque Valore determinato in locum varia, bilis r substituto , plures valores determinatos exhibet. Sunt igitur omnes Functiones rationales , sive integrae sive tactae, Functiones uniformes; quoniam ejusmodi expressiones , quicunque valor quantitati variabili tribuatur , non nisi unicum valorem Praebent. Functiones autem irrationales omnes sunt multiformes; Propterea quod signa radicalia sunt ambigua, & geminum valorem involvunt. Dantur autem quoque inter Functiones transcenden-zus , & uniformes, & multiformes : quinetiam habentur Fun Dissiligod by Corale
27쪽
L 1 a. I. tiones infiniti formes ; cujusmodi est Arcus Circuli Sinui t reta pondens ; dantur enim Arcus circulares innumerabiles qui Omnes eumdem haheant Sinum. Denotent autem hae litterae P , Q, R, S , T &c. singulae Functiones uniformes ipsius r. 1 I. Functio biformis ipsius et es ejusmodi Functio , quae pro quovis ipsus Z valore determinato , geminum valorem praebeat. Hujusmodi Functiones radices quadratae exhibent, ut v χ ε ri : quicunque enim Valor pro statuatur expressio V ε duplicem habet significatum , vel amrmativum vel negativum. Generatim vero Z erit Fundito bisermis ipsiussi determinetur per aequationem quadraticam Z' - PZ q.
patet cuique valori determinato ipsius r duplicem valorem d terminatum ipsus Z respondere. Hic autem notandum est, vel utrumque valorem Funiationis Z esse realem , vel utrumque imaginarium. Tum vero erit semper , uti constat ex natura aequationum , hinorum valorum ipsius Z summa P, ac productum Q. I 2. Functio triformis ipsius et est, qua pro quovis ipsius a valore, tres valores determinatos exhibet. Hujusmodi Functiones ex resolutione aequationum cubicarum originem trahunt. Si enim fuerint P, Q, & R Functiones uni sermes, sitque Z' - PZ' Φ QZ - R o, erit Z Fumnio trisermis ipsius quia pro quolibet valore determinato ipsius r triplicem valorem obtinet. Tres illi ipsius Z valo. res unicuique valori ipsius r respondentes, Vel erunt omnes reales , vel unicus erit realis, dum bini reliqui sunt imaginarii. Caeterum constat horum trium valorum summam perpetuo esse P ; summata factorum ex binis esse - Q, & productum ex omnibus tribus esse R.
I3. Func Eo quadrifonnis ipsus et est, qua pro quovis ipsius et
viatore quatuor valores determinatos exhibet. Hujusmodi Functiones ex resolutione aequationum hi quadraticarum
28쪽
ticanam nascuntur. Quod si enim P, Q , R, & S denotent C A p. I. Functionies uniformes ipsius r , fueritque Z - P Z' QZ' - It Z in S - o , erit Z Functio quadrisormis ipsus p ; eo quod cuique valori ipsus r quadruplex valor ipsius Z respondet. Quatuor horum Valorum ergo , Vel omnes erunt reales , vel duo reales duoque imaginarii , vel omnes quatuor erunt imaginarii. Cuterum perpetuo summa horum quatuor valorum
ipsius Z est P , summa sectorum ex binis U , summa
factorum ex ternis R , ac productum omnium S. Simili autem modo comparata est ratio Functionum quinquesermium & sequentium.1 . Erit ergo Z Functio multiformis ipsius Z , qua , Pro quovis
valore totus Z , tot exhibet valores quot numerus D continet unitates ; si Z definiatur per hanc aequationem Z' - Ρ ΖΡ H-og RT 3 SZ' '-G c. - o. Ubi quidem notandum est n esse oportere numerum integrum ; atque perpetuo, ut dijudicari possit quam multi rmis sit Functio Z iphusi , aequatio, per quam Z definitur , reduci debet ad rationalitatem ; quo facta exponens maximae potestatis ipsius Z indicabit quaesitum valorum numerum cuique ipsius r valori respondentium. Deinde quoque tenendum est litteras P, Q, R, S, &c. denotare debere Functiones uniformes ipsius r : si enim aliqua earum jam esset Functio multiformis, tum Functio Z multo plures praebitura esset valores unicuique valori ipsius r respondentes , quam quidem numerus dimensionum ipsius Z indicaret. Semper autem , si qui valores ipsus Zfuerint imaginarii, eorum numerus erit par ; unde intelligitur , si fuerit n numerus impar, perpetuo unum ad minimum valorem ipsius Z sore realem : contra autem fieri posse, si numerus nfuerit par , ut nullus prorsus valor ipsius Z sit realis.1s . Si Z 0usmodi fuerit Functio multiformis ipsius Z ut perpetuo nonnis unicum valorem exhibeat realem ; tum Z Ftinctionem uniformem ipsus et mentietur, ac plerumque loco Functionis uniformis usirpari poterit.
29쪽
Lx B. I. Eiusmodi Functiones erunt v P, P, P, &c. quippe quae' perpetuo nonnisi unicum valorem realem praebent, reliquis omnibus existentihus imaginariis, dummodo P fuerit Functio unia formis ipsius r. Hanc ob rem hujusmodi expresso P' , qu fies n fuerit numerus impar , Functionibus uniformibus annumerari poterit sive m fuerit numerus par sive impar. Quod fi
autem n fuerit numerus par , tum P' vel nullum habebit valorem realem , vel duos ἔ ex quo ejusmodi expressiones
P', existente n numero pari, eodem jure FunctionibΗs biso mibus accenseri poterunt : siquidem fracti O - ad minores terminos non fuerit reducibilis.16. Si fuerit y Functio quaecunque ipsus 2 p tum vicissin Z erit Functio ipsus y. Cum enim y sit Functio ipsius t , sive uniformis sive multiformis ; dabitur aequatio , qua y per r & constantes quantitates definitur. Ex eadem vero aequatione vicissim i per y & constantes definiri poterit; unde quoniam y est quantitas variabilis,r aequabitur expressioni ex γ & con 'antibus compositae, eritque adeo Functio ipsius y. Hinc quoque patebit quam multi mis Functio flintra sit ipsius y : fierique potest ut , etiamsi y fuerit Functio uniformis ipsius r, tamen i futura sit Functio multiformis ipsius I. Sic si y ex nac aequatione per idefiniatur ; γ' - ayr - b φῖ ς erit utique y Functio tris μmis ipsus r , contra vero ἔ Functio tantum hi formis ipsus y. 17. Si fuerint y ct x Functiones ipsius et , erit quoque y Fun tio ipsius x , O vici m x Functio ipsus y. Cum enim sty Functio ipsius ν, erit quoque r Functio ipsius y: similique modo erit citam φ Functio ipsus x. Hanc ob rem Functio ipsius y aequalis erit Functioni ipsius x; ex qua aequati ne & Y per x & vice versa x per y definiri poterit: quocirca manifestium est essey Functionem ipsius x, atque x Functionem
30쪽
ῆpsius y. saepissime quidem has Functiones explicite exhibere cap. I non licet ob defectum Algebrae ; interim tamen nihilo minus , quasi omnes aequationes resolvi possient, haec Functionum recia Procatio perspicitur. Ceterum per methodum in Algebra traditam , ex datis hinis aequationibus , quarum altera continet y S r , altera vero x & i , per eliminationem quantitatis r se mabitur una aequatio relationem inter x & y exprimens. t 8.Species denique quaedam Functionum peculiaressunt notandae; sic Functio par ipsus 2 es, quae eundem dat vialorem ,sve pro L natur valor determinatus Η- ksve - h. Ηujusmodi ergo Functio par ipsius r erit'; sive enim p natur γ - - - , sive r - - k, eundem valorem praebebit expressio , nempe Π - - ε . Simili modo Functiones
pares ipsius r erunt hae ipsius r potestates c , c, e , & ge
neratim omnis potestas r . si fuerit m numerus par , sive
affirmativus sive negativus. Quin etiam cum c mentiatur Functionem ipsius r uniformem , si n sit numerus Impar, per
picuum est c fore Functionem parem ipsius t , si m fuerit
numerus par, n Vero numerus imPar. Hanc ob rem , expretasiones ex hujusmodi potestatibus utcunque compositae praebebunt
Functiones pares ipsius r ; sic Z erit Functio par ipsius
fractos ipsius r introducendo , erit Z Functio par ipsius t si