장음표시 사용
301쪽
i l Si in Serie quarta primum quaterni termini
addantur, tum in Serie resultante terni, denique in hac bini , prodibit Series numerorum pyramidalium uti ex sequenti calculo videre licet.
302쪽
In his ordinibus primae Series sunt numeti figurati, unde sub trahendo quemvis terminum Seriei secundae a termino primae sequente formatur Series secunda. Tum Seriei tertiae bini termini conjunctim subtrahantur a termino sequente Seriei secundae , sicque oritur Series tertia ; hocque modo subtrahendo ulterius summam trium , quatuor, & ita Porro terminorum a termino superioris Seriei sequente , sermabuntur reliquae Series donec perveniatur ad Seriem , quae incipit ab I Φ I in E &c., haecque erit Series in tabula exhibita. 313. Series verticales tabulae omnes similiter incipiunt , continuoque plures habent terminos communes ἔ ex, quo inteuligitur in infinitum has Series inter se sere congruentes. Prodibit autem Series , quae Oritur ex hac fractione
quae cum sit recurrens, ptimum denominator spectari debet, ut
303쪽
L i v. I. hinc scala relationis habeatur. Quod si autem Factores den minatoris continuo in se multiplicentur , prodibit
quae Series s attentius consideretur, aliae Potestates ipsius ae adesse non deprehenduntur , niti quarum Exponentes contineantur in hac formula --2' - ' ; atque , si n sit numerus impar, Potestates erunt negativae ; affirmativae autem si n fuerit numerus Par. 32 . Cum igitur scala relationis sit in I, H, I, O, O, I, O, I, O, O, O, O,l I, O, , Φ I, , O, &c. . Series recurrens ex exolutione si actionis
79ὶxV Φ 1 ooχx ε Iχsox' ' in Is7ox' &c. . In hac ergo Serie coeficiens quisque indicat, quot variis modis Exponens ipsius x per additionem ex numeris integris oriri queat. Sic numerus 7 quindecim modis per additionem oriri potest. 7 7
304쪽
NUMERORUM. 27 I32s. Quod si autem hoc produehim
in qua quisque coefficiens indicat, quot variis modis Exponens ipsius x per additionem numerorum inaequalium oriri possit. Sic numerus 9 octo variis modis per additionem eX numeris inaequalibus formari potest.
qui Factores cum omnes in P contineantur, dividatur P per
1 - x I - x I-x I-α I c., quae fractio si evolvatur , prodibit Series , in qua quisque Coeia ficiens indicabit , quot variis modis Exponens ipsius X , peradditionem ex numeris imparibus produci possit. Cum igitur haec rapresso aequalis sit illi, quam in si . praecedente contemplari sumus, sequitur hinc istud theorema.
305쪽
L I B. I. Quot modis datus numerus per additionem formari potes ex omnibus numeris integris inter se inaequalibus p totidem modis idem numerus formari poterit per additionem ex numeris tantum imparibus , sue aequalibus sue inaequalibus. 327. Cum igitur, ut ante vidimus , sit
Erit ergo Series Q pariter iecurrens, atque ex Serie se oritur, hanc per I - x' - κ' in x'' ΗΦ x''- x &c. multipli
I* x φ x' η- χα ε χαμ ε 3Σ Φ ΑΣ' Φ sae' Φ 6x' Φ 8χ' ε Q. Hinc ergo , si formatio numerorum per additionem numerorum , sive aequalium sive inaequalium constet, deducetur sermatio numerorum per additionem numerorum inaequalium , hincque porro formatio numerorum per additionem numerorum imparium tantum. 318. Restant in hoc genere casus quidam memorabiles , quorum evolutio non omni utilitate carebit in numerorum natura cognoscenda. Consideretur nempe haec inpressio
306쪽
in qua Exponentes ipsius x in ratione dupla progrediuntur. . Haec expressio si evolvatur , reperietur quidem haec Scrius
quoniam vero dubium esse potest, utrum haec Series in infinitum hac lege geometrica progrediatur, hanc ipsam Seriem investigemus. Sit igitur
ac ponatur Series per evolutionem oriunda
facta ergo in Serie eadem substitutione eriti , -- 1 ε αχ' φ cΣ' ἀ- γΣ' - - ΦΣ' - εα ' -F. ce &e. multiplicetur ergo per I Φ x , eritque
qui valor ipsius P si cum superiori comparetur , habebitur
positum P evolutum dabri Seriem geometricam 1 ε ae Φ Σ' -Ρ ΣΦ Φ Σ' Φ ΣΤ Φ Σ' -Ρ Σ' &e.. 319. Cum igitur hic omnes ipsius x Potestates, singulaeque semel occurrant, ex sorma producti ΙΦx i Φx' i lx &c., sequitur , Omnem numerum integrum ex terminis progressionis Vuleri Introduca. in Anal. insim M m
307쪽
geometricae duplae I, 2, 4, 8, Iis, 32, &c., diversis peradditionem formari posse , hocque unico modo. Nota est haec proprietas in praxi ponderandi, si enim habeantur pondera , I, 2, 4, 8, I 6, 32, &c., librarum ; his solis ponderibus omnia onera ponderari poterunt, nisi partes librae requirant. Sic his ducem ponderibus , nempe i ii , Σ', , 'h , 8 G , I 6 'ν ,31 h , 6 ru, 8 v, 236th, s Ιχ' i , omnia pondera usquCad Ioχ h , librari poliunt, & si unum pondus Ioa h , addatur omnibus oneribus usque ad 2o 8 iv , ponderandis 'sussicient. 33o. Ostendi autem insuper solet in praxi ponderandi paucioribus ponderibus, quae scilicet in ratione geometrica tripla Progrediantur , nempe I , 3 , 9 . 27 , 8I , &c., librarum pariter omnia onera ponderari posse , nisi opus sit fractionibus. In hac autem praxi pondera non solum uni lanci, sed amba-hus , uti necessitas exigit, imponi dehent. Nititur ergo ista praxis hoc sundamento , quod ex terminis progressionis ge metricae triplae I , 3 , 9 , 27 . 8I , &c., diversis semper sumendis per additionem ac subtractionem omnes omnino numeri produci queant ; erit scilicet.
33r. Ad hanc veritatem ostendendam considero hoc pro ductum infinitum *i Φ χ' i ii εψὶ '-bi . . ae *7 Φi θ Σ' die. - P , quod evolutum alias non dabit Potestates ipsius x, nisi quarum Exponentes sermari possint ex numeris I, 3, 9, 27, 8 I, &c., Diuitigod by Cooule
310쪽
sive agdendo sive subtrahendo : num vero omnes Potestates Prodeant, singulaeque semel. sic exploro. Sit