Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

161쪽

138 Lunere tertii ordinis NEWTONIANAE. natas hi sectas esse alicui Asymptoto Parallelas , ut constat per converSum Prop. F. eju que Scholion; et diametrum semper bisecare ordinatas in Asymptotis terminataS, quia cur a coincidit cum Asymptotis ad distantiam infinitam : adcoque Diametrum transire per intersectionem duarum ASymptoton necesse

rat.

Coroll. Io. Igitur haec curva vel habet nullam, unam Vci tres Diametros : duas enim solas habere nequit. G ll. II. Curva quae nullam habet diametrum, secat tres ejus ASymptotos, singulam

in unico Puncto.

Coroll. I 2. Curva quae unicam habet dia metrum decussat duas Asymptotos, Per quarum intersectioncm transit illa diameter : at

tertiam non Secat.

Cfroll. 13. Curva quae tres habet diametros Asymptoton nullam omnino secabit. Coroll. 14. Si b' - a C - Α a e a Sit quantitaS affirmativa, Asymptotos DE jacet inter curvam et Abscimam Sin Iacgativa Sit, curva jacet inter Asymptoton et Abscissam. Et si H- a c - 4 a e Sit affirmativa quantitas, Asymptotos D e jacet inter curvam et Abscissam , sin negati Va sit, curva jacet inter Asymptoton ct Abscissam.

162쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. I 39 Coroll. Is. Si dcsit terminus e F, id est, si A B sit diamcrer, et sit δ' - 4 a c quan titas amrmativa , curva continet Asymptotos Dd, Dy in suo sinu. At si quantitas illa sit negativa , Asymptoti jacent extra crura adj

ccntia.

Coroll. I 6. Si figura habet tres diametros, et sit d quantitas amrmativa , crura jacent extra Asymptotos; sin minus intra . Corollaria haec tria ultima constant ex Coroll. 2. Prop. 6. Coroll. II. Si aequationis

terminuS axin sit negativus, figura habebit duo tantum crura Hypcrbolica ad ordinatam primam jacentia. Nam series ' x ' -- Si C

ex cujus possibilitate pendent reliqua quatuor Crura cum earum Asymptotis erit impossibi lis. Constat cliam hoc Corollarium cx Exemplo tertio Scholii Prop. T. Notandum cst in hac propositione ejusque Corollariis per diametrum semper intelligidiametrum quae bisecat Ordinatas duarum dimensionum. Postquam compertus est numerUs crurUm alicujus curvae, ejus species enumerantur determinando quae crura ductu continuo conjunguntur; ut et describendo Ovales, Nodos,

163쪽

34o Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. Cuspides et puncta conjugata si quae sint. Haec omnia ex propositionibus praecedentibus facillime perficiuntur. Enumerario Specierum cumae quam designat

Hyperbolae novem sequuntur, Sex cruribUS, ad tres rectas triangulum capientes, jacentibus praediti; quae diametro ad ordinatas duarum dimensionum destituuntur. Vide Muras in Enumeratione Ne toniana Lanearum tertii ordinis. Si aequationis

164쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. ΙΑΙ

Species I. Fig. y , T. Si aequationis

radices omnes A P, A. , Λ π, A se sint reales ejusdem signi et inaequales, figura constat ex tribus Hyperbolis inscripta, circumScripta, et ambigena. Nam Exem 3. Prop. 8. ordinata inter puncta P, Vel , se erecta est

imaginaria , et realis erit ordinata alio quovis abscissae puncto insistens. Erige ordinatas P T; ητ', P t, et hae tangent curvam in totidem punctis T , τ , ': eten m in illo casu Ordinatarum vel summa vel differentia evanescit , prout ad diversas vel easclcm Abscissae partes extenduntur. Unde puncta P, π, 4, i, sunt limitcs possibilitatis et impossibilitatis, atque adeo intra medios limites continetur Ovalis Crura vero quae jacent ad angulum D conjunguntur : quoniam ordinata inter se,'r erecta non occurit curvae. Sed et crura quae

jacent ad angulos d, P etiam conjunguntur; aliter enim, Si fieri potest, conjungantur, et duci poterit recta per Ovalem Secans curvam in quatuor punctis, quod fieri nequit. Ex supradictis abunde patet quod crura semper jacent ad diversas Asumptoti partes; et quod Hyperbola Conica bisecat ordinatas duarum

165쪽

I42 Linea tertii ordinis NEWTONIANAE.TAB. I. dimensionum ; ex quarum consideration necessario Sequitur Hyperbolarum unam cSSCinscriptam, alteram circum Scriptam, et tertiam ambigenam : quae est Specic S prima.

Species II. Fig. 8, 9. Si ex radicibus duae maximae Ap, Amr, vel duae minimae A P, A π Q. 9.

sint aequales, Ovalis tangit Hyperbolam Ct cumScriptam , et tangendo evadit nodus, atquCHyperbola, nodata , adeoque figura constat ex trib s Hyperbolis inscripta, nodata et am-higcna : quae est Species Secunda.

Species III. Fig. IO, M. Si radices tres maximae big. Io.ὶ Vel tres minimae fg. Ir. inter Se aequentiar, noduS CVadit infinite parvus, id est, cuspis ct figura constat ex Hyperbolis tribus inscripta, cuspi-

data et ambigena .' quae est Specieq tertia. Notandum est crura Hyperbolae nodatae semper esse VerSUS Se inVicem conVexa ; aliter enim duci poterat recta Secan S curVam in quatuor punctis. Idem intellige de cuspidata, siquidem cuspis nihil aliud est quam nodus infinite parvuS.

166쪽

Linea te mi ordinis NEWTONIANAE. Ιq3 Species IV. Fig. I 1. TAB. I. Si e radicibus duae mediae aequentur M. I 2. ovalis, quae in specie prima obtinebat, evadit infinite parva, id est, punctum. Et figura constat ex Hyperbolis tribus inscripta, ci

cumScripta et ambigena cum puncto con

jugato : quae est Species quarta. Species V , VI. Fig. Ia, IJ, ΦΑ, IF Si e radicibus duae mediae sint impossibiles, et reliquae duae inaequalcs ct ejusdem signi nam contraria habere ncqueunt impossibile

erit itidem curvam habere OValem, nodum, cuspidem aut punctum conjugatum ὸ adeoque figura erit pura constans ex Hyperbolis tribus inscripta, Circumscripta ct ambigena. Si hae

Hyperbolae jaceant ad angulos trianguli Ddy, M. it, I 3. . Species est quinta: sin jaceant ad latera ejusdem M. I 4, 1 F. . SpecieS est

sexta.

Species VII, VIII. Fig. I 6, I7, i 8, I9. TAB. II Si h radicibus duae sint aequales, et alterae duae vel impossibiles M. I 6, i 8. vel possibiles M. 37, 19. cum signjs quae a signis

aequalium radicum di Versa sunt, quatrior crura in uno puncto conveniunt; Scilicet Hyper-

167쪽

a 4 Lineae tertii ordinis Mu TONIANIE. TAB. II. holae qllae in Speciebus quinta et Sexta erant circumscriptae et ambigenae nunc conStituunt Cruciformem. Adeoque figura constat ex inscripta et cruci formi. Quod si jaceat inscripta ad angulum trianguli Ddy M. I 6, 17. Species est septima. At si jaccar ad latus M. 18 , ι'. Species est OctaVa. Species. IX. Fig. 2O, EI. Si radiccs omnes sint impossibiles fg. 2o. vel si omnos sint realcs fg. 2I et earum

duae negativae sint et alterae duae assirmativae , Hyperbolae quae in speciebus septima et Octa a conjungebantur et conStituebant crucisormem ab invicem iterum separantur; et figura Constat ex Hyperbolis duabus Inscriptis in angulis Asymptoton oppositis jacentibus, cum anguinea circa tertiam Asymptoton flexa: quae est SpecicS nona. Si radices duae aequentur et duae reliquae etiam aequentur, figura migrat in sectionem Conicam cum linea recta. Nam

crit quantitas rationalis , et inde aequatio x- ey a xy--δx' -- cx--d bipartitur in duaS aequationcs, quarum una designat Hyperholam Conicam, altera rectam. Hi sunt casu S Omnes pOSsibiles radicum ae- quationis

168쪽

Linere tertii ordinis NEWTOMANAE. IA qtiationis a x' -- b c d x propterea quod e' terminus ultimus cst amrmativus, quippe quadratum realis quantitatis. Ut vero hoc melius intelligatur, casus unius impossibili ratcm ostendam , cujus adcxemplum reliquorum impossibilitas facillime cvincitur. Si aequationis .

radicos tres idem habeant signum, dico quar tum diversum habere non poSSe. Describatur Parabola aequatione aera a - h x' - - c x' --x -- e'dcsignata; quoniam aequationis

quatuor radiccs ponuntur reales, Abscissa secat curvam in quatuor punctis : ca Sunto

A, B , C, D. fg. Iz. Iam si fieri possit,

Sit, principium Abscissae inter puncta Aadco ut radix E A sit Megativa et rcliquae tres assirmativae : sit ii ordinata prima ; et existente x - ό, erit ἱ e'- E F : sed Ε F cst quantitas negativa, crgo etiam ἱ e' quanti ras negativa , quod cSt abSurdum. Similiter ostendetur quod principium Abscissae j cere nequit inter puncta C, D quoniam O dinatae ad Abscissae parrcm CD erectae sunt omnes negativae. Igitur constat Propinitum s

169쪽

146 Linea tertii ordinis NEWTONIAN E. nam si tres radices eadem habent Signa, ct quarta diversum : principium Abscissae vclerit inter puncta C, D vel A, B. Sed cum hoc fieri nequit, neque illud fieri potest. Eodemque modo ostenditur, quod si aequa

dices duce sint impossibiles, reliquae duae idem signum habebunt. 'perbolae quatuordecim cum sex crurihus ad tres Asymptotos tri Culum capientes jacentibus , unicam hahentes Diametrum ad Ordinatas duarum dimensionum. Si desit terminus e F figura habet Diametrum ad ordinatas duarum dimensionum, scilicet Abscissam : ct aequatio crit xy'-a x)-δ x -c xi ΤΛB. II. . Species X , XI. Fig. 22.- Si aequationis a x δ x'-c xd - o raia' dices omnes sint realeS, ejuSdem et signi inaequales, figura constat ex tribus Hyperbolis ad tres angulos trianguli D dy jacentibus cum Ovali intra triangulum consistenti. Nam sint tres radices A. , Λ', At, et erunt T, l, i,

limites possibilitatis et impossibilitatis per

Exempi L. Prop. 8. atque intra et , t continetur sis. Crura Vero, quae ad eosdem an-

170쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. IUgulos trianguli D jacent, Conjungi, eodem TAs. H. modo ostenditur , quo in specie prima. Si Asymptoti Dd, Dy jaceant intra crura 22. curva constat ex tribus Hyperbolis, dua-hus inscriptis at d, P et circumscripta ad Drquae est species decima. Sin Asymptotos jaceant extra crura, figura Constat ex tribus Hyperbolis inscripta ad D, et ambigenis duabus ad d, y : quae est Species

undecima.

Species XII. Fig. 23. Si radices duae maximael, A aequentur, iovalis tangit Hyperbolam circumscri pram , et tangendo evadit nodus, atque Hyperbola data; et figura constat ex Hyperbolis duabus inscriptis ad d, y cum nodata ad D : quae est Species decima secunda. Species XIII. Fig. 24. Si radices tres requentur, nodus evadit cu Pl S, et curVa constat ex Hyperbolis duabus inscriptis adὴ, - , et cuspidata ad D : quae est Species decima tertia. Species XIV, XV. Fig. 2I, 26. Si radices duae minimae aequentur, ovalis, quae in speciebus Io , ct Ii , obtinebat cv Ka