장음표시 사용
31쪽
seu - e Py. Antequam veniamus ad summam vel subtractionem fractionum a fractioniabus vel ab integris quantitatibus, regula tradenda est, qua iplae fractiones, &i tegrae quantitates in Dactiones mutari possint eiusdem denominatoris, qua tr dita nulla superest dissicultas. Ut quantitas a in fractionem vertatur, quae habeat denominatorem communem cum data fractione - , ipsa quantitas a multiplic tu 3c dividatur per illius stactionis denominatorem, nempe pers, fietque . Duae pariter fractiones ad eandem denominationem reducuntur simili ratione . Sint, multiplica numeratorem, di denominatorem unius per alterius denomiti
natorem , & vice versa; fiet igitur prima altera , quarum est communia denominator by. Fici. Nulla major est difficultas si Damones ad eundem denominatorem redi. ceadae plures snt quam duae ex. gr. V . .' ' f si possunt enim ted
ad quem denominatorem pervenili etiam fractio - , si per a - e multiplicetur & dividatur. fietque 2 bx aabκ-1be κEx his exemplis eruitur regula unrversalis. Tune hactiones quotquot sint ad eam dein denominationem rediguntur, si denominator communis. nat productum omnium denominatorum,& quisque numerator multiplicetur per productum reliquorum denominatorum dempto peculiari fractionis, cujus multiplicatur numerator.
-- Δ- , R ita tres datae fit actiones, quarum usor idem esta v - b uqui antea. ad eundem denominatorem perductae sunt. 11. Nitidius procedit res, cum denominator hactionis alicujus est factor de
32쪽
nominatoris alterias ut eontingit in duabus η- . π, ubi b iactor est denomina.
toris 3 b I tune enim altero factore 3 adhibito,& per illum tota tractione 'multiplicata habemus intentum . 33. Cum stactiones ad eundem denominatorem scimus redueere, tune nutilo negotio fiet earum summa L Ec subtractio. Si quaeratur summa fractionum L, - , reducantur ad eundem denominatorem,& in has mutentur
ε au - bti bau - θω bau - bunumeratorum summa , ex ea . p e. , eique communis denominator Ilaea in terposita lapponatur , erit ita summa, quam quaerebλmus, . Subtrahi debeat fiamo --
de S. Reduste ad eundem denominatorem erit prima offm altera: ' :nunc si primae numerator a numeratore alterius subtrahatur. & residuo lubicriba
r . Superest ut de stactionibus ad simpliciorem formam reducendis agamus, quod sane non levis momenti eli aestimandum. Diximus initio hujus capit)ς st monis valorem integrum manere, si per eandem quantitatem cum numerator, rumdenominator dividatur. Si quando accidit, ut per eommunem quantitatem dividi uterque possit, peracta divisione fractio in aliam verterre ejusdem quidem valoris. sed terminis simplicioribus; ex. gr. listae itiniis numerator & denominator divisa e bdatur per b, ea vertitur in - , quae simplicior est. Quo autem majr erit qua
titas, per quam fractio ita dividitur, eo evadet simplicior, ita ut si divisor sit maximus, fractio ad minimos terminos. redigetur: ita fractionis f h: num
rator L denominator dividi possunt per n adeoque simplieiter erit fractio ;M hujus quoque numerator R denominatot sunt per b divisibileri ergo simplicior erit seactio--: quam framonis se am initio habuisses , si datam fractionem
nen pern sed per bn divisisses, qui divisor bax cum in casa maximus sit, erit maxime simplex stactionis sermai s. Non tamen primo potest intuitu cognosci, quinam sit ma ximus quam ita, tum divisor, quamvis revera formulae sint divisibiles; sed antequam de hoc agama sit bdjulmodi Lemma. Si duae quantitates A major. ω B minor fidit exacte divi. sbilis per quantitatem P, dico divisa A per B, ii quod superest residuum C, illud etiam lata exacte divisibile per P.
33쪽
Demonstratio. Quotiens ex divisione A per B sit mr ergo mB C aequabit Ar ergo eum A dividi possit exacte per P, etiam mB in C per eandem P exacte dividi poterit; sed etiam B exacte dividitur per P atque adeo etiam m B: ergo per P necesse est dividatur exacte residuum C. Quod se. 16. Grolarium primum. Quoniam B & C exacte dividi possunt per P, si B per C dividatur ita ut residuum sit D , sequitur ex superiore demonstratione. etiam D esse exacte divisibile per P. Pariter dividi exacte poterit per P residuisvm E quod superest facta divisione C per D;& ita porro usque dum ad rhfiduum
veniamus, quod sit zero. 17. Grolarium secundum. Duo hic possunt aecidere; etenim vel ultimum residuum Pntitati P est aequale vel majus; nam minus esse nunquam poterit, quum per Presidua omnia exacte dividantur. In primo casu erit P maximus eomia munis divisor quantitatum A, B; quandoquidem major quantitas exacte residua omnia dividere non potest, quum ultimum non possit. In casu altero erit quidem P divisor communis, quum ultimum residuum exacte dividat, sed non erit maximus, nam ipsae quantitates A, B dividi possent per residuum illud ultimum.18. Scolium. Divisimus hic B per C, C per D , quia supposuimus residua successive decrescere. Coeterum si quando accidat, ut aliquod residuum ex. gr. D majus esset quam C, tunc esset facienda divisio D per C,& residuum aeque divisibile et et per P, ut ex lemmate constat. ις. Hoc lemmate prax s continetur, qua maximus duarum quantitatum divisor invenitur, quae antea sine demonstratione exhiberi consueverat. Quaeratur communis divisor formularum A, B quae secundum litteram x sint ordinatae,
Divide primum terminum formulae A per primum simulae B, quoniam in illox majorem obtinet potestatem, & quoti productum in divisorem B, nempe. quantitatem M subtrahe de A, residuum erit C. Hoc residuum C divide eodem modo per B, & ab illo subtrahe quantitatem N, quae est productum ex B i quotum -s, sic habebis alterum residuum D. Nunc quoniam in hoc residuo minor est κ dignitas, quam in B, ideo inverte ordinem, & B divide per D, atque inde subtrahe et productum ex D in quotum , tertium residuum erit E ,
quo diviso per F, reperitur enim in terminis omnibus, habes quantitatem P. Hanc pariter divide per D, & ex ea subtrahe productum ex D in quotum -- hoc
est Κ, residuum erit aero; igitur quantitas P erit communis divisor, quem p stulabas. Ratio patet ex Lemmate jam demonstrato; sed ut magis rem teneas, sic argumentemur. fi P civiso per D residuum est xero: ergo P exacte dividit D: ergo Diuiligi d by Corale
34쪽
ergo pariter exacte dividet D ductum in - hoe est quantitatem Q; Et quoa
niam P dividit eodem modo E, exacte dividet etiam . E idest B r ergo etiam B ductum in y seu N; ergo etiam N in D seu C exacte per P dividetur; sed p riter B in κ idest M exacte per P dividitur: ergo etiam M C quod idem est ae A;
ergo & A,& B exacte dividuntur per P, adeoque P communis est earum serm larum divitor; sed & maximus sit oportet; nulla enim alia quantitas persecte r sduum postremum divideret, id quod communis divisionis naturam postulare jam vidimus. ao. Reperiendus nune sit eommunis divisor sermularum Q, P, quae secundam h sunt ordinatae . :P. ab-ι ea-e C. - e ab Fefb-- au -fκ I-cD . a m - fκ - - e a - fSi aper P dividatur, erit primum residuum C, quo pariter diviso per P, prodie residuum alterum D, quod non ultra potest per P dividi ordinatum secundum b. Non ideo tamen inferi debet quantitates Q, P nullum habere communem divi sorem; nam si per litteras a vel f ordinentur, communis earum divisor a sinu nietur. Ratio autem est, quia ut divisor communis reperiatur, necesse est sermulas tecundum aliquam divisoris litteram ordinari. quod ex hoc ipso exemplo satis insertur; & quoniam nescimus, quae litterae in divisore contineantur, ideo antequam nullum hujusmodi elle pronuneiemus, formulae secundum i iteras omnes runt ordinandae, quo facto si divisor communix non prodeat, tunc nullum revera . esse constabit. ai. Quamvis quantitas aliqua ex. gr. e dividi non possit exacte per aliam a b& scribere cogamur j, ut quotum ex divisione indicemus, tamen in his etiam quantitatibus habere possunt locum regulae, quae de divisione sunt traditae. Igitur divisa e per a , quotus est , hujus productum in divisorem subtrahe ut doeuia
e b a - , & sic deinceps operatione methodo eadem producta ibit divisio in infiniatum & quotus integer fractionis , aequalis erit seriei infinitis terminis constanti
Noac si a & b aequales quintitates essent, stactio nota evade Duiliaco by GOrale
35쪽
termini vel duo, vel quatuor, vel quolibet numero pares in summam colliganis tur, erit ea Σero aequalis; at si fiat iumma terminorum vel unius, vel trium, vesquorumcumque libuerit numero imparium, initio a primo iacto, erit summa quae per se clarissima nemini dubium creare possunt. Iam si utramquGa e summam comparemus cum vero valore - , statim cognoscimus, parium summame eseu aero ab eo deficere Per -; summam vero imparium nempe eadem quanistitate illum exe ere, & ita rem se haberet quaecumque aecipiatur vel parium , vel imparium terminorum summa. Hae de caussa dicitur haec series paralella. Quod si fingamus b majorem esse quam a. tunc seriei nostrae termini successive crescant necesse est, cum sequens terminus nihil aliud si quam termianus anteeedens ductus in - , quae quantitas in hae hypotesi erit unitate majorr
ergo tum summa parium terminorum, tum summa imparium magis ae magis semper reeedet a vero iraictionis valore, illa quidem per defectum, haec per excelsum. Hajusmodi series divergens apellatur. 4. Si tertio supponamus b minorem quam .s, termini laeeessive decrescent, adeoque summae, de quibus dictam est, quo plures terminos colligent, eo ad fractionis valorem accedent magis, cujus accelsus caussa series convergens dicitur. . 23. Series igitur tum paralella tum divergens nunquam aptae erunt valorem fractionis neque verum, neque vero proximum exhibere; at egregie id prestabit convergens, eoque exactius, quo pluribus terminis summa constabit; ita enim adeo accedet summa terminorum partum ad quaesitum vadorem, ut ab illo per minimam quantitatem deficiat, Se contra ita accedet summa terminorum imparium, ut illum minima quantitate superet, & utraque quantitas tum defectustum excessus tuto contemni possit. Illud est etiam animadvertendum, quod quo majorem rationem a habet ad b, eo etiam magis termini laceessive decrescunt; ideoque pauciores termini requirentur, ut proximus fractionis valor obtineatur.
Si in fractione esset b quantitas negativa, hoc est si esset - tunc teris mini seriei omnes positivo signo asseerentur, quemadmodum ex operatione eon stare poterit, & hoc casu quaelibet terminorum summa a vero valore semper de. ficeret, sed quo plures sumerentur termini, eo magis ad illum accederet .a . Quamvis autem fractio, quam in seriem redegimus, numeratorem habeat simplicem e & denominatorem binomium a b, non ideo tamen haec methodus ad hujusmodi tantum fractiones extenditur, sed aeque omnes complectitur. Ratio hujus est, quia numerator quilibet ad unicum terminum, quilibet denominator ad binomium perduei nullo negotio potest. Sit enim fractio ----,spo namus numeratorem e d - e aequalem esse quantitati n,& a--b--κ aequalem quantitatim, fractio in hane vertitur. . Quae eandem omnino sermam habet ae
illa, de qua supra loquuti sumus; hae igitur tradita methodo in seriem redacta,&su, ititutis deinde valoribus m&n habebimus seriem fractioni -T mspondentem.
36쪽
Quantitatum radicalium algorithmus. id sint,& quomodo oriantur alieujus quantitatis potestates, dictum est suis
, pra Cap. I. num. Io. Nunc illud est animadvertendum, quod quantitas . ex qua oritur potestas, positiva esse potest, vel nes tiva. Si primum, patet potestatem quamlibet fore quantitatem positivam, veluti a , quae sunt a positivae quantitatis potestates, & ratio eri, quia in hisce potestatibus efficiendis semper politivum ducitur in positivum. At si alterum accidat, tune diis, stinguendae sunt potestates pares, nempe quarum e ponens est tumerus par, ab imparibus, quarum est exponens numerus impar I nam primae semper exhibebunt quantitatem positivam, quum in illis negativum semper ducatur in negativum, re liquae vero dabunt quantitatem negativam, quia in illis semper quantitas negat iis va per positivam multiplicitur; igitur quantitatis - a potestas seeunda I erie quantitas positiva, quia oritur ex a, at Potestas tertia, quae oritur ex
Z -a, erit quantitas negativa idest a'. Ex hoc sequitur, quamlibet potestatem ι
parem n quantitatis cujuslibet a--b aeque oriri posse ex - a - , , adeoqne a--b', . a - θ' eandem postivam quantitatem fignificare; impossibile igitur omnino erit, quantitatem aliquam reperire vel positivam, vel negativam, cujus pol stas par sit quantitas negativa; ex quo satile est inserre, quantitatem veri gr. - a
nullius quantitatis esse potestatem, sed tantum productum ex - a. a. v. Adverte, ad defignandam Iratestatem n quantitatis negativae -a-b usos
nos fuisse lunula s, & scripsisse - a b . Hoc signum introduelmus ad tolia
Iendam aequivoeationem, quae illo non adhibito facile oriri posset. Etenim - a' , duo posset significare, nempe aut potestatem n quantitatis a signo - ametendam, ut - a elevandam esse ad potestatem n; quae duo cum admodum sint diversi, necesse est ita scribendo distinguere, ut eonfundi non possint. Morem hunc it que tenemus, eum lunulam non usurpamus, intelligimus quantitatem positivama esse ad indieatam potestatem elevandam, & potestati s um illud prangendum, quod seriptum legitur; ita H- a', vel a' est a elata ta potestatem is, quae potestas assicitur signo H--a eadem est a ad eandem elata potestatem, quae pol fas signo - assicitur. Scribimus autem luaulam quoties quantitates negativae ad potestatem sunt elevatidae; quo in casu signum - , quod est post lunulam, assicit apsam quantitatem elevandam, signum vero, quod est ante lunulam respicit ejus
quantitatis potestatem. Ita -- - a' indicabit potestati n quantitatis a praeo figendum esse signum H-: eontra - - a potestati eidem praeponi debere mgnum- . Hoc autem iacimus vel potestates fimplices snt, vel binomiae &e.; quareis a-,' iudicabit potestatem n quantitatis a-b fgno -- assiciendam, com
37쪽
- b efferendam ad potestatem n , cui dandum signum - , atra eidem praeponendum signum - , si seribas - - a - , . 3. Quum itaque potestates dispares, si exhibeant quantitates negativas, a ciua titatibus negativis ortum ducant, & si positivas, a positivis, ideo ut . sicitra hamus - - b de e), manifestum est nos posse scribere e --a-bΤ; nam
cum quantitas -a b ad tertiam potestatem producta, ex dictis, habeat terminos omnes negati vos, hi quum subtrahuntur, positivi efficiantur necesse est e go idem erit subtrahere -a-ae addere Eadem serme de causas de e elimus subtrahere a -- Τ, scribere possumus e -- -a - bi, quod salix patet. At non eadem methodo uti possumus, quum agitur de paribus potestati-hus subtrahendis; neque enim si detrahenda sit potestas a -- , vel k-a - , 'de ς', fas erit Ieribere e - - a b in primo casu, aut e - a b in secundornam licet mutentur signa quantitatis, unde potestas par oritur, non ideo, ut
senium est, immutatur ipsius poteibitis quantitas, quae semper eadem Mev rat,3c eum iisdem fgnis; quapropter e H a e -- - a - b sunt una, ea demque quantitas. De subtractione tantum sermo fuit, quia in additione, quum figna mutari non debeant, nullum erroris habetur periculum. 4. Sicuti quaelibet quantita, ad quamcumque dignitatem evehi potest, ita , quaelibet quantitas potest esse dignitas , vel potestas quaqcunque relate ad diversam quantitates: ita a Num. Ια e. r. est potestas sexta relate ad a, potestas te tia seu cubus relate ad a'. potestas secunda seu quadratum rela e ad & pol stas prima ipsius a . Quantitas vero illa, cujus respectu quantitas aliqua dicitur. esse potestas, vocatur ejus potestatis radix, & quidem eo nomine quo vocatur potestas. ExempIo res fit clatior. Diximus a esse quadratum, HI se niuam poctestatem relate ad a I ita erit a radix quadrata seu secunda relate ad a I partiter a erit ipsius a radix tertia, seu cubi ea, quia a est cubas, seu potestas tertia quantitatis a ; se a erit radix sexta a ς & in genere dicitur radix n quantitas quaecunque respectu alterius, quae illius sit potestas n.
s. Occurrit hic statim per se, operationes directe contraritas esse, quantita. tem ad potestatem erigere, ω ejus radices extrahere. Ut igitur has inveniamus, methodo utamur Meesse erit omnino illi contraria, qua illas obtinuimus; qu propter, sicuti in quantitate ad aliquam potestatem erigenda s Cap. r. num 1 r. exponentem quantitatis per novae potestatis exponentem multiplicavi mus, ita per radicis indicem, seu exponentem oportebit illum dividere, ut quaestam potestatis radicem habeamus e igitur sicuti ut inveniremus quantitatis
a. 6 δ 6 at potestatem sextam secimus a seu a , ita si agatur de extraheada ea a radice serta fiet a' idest a seu ai quae est ejus potestatis radix sexta; pariter ut e
38쪽
trahamus ex a radicem tertiam, scribemus a , seu a' , ut extrahamus secuna
damo a' seir at , & se de interis. ' . - 6. moad signa radicibus praefigenda, animadvertendum est quantitatem, ex qua radix educitur, positivam esse posse, & negativam. Si primum, tuae vel r dicis index impar est, vel par; si impar. sit, positivo signo astici debet radix , si par, tunc radicis valor non unus erit, sed duplex alter positivus , negativus alter; patent omnia ex num. s; hinc ad ambas radices indicandas utimur utroque
s o re, ita radix secunda potestatis a erit a, quo modo indieatur duplicem esse radicem nempe -- a. Si vero, qui est casus alter, quantitas, ex qua radix extrahi debet, fuerit negativa, iterum vel radicis index est impar, vel paro. si impar, radix erit neutiva, si par radix erit impossibilis& imaginaria ;talis esset radix secunda quantitatis s , qdae neque - β, neque a potest eri ut supra ostendimus. ' Ex methodo, qua radices inquirimus, ex divisione scilicet exponentium potestatis per radicis quaesitae indices, discimus quantitatis radicalis exponentem
esse quotum ex ea divisione virtunt. Ita radix tertia a -- b , quam sita --b , id est a habet exponentem , a quotum ex divisione o per 3. At quotus iste saepissime numerus integer este non potest; ergo tunc quantitatis radiealis exponens , stactus si oportet; ita aceidit, si ex. gr. quaeramus radicem secundam. a --bΤ; haeς enim nullo alio modo exprimi intest nisi hoc Selmus igitur quid sint potestates exponente fracto aflectae, quae etiam potestates impei λ
ctae appellantur; eae nil aliud sunt nisi radices. Iuxta haec a indieabit radicem
tertiam potestatisa' , & in genere b--e indieabit radicem n quantitatis bH-e erectae ad potestatem m. 8. Ad hasce radices, seu impersectas potestates indieandas hoe etiam utimur signo j, quod signum radicate appellatur. Sub quo scribitur quantitas u de radix erat extrahenda, supra vero radicis indicem, quam extrahere voleb
e idemae ῖ - e . In exemplo priso omittere poteram exponentem a , quia jam usuu obtinuit, ut ubi eumque reperitur signum radicate sine exponente, subintelligatur exponens a. Nil prohibet, quominus hisce duobus modis indicemus etiam radiis
era impossibiles & imaginarias, qualis esset radix quadrata se a , aut radix n positoin numero pari potestatis-a , nil prohibet, inquam, quominus eas ita stritamus 2 At si fas imaginarias radices velimus per exponentes hactos exprimere, artificio opus est, ne in aequivocas formulas incid mu . Sit eatrahenda radix quadrata qnantitatis -a', si scribamus - a' i C a ce Disiligod by GOoste
39쪽
eertum erit utrum hae sormula indicit - vel secundam radirem quantitatis - quare ad confusionem vitandam duplici utemur lunula ita - a , aut spectata - tamquam producta ex J-i, tum radix hoc modo extrahenda
a'. l - I' , aut a. -i' . Idem de radita n mi quantitatis dieendum est: itaque scribemus , seu a' - . q. Quum ex supra dictis Num. q. Cap. a. seiamus stactiones ad eandem d
nominationem reducere, quin earum valor immutetur, sciemus etiam reducem ad exponentes ejusdem denominationis quascumque potestates . Etenim quum ex ponentes, vel fractiones sint vel numeri integri, qui in cujuscunque denominat ris stactiones nullo negotio resolvuntur, ut dem prorsus regulis, quae pro tracti 'nibus traditae sunt , rem conficiemus. Sint reducendae ad euadem denominatoremina δε--γ, seu , nil aliud agendum, quam reducem stactiones& l, quae quum, juxta regulas traditas, vertantur in aerunt radices nostrae a --b', α 3 seu ιγα -s' ad eandem
denominationem. & indicem deductae, quia ulla in ipsarum valore sit sacta imis mutatio. Hinc aistimus etiam regulam expeditissimam redigendi radices ad euaisdem indicem, quum eae radicalibus signis indieantur: nempe productum indi eum erit index communis, & exponeas quantitatis, quae sub altero signorum est, duo tendus erit in alterius indieem; sic & V s vertentur in has V NSi radiem plures essent quam duae, duabus ad eundem indicem prius deductis reliquas deinde aggrediemur, quemadmodum de fractionibus Num. a Cap. a. dictum est .so. Si vero radicalis alicujus iudex sit perfectus alterius divisor, ut esset in his Iri tune satis erit mulciplieare indicem a per 3 qu tum ex digitane majoris indicis per minorem,& quantitatem sub signo positam ad potestatem erig re per quotum illum a indicatam ; erunt igitur radicalea , , quae hχbent indieem omnino eundem. Patet hoc si r dices alio, quem diximus, modo scribantur ; tunc hanc formulam habebunt
a Fb' , a --3': redige exponentes ad eundem denomitorem, quod obtines multiplicando per 3 numeratorem, & denominatorem fractionis - οῦ fient
Hb' , a 3 , quae si scribantur eum radioli signo, dant easdem, quas an
D. Ut summam radieum habeamust, ipsae alia post aliam scribantur eum luissimis: ut habeamus disereatiam muteatur earum signa, quae subtrahendae sunt,
40쪽
quemadmo lum In aliis quantitatibus sinum est. Duo hic nimadvertere oportet. Irimum est nos hic lesui de simis non quae sub signo indieali posita sunt, sede iis quae illud amiunt; alterum est terminos similia ad eundem esse red
Summandae fine b- ast a be . . Summa
Disterentia 2 α- -3 -- a. Radices fi potestatum more fiat expressae, eodem plane modo nitatis, adtur, ac reliquae potestates Cap. I. Num. It.; igitur a b sve ab erit pro ductum ex a in δε; a ia a dabit a 3 idest a; κ' in dabit productum
ε'st 'seu κν', sed sunt idem ac V κ, Ust,& raram productum Z ' sidem Duiliaco by GO le