Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

71쪽

8 Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. lterminatas duas x , p involvcntem. In illa aequatione nova suppone etiam x infinite par- . lvam , ut Sit p - B M F accurate, atque ex . lterminis maximis ejusdem ordinis tanquim lnihilo aequalibus radix extracta erit B qui lterminus secundus proinde datur. Sit lunde crit ρ - B q : hunc valorem ip- lsius p substitue in aequatione relationem inter x, exprimente ; et habebis aequationem tertiam quae ostendit quam inter Se ac, qobtinent relationem. Ex hac aequatione invenies tertium terminum eodem plane modo quo terminos duos primos ex aequationibus duabus prioribus obtinuisti. Et opus coatinuando invenire licet terminos seriei sequentes totquot FolueriS. Et si esset series hujusmodi ly-AM--Bx' DM-3 - de c. leo citius convergens quo major est x; inter Operandum supponenda est x infinite magna: atque terminis ordinum inferiorum rejectis emaximis ejusdem ordinis educenda cst radix inam illa cst A M. Ponendos tit B κ' - C x D x' - &α adeoque 1 3 - - I x , habebitur aequatio nomex qua invenire licet terminum seriei secundum et opus continuando tot quot est animus. At

72쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. '49 Et eadem ratione qua inVeniuntur series eo citius convergentes quo major, Vel quo minor est x invenire licet series eo citius convergentes quo propius aecedit x ad datam quamvis quantitatem; V. g. si quaeratur Series eo citius convergens quo propius accedit x ad quantitatem a ; nec Suppono x infinite magnam nec infinite parvam, Sed aequalem ipsi a , et tum quaero valorem ipsius 3,nam ille Valor est primus terminus seriei. Et quomodo ad libitum procedendum est, ex hactenus traditis satis patet. Haec de natura serierum et fundamento

methodi ad eas perveniendi dicta sufficiant. Plocessus certE legitimus cuivis in diversis infinitotum ordinibus quam minimε etiam versato hecessario patet. Ex ipsa Operatione facile videre est, has series non dare radices aequatio- num quaeSitas, ni Sat celeriter convergant; etenim totus operandi processus in eo fundatur, ut sit x satis parva, Vel satis magna, hoc est, ut termini seriei Subsequentes Sint antecedentibus perpetuo minores. Hinc hallucinantur ii qui se aliquid Geometrice etiam accuratum ex seriebus parum conVergentibus vel aliquandoquidem divergentibus collegisse Somniant. Eodemque modo demonstratur divisio et rassicum extractio arithmetica. Omnes enim

hujusmodi operationes. tam Arithmeticae quam

73쪽

1o Linere tertii ordinis NEWTOMANAE. Speciosae eodem innitunturiundamento; scilicet ut scrici termini initiales ad quaesitum quam proxime accedant, reliqui Vero ut eo magis continuE sint minores quo magis . primo distant. Qui series divergentes adhibent in problematum solutione , idem faciunt ac si

divisionem arithmeticam Versus dextram, non versus sinistram inchoarent. Istius modi enim series quaesitum nunquam dant, Sed mere sunt imaginariae.

Hisce jam expositis, serierum inventio eo USque reducitur, ut inVeniantur termini maximi alicujus aequationis ejusdem ordinis; posito quod una inde terminatarum quas involvit aequatio, evadit infinite magna vel infinitis parva. Quod tamen perficere nemo unquam valuit praeter D. Newtonum serierum inVentorem. Duplici utitur ille methodo , una, Ρ rallelogrammi scilicet , quam descripsit in epistola ad D. Oidenhurgium 2 Octob. anno I 6 6 missa; quae quamvis a plurimis qui eam haud intellexerunt, ut methodus mechanica dici neglccta jacuit, est omnium quam quis excogitare potest generalissima et elegantissima. Alteram methodum descripsit D. Newtoniae in epistola ad D. Wallistum anno missa : quae, quamVis Geometrae prae priore huc usque amplexi sunt, est particularis so-

74쪽

Linere tertii ordinis NEWTONIANAE. FIlummodo, ut pote cujus ope tantum invenire licet series eo citius conVe Uentes quo minor est x et hoc non adeo generaliter. Haec methodus , ait NE LUTONUs , ejusdem est generis cum ess pro extrahendo radices ex inquationibus ectis superius descripta. Hanc igitur methodum , uti credere par est, Newtonus a Parallelogrammo deduxit: utcunque Vero se reS habet, eam eique similem , pro inveniendis aequationum radicibus in seriebus eo celerius con

vergentibus quo major est x, in sequentibus . Parallelogrammo demonstrabimus ).

Seometra Gallieus, a triangulum parallelogrammis

Ne toniano suffecit. Quantumvis ingeniosus sit hujus trianguli usus in maximis aequationum terminis inveniendis, fatendum tamen est hunc prorsus mechanicum videri. Quapropter vir Celeberr. Lagrave methodum simplicem atque elegantissimam et ex analytieis considerationibus duntaxat deductam excogitavit. Quam accuratissimh explanatam reperias, ac simul quic quid ad evolutionem functionum in seriebus attinet, in Tractatu de

Calculo disserentiali et Integrali quem nuperrimὶ apud eundem Bibliopolam edidit S. F. Laeroix.

Non adeo mirum ac sentit Stirling, serierum methodum fuisse neglectam 3 nam si illam veluti approximatoriam spectaveris, non sine maxima cautione adhibenda est; atque ubi suxionalibus vel differentialibus aequationibus applicatur, non semper suppeditat Solutionem tam generalem quam postulae quaestionis status. Indh merito insectatur Iohannes Bernovssi Geometras anglos, quod praeter nocessitatem seriebus utantur. Edit. Annon

75쪽

1Σ Lineae tertii ordinis NEWTONIANIE.

PROP. II ' PROBLE MA.

Si una variabilium quas involvit aequatio eν dat inmitἡ magna Vel parva , Opporteat invenire terminos illius aequationis maximos ejusdem ordinis. Duc rectam D A C eique ad rectos angulos Α Β : hasce rectas divide in lineolas innumeras aequales, a quarum rectularum extremitat bus erige normales distribuentes Spatia angularia. D A B, C A B in rectangula innumera aequalia.

76쪽

Lanecae tertii ordinis NEWTONIANAE. Sit x indeterminata ex cujus potestatibus conficienda est series, n index ipsius x in primo termino seriei, adco ut sit radix quaesita Imqualis A x' accurate, cum x est infinite magna vcl infinite parva, prout serici quaesitae

natura requirit.

Concipe rectat C D partes singulas Gin esse et unitati aequales i rectae vero AB partes singulas variabiles et quantitati n sempea aequales. In punctis angularibus aequalium rectangulorum substitue dignitates quantitatum x, κ' Ieml riter ascendentium et descendentium a puncto Α, uti in schemate Videre est. Index cujusvis potestatis ipsius x in recta.CDPOSitae aequalis est ejus distantiae , puncto A; affirmativi sunt indices supri punctum A , negativi vero qui infra locantur. EGemque modo, quum pars quaelibet rectae A B aequalis sit index dignitatis cujusvis ipsius x in recta AB positae din ejus distantiam a puncto A.

Adeoque in punctis angularibus, cxtra rectasA B et C D positis, una pars indicis dat di

talitiam a recta AB, altera pars distantiam a recta C D. Et inde totus index simul sumptus aequalis est summae aut differentiae talium distantiarum, prout jacet supra vcl infra rectam AB.

77쪽

14 Linea tertii ordinis NEWTONDANIE. Per puncta duo quaevis angularia x . Et indices terminorum omnium quos attingit recta illa D E erunt aequi distantes in progreS-sione arithmetica : supponamus hosce indices sibi invicem aequari, hoc est , eorum differentiam esse nihil, et indices omnes alii maiores, minores Vel aequales erunt horum indicum alterutri, prout jacent supra, inse, vel in ipsa recta D E. Haec patent ex summis vel differentiis rectarum quibus diximus omnes indices aequari respective. Igitur si x sit quantitas infinite magna, termini quos attingit recta D E, erunt ejusdem ordinis, reliqui vero infinite majores vel minores terminis attactis prout jacent supra vel infra rectam D E. Et si x sit quantitas infinite parva, termini quos attingit D E erunt ejusdem ordinis, reliqui vero erunt terminis attactis infinith majores vel minores prout jacent infra vel supri rectam D E. Atque hinc tandem oritur solutio problematis: scilicet quum arquatio aliqua proponitur, pone os,

eocmcientibus. Terminos aequationis resultantes eodem modo dispone, quo in schemate, cuique locum proprium adscribendo pro ratione indicis : ad horum terminorum sic dispositorum duos vel plures applicetur regula, ita ut omnes reliqui cadant supra vel infra regulam,

78쪽

Linea tertii ordinis NEWTONIANAE. yyProut quaeris seriem ex ascendentibus vel de cendentibus ipsius x dignitatibus confectam. Et termini quos attingit regula erunt maximi ejusdem ordinis. Q. E. 'I. Si quando forte accidit, quod indices ipsius xsint fracti, vel etiam' si 'vis surdi, et nimis operosum foret cos tollere ; Subdividendae sunt partes lineae C D : et inde erigendo normales, in carum cum reliquis concursu disponendae sunt potestates quarum indices fracti sunt vel surdi. Hujus eadem ac propositionis est de

monstratio. o . . 2

CO E. I. Supponamus terminos omnes infra rectam D E abesse. Et, per hanc propositionem termini x , x ' , M '3 et x quos attingit regula, erunt maximi ejus dem ordinis, modo supponatur x infinite parva; et inde eorum indices necessario aequantur hoc eSt, n- - F, 2n- - Ι - Τ, ΑΠ F, et Jn - F - s. Harum quinque aequationum quaelibet dabit n - 2. .aequetur

jam numerus f indici termini cujusvis alias supra rectam D E positi; sit exempli gratia

indices numero 3 qui hic ponitur index infimae dignitatis ipsius M valor ipsius n Verus, est

79쪽

Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. Omnium valorum sic prodeuntium marcimus, reliqui tamen vero valore semper prodeunt

Coroz2. Cum itaque aequatio aliqua proponitur , et quaeritur cjus radix in scric eo citius convergente Mo minor est sit index infimae potestatis ipsius x quae nec per I , T , I, &c. aut earum digni ate. aliquas multiplicatur; hoc est, sit ' index infimae dignitatis ipsius x in rect1 C D pqsitae; pone a me x

x' , ymex' &c. Et, hisce valoribus in aequatione' substitutis , aequentur omnes

indices terminorumsic resultantium indici et valor ipsius nomnium maximus inde proveniem, erit index ipsius x in primo termini seriei quaesitae. Estque haec altera D. N Ioni methoeus pro invcniendo indice termini primi. Coroll. 3. Supponamus iam terminos omnes inse, rectam DF jacere, et reliquos abesSe,3 qui nunc est index altissimae dignitatis earum quae nec per γ, γ, γ, γ, &c. aut earum potestates aliquas mulisplicantur , aequatus indici eujusvis termini in recta D E positi sempergabit n et 2, ut antea in Corollario primo.

AEquetur autem y indici dignitatis alicujus ipsius x infra rectam D E jacentis; sit verbi

80쪽

L ea tertii ordinis NEWTONIANAE. SI gratia, n-I - Ι , erit Πα i Sit 2V- 3 F, eritn - 4; Sitn- F, et erit m- 8. ConStat ergo quod a verus ipsius n Valor, eSt omnium Sic provenientium semper minimus. Unde duco regulam Sequentem. Corosi. q. Si quaeritur series eo citius convergens quo major est x, Sity π', ,

I - x' ', &c. hosce valores in aequatione Sub-Stitue , et terminorum omnium resultantium

indices aequentur ipsi x indici altissimae di

gnitatis ipsius x, quae nec per FT,1,9 , ω aut earum dignitates aliquas multiplicatur atque valor ipsius n omnium minimus hoc modo inventus, est index ipsius x in primo seriei termino.

Methodus haec pro inveniendo indice primi termini seriei ex descendentibus ipsius x dignitatibus consectae , similis est methodo D. Newtoni in Corollario secundo ex sitae, pro inveniendo indice termini primi in serie ubii Potestates ipsius x perpetuo sunt ascenden tes; earum Vero neutra haud adeo, generalis est, uti ex Parallelogrammo facile cuivis vi

Coroll. s. Terminos quos attingit recta D Ε appello primi ordinis terminos. Moveatur recta