장음표시 사용
51쪽
substituamus in miratione erit A α- seu minis ad eandem denominationem produms, x m
ma ex datis aequationibus 9 ut cognitam consideravimus, x ut inerenitam; it poteramus eodem modo supponere κ cognitam, ιν incognitam , ejusque val rem in secundam transferre; imo neque necessarium fuit a prima potius, quam a secunda aequatione operationis initium lacere, quod ratio, δc experientia satis possunt ostendere. . V ιιο. Si ites fuerint tacognitae, S: tres aequationes, ex. gr. a x m e ut valores nobtineas in prima aequatione ex. gr. quaere valorem , suppositis M, F cognitis; erit -b; hic loco 'substitutus in reliquis aequationibus dabit, as Φ κ-b m d, a N--9 - b e in secunda pone valorem x, quem prima exhibet, & invenies 3 m ad e - Κr . Si quatuor tuerint aequationes, Se quatuor inerenitae, imo si multo plures, longior quidem erit operatio, sed non diversa methodus, quae est procul dubio universalis, & nullis terminis circumscribitur. IS. Alia methodus eaque non inelegans est, quaerere in omnibus datis a quationibus unius incognitae valores express.s per cognitas simul, & incognitae reliquas, ex iisque novas instituere aequationes, quae una certe carebunt inc gnita. Si ex his novis aequationibus alterius incognitae valor investigetur, exfiis iterum aliae poterunt exurgere aequationes, quae duabus incognitis carebunt quare patet repetita iterum atque iterum, si necesse fuerit, operatione eo no serventuros, ut unicam incognitam in sinuasione habeamus.
ex omnibus quaere valorem incognitae κ, .irabes κ b - η A ex prim ἐν e F ex secunda; καa --ex tertia. At cum hi ' omnes sint ejusdem Ν valores, nonne inter se aequales esse debent λ Ergo poterunt ex iis aequationes fieri,quae tres in casu esse possunt, nempe ι--S c z HB, b χ' -- α - η -Hy, in quibus deest incognitan; ex his aequationibus duas quascumque elige, tot nempe, quot Iupersunt incognitae, quarum ope quaere duos valores ex. gr. incognitae z; patet aequati nem ex his duobus valoribus ortam nullam habituram incuditam iraeter F; ergo hoc pacto ad aequationem pervenies, cujus solutionem iam nosti aO. Hoc autem in peculiari exemplo nota, non posse re o aequatio b R. m. habere valorem ζ, neque valorem It me H ΡΟ - ο s; nam terminos transferendo in prima evanescit ata & notus fit v inr
at, nempς 9 - --, in altera evanescit F, & determinatur olor - .a . RAuare κ m -- invenitur substitutis cognitis y, et valoribus, vel in aliqua datarum aequatiostum, vel in aliquo ex valori us ipsius κ, quin alia aequati ne sit opus. Si tot quidem aequationes haberemus, quot incognitae, orum non omnes incognitae essent in singulis aequationibus, tuae expeditior aliquanto erit
operatio, scii methodus eadem. - ax. Tera
52쪽
ar. Tertiam methodum nunc tradimus, quae sane nullo modo est praeteris mittenda, quoniam universalis est, licet primo intuitu non ea esse videatur, &nos illa saepissime utemur. Utilis est haec methodus primo; quum duae sunt ine pnitae, & duae aequationes, in quibus termini eandem incognitam continentes identici sint, & termini, qui continent unam incognitam, habeant eadem tagna in utraque aequatione, qui vero aliam, contraria. Si haeo habeantur summa aequationum unam incognitam determinabit, disterentia determinabit secundam. AEquationes m ax --habent propositas conditiones: sunt enim identici termini, qui continent unamquamque incognitam, & signa sunt eadem relate ad terminos continentes κ, diversa relate ad terminos conis
tinentes F. Iam vero si fiat aequationum summa, habemus 2 a me u , e
go nota 'erit ret. 2 2 . cabs m e n , ergo nota erit 3 α -
: si vero sumatur earundem differentia , ea est; Hinc habemus duas quantua blates statim notas fieri, si earum summam, & differentiam eognoscamus; quod bene tenendum est, nam hujus theorematis frequentissimus erit usus. ai. At censeri ne debet methodum non valere, si dest identitas, termino. rum 8 nequaquam; nam semper identicos habere terminos possumus quoad uinnam incognitam. Si per quantitatem eam multiplicantem in secunda aequatione multiplices primam,& secundam per quantitatem eam multiplicantem in prima.
aa. Quod si praeter identitatem terminorum desit etiam eonditio, quam insignis postulavimus num. x x, hoe est si termini ejusdem incognitae in utraque aequatione habeant figna vel eadem, vel eontraria, quemadmodum esset in his aequationibus aκ--bmi , nκ--my n' ' tune pariter dabit methodus Jylarem incognitarum, si per num. praecedentem redueantur termini ad identiciatatem, & non summa, & subtrassio deinde aequationum fiat, sed duplex se tractio in casu signorum eorundem, duplex vero summa in casu contrariorum; boc enim pacto alia incognitarum suerellire eliminabitur, in quo vis tota biratus methodi sita est . . . Eatenditur haec methodus ad tres etiam ineognitas,& aequatione3, i E a Diuiti sed by CONL
53쪽
ad quemeumque ineognitariim, & aequationum numerum, sed operatIo longioe evadit, ac molesta. Sint 3 π--- εα a, -sa, Hy-z- aa; Si primae multiplicatae per 3 addatur seeunda oritur quarta aequati 1 iκ-sy m χοa, in qua a non est; si deinde a prima tertiam subtrahamus; erit aκ-yms a quinta aequatio, in qua pariter a deest. Iam vero postre. mae hae duae aequationes per num. praecedentem solvuntur. as. Hane praestantissimam methodum difficiliori etiam exemplo juverit iuIustrare. Sint igitur tres aequationea: 1. a b9- 'cet mac Primae multiplieatae per b add a. e c--ay bacmbe tur secunda multiplicata per c, 3. --- ad ab habetur quarta.
Deinde secundae multiplicatae pera addatur tertia multiplicata per oritur quinta. E quarta ducta in a -be deme quintam ductam in ae--bbI rit aequatio sexta.
De resolutione aequationum secundi gradus. EA, quae ad solvendas primI gr1dus aequationes spectitit, satis esse non pq
sunt, ubi agatur de solvendis aequationibus gradus secundi; iis nempe, in quibus incognita ad potestatem secundam assurgii et quapropter ad alia coniin gere necesse est. . In posterum, nisi aliter peculiaris serat oecisio, aequationes proponem sum ger' comparatas, id est terminis omnibus in unam partem translatis, ita ut ex alia tantum supersit zero. Pariter terminus exhibens maximam incognitae Potestatem neque multiplicatus erit, neque divisus per quantitatem ullam quum omnes aequationes, si tales non sint, nullo negotio ejusmodi fieri possint , rvliquis terminis divisis , vel multiplicatis per quantitatem, quae maximam incognitae potestatem vel multiplicat , vel dividit . me maxima incognitae p't i M erit semper primus aequationis terminus, secundus erit summa termino rum, in quibus eii potestas incognitae proxime minor, & ita deinceps, donec ultimus terminus summam contineat terminorum, qui noti sunt.
54쪽
a. His praemissis distinguere oportet puras aequationes Se incompleras, a completis & affectis; primae continent solam quadraticam potestatem incognitae , ut esset a N --bN - ab rao; aliae praeter seeundam continent etiam diamensionem primam , ut aequatio π -aκ - , bio. Priorum solutio eostulat. ut in unam partem transserantur termini continentes quadratum incognitae, in alia vero reliqui omnes remaneant, atque ita multiplicare, vel dividere aequationem , ut solum in uno membro habeamus quadratum supradictum postivum; quo facto omnes hujusmodi aequationes hae generali formula exprimi poteruntώ' a A., in qua est quadratum, a est quantitas nota positiva quaecunque,
a vero quantitas postiva, vel negativa Meuliaribus circunstantiis determinanda. Nunc si ex utraque parte radicem quadratam extrahamus est κm redari, adeoque seluta aequatio. Consideremus jam aequationem a N bΝ-cn - ,
translato termino en . 3c sacta divisione per a - b est x α--, & extruis
Ha radice κ m T i Si comparatio fieret inter aequationem κ' α& formulam generalem Ν'ma A, esset a Am & quoniam a in primo
membro, ut monuimus, ad arbitrium sumi potest, si eam supponamus m 'erit
nam- adeoque Am --. Si supposuissemus a m e tuae patet futuram
suisse a α --m I En igitur Quid sibi uelit illud, quod diximus, nemiae intasormula illa generali a esse quantitatem notam ad arbitrium sumendam, &quantitatem ex variis insibus determinandam. Revorare hic oportet in mentem, quod etiam demonstratum est in algorithmo radicalium num.6. valorem fari duplicem esse, id est positivum, & negativum ; quare praepositae aequationis radix duplex erit, nempe Ν o AE , a AE. 3. Quum radieem generalis aequationis extraximus, fieri debuisset ακα- a A. unde quatuor haberi potuissent combinationes καΣ - - a a , -κ α - a as da A, -κ - -- a A; sed quoniam primae duae non sunt inter se diversae, si enim unius mutentur signa, quod fieri potest salva aequalitate eadem est ae altera, R id ipsum de duabus aliis diei potest; ideo duae tantum . sunt diversae eonbinationes. idest , π m --κα ΣΤ dari. 4. Si duo incognitae valores in partem, in qua ipsa est, transserantur, mriuntur statim duae aequationes Eero aequales κ' daa m o, N-- d a A m Os qui factores appellantur aequationis secundi gradus propositae, quia aequationem illam restituunt, si inter se multiplicentur, eorum enim productum est Ν. κ-aa o id est κ' - a Amo. Hinc tamquam corollarium ia- a AE et
55쪽
Drtur, summam valorum ineognitae - a A a A esse quantitatem multiplicantem incognitam ipsam in secundo termino, quae cum in casu si Zem,s cundus terminus evanescat oportet. Insertur terminum aequationis ultimum aequare productum valorum incognitae.. s. Si in aequatione κκ a A quantitas A esset negativa, idest si esset
factores imaginarii, qui inter se multiplieati dant productum κ' ' κf a o.
seu N m a a, quae est aequatio proposita Hine habemus quantitates reales posse ex summa, vel ex producto imaginariarum consurgere. o. Hac methodo potiunt aequationes purae quaecunque graduum superiorum ad inseriorem gradum redigi, si earum exponens possit per a exacte dividi; sit aequatio sexti gradus N -mo, transfer terminum cognitum, ut sit κ A Iextrahe radicem quadratam, habes κ' ct aequationem tertii gradus.
Sit κ' --Amo,iae κ' ma)A, 3c extracta radice quadrata κ' m T A ;radicem quadratam iterum extrahe, & erit aera re as AE aequatio priami gradus. Quatuor valores Nin ea sunt,--a A,-- - ax AE , - , SA, - - ex varia signorum eombinatione , ut facile cognosci potest Nunc considerandum est , quod si 'asit quantitas positiva, primus & tertius nempe ij, in quibus signum radicate laeundum assiciatur signo - , crunt reales , contra secundus, & quartus imaginarii; si vero a A sit quantitas negativa, tunc valores omnes erunt imaginarii. Quoad hane partem res est omnino manifesta: quoad aliam vero tyronum gratia se potest clarius ostendi. Nonne IZa' idem est ae ergo si ra dieale signum secundum habuisset signum - , esset ι quantitas imaginaria; ideo enim in primo casu provenit quia radicate seeundum intelligitur multiplieatum per unitatem positivam; at in laeundo casu intelligitur multiplicatum per unitatem negativam; ergo esse debet I a . Nunc si rem accomodes aequationi nostrae patebit, cur in laeunda, & quarta combinatione valor sit imaginarius, licet quantitas sit positiva . Sit denique EA; ergo a A, &κ'ΣΣΥ & κ μα HA , ubi octo sunt radiees aequationis, seu valores 'qui posita a A quantitate positiva, duo sunt reales, reliqui imaginarii, ut exsgnorum combinatione unusquisque potest facile conjicere; posita eadem nega tiva, omnes sunt imaginarii. 8. Nunc Di iligo: by Corale
56쪽
8. Nune ad aequationes secundi gradus completas transeamus. Hae omnes hae generali formula possunt exprimi κ α in qua eum κ' sit A A quadratum κ, an duplum producti-. x, esset π -- radix quadrata qua titatis κ a B esset quadratum quantitatis pat eum non 2 1 3 A Ast, ideo diversa erit quantita& AN B a quadrato π--, sed differentia omnis erit in ultimis terminis. cognitis quare posito quadrato κ'
gniti aequationis. nostrae aequales termino uni incognito,& alteri eognito: his igi
tur in aequatione generali pro illis substitutis hahebimus K- - a B o, quae aequatio ad genus pertinet incompletarum, de quibus iam egimus. p. Solvenda fit aequatio -es-n m o. Aecipe dimidium coeHeie
tis seeundi termini, id est eui in formula generali respondet- , di-
dem ex superiori methodo descendit.
57쪽
& addito quadrato dimidii coeffieientis -n - e, κα
a B revertentes, atque iis translatis in partem incogni
A Ai a B, facile cognoscimus terminorum cognitorum summam, hoc est radicum, signis mutatis, esse A, qui est eoeffieiens secundi termini aequationis do strae X --.e --σB m o, eorum vero pmductum a B esse tertium ejusdem forma'iae terminum. Quum autem haec sit propietas quaedam universalis, juvat hic in e Iu principia diligenter inquirere, ut alibi deinde 3c illam extendere commodius accidat , & in proximum usum deducere. 14. Sint duo quicunque factores ΜΗ-a, κ multiplieentur inter se; erit productum N --bκ Si hujus producti naturam consideres, statim depre hendis. summam extremorum terminorum a, b eri coessieientem termini se .Rd id producto, & ultimum abesse eorum productum . Quotieseunque igitur da/sb beas quantitates, quae simul additae seeundi termini producti alicujus exbies ut coefficientem, & invicem multiplicatae dent ultimum illius terminum, statim am bos producti sectores obtinuisti, si earum utramque ea quantitate auge S perquδ
58쪽
Productum suerat ordinatum; se in allato exemplo, quia b simul sumptae
dant coeffieientem termini seeundi, & invicem ductae dant tertium terminum, recte inferes, illius formulae factores esse a , & b auctos quantitate κ, per quam formula est ordinata, nempe esse κ--b. Id autem verum ea, quicu quo, ut initio dixi, sint fictores, quodeunque productum, seu hoc, sive illic maes, ses eorum alter raro aequalis sit, aut cuilibet quantitati. I s. Si vero alter factorum κ--.1,κ--b, vel ambo essent aequales Zeros quod alterum non aceidit , i si is, & b sint aequales tunc et jam ex iis oriunt Productum esset Eero; quod patet, quia quantitas per Eero multiplicata, vel Z ro Per Zero semper etero esse debet: haberemus igitur aequationem secundi gra-d am m. in qua aequatione ea omnia, quae supra dicta suo tue-
rificantur. Imo ea verificari debent in aequationibus quibuscunque, quum nihil aliud sit aequatio nisi productum, quod est aequale aero, quia unum, aut o innes factores sunt etero. Igitur in aequatione κ' --σκ - ab m o necessari unus . . t ι x saltem ex factoribus κ- a, κ- b, quieunque tandem sit, Zero aequ-bitur, per quem valor obtinetur; unde insertur illum esse valorem Ν, qui loco Ν potiatus in aequatione efficit, ut termini omnes eridantur, & illum esse aequationis factorem, per quem perfecte dividi aequatio poterit. 6. At quamvis, uti diximus, ex eo quod aequatio sit aequalis aero, recti Gs me sequatur aliquem sactoram raro aequalem esse , non tamen erui potest qui nam sit hujusmodi factor: etenim fi quum eanonicae aequationis factores simi Ual a B ω-- l a Beorum alter erit Zero,
quinam ille sis, hactenus ignotum est. His jus autem rer ratio manifest est ς, quia aequatio duas c idem dieendum si plures quam duas exhibens dive s 4 radices, seu incognitae valores diverso , indifferens quidem est de se,& potest per alterutrum verincari; at eodem tempore per utrumque uerificari impossibile est omnino, & absurdum. Ergo uno incognitae valore detetminato, si hic ex ea dem incognita subtrahatur, iactorem dabit aequalem tero, at subtrino alter. fieti secundus factor necessario major, vel minor. Est igitur manifestum nescire M , qui factor aero aequetur, si solam aequationem sin emus, adeoque nescire Hr quam ex inventis radicibus aequatio veri fieetur. Quod si quaeras, quid tandem illud fit, qWod hane veluti aequationis indifferentiam tollat, vel valorem 3ης gnitae potius hune, quam illum determinet, id ex casuum peculiarium cincuntiantiis pendere dicimus, ex iis nempe, quas secum trahunt he euliaria proble m t , quaeque in Analysim introduci non possunt; sed haec clarius etiam ex Pr blematum solutione suo loco patebunt. 37. Methodi, quae his aequationibus seeundi gradus inserviunt, valent etiam ad cias quast unque solvendas, uel ad inferiorem gradum redueeneas, dummo do in iis haee tria habeantur, primo ut incognita noω nili in duobus terminis re petriatur , deinde ut illius exponens utrobique sit numerus par, tertia, ut exponens allius in uno termino fit dupIus exponentis in alio. Sit m -- a. π a B σω qu rti gradus aequatio, in quω requisitae adsint conditiones; Transiet. teraunum
Ognitum, & adde rarique parti quadratum dimidii coeficientis sit eundi termini,
59쪽
I8. Si alia methodo uti voluissemus, faciendum erat Ν - R , unde esset quadrando P a Ax H
secundo hoc membro in aequatione substituto, erit . e Ia Radeoque e-a is
κ - -- ώ - aB, aequatione e gradu sexto ad tertium product/.. 3 . t . qa . Neque hic alia methodus est praetermittenda, quae ad ea intelligenda, quae in solutione aequationum superiorum tradituri sumus, plurimum juvat. Hos aequationi generali simplieissimae κ'--as m o applicemus. Fiat Am. C B, R quantitas C sit positiva, B ad libitum vel politiva, vel negativa; erit igitur α - a C - aBmo; nune incognita M in duas inaequales partes scindatur, sitquet m m m n , & quadrando κ' - - 1 m n -- α' ; translatis terminis
am π m mo. Hanc aequationem fingamus identicam aequationi OU
-a B m o, ita ut terminus termino aequalis sit; hoe supposito erit reaac mn,
Oc aB-m - n ς ex prima harum aequationum habemus a C m n , adeo
60쪽
ar. Eodem pacto ex aequatione, quam primo consideravimus, descendit Gum m quo-valora m substituto in secunda, est a B P- IS.,
Ut ex his: quatuar Ialoribus sciamus, quinam sint ii duo, qui aequationi nastrae die Va a C - aB mo inseryiunt; adverte productum mn π a C, ergo prosigno superiore ii valores m, n erunt coniungendi, quorum produi, dani a C; pro figno autem inferiore, illi , quorum producta praebent -- a C. Hoc criterio usurpato videbimus valores primae , & seeundae combinationis aequationi κ -aac - a B α o Jnservire, reliquos vero aequationi κ --a a C - aBmo. Hinc ut proprie magis loquamur, cum haec solutio quatuor det valores N, erit
solutio aequationis quarti gradus ortae ex duabus seeundi in se ductis κ -aaC- aB. κ' - a a C - a Bi o, idest α' a 2Bω - isP IA' in o. At' sicuti haeein duas seeundi resoliti potest, ideo de his agentes, eongruum erat hujus solutionis usum indicare solutio autem aequationis per ea, quae nuper diei sunt, Me modo obtinetur. Transfer in partem alteram terminum 4 a'C', h bebis , ρο- a Bi 4 a P;extrahere ne nis mitiligi a 'cta ac , seu π G. a C - aBmo. . L 7 -