장음표시 사용
41쪽
aut toto opere desectus irrepserit, mihi condonari, ut dum Eare amicorum postulationibus recusere nequeo, cogitent φιλε με va, imperfoetum opus velut e manibus eripi de Dent veniam maculis quas aut incuria fudit. Aut humana parum cauit natura: cum alias tenuitatis meae satis
conscius proprio capiam experimento quod Lucianus dicit, in humanis nihil tam fauste&feliciter agi, quod non error aliquis interpolet. Quod etiam in librorum editione sub praelo maxime verum esse deprehenditur:&hunc quidem sine erratis tibi tradere quantum potui co
natus fiam, sed operarum incuriam neque absens neque praeiens equ-gere potui, ut non aliqui subinde& satis graues lapsus irreperent; at rarauiores eo minoris esse momenti existimo, faciliusque posse ab gente & studiose lectore corrigi; quis enim non aduertat pagina legi debere victorem pro antborem, si s cimis pro subristivis; paginat 3 oneque pro nequa & alia eiusnodi quae singillatim annotam esset operae redumdaruis. Quapropter ne tuo, Candide Lector, ad uti otio, vel peritiae dissidere videar,non te diutius in istis moror; tu vero si aliquem ex nostro labore mactum capere optas,& legendo intellige,&vel in ipse liminis ingressu operi manum admoue, iniere&vale. Scribebam raptim apud Gratianopolitanos Almo AE Christianae crata LVI.
42쪽
NECESSARIUM.. DEFINITIONE s. V N CT V M mathematice quidem apud Euclident.
lib. i. Elean. definitione I. caeterosque Geometras di citur ad cuius nullae sunt partes, seu quod est indiuisiabile & omnis expers quantitatis; attamen Ut de eo nunc agimus respective nimirum & cum ordine ad Operationes Perspectivae practicae di artificialis, recte illud describimuscum dicimus signum aliquod minumum extremo calami aut praeacuti ii vertice in quacunque a Bain superficie, quod indivisibile quidem appareat sensui, sit tamen reuera Mabsolute loquendo,utpote siuam habens quantitatem & extensionem. in partes innumeras diuisibile; tale potest ede punctum in prima tabula signatum numero I.
Linea verὀopud eosdem Geometriae. scriptotes definitur longitudo latitudinis expers : sed neque haec definitio conuenit lineae naturali sensi bili qualem in artis Perspeetiuae delineationibus adhi mP , immo huic sicut de puncto quantitas aliqua seu latitudo tribuenda est, ita ut diuisibilis sit quidem realiter & absolute ; indivisibilis tamen quoad sensuis. tanto enim iustior succedet in eiusmodi delineationibus operatio, quanto minore tales lineae sertitae fuerint latitudinem; Vnde & Vitellio Theorein. 3. lib. E. Optices dum agit de linea naturali sensibili qualux acorpore luminoso procedit vi in obiecta se dissundit, determinat in medio illius lineae naturalis sensibilis mathematicam inesse lineam, secun-
43쪽
dun, iram demonstrationes Geom ricae debent procedere: his itaque positis, pro triplici linearum specie. . . Lineam rectam possumus appellare cum Euclide lib. i. Elem. desin. . Quae ex aequo sua interiacet puncta; cum Platone, cuius media obumbrat extrema; vel etiam cum Campano, breuissimam a puncto ad punctum extensionem qualis est in primae tabulae Fig. L. linea A B. Tertia vero figura eiusdem tabulae curuam refert lineam, quae quidem est a puncto ad aliud extensio sed non minima vi videre est in linea CD. quae ut esse minima a puncto C, ad punctum D, extensio, similis esse deberet linee AB, quae in L. Fig. a puncto A, directe procedit ad punctum B. Est etiam tertia species lineae quae dicitur mixta quia ex recta curuaque coalescit, sed ex priorum descriptione satis nota esse potest. Lineae parallelae quas aequidistantes Campanus vocat dicuntur apud Euclidem lib. I.Elem. def. 33. illae quaecum in eodem sint plano & ex qua
uis parte in infinitum proὸucantur, nunquam tamen concurre, scusibi mutuo coineident, tales sunt in . fig. i. tabulae lineae E F, G H: non parallelae autem dum producuntur si sint in eodem plano, conemrrent maliquo puncto, ubi planum efficient angulum, qui s. defin. I. Elem. dicitur duarum linearum in eodem plano sese tangentium ci non in directum iacentium alterius ad alteram inclinatio ; in s. fig. v. g. lineae I K. LΚ ad inuicem inclinatae & concurrentes in puncto Κ, angulum planum constituunt IK L. additur in definitione 3c non in directum iacentauin,
ut videre est in eadem figura lineas I M, KM etsi concurrant in puncto M, quia taminin directaniacent, nullum ansulum efiiciunt, sed solamiem lineam. Solidus angulas in Euclide lib. II. Elem. definitione undecima est Plu
rium quam duarum linearum quae sese continguntdc non in eadem 1 unt siperticie ad omnes lineas inclinatio, vel solidus angulus est qui pluribus quam duobus angulis in eodem non consistentibus plano sed ad unum punctum constitutis continetur ; sed has duas Euclideas definitiones multi authorum bonis rationibus adducti, imperfectas mancasque autumant, quare sic melius mihi videtur ex Procli doctrina solidus anes definit angulus solidusin corpus in uno puncto collectum quod alficiebus ad se inuicem inclinatis velabuna superficie ad seipsam in clinata continetur; ubi & illud non est praetereundum quod si planis tan-rum supcificiebus angulus solidus constituatur, tribus ad .inus constare debere, duae namque planae superficies solae angulam solidum constituero non possunt ; aliae vero superficies non planae, conica v. g. cum duae, tum una la ipsum constitumi: Quia vero recte delineari non potest angulus solidus sine ope Perspectivae, illius diagrammata vide in corporibus quaesecundum artem posthaca nobis describuntur. . .. Recta linea perpendicularis dicitur cum super aliam consistens lineam eos qui sunt deinceps angulos inter se aequalex fecerit, rectum scilicet utrumque , ita Euclidex definitione decima I. Elem. eiusmodi lineam
repraesentare potest filum aliquod tenue aligatum habens pondus iu
44쪽
extremitate, libere demissum super planu quodvis aequabile horieton liparallelum ; Exemplo res fiet clarior surripto in figura sexta I. tabuialae ubi linea A B, incidens perpendiculariter lineae EC, duos angulos ABC,&ABE, inter se aequales & rectum utrumque essicit: si vero a puncto D, in eandem lineam E C, oblique cadat linea D B; ex eoHebet censeri non perpendicularis quod eos qui sunt deinceps angulos
inter se inaequales, nempe obtusum unum, acutum alterum efficiat.
Obtusus autem angulus is est qui definitione undecima I. Elem. di eitur maior recto ut in praedicta figura angulus D B C, maior est recto
A B C, quantitate D BAcutus contra ibidem definitul qui mii proh recto qualis est angulus DB E, minor recto Α Β Ε, tota quantitate D 3 A, Triangulum simplicissima est figura inter planas, huius autem variae sunt diuisiones pro multiplici respectu.
Primo enim habita ratione laterum diuiditur in triangulum ae i- laterum, is sicles & scalenum. PSquilaterum est quod tria lateranabet inter se aequalia, eiusnodi est triangulum ABC, figura septima
Isosceles autem quod duo tantum latera habet aequalia, tertium maius aut minus quouis ex duobus aliis, ita figura octaua habet quidem latera AB, & AC, aequalia, tertium vero latus BC, mimis utroque. Scalenum vero est quod tria inaequalia habet latera, tale exprimitur fi
Diuiditur secundoTriangulum habita ratione varietatis angulorum; ut aute omnis angulus rectilineus vel est rectus vel obtusus vel acutus, fit v t secundum has tres angulorum species , triplex quoque reperiatur triangulum; aut enim triangui i unus angulus in rectus & ob id reliqui acuti peri .prop. lib i. aut obtusus&ideo acuti reliqui, vel denique nullus rectus, nullus obtusus, sed acuti omnes: igitur cum triangulum aliquod habet angulum unum remam, dicitur apud Euclidem caeterosq; Geometus itiangulum rectangulum, potest alitem huiusmodi triagulum esse i sceles vel scalenum; Amblygonium autem quod o lusum angulum habet,potest quoque esse i sceles vel scalenum. Oxygopium vero vel acutangulum quod tres acutos habet angulos, po-
.estque id esse vel aequilaterum vel i sceles vel scalenum; horum omnium exemplum habes in ε. figura: si enim ducatur recta linea A C, triangulum ABC, dicetur O rthogonium siue rectangulum i si autem a punisto D,rectam ducas DC,triangulum amblygonium seu obtusangulum habebis DBC: pro acutangulo vero seu OxygonJo habebis
D B E, si a punisto D, in Ε, rectam ducas D E.
Circulus ex decima quinta definitione lib. i. est figura plana unici linea contenta quae circonferentia appellatur ad quam ab uno signo
intus existente omnes prodeuntes rectae lineae ad inuicem sunt aequales, formatur autem circulus uno circini pede, altero manente immoto in illo signo quod centrum circuli appellatur, estque in figura decima circulum inferore punctum A. A ij .
45쪽
li aequalis; D uno illius gula, haec
ia, trapeziin irregula quod qui-entagonus
est: dicitur inque late abeat inae-
46쪽
que hqc quoad definitiones poterunt enim ahq in operis decursu ass- gnati quς ad solido ruin, speculorum de diaphanorum tra ctatus quos
instituemus erunt necessariae, quare iam declaranda nobis est ad faciliorem huius Perspectivae intelligentiam de praxisti, quorumdam Problematum Geometricorum constructio.
OVamuis propositiones Geometricae ad huiusce tractatus intelligentiam Δ: praxini necessariae multis & diuersis modis possint expcuiri, tamen vide in hac parte superfluum vitemus, visum est no-bIs uniuersales magis θ: faciliores tantum praescribere modos quorum usus valeat in omnibus, idque in gratiam studiosorum huius artis qui prima Geometriae elementa nondum viderint, maxime cum illi qui amplius aliquid in hoc genere desiderauerint, permultos Geometriae practicae aut hores habeant apud quos abunde sibi satisfaciant ; sit ergo. ' .
Addature iam lineum ex dato licitis aham parassetim 'aequidistantem ducere. Sit in primae tabulae figura . linea data GH, cui exspatio GE, aut H F, parallelam aliam propositum sit ducere: aperto primum circino secundum spatium seu distantiam datam , statutoque altero illius crure in puncto G, vi centro, altero dcscribatur arcus circuli E: similitet statuto altero circini pede in puncto H, ut centro, altero describatur arcus, circuli F: iam si ducatur linea EF. contingens duos arcus circuli, non secans, parallela erit lineae GH: vel per 3 i. lib. I. Elem. ducatur xx E, ad G H, linea E H, utcunque faciens angulum quem cutiaque E H G, cui ad E, alter angulus aequalis constituatur H E F. certum est EF, quantumlibet extensam parallelam esse ipsi GH, per 27. prim i cum anguli alterni E H G, H E F, sint aequales: frequens autena usus est propositionis huius maxime in scenographicis delineationi bus Perspectivae practicae, de quibus nobis agendum est in primo librociuius tractatus; ubi posteaquam definitiones artis proprias a timi erimus, docebimus lineam horizontalcm semper supponi di statui lineae basis parallelam.
Super datam recum lineam ex puncto in ea dato rectam lineam a t
SI xv. g. in io. huius tabulae primae diagrammate linea recta data A B, punctumque in ea datum C, ex quo ipsi datae lineae alia perpendicularis est excitanda: sumatur primum circino in linea. AB, ex
47쪽
puncto C, utrinque verius A &B,aequale spatium C A,C B, deinde expunctis A de B, tanquam centris, interuallo ad arbitrium , maiori tamen quam BC, describantur duo arcus D E, FG se mutuo intersecantes in H. si ex puncto C, recta ducatur per punctum intersectionisH: haec erit perii. primi petpendicularis requisiit a. Quia vero contingere potest, immo saepius accidit punctum in linea datum ipsi esse extremum nec posse commode ad praecedentem liraxim prodqci talem lineam, runc poterimus ex dato puncto educere ineam perpendicularem non proaucta linea hoc modo. sit in huius tabulae primae diagrammatexi. redhalinea AB, punctumque in ea se tremum Λ ex quo crigenda est ipsi A 8 perpendicularis: aperto primum circino ad arbitrium v. g. ad interuallum AC, positoque ali croillius crure in puncto A, statuatur alterum in C, quo manente immoto describatur arcus circuli D A E, & a puncto E, ubi secat hic arcus rectam A B, ducatur per C recta E C D, quae descriptum circuli arcumstans in D, punctum designabit aquosi cadat recta in A, perpendicet riter insistet ipsi A B. per 3 i. tertij, quod erat faciendum. Notandum est autem quo magis distabunt inter se puncta A &Bin prima praxi & quo maius erit interuallum quo describetur arcus circuli in posteriori, eo facilius & commodius punctum intersectionis
recta linea ex puncto extra istam dato, alteram lineam data perpendici larem deducere. SIt in eodem diagrammate praecedentis propositionis linea recta data A B, punctumque extra illam datum H, ex quo deducenda est linea ipsi lineae A B perpendicularis ἰ describatur primum ex supradictQ puncto H, tanquam centro arcus circuli rectam A B secans in ΙαΚ. spatium vero IΚ in duas partes aequales diuidatur in puncto Criam vero si ex cadat recta linea in C, haec erit perpendicia .ris requisita per i 1. primi Elem.
Modum astiPrare sis deprehcndatur an recta lunea alteri in ut perpendiculariter seu ad angulos rectos. aeretur, exempli gratia, si in diagrammate primae tabulet xx. recta linea D Α, ipsi ΑΒ, insistat perpendiculariter seu ad angulos rectos: id si certo probare vis, duc primum rectam DE quae angulum lineis D A, B A contentum subtendat utcumque, ipsamque DE. biliriam diuide in puncto C, ex quo tanquam centro, interus.
48쪽
lo vero CD aut CE, seiraicirculum destribes per puncta Ddc Equi
si transeat quoque per punistum A datus angulus erit rectus persi. tertii, ut pote qui in semicirculo existat: si autem idem semicirculus transiret supra punctum A censendus esset angulus obrusus, si denique senti circulus transiret infra punctum A secando rectas B A, D A, eiusmodi angulus dicendus esset acutus seu recto minor. Idem aliter exequemur hac ratione quae mihi videtur ad praximmagis uniuersalis, nimirum dato angulo rectilineo v. g. in eodem diagramma te xi. D A B a puncto A versus D signentur in linea AD interualla quinque seu diuisiones inter se aequales ad arbitrium . in linea vero: A B a puncto A versus B alia tria notentur elusinodi in . terualla ; iam vero aperto circino ex quantitate spatij prioribus quinque interuallis contenti istatutoque altero illius crure in linea AB Haper . punctum 3. quod in ipsa terminat tertium interuallum, debet alterum super lineam A D extensum iuste cadere in punctum 4. quod in ea terminat quartum interuallum, si tamen praedictus angulus fuerit rectus; sin autem fuerit acutus factis omnibus ut supra cadet circinus super praedictam lineam ultra punctum . sin vero obtusus cadet inferius. Id in eo firmatur canone trigonometriae qui ait quod si addantur simul quadrata duorum laterum quae sunt circa angulum rectum, huius aggregati radix erit hypothenuia ipsius seu latus angulo recto oppostrum.
. Datam rectam lineam in quotuis partes quales diuidere
πN figura L L. tabulae primae diuidenda sit linea AB in sex partes aequales: ducantur primum in duobus extremis huius lineae duae aliae rectae lineae sibi inuicem parallelae AF, BD, quod fiet si de
scribantur ex centris A & B ad partes interiores lineae diuidendae arcus circuli EF CD, abscindanturque ex iis portiones aequales ut clarius patet in paradigmate, quo posito sumantur in utraque parallelarum partes seu diuisitones aequales inter se ad arbitrium. ncinresert enim si maiores aut minores, modo tamen inper se aequales& .
pauciores sint unitate quam illae per quas propositam conuenit leneam diuidere. In paradigmate proeosito v. g. cum diuidenda no bis sit linea A B in sex partes aequales, quinque tantum sumendae erunt diuisiones in utraque parallelarum AF, BD, iunctis vcio adi huicem hisee diuisionibus per oetultas rectas lineas I, 3. L, 4. 3, 3. 6, 2. 3, 3. diuisa erit recta linea AB in sex partes aequales , quod erat faciendum, huius autem demonstratio petitur ex decima sexti Facilius vero & commodiux idem prantabimus ope instrumenti
partium, seu ut communiter vocant circini proportionum, cui tu valet usus & in multis aliis Arithmeticae & Geometriae problematis
49쪽
pro quibus soluendis praex es expeditas & mirabiles praescribit; qui ergo instrumenti huius notitiam habuerit, pro diuidenda in lex partes aequales proposita linea nihil habet aliud agendum quam ut praedictae lineae A B magnitudinem communi delumptam circino se rat super lineam partium aequalium in circino proportionum ad aper
turam numerorum I Eo transuers , quo manente ἡperto ad hunc mo
dum sumetur communi circino in eodem instrumento partium apertura numerorum Eo. hinc inde quae erit sexta pars lineae diuidendae, quia sexies EO. faciunt i L o. sicque proceditur semper in diuidendis rectis lineis ; ponitur enim longitudo lineae divi aendae super instrumentum partium seu circinum proportionum in linea partium aequalium ad aperturam alicuius numeri qui commode po t diuidi in tot paries aequales, in quot nobis diuidenda est linea proposita,
postea communi circino sumitur in eadsm linea partium aequalium, magnitudo aperturae numeri quotientis & habetur requisitum, in paradigmate v. g. numerus quotiens numeri i 2 o. per lex diuisi est xo. igitur linea integra posita superinstrumentum partium, in linea partium aequalium ad aperturam numeri xi . magnitudo aperturae numeri io. sextam illius partem iuste referet.
Cimdum datum in 4. 8. I 6. σα partes aequales diuidere.
DIuidendus nobis sit in diagrammate 13. tabulae primae circulus
ACBD: duae primum diametri secantes se mutuo in E centro ad angulos rectos certum est quod circumferentiam diuida ne in quatuor partes aequales quos quadrantes vocant, ideoque si per sextam 4. Elem rectae ducantur lineae ab A in C, a C in B a B in D, a D in Α inscriptum erit praedicto circulo quadratum perfectum. Quod si octogonum. i. figuram planam Ocho laterum totidemque angulorum eidem circulo vis inscribere, quemlibet ctrculi quadrantem in duas partes aequales diuide hoc modo ; ex punctis C & B ut centris interuallo ad arbitrium si modo maius fuerit medietate qua .drantis circuli, describe arcus F & G intersecantes se mutuo intra& extra peripheriam circuli diuidendi, iam si per haec intersectjonum puncta recta agatur linea, haec circumferentiam seu arcum quadrantis circuli C B in duas partes aequales diuidet & octauam totius cim culi partem definiendo, dabit octogoni latus eidem circulo inscripti: ipsa vero octaua totius circumferentiae portio per eandem metho dum in duas aequales diuisa partes, dum determinabit decimam sev tam eiusdem circumferentiae partem, dabit quoque latus hexdecagoni seu figurae planae rectilineae sexdecim anisorum totidemque laterum eidem circulo inscriptae, &c.
50쪽
PRAE LUDIUM GEOMETRI CVM νCOROLLARIUM.
Notah dum hic est quemlibet circuli arcum ex praescripta methodo, etiam ignoto ipsius centro diuidi posse in x, , 8, I 6 partes aequales , &c.
Super ιμ- rectam lineum m ex puncto in ea dato angulum rectilineum angulo rectilineo dato ualem congruere.
LInea rectasata sit E F in figura 21 super quam in puncto E, constituendus sit angulus rectilineus angulo rectilineo dato C A BB L 24 aeqaalis: in eademifigura a. expuncto A vi centro, quouis interuallo describatur arcus circuli secas duas rectas AB&AC inpunctis D & C, deinde super lineam ubi constituendus est angulus rectilineus proposito aequalis,ex pun cto E v t centro describatur eadem circini apertura circuli arcus G H a quo si aequalem arcui DC portionem abscindas , scilicet G H ducasque a puncto E lineam redham E H, habebis angulum rectilineum H E G angulo rectilineo dato AC B aequalem , quod erat faciendum.
In dato circulo pentagonum oe decagonum regulare .i. aquilaterum σaquiangulum inscribere
EX huiusce primi tabulet diagramale satis mihi videtur esse manifestum qua ratione superdata recta linea construi possit triangulum aequilaterumui enim ab extremis datae lineae punctis A & B tanquam centris, interuallo A B siue B A describantur duo circuli arcus intersecantes se mutuo in puncto C,duae re, lineae ductae a puncto intersectionis C ad puncta AB formabunt cum linea A B triangulum aequilaterum de aequiangulum ABC. Ita & in s. huius praeludii propositione satis indicauimus qua methodo in dato circaeo quadratum, octogonum, hexdecagonum, &c. possimus inscribere: facillimum vero est in quovis circulo describere hexagonum regulare aequitaterum&aequiangulum, si quidem ut satis constare potest ex fig. I 8 huius tabulae eadem circini apertura qua descriptus circulus fuit, super- illius peripheriam circumducta omnium hexagoni angulorum puu-cta designabit quae si rectis iungantur lineis habebitur hexagonum perfectum cuius unumquodque latus semidiametro circuli cui inscribitur reperietur aequale ut BC ipsi AB. per i s. quarti Elem. Igitur quod nunc pro descriptione figurarum planarum regularium utile videtur magis & necessarium est inscriptio pelagoni de decagoni aequi angeli & aequilateri in circulo dato, quandoquidem horum cou structio nobis ea maxime profutura cum delineabimus icnogr . B