장음표시 사용
21쪽
eati secundo intelligi debeat ferri in partes omnino ab iis aversas, in quas tem dit in primo, facto inde initio, ubi quantitas aequatur Zeror hine si ci--βisontis altitudinem quamdam indicet supra horizontem, o - b vallem indiearet tantundem inura ipsum depressam: ac si in primo casu b iter significaret Bono. nia Romam versus, in secundo aequale iter Bononia Mutinam versus oste
s. Ex his destendit negati earlim quantitatum additionem ligno fieri
Portere; nam si signo - - uteremur, ipsae e negativis transirent adpositivas ; igitur si a addi debeat b, scribendum erit - a - b, vel quod idem est - b si sit addenda quantitas quantitati - a summa erit - 1 a&c. Descendit secundo quantitatum negativarum subtractionem fieri debere signo -r si enim Contrario signo uteremur, non subtractio, sed additio juxta superius dicta haheretur. Sit igitur subtrahenda quantitas -a de -b, erit differentia - bina; si quantitas eadem littera exprimatur, satis erit si subtrahantur coefficientes; ita si a subtrahere debeas de -sa, reliquum erit Hic etiam animadvertere iuverit, negativam sere differentiam, si cum subtrahis -a de - b, a minor quam h fuerit, diffferentiam sore nullam, si -a aeque t -b; si vero -a excedat in b, differentiam sere positivam, quod ad ea declaranda, que de qua titatibus negativis dicta sunt, plurimum valet. o. Patet etiam quomodo positivis quantitatibus negativae, aut negativis positivae yel addi debeant, vel subtrahi, nempe scribendas esse aliam post aliam eodem ipso, quo praeditae unt signo, quum de additione est sermo; si vero de subtractione agatur, mutato subtrahendarum signo. Notandum hic, quantitatem quamlibet puel solam, vel ante alias positam, quae nullum habeat praepositum signum, eam postivo ligno affictam esse intelligendam. Si quantitates, de quibus loquimur, eadem exprimantur littera. ad summam habendam satis er i subducere coefficientes,& reliquo signum illius apponere, quae major est. Ergo summa sa - 2 a
b ndam vero differentiam satis est addere coeliacientes, Sc summam aificere eo signo, quo praedita est quantitas, de qua si subtri ctio: Ita si detrahas -3 a desa, reliquum seu differentia erit 8a: isi detrahas -a a.de xa, erit disserenti 4 a M. Contra si s a detrahas de-3 a, relinquetur 8a, si a a ex - 1a, reliquum erit in a. Facillime hare percipit is, qui ea teneat, quae numero expotuimus. Si enim quis interroget, quantum viator, qui hinc profectus Mutinam versus tria milliaria confecerit, distet ab eo, qui hinc pariter Romam verius ad quintum pervenerit lapidem, nonne statim respondeas, illum distare passuum ocio millibus ΦRecte quidem Ergo nulli dubium esse potest, quin - 3 a ab sa distet 8a, quae distantia ipsarum erit quantitatum disserentia. . Quantitatum simplicium multiplicatio ni sola litterarum conjunctione, nullo inter ipsas interposito sgno; quare si velimus a per b multiplicare, scribimus ab . Quantitates, quae invicem multiplicantur, dicuntur factores, id autem, quod ex multiplicatione oritur, factum sieu productum appellatur. Sicuti vero, quae multiplicari debent quantitates, vel ambae positivae sunt, vel ambaen fativae, Vel earum altera positiva, altera negativa; ideo in signis producto a ponendis hane sequimur rationem, ut si quantitates eodem afficiantur sgno vel positivo, vel negativo, producto signum positivum apponamus, negativum veron contra. Hi ne si multiplicemus - a per H-b, vel in aper erit in uir
22쪽
8. Hujus rei in promptir ese ratio ia Quoniam multiplieator nihil aliud ostendit, nisi quoties multiplieanda quantitas sit accipienda, jam si haec positiva sit, & ille pati ree positi τux, erit quoque. productum, ut patet, positivum, e que majus. quo multiplieator ipse major erit; & minus, quo minor; ergo si multiplicator sit raro, erit raro etiam productum; ergo li magis decrescat multiplicator, Se fiat minor quam raro, hoc est negativus, etiam productum m
gis decrescat necesse est, natque minus. quam Zero, seu negativum . En igitur quomodo sit manifestum productam postivae quantitatis per negativam multipli--tae, este. pegativum. Suppone modo quantitatem negativam per positivam mulist plicari oportere Iam ex demonstratis erit productum. negativum, & eo minus ia hoc ordine, bos est. tanto minus quam aero, quanto iple multiplicator crescit, seu major est, A quanto multiplicator fiet minor, . tanto productum erit
minus in ordine negativorum , hoe est.tanto propius. accedet ad Zero; ita ut crescat s emper productum, si decretoat multiplicator: ergo quum hic est etero, pr ductum erit Eero: ergo. R. magis etiam multiplicator decrescat, nempe si negativus fiat, crescet magis productum, adeoque erit majus quam Zero, ac conisquenter positivum; quantitas igitur negativa per negativam multiplicata productum: dabit positivum.. Hinc patet regula numero praecedentit assignata ... q. Si quantitates invicem multiplicandae plures elsent quam duae, eodem prorius modo se res habet. Duas enim prius multiplicabis, deinde harum productum per tertiam ,. ω sic est nceps . Quaeratur ex. gr. productum trium quanti inlatum v, - c; duarum. a , - ν erit ab , si hoc per e multiplices, habes 3- ab e productum quaesitum. Si quantitates messicientibus praeditae lint, eorum productum producto quantitatum est praefigendum,. iisdem quoad signa m nentibus, quae jam tradidimus. igitur productum quantitatis. - 3a in ob ductae eri T- 17ab, productum 4 a in 3b erit ta ab Animadvertant etiam, qui haec legunt, . idem esse,&. eandem exhibere quantitatem ab Sc baz nam locorum diversitas, , quae lix vulgari arti aeqv. 'mus pol in mincerorym. valoribus imputandis, in i algebra vi hi ha et omnino nullam. . ro. Quam quan itates, quae multiplicantur, duae sunt& aequales, iisdemque signis a flectae, ex .gri. si multiplicetur a per a. productum a a secunda dicitur i
sius a potestas, seu potentia, seu dignitas, seu quadratum, idque nihil aliud significat, ni si . quod ea quantitas. per se ipsam fuerit multiplicata; ipsa vero a
tantum dicitur prima ejusdem, ac potestas. St. quantitates tres fuerint, productum a a a vocatur potestas tertia, sive cubus i. aasa potestas quarta, seu qlaadrato quadratum, &. sic in infinitum ς. non utimur tamen eo scribendi modo ut poternimis incommodo, praeseitim si ivasde. crescat potestas; sed. huae. potius: usurpa
dem ac potestas quaecumque per ipsum ni express . Hi porro, numeri litterae suis. perimpoliti vocantur exponentes , ea de causa , quod aliquam, ipsius: quantit . tis exponuntia seu indicant potestatem . Magnum igitur: inter messicientem, atque exponentem: intercedit. discrimen; . atque inde longe aliud esti a a, , quam a ς nam, si a sit: ex. gra ,. zai erit. 8, . at a nempe: a quadratum aequale le
ar. Cum de quantitatis ejusdem, potestatibus, agitur; ux eas: invicemi multi uplices, .lummam exponentium appones litterae communi tamquam: ex nens, M.
23쪽
s a per a velis multiplicare, nonne productum erit a saaa atqui hoe ex num. super. idem est atque & hujus eotestatis exponens s est lamma exponentium a & 3, ergo die. Patet hinc etiam ratio elevandi datam quantitatem ad quamlibet potestatem; scilicet toties lumendus erit exponens, quoties novae potestatis index postulat, ad quam ipsa quantitas est elevanda, seu quod idem est, exponens propositae quantitatis ,r novum indicem est multiplicandus, rite servatis, quae ad signa pertinent. Ex. gr. vis β' elevare ad potestatem tertiam; argo ex tradita regula ter erit sumendus, seu per 3 multiplicandus exponens x,& seribendum , , quae erit ipsius b potestas tertia; ita etiam quantitatis
Potestas secunda, seu quadratum erit a , potestas tertia a , ita denique si a
ad potestatem n velis perducere, fiet a , imus a potestas n . Valent his eadem, quum agitur de producto ex duorum , vel plurium factorum multipli e stione orto, quale esset ex. gr. a b ', Si enim velimus ipsius potestatem aliquam, sufficiet per quaesitae potestatis indicem singularum litterarum exponentes multis
plicare. Ergo potestas illius secanda erit ab , & generatim a b ad potestatem p elatum erit C , '. Uerum saepe juvabit indicare tantum operationem, no .
Perlicere, apposita supra lineola, cui adjungitur index potestatis . lia ab i dicat ab elevatum ad potestatem n , quod idem est aer, se est a se eis Ievatum ad potestatem sed a b) .ia. Ad divisionem quantitatum simplietum quod attinet, quoniam divitio
multielieationi est contraria, & illud, quod per hane erat efii:esum, per illam destruitur, sequitur divisionem fieri, si ex dividenda quantitate divisorem ejicianquo facto reliquum quotiens apellatur seu quotus, qui per divisbrem multiplicatus dividendam quantitatem restituet. Regula igitur pro signis, huic, quem di-γimus, quoto praefigendis ab ea non dissert, quam in multiplicatione tradidiamus; nempe signa eadem positivum, diversa negativum signum pro quotiente Ghibebunt. Hine quoniam quantitas ab est priauctum ex a in v eam per' dividaa, erit b quotus, qui per a iterum multiplicatus ipsam ab restituit; ita pariter quantitas -abe divisi per - ab dabit quotum e , divisa per ed hit quotum ab. Quoniam vero quantitates omnes possunt intelligi per uni. ratem multiplicatae, hine est, quod si quantitas aliqua sit per se ipsam diviscenda, ut v a dividere debeas per a , quotus erit unitas. Si quantitas habeat 'efficientes, praeter ea, quae dicta sunt, quantitatis dividendae coessiciens per divi forsa messicientem dividere oportet, adeoque si dividas o a per Has, erit
33. At ea esse potest quantitas dividenda , ut in illa litterae divisoris, aut milae, aut saltem non omnes reperiantur; quemadmodum si a dividi oporteat mr b. Hinc enascuntur fractiones, & eo prorsus modo indicatur divisio, quova arithmetica; idest lineola horizontalis ducitur, supra quam stribitur quantitas
in idenda, insta divisor propriis utriusque retentis fgnis; igitur indicabit a divisam, Diuili od by Corale
24쪽
divisim per eritque ipse hactio quotus ex divisione proveniens. Quanti
supra transversam lineolam positis dicitur numerator, quae infra est, denomin νη . Ita si ga, dividas per - e erit quotus , quod idem erit etiam : nam Bactionis valor, sive quotus ipse in utroque casu erit negativus. Eadem ratione si dividas-s ab per - 3e d, erit quotus -- sve in utroque casu positivus. Quidam fractionem indieant interpositis inter numeratorem, & denominatorem duobus punctis . Ita a '. b indicat numerato rem a dividi a denominatore b. Nos plerumque primum modum sequimur. Si autem aliquae in dividenda quantitate litterae reperiantur , quae etiam in divis kre sint, illis tunc ejectis, ea qua dictum est methodo, quod superest fractio- ais more scribendum: quapropter diviis ab per κώ, erit quotus - . Ratio ex hactionum regulis dedueitur, quibus do mur nihil fractionis valorem immut ri, si per eandem quantitatem tum numerator, tum denominator dividatur; quod ipsum in arithmetiea satis constat. At rei hujus ratio ultima ex eo pe det , quod cum divis br in quotum ductus aequare debeat productum dividendae quantitatis in unitatem, necessario esse debeat diviser ad dividendam quantit tem, ut unitas ad quotum : idest in casu allato κb ad ab , ut unitas ad sed ratio κώ ad ab est eadem, ae ratio κ ad a, ut novimus ex propor tionum regulis; ergo quam proportionem unitas habebit ad eandem h
bebit Ergo hae duae quantitates erunt prorsus aequales: quod ratiocinii genus ad alios suoscumque rasus extendi, manifestum est.
4. In dividenda vero alicujus litterae potestate per aliam ejusdem potest tem, tussiciet hujus exponentem ab illius exponente detrahere, ut quotum ha-
beas, idest si fuerit dividendum a per a , erit quotus a , seu a r nam si cuti exponentium additione potestates moltiplicantur num. Il. , ita eorum . subtractione dividantur neceM est. Hi ne si divisoris exponens minor sit quam exponens dividendi, quoti exponens erit positivus , n aequalis , quotus habebit exponentem o, si denique major habebit quotus exponentem negativumi
Unde si a dividas per quotus erit ali si per c quotus erit a I si per a quotus erit a ' seu H. Etenim quotum ex P divisa per a scimus esse-- seu 2; quotum ex a' divisa per a' esse seu i; quotum denique ex divisa
seu Unde patet ratio, quare aequet unitatem,&idem sol -, aca L Ilae quintitates, quae exponentes habent neg tio , ps testates negativae voeantur, semperque indieant fractionem, cujus numerator est
unitas, denominator vero ipsa potestas positiva : sic a a idem
25쪽
is. Haec quoad quantitates simpliere. Quantitatum compositarum algorithismus nullo negotio ex simplicium algorithmo profluit. Ut earum summam habeas, satis erit, si eas unam post aliam scribas retentis earum signis,' ut ha. heas residuum , vel earum differentiam, si pariter unam poli aliam scribas, mutatis signis earum, quae subtrahendae erunt. In summandis tamen, & in subtrahendis quantitatibus, eae, quae eadem littera exprimuntur, in unam simplicem quantitatem redigantur, uti num. 1, & 3 monuimus. Ex his quantitatum a b e, 3a d c lumma erit 4 a - b - d, quantitatum o κ- Io π - 3ν summa erit 16κ - 6F, quantitatum ab-aae - χ -ab- xae summa erit 1 η' . Si vero ex 4κ- b subtrahas i a erit residuum 4κ 3b-a-1 . Si de x - b subtrahas - a b erit reliduum ω ab a. Si ex ab ine' subtrahas - ab e erit residuum Iab. Io. Quum quantitates. addendae sunt, vel subtrahendae, uius docuit Analystas, eas omnes, quae eodem termino constant, in verticali columna scribere. Ita eis nim uno velut intuitu facile additio vel iubtractio peragitur. Exempla rem es-ficient carissimam. Sint addendae quantitates A, B, C, ita terminos dispone, ut identiet saetant columnam verticalem, quod factum vides . His ita positis
nihil facilius quam efficere summam D.
D. 2 a a x- ak - ω - b Similiter si ex A fit deducenda B, huius terminos. terminis illius similibus suppono, & nullo negotio sisserenuam. Q invenio.
I . Quantitatum compositarum multiplicatio fit multiplieando fingulos unius lactortas terminos per singulos alterius, & horum omnium productorum se ma quaelitum productum dabit. Sit a in b e quantitas multiplicanda per=ς per banc igitur, tribus illis terminis juxta resulas simplicium quantitatum lucissessive multiplieatis. habebimus productum aν - υ - eF. Multiplicari debeat a b - cper= - a. productum ex multiplicato per singulos terminosa b - eerit aF bF - eF, si eosdem duos in - a, habemus -a - ab ae. Summa igitur duorum productorum aν b3 - er-a' - ab ae erit productum illaesitum. Quam duae quantitates invicem multiplicandae sunt, .iltera sib altera
cribitur, tum laserioris termini singuli ducuntur ia terminos superioris; producta Duiligod by Coo le
26쪽
vero stribuntur infra lineolam horizontalem, ea habita eum, ut si qui te mini similes proveniant, ii in verticali columna constituantur, quo facilius tota ligi in summam possint. Exemplum. Sit multiplicanda A per B I ductisque singulis terminis B in singulos A, oritur C, cujus termini similes, ut monuimus, in verticali columna sunt positi, qua cura adhibita facile eorum summam D eodificio.
i8. Non abs re suerit aliquo hic exemplo ea megis ostendere, quae num. . & 8. dicta. sunt; nempe signorum diversitatem exhibere in multiplicatione. productum negativum; signa vero eadem positivum. Sit itaque multiplicandumaa a per 3 a - 2 a quod cum idem sit, ac multiplicare a per a constat proinductum esse debere a: atqui hoe seri nequit, nisi iis stantibus, quae de sugnis demonstravimus: multiplicentur enim propositi iactores, & signa omittantur in terminis omnibus, primo excepto, sine ulla controversia positivo . H bebimus productum 6 a'. 4a . 3a'. aa'. Iam vero , cum primus terminus o a' sextuplus fit plodum a', aliqui procul dubio ex terminis, qui o a subs sequuntur, negativi esse debebunt, at nunquam fiet, ut productum illud aequeta nisi medii duo termini negativi sint,& quartus postivus hoc modo o a' t a - a-aa , duo autem termini medii productum sunt earum quantitatum, quae contraria habent signa; extremi vero productum earum , quae signa habent eadem; ergo etiam hinc patet, certam esse regulam fgnorum alibi it
xς. Cum multiplieationem non Leere volumus, sed tantum indieare, tunc supra iactorum quemlibet transversam lineam ducimus, interque ipsos ponimus vel punctum, vel signum X: ita a -- b. e-d seu a --bXc - d significat quanistitatem a--b per quantitatem e - d multiplicatam. Earundem quantitatuitia quum volumus indicare potestates, lineola eodem modo pariter ducta supra ipsas,
post illam exponentem ponimus; ita a --b significat quantitatem a in b per se ipsam multiplieatam, seu ejusdem potestatem secundam, leu quadratum; quod ne quaeso tirones idem putent esse ac a -- longe snim est aliud quadratum integrae quantitatis, aliud summa quadratorum partium ejusdem, quod in numeris etiam videre est: sic etiam a--b his in se ductam, seu illius cubunia, seu Disiligo: by Corale
27쪽
seu potestateni tertiam &ας 3c a b indieat per se multis iratam to vici diu, quot exprimuntur per n-I, seu ipsius testatem n. m. Cum agitur de divisione, duplex est casus; vel enim divisor inniatis compositae & iple est compositus, uel simplex; in hoe secundo casu sumcit divisorem singulos quantitatis compositae terminos dividere: Unde si b-d,
dividere oporteat per erit quotus a - e - d, & omnia eo peragentur m do, quo num. I 1.2 hinc eadem quantitas a b --eb - db per κ divisa dat mo
quoto ---: quantitas ab--be - ed divisa per b dabit - ,
vel a in e- quotum partim integrum, partim fractum; quotus deniqu
eab-d ab quantitatis divisae per ab M erit regulis satis patent; quae omnia ex simpliciunia ai. At fi etiam divisor fuerit compositus, tune hae methodo rem confietimus. Quantitatem utramque dividendam stillem,& eam, per quam dividendum est, secundum aliquam litteram, pro ut magis ex it, ordinamus; quod fit, quum potinatem maximam illius litterae scribimus tamquam primum terminum, dei de potestatem proxime minorem in termino secundo, & sic deince et ita quantitas y -xy -κs π dicitur ordinata seeundum litteram F; si ver ea dem ordinare velimus secundum Μ, scribendum erit κ --M 3 -κ9 --st . Ita rebus dispositis per primum divisoris terminum primum dividendae quantitatis terminum dividimus, & quotientem seorsim seribimus, per quem deinde int grum divisorem multi leamus, & quod inde oritur priauctum e dividendose trahimus. Subtractione primum residui terminum per primum divisoris terminum pariter dividimus, cujus divisionis quotum iuxta quotum antea babitum scribimus, eo siso affectu' ouo gaudet, per eumque divisore mulat icato, Se subtracto produ- iterum dividimus, & hac lege procedimus usque eum ni nil dividendum supersit; summa omnium quotorum partialium erit quotus totalis. Q. Dividere oporteat quantitatem ba - db-d a -- quam seribimus in A, per quam scribo in B; ordinetur utraque sermula ex. gr. per si, elli prima a --,a-da - d b, qnam scribo in C, altera, quam scribo' in E, erit
a b. Dividatur modo primus terminus quantitatis, quae est in C nempe a , Per primum terminum divisoris nempe per a , & quotus a scribatur in D; Deinde per hunc multiplicetur divisor, qui est in E, & modu&im a ' bala, trahatur de quantitate posita in C, erit refiduum a--b a - da d, - σ -ba , idest , quoniam quatuor termini a --ba a -3a invicem eliduntur, da - d b, quod residuum, iam per se secundum a ordinatum, scribatur in δε illius primus terminus - da per a primum divisoris term num di Widatur; pr venit quotus -d, quem in D iuxta primum quotum ponimus, Sc per sed multiplicato iterum divisore & producto da - db subtracto de quantitatem, residuum erit -da - d,--da -- d b, hoc est rero, adeoque erit quantitas D, idest a - d quotus totalis; Sc revera si hanc per divi lateat multiplicemur, restituitur integra quantitas A.
28쪽
a3. Sit dividenda formuIa in A posita per eam, quae est in B. Utraque o dinata est per κr igitur divide s κ' per sύ, & scribe in D quotum x ; per, multiplica divisorem, erit productum a -κab, quod subtrahe de quantitate AE, Si habebis residuum primum, quod est in C et primum ejus terminum se I s x a divide per s κ', & quotum H 3 ax scribe pariter in L , perque ipsum multipliea iterum divisorem B,&productum - r sκ'a-ax'. et x a b subtrahe de quantitate C, erit E residuum secundum. Divide hujus secundi residui teris minam primum- s x ab per sκ & quotum - scribe in D, & tertio mul. ti plica divisorem per ipsum -ab, 3c productum-sdab -κIb--a, subatrahe de quantitate E; quoniam residuum tertium est Zero, absoluta erit divisso, cujus totalis quotiens est ipsa quantitas κ'-3ax - a b posita in D. . s I o κυb - 3 κυ-- a κ a'b -- a'b', t B. s κ' -κ isa οD. RLaaxta ab
a . Esto tertium exemplum formula ρκ - , ab dividenda per 3,-ν, divaso termino ρκ per 3Ν habemus quotum 3κ, per quem rite multiplica to divisore, & subtracto producto, primum residuum est 3κν
Quantitas dividenda ρκ-- ab , Primum residuum 3υ Residuum alterum a b Divisor 3 π
29쪽
Sed quoniam residuum illud ab nullo modo potest per dividi, patet pedi sectam divisionem taberi non posse, quare quotus integer erit una cum
fractione ---. In hoc, & similibus exemplis erit igitur quotus ex integris
compositus, & fractis. Scribi etiam poterat quotiens unius tantum tractionis modo , vel ut alii faciunt ρ κ
- 9 ab P 3κ svel c y ω'-s ab f. 3κ-3ὶ quae omnia primam quantitatem ianuunt per sequentem divisam.
Quantitatum Fractarum Algorithmus.
MIrabuntur fortasse aliqui quum viderint, nos in tradendo fracti num alg
rithmo a multiplicatione & divisione initium lacere methodi oblitos, quam di alii in analyticis rebus sequuti sunt, nosque ipsi sequuti sumus capite praecedenti. At quum hi animadverterint, veram methodum pollulare, ut a simplici ribus ad ea, quae minus simplicia sunt, gradus fiat, & in fractionibus simplici res longe esse multiplicationem & divisionem, quam summam & subtractionem, non erit cur nobis succenseant. i. Unde oriantur fraetiones tam supra docuimus Cap. l. Num. I 3., nunc illud est in memoriam revocandum, quod in proportione geometrica d emur, nempe exponentem rationis. quam nabet antecedens ad consequens, nihil eii aliud quam fractionem, cujus numerator est antecedens, consequens denomina tor I ita exponens rationis a ad b erit fractio Scimus etiam quod si is, &b per eandem quantitatem multiplicentur aut dividantur, non ideo immutatureor m ratio: atqui per multiplicationem aut divisionem ejusmodi exponentis numerator & denominator multiplicantur aut dividuntur; ergo per hoc quod numerator & denominator cujulcumque fractionis per eandem quantitatem aut murutiplicentur aut dividantur, non immutatur fractio ergo 'T , tactiones aequales. a. Patet, fractionem aequare unitatem, si numerator denominatorem aequet et superare, si numerator denominatorem superet; deficere vero ab unitate, cum D merator denominatore minor est . aa. Iam vero ut multiplicemus hiationem ex. gr. -r per quantitatem in t . c .gr m e , sufficit si per e numeratorem multiplices, idest si scribas; nam in e nihil aliud est, quam productum ex a in e divisum per b hinc sista ctionis multiplicator denominatori esset aequalis, tunc productum erit quantitas
integra, quae numeratoris locum obtinebat; ita in b dabit idest a. 4. Quum Diuili od by Corale
30쪽
Quum vero divisio e resone multiplicationi opponatur, ideo si fractio re. gr. dividenda sit per e, non numeratorem, sed denominatorem per e multipli. cabimus, & erit quotus A. Nam quum s actio, multiplicato per eandem quantiis
talem numeratore & denominatore, non immutetur, discimus multiplicationem nuis meratoris esse quid directe contrarium multiplicationi denominatoris. Ergo quum eadem oppositio sit inter multiplieationem & divisionem, oritur per multiplicationem denominatoris divisio, licuti ex multiplicatione numeratoris orta est mulistiplicatio . as. od si ipsam quantitatem integram e per fractionem puta di .idere velis , tunc nova exurgit hamo, cujus numerator est e,' denominator vero π . bMultiplim per b hujus novae stactionis numeratorem & denominatorem; fiet igitur ille eb, hie autem a s num. I. ergo quotiens quaesitus erit - . Unde
oritur regula universalis, quae docet, tune dividi quantitatem integram per se ctam, quum integra quantitas ducitur in iractionis denominatorem, productumque per numeratorem dividitur. 3 9 o. Si fractio per fractionem sit dividenda ex. gr π per , tunc habemus se a ' ω .ctionem novam, cujus numerator est , denominator - multiplica utrumque per erit numerator denominator bs, ergo quotus noster erit E . Unde regula universalis est tune fractionem per stactionem di vidi, quum numerator dividendae ducitur in denominatorem dividentis. & denominator illius in hujus nu-
meratorem. Quae demonil ratio iis etiam accommodari potest, quae de divisione quantitatis integrae per fractionem dicta sunt paulo ante, quae. ibet enim integra quantitas haberi potest tamquam fractio, cujus ipla est numerator, denominator
7. Sicuti autem haee operatio directe opposita est illi, qua quis numerat rem per numeratorem, Sc denominatorem per denominatorem multiplicaret, hine est quod hac via fractionem per fractionis multiplicationem obtinebimus: Ergo
zan - dabit productum 8. Quae hactenus diximus, quamvis simplicium quantitatum exemplis earumin ue positivarum sint deelarata , valere tamen in quibuscumque quantitatibus Sciractionibus patet ex vi demonstrationum, quae universales omnino sunt; hinc ira--b a κb M sab - e ab L - c is ab a c